24.4解直角三角形
一、学习目标
1.掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系。
2.利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题。
二、学习重点
重点:
.掌握测量中坡角、坡度的概念以及坡角与坡度的关系
难点：把实际问题转化为数学问题。
三、自主预习
(一）旧知回顾
仰角：_________________________________________________________________
俯角：__________________________________________________________________
方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
(二)自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念。
坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
坡角与坡度之间的关系是：i＝=tana。
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
6．如上图坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．
四、合作探究
1、如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3
).
分析：在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。
五、巩固反馈
1.一坡面的坡角为600，则坡度i=
2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为
.
3.如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（
）
A.
B.
C.
D.
4.如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:2改成1:2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,
求:
(1)原背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角
；
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少 (精确到0.01)
A
B
C
┌
A
B
C
D
α
5米
A
B
图3
2.0
1:2.5
1:2
B
C
A
D
E
F24.3
锐角三角函数
一、学习目标
自己求出30，45，60的三角函数值，熟记并应用，熟练应用30所对的直角边等于斜边的一半，及互余两角的三角函数的关系
二、学习重点
30，45，60的三角函数值，及互余两角的三角函数的关系？
三、自主预习
1.知识回顾
（1）锐角的正弦、余弦、正切、余切定义？
（2）
（（用
2.自学课本90-91页，熟记并应用30，45，60的三角函数值，时间7分钟。
（1）对于特殊角的三角函数值，可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计算，从而记住结果：
完成教材练习1题的表格
（2）通过30，45，60的三角函数值，在0～90之间，一个锐角A的正弦值（正切值）随角度变化如何变化？一个锐角A的余弦值（余切值）随角度的增大（或减小）如何变化？
四、合作探究
同桌之间互相提问30，45，60的三角函数值，达到不出错误为止；
说说你对30，45，60的三角函数值的记忆技巧？
五、巩固反馈
(1)Sin60-cos45
(2)
cos60+tan60
(3)sin30+cos30
(4)sin45-cos30
(5)tan60-tan30
2.在△ABC中，∠A=30°，tanB=，ＡＣ＝２，求ＡＢ.
3.如图，在△ABC中，Ｄ是ＡＢ的中点，ＤＣ⊥ＡＣ，且tan∠ＢＣＤ＝，
求SinＡ、cosＡ、tanＡ的值.
2
1
1
124.3.2
用计算器求锐角三角函数值
一、学习目标
掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。
二、自主学习
1.自学课本109-110页，记住用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的步骤，时间10分钟。
三、合作探究
1.求已知锐角的三角函数值
例2
求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）
解
先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(SETUP)
显示
．
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0．897859012．
所以sin63°52′41″≈0．8979．
例3
求cot70°45′的值．（精确到0．0001）
解
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示
），按下列顺序依次按键：
显示结果为0．3492156334．
所以cot70°45′≈0．3492．
2.由锐角三角函数值求锐角
例5
已知cotx＝0．1950，求锐角x．（精确到1′）
分析：根据，可以求出tanx的值，然后根据课本中的例4的方法就可以求出锐角x的值．
四、巩固反馈
1.用计算器求下列各式的值
（1）sin67°38′24″;
(2)tan63°27′;
(3)cos18°59′27″.
2.根据下列条件求∠A的度数（用度分秒来表示）：
（1）cos∠A=0.6753;
(2)tan∠A=87.54;
(3)
sin∠A=0.4553.
3.课堂小结
用sin、
cos、tan
键
H、达标检测
用sin、cos、tan和
键
4.拓展提高
一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4米，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5米，求梯子与地面所成的锐角。
D
3
MODE
SHIFT
D
=
o’”
41
o’”
52
o’”
63
sin
=
o’”
45
o’”
70
tan
1
锐角三角函数值
锐角
SHIFT直角三角形的性质
一、学习目标
1.回顾勾股定理，知道直角三角形两角互余。
2.探索直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及30°角所对的直角边等于斜边的一半。
二、学习重点
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三自主预习
旧知回顾
（1）勾股定理相关内容？
（2）直角三角形锐角关系？
四、合作探究
性质1.任意画一个直角三角形ABC,并画出斜边上的中线CD。
（1）(量一量)自己动一动手，量一量CD与AB的长度并比较它们有什么关系？和你的同桌对比一下结论一致吗？
（2）（证一证）你能证明这一性质吗
性质2.（1）(量一量).
自己动一动手
用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系,你有什么发现？
（2）（拼一拼）.小组合作
将两个含有30°的三角板如图摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC(30°角所对的)与斜边AB之间的数量关系吗
（3）（证一证）你能证明这一性质吗
归纳：直角三角形斜边上的中线等于_________________________________________.
几何语言：
在RT△ABC中，∠C=，∠A＝30°∴BC=
AB(或AB
=
2BC)
五、巩固反馈
1．在
直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____
三角形ABC的面积=____________
2顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________
3．在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．
4．等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________
5．屋架设计图,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝8m,∠A＝30°则BC=
__________,
DE=______________.
6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。
7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60
°，EF是AB的垂直平分线，判断CE与BE之间的关系24.4解直角三角形
一、学习目标
理解仰角、俯角、方向角并会解直角三角形的知识解与仰角、俯角、方向角有关的实际问题。
二、学习重点
重点:
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题。
难点：把实际问题转化为数学问题？
三、自主预习
（一）知识回顾
1.如何构建直角三角形？如何作辅助线？
2直角三角形的边角关系？
3.仰角与俯角
4.方向角
（1）如图方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
（2）东南、西南可以表示哪个方向？
四、合作探究
1．如图，塔AB和楼CD的水平距离为80m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。
2.
