2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第1章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第1章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 621.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-10 14:16:05 | ||
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文档简介
1.2
分条件与必要条件
充分条件与必要条件
[提出问题]
在物理中，我们经常遇到这样的电路图：
问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？
提示：一定亮．
问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示：不一定，还可能是C开关闭合．
[导入新知]
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
[化解疑难]
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．
2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.
充要条件
[提出问题]
如图是一物理电路图．
问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？
提示：一定闭合．
问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？
提示：p q.
[导入新知]
充要条件
如果既有p q，又有q p，记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
[化解疑难]
p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．
充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B；
(2)p：x＞1，q：x2＞1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
[类题通法]
充分、必要、充要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
[活学活用]
指出下列各组命题中p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明
[例2] 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[解] (1)必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，
且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[类题通法]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[活学活用]
已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
证明：(1)必要性：由＜，
得－＜0，即＜0，
又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.
(2)充分性：由xy＞0及x＞y，
得＞，即＜.
综上所述，＜的充要条件是xy＞0.
充分、必要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 因为p是q的充分不必要条件，
所以p q但q /
p，
即是的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为.
[类题通法]
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．
[活学活用]
已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q P，
所以
解得－1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[－1,5]．
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．
1．定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：
[例1] (四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] p表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．
[答案] A
[活学活用]
1．“sin
α＝”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由cos
2α＝可得sin2α＝，即sin
α＝±，故sin
α＝是cos
2α＝的充分不必要条件．
2．等价转化法
等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：
[例2] 已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．
[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p 綈q，而綈q /
綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
[活学活用]
2．“m≠3”是“|m|≠3”的________条件．
答案：必要不充分
3．集合法
集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
[例3] 指出下列命题中p是q的什么条件．
(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2；
(2)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.
[解] (1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝
{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＜2}．
显然，A?B，
所以p q，但qp，
即p是q的充分不必要条件．
(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}
＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，
B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．
∵A＝B，∴p q，
即p是q的充要条件．
[活学活用]
3．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜－1
D．a＜1
解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
∴即
解得a＜0.
由于{a|a＜－1}?{a|a＜0}，故选C.
[随堂即时演练]
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
2．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，
∴a·b＝a·c /
b＝c；
反之，b＝c a·b＝a·c.
3.已知M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．
解析：∵由a∈M /
a∈N，但a∈N a∈M，
∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
答案：－
5．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值．
解：p：x2＋x－6＝0，
即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝－.
由题意知p /
q，q p，
故a＝0舍去；
当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，
解得a＝－或a＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．“tan
α＝1”是“α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵若tan
α＝1，
则α＝kπ＋(k∈Z)，α不一定等于；
而若α＝，则tan
α＝1，
∴tan
α＝1是α＝的必要不充分条件．
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 /
丙，如图．
综上，有丙 甲，但甲 /
丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．(陕西高考)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos
α＝±sin
α.由cos
α＝sin
α可得到cos
2α＝0，反之不成立，故选A.
4．(天津高考)设x∈R，则“1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1 1由于{x|1所以“15．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)＞0
D．2x＜1
解析：选B ∵|x|＝x x≥0，
∴选项A是充要条件，选项C、D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x，得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
二、填空题
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A /
B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
三、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y| /
x＝y，
但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形 /
△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形 /
△ABC是直角三角形，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分 /
四边形是矩形，
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：
当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，
即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：
当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，
∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
分条件与必要条件
充分条件与必要条件
[提出问题]
在物理中，我们经常遇到这样的电路图：
问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？
提示：一定亮．
问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示：不一定，还可能是C开关闭合．
[导入新知]
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
[化解疑难]
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．
2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.
充要条件
[提出问题]
如图是一物理电路图．
问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？
提示：一定闭合．
问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？
提示：p q.
[导入新知]
充要条件
如果既有p q，又有q p，记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
[化解疑难]
p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．
充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B；
(2)p：x＞1，q：x2＞1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
[类题通法]
充分、必要、充要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
[活学活用]
指出下列各组命题中p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明
[例2] 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[解] (1)必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，
且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[类题通法]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[活学活用]
已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
证明：(1)必要性：由＜，
得－＜0，即＜0，
又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.
(2)充分性：由xy＞0及x＞y，
得＞，即＜.
综上所述，＜的充要条件是xy＞0.
充分、必要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 因为p是q的充分不必要条件，
所以p q但q /
p，
即是的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为.
[类题通法]
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．
[活学活用]
已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q P，
所以
解得－1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[－1,5]．
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．
1．定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：
[例1] (四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] p表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．
[答案] A
[活学活用]
1．“sin
α＝”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由cos
2α＝可得sin2α＝，即sin
α＝±，故sin
α＝是cos
2α＝的充分不必要条件．
2．等价转化法
等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：
[例2] 已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．
[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p 綈q，而綈q /
綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
[活学活用]
2．“m≠3”是“|m|≠3”的________条件．
答案：必要不充分
3．集合法
集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
[例3] 指出下列命题中p是q的什么条件．
(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2；
(2)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.
[解] (1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝
{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＜2}．
显然，A?B，
所以p q，但qp，
即p是q的充分不必要条件．
(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}
＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，
B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．
∵A＝B，∴p q，
即p是q的充要条件．
[活学活用]
3．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜－1
D．a＜1
解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
∴即
解得a＜0.
由于{a|a＜－1}?{a|a＜0}，故选C.
[随堂即时演练]
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
2．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，
∴a·b＝a·c /
b＝c；
反之，b＝c a·b＝a·c.
3.已知M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．
解析：∵由a∈M /
a∈N，但a∈N a∈M，
∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
答案：－
5．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值．
解：p：x2＋x－6＝0，
即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝－.
由题意知p /
q，q p，
故a＝0舍去；
当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，
解得a＝－或a＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．“tan
α＝1”是“α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵若tan
α＝1，
则α＝kπ＋(k∈Z)，α不一定等于；
而若α＝，则tan
α＝1，
∴tan
α＝1是α＝的必要不充分条件．
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 /
丙，如图．
综上，有丙 甲，但甲 /
丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．(陕西高考)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos
α＝±sin
α.由cos
α＝sin
α可得到cos
2α＝0，反之不成立，故选A.
4．(天津高考)设x∈R，则“1
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1 1
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)＞0
D．2x＜1
解析：选B ∵|x|＝x x≥0，
∴选项A是充要条件，选项C、D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x，得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
二、填空题
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A /
B．又因否命题为真，所以逆命题为真，即B A，所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
三、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y| /
x＝y，
但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形 /
△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形 /
△ABC是直角三角形，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分 /
四边形是矩形，
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：
当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，
即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：
当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，
∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.