2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第1章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年高二数学新人教A版选修1-1学案：第1章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 451.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-10 14:17:11 | ||
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文档简介
1.4
全称量词与存在量词
全称量词和全称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)2x是偶数；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
(3)所有的三角函数都是周期函数．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．
问题2：上述命题中强调的是什么？
提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．
[导入新知]
全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)
[化解疑难]
全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.
存在量词与特称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；
(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：都是命题．
问题2：上述命题有什么特点？
提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．
[导入新知]
存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为 x0∈M，p(x0)
[化解疑难]
特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．
含有一个量词的命题的否定
[提出问题]
观察下列命题：
(1)有的函数是偶函数；
(2)三角形都有外接圆．
问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？
提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题．
问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？
提示：有的；所有的．所有的；存在一个．
[导入新知]
含有一个量词的命题的否定
[化解疑难]
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
全称命题与特称命题
[例1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[类题通法]
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[活学活用]
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
全称命题、特称命题的真假
[例2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
[类题通法]
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[活学活用]
判断下列命题的真假：
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；
(3)p： x0∈R，x＋2x0＋3≤0.
解：(1)p是全称命题，是假命题．
若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.
(2)p是全称命题，是真命题．
根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝≠0(n＝1,2,3，…)．
(3)p是特称命题，是假命题．
因为对于綈p： x∈R，x2＋2x＋3＞0是真命题，这是因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立.
全称命题与特称命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解] (1)綈p： x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
因为 x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r： x∈R，x2＋4x＋6＞0，真命题．
(4)綈s： x∈R，x3＋1≠0，假命题，
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
[类题通法]
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，
同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[活学活用]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
全称命题与特称命题的应用
[例4] 若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 法一：由题意， x∈[－1，＋∞)，
令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而 x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[类题通法]
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，求实数a的取值范围．
解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0；
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
[典例] (浙江高考)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
[解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n＜x2”．
[答案] D
[易错防范]
1．因只否定了一个量词，而误选B或C.
2．对含有量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律．
[成功破障]
命题“存在x∈R，使得2x＋2x＋1<0”的否定是________________．
答案：对于任意的x∈R，都有2x＋2x＋1≥0
[随堂即时演练]
1．下列全称命题为真命题的是( )
A．所有的素数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
解析：选B 2是素数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2＋1≥1 x2≥0，显然 x∈R，x2≥0，故B为真命题，C、D均是假命题．
2．(湖北高考)命题“ x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是( )
A． x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B． x∈/(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C． x0∈(0，＋∞)，ln
x0≠x0－1
D． x0∈/(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1
解析：选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定， 改为 ，x0改为x，否定结论，即ln
x≠x－1，故选A.
3．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定为綈p：______________.
解析：命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．
因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，
所以命题p为假命题．
命题p的否定为： x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0
4．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．
解析：由题意知，0＜a2－1＜1，
∴即
解得
∴1＜a＜或－＜a＜－1.
答案：(－，－1)∪(1，)
5．已知p：存在正实数x，使x2＋mx＋1＝0成立．若綈p是假命题，求实数m的取值范围．
解：∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即关于x的方程x2＋mx＋1＝0有正解．
由x2＋mx＋1＝0，
得m＝－x－＝－≤－2，
当且仅当x＝1时取等号．
即m的取值范围为(－∞，－2]．
[课时达标检测]
一、选择题
1．(全国卷Ⅰ)设命题p： n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A． n∈N，n2>2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”，故选C.
2．下列语句是真命题的是( )
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6＞0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6＜0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：选A Δ＜0，x2－3x＋6＞0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.
3．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4＞0；② x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x2－3x＋4＞0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
解析：选B A项中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B项中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C项中因为＋(－)＝0，所以选项C是假命题；D项中对于任一个负数x，都有＜0，所以选项D是假命题．
5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：选C 由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．
二、填空题
6．命题“ x∈R,3x2－2x＋1＞0”的否定是________________．
解析：“ x∈M，p(x)”的否定为“ x0∈M，綈p(x0)”．∴其否定为 x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案： x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．已知命题“ x0∈R,2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得“对 x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立”是真命题．令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.
答案：(－1,3)
三、解答题
9．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{x|x是四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则只需f(1)＞0或f(2)＞0，
即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2.
