2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第1章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系

1．1.2
&
1.1.3　四种命题　四种命题间的相互关系
四种命题
[提出问题]
观察下列四个命题：
(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；
(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；
(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；
(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．
问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；
对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
[导入新知]
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．四种命题结构
[化解疑难]
1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p，q的否定．
2．四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.
四种命题之间的关系
[提出问题]
问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？
提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题．
[导入新知]
1．四种命题之间的关系
2．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[化解疑难]
互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
四种命题的概念
[例1]　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
[解]　(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
[类题通法]
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：
(1)正数a的平方根不等于0；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命题．
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．是假命题．
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题．
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．
(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.
四种命题真假的判断
[例2]　有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　
B．1
C．2
D．3
[解]　选B　(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；
(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；
(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；
(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
[类题通法]
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
[活学活用]
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)在△ABC中，若BC＞AC，则A＞B；
(2)相等的两个角的正弦值相等．
解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题．
否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题．
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题．
(2)
逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题.
等价命题的应用
[例3]　证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[解]　证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．
若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
[类题通法]
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
[活学活用]
证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n＞2，则m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2，所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
　　　　
[典例]　将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．
[解]　“若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数．
否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．
[易错防范]
1．“a＞0”的否定易误为“a＜0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误．
2．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a＞0，a＝0，a＜0，从而a＞0的否定是a≤0.
[成功破障]
(山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
[随堂即时演练]
1．命题“若a A，则b∈B”的否命题是(　　)
A．若a A，则b B　
B．若a∈A，则b B
C．若b∈B，则a A
D．若b B，则a A
解析：选B　命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“ ”互为否定形式．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：选C　原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
3．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是__________，逆否命题是________________．
答案：若x＞0，则x＞1　若x≤0，则x≤1
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：因为ac＜0，
所以－ac＞0 Δ＝b2－4ac＞0 二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根 ax2＋bx＋c＞0有解．
所以该命题是真命题．
[课时达标检测]
一、选择题
1．命题“若a＝－b，则＝”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则≠
B．若a＝－b，则≠
C．若≠，则a≠－b
D．若＝，则a＝－b
解析：选D　原命题的条件是a＝－b，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是＝，把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若＝，则a＝－b”．
2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　B．2
C．3
D．4
解析：选B　命题“若a＞－3，则a＞－6”的逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，为假命题，则它的否命题“若a≤－3，则a≤－6”也必为假命题；它的逆否命题“若a≤－6，则a≤－3”为真命题．故真命题的个数为2.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(　　)
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B　即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(　　)
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：选A　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B　命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；
命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
二、填空题
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为______．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：由已知得，若1＜x＜2成立，
则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________________________________________________________________________；
互为否命题的有________________________________________________________________________；
互为逆否命题的有________________________________________________________________________．
(填序号)
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．它是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．它是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．它是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．它是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．它是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．它是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．
判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a＜1，
所以4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．