一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°方向行驶40海里到达C地，求A、C两地相距？
五、巩固反馈
1.王英同学从A地沿北偏西方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（
）
A、50m
B、100m
C、150m
D、100m
2.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是
海里/时。
3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点，测得由点看大树顶端的仰角为35°；
(2)在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为45°；
(3)量出、两点间的距离为4.5
.
请你根据以上数据求出大树的高度.(结果保留3个有效数字)
A
B
C
D
第3题图24解直角三角形
一、学习目标
1．掌握锐角三角函数与解直角三角形及其应用等有关知识、方法。
2.探究锐角三角函数与解直角三角形及其应用的规律。
二、学习重点
锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
三、自主预习
知识梳理
1.什么是锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切？什么是锐角∠A的三角函数？
2.填写三角函数值表
cot
1.什么是解直角三角形？有哪几种类型？
2.什么是仰角、俯角、坡度、坡角？
四、合作探究
探究点1：三角函数式的求值
例：计算下列各题
（2）
（3）…
探究点2：解直角三角形
例：在直角三角形ABC中，∠C=，由下列条件求解
已知a=15,b=18,求c
已知a=10,
∠B=,求b、c的值？
已知a=20,
∠A
=,求a、b
拓展提升
如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．
探究点3：解直角三角形知识在航海等方面的应用
例：海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
思考：（1）由已知条件能得出哪些结论？
（2）要判断有没有触礁，必须求出哪些数据？
五、巩固反馈
第24章复习题教材P120——123页
A
B
C
中山路
文化路
D
和平路
45°
15°
30°
环城路
E
F24．1测量
一、学习目标
1.掌握利用图形的相似测量物体的高度，并画出实际问题的平面示意图。
二、学习重点
重点：用相似三角形的知识解决旗杆等物体的测量问题。
自主预习
1.旧知回顾
(1)什么是相似三角形？.
(2)相似三角形的性质是什么？
(3)相似三角形判定方法有哪些？
四、合作探究
1.请你想办法测量一下学校操场旗杆有多高？
如何利用太阳光照射的影子来测？能画出具体示意图吗？
需要哪些测量工具？
应测量哪些数据？
(4).小组合作，看看还有哪些方法？
2.拿一根高3.5米的竹竿立在离旗杆底部B27米的C处（如图）然后沿BC的方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹杆顶部E恰好在同一直线上，又测得C,D两点间的距离为3米，小芳的目高1.5米这样便可知道旗杆的高度。
你认为这种测量方法可行吗？请说明理由？
3.如图，小明在地面上放置了一个平面镜E来测量旗杆AB的高度，镜子与旗杆的距离EB=20米，镜子于小明的距离ED=2米，小明刚好从镜中看到旗杆的顶端A。已知小明眼睛的高度CD=1.5米，则旗杆AB的高度是多少米
五、巩固反馈
1.某建筑物在地面的影长为36米，同时高为1.2米的侧杆影长为2米，那么该建筑物的高为_________米。
2.垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到期影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高___________米。
3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
4．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
5.在河的两岸有对应的A、B两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB的距离。并说明理由。
C
D
E
A
B24.4解直角三角形
一、学习目标
1.理解直角三角形中六个元素之间的关系？
2.知道什么是解直角三角形，解直角三角形的工具是什么以及怎样应用？
二、学习重点
重点:
锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、自主预习
（一）旧知回顾
1.特殊角的三角函数？
cot
2.勾股定理的内容？
四、合作探究
（一）定义
1.什么是解直角三角形？
2．在三角形中共有几个元素？
3．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
sinA=
cosA=
tanA=
(2)三边之间关系a2
+b2
=c2
(勾股定理)
(3)锐角之间关系
∠A+∠B=90°
（二）已知直角三角形两边解直角三角形
例1.在直角三角形中，∠C=90°，c=,解这个直角三角形？
（三）已知直角三角形的一边和一个锐角解直角三角形
例2.在直角三角形中，∠C=90°，∠B=，a=8求这个直角三角形的其他边和角？
（四）利用直角三角形的知识解决非直角三角形
例3.如图所示，在三角形ABC中，∠B=，∠C=，BC=，求AB的长？
五、巩固反馈
1.在等腰三角形ABC中，AC=AB,
∠A=,AB=12，则AB边上的高为（
）
A.6
B.
C.
D.不能确定
2.在三角形ABC中，AB=2，AC=,∠B=则∠BAC=____________.
3.如图三角形ABC中∠A=,∠B=,BC=8，求∠ACB的度数及AB、AC的长。
A
C
B
C
B
A24.3
锐角三角函数
一、学习目标
正弦、余弦、正切、余切的定义。
正弦、余弦、正切、余切的应用。
二、学习重点
直角三角形中锐角三角函数值的计算。
三、自主预习
1.画一个直角三角形，其中一个锐角是量出角的对边和斜边长度，计算出它们的比值？
（1）同学们计算结果一致吗？在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比值叫做什么？怎样表示
（2）
邻边与斜边的比值呢？又叫什么如何表示？
（3）邻边与对边；对边与邻边的比值呢 一致吗？如何表示？
四、合作探究
1.在直角三角形ABC中∠C=，∠A=a,如图所示
（1）你能用表示出
sina=______________;
cosa=______________;
tana=______________;
cota=______________;
（2）你能求出sina+cosa的值吗？
（3）tanacota的值？
（4）能求出sina与cosa的取值范围吗？
2.在直角三角形ABC中，∠C=90，sinA=，求cosA的值
五、巩固反馈
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝_________，sinB＝___________，tanB＝___________，cotB＝_____________；
2.已知＜a＜,比较大小，sina
_______cosa;
tana_______cota
3.已知∠A为锐角，sinA=，求∠A的其他三角函数值。
B
a
C
b
c
A