即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
全称量词与存在量词
全称量词和全称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)2x是偶数；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
(3)所有的三角函数都是周期函数．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．
问题2：上述命题中强调的是什么？
提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．
[导入新知]
全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)
[化解疑难]
全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.
存在量词与特称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；
(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：都是命题．
问题2：上述命题有什么特点？
提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．
[导入新知]
存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为 x0∈M，p(x0)
[化解疑难]
特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．
含有一个量词的命题的否定
[提出问题]
观察下列命题：
(1)有的函数是偶函数；
(2)三角形都有外接圆．
问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？
提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题．
问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？
提示：有的；所有的．所有的；存在一个．
[导入新知]
含有一个量词的命题的否定
[化解疑难]
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
全称命题与特称命题
[例1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[类题通法]
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[活学活用]
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
全称命题、特称命题的真假
[例2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
[类题通法]
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[活学活用]
判断下列命题的真假：
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；
(3)p： x0∈R，x＋2x0＋3≤0.
解：(1)p是全称命题，是假命题．
若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.
(2)p是全称命题，是真命题．
根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝≠0(n＝1,2,3，…)．
(3)p是特称命题，是假命题．
因为对于綈p： x∈R，x2＋2x＋3＞0是真命题，这是因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立.
全称命题与特称命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解] (1)綈p： x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
因为 x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r： x∈R，x2＋4x＋6＞0，真命题．
(4)綈s： x∈R，x3＋1≠0，假命题，
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
[类题通法]
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，
同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[活学活用]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
全称命题与特称命题的应用
[例4] 若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 法一：由题意， x∈[－1，＋∞)，
令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而 x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[类题通法]
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，求实数a的取值范围．
解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0；
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
[典例] (浙江高考)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
[解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n＜x2”．
[答案] D
[易错防范]
1．因只否定了一个量词，而误选B或C.
2．对含有量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律．
[成功破障]
命题“存在x∈R，使得2x＋2x＋1<0”的否定是________________．
答案：对于任意的x∈R，都有2x＋2x＋1≥0
[随堂即时演练]
1．下列全称命题为真命题的是( )
A．所有的素数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
解析：选B 2是素数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2＋1≥1 x2≥0，显然 x∈R，x2≥0，故B为真命题，C、D均是假命题．
2．(湖北高考)命题“ x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是( )
A． x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B． x∈/(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C． x0∈(0，＋∞)，ln
x0≠x0－1
D． x0∈/(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1
解析：选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定， 改为 ，x0改为x，否定结论，即ln
x≠x－1，故选A.
3．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定为綈p：______________.
解析：命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．
因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，
所以命题p为假命题．
命题p的否定为： x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0
4．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．
解析：由题意知，0＜a2－1＜1，
∴即
解得
∴1＜a＜或－＜a＜－1.
答案：(－，－1)∪(1，)
5．已知p：存在正实数x，使x2＋mx＋1＝0成立．若綈p是假命题，求实数m的取值范围．
解：∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即关于x的方程x2＋mx＋1＝0有正解．
由x2＋mx＋1＝0，
得m＝－x－＝－≤－2，
当且仅当x＝1时取等号．
即m的取值范围为(－∞，－2]．
[课时达标检测]
一、选择题
1．(全国卷Ⅰ)设命题p： n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A． n∈N，n2>2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”，故选C.
2．下列语句是真命题的是( )
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6＞0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6＜0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：选A Δ＜0，x2－3x＋6＞0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.
3．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4＞0；② x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x2－3x＋4＞0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
解析：选B A项中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B项中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C项中因为＋(－)＝0，所以选项C是假命题；D项中对于任一个负数x，都有＜0，所以选项D是假命题．
5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：选C 由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．
二、填空题
6．命题“ x∈R,3x2－2x＋1＞0”的否定是________________．
解析：“ x∈M，p(x)”的否定为“ x0∈M，綈p(x0)”．∴其否定为 x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案： x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．已知命题“ x0∈R,2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得“对 x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立”是真命题．令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.
答案：(－1,3)
三、解答题
9．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{x|x是四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则只需f(1)＞0或f(2)＞0，
即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2.
即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．