课件24张PPT。4.1.1 圆的标准方程1.明确圆的基本要素,能用定义推导圆的标准方程.
2.会求圆的标准方程,能够判断点与圆的位置关系.121.圆 12名师点拨 1.由圆的标准方程,可直接得到圆心和半径;给出圆心和半径,也可直接写出圆的标准方程.
2.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.12【做一做1-1】 圆x2+y2=1的圆心坐标为( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(0,1) D.(1,0)
答案:A12【做一做1-2】 圆(x-1)2+(y+2)2=2的半径为( )
答案:B121212【做一做2 】 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x0,y0)在圆C的内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则有( )
A.d>2 B.0≤d<2 C.d>4 D.0≤d<4
答案:D12 1.特殊位置的圆的标准方程
剖析:如下表所示.122.圆不是函数的图象
剖析根据函数的知识,对于平面直角坐标系中某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象;否则,不是函数的图象.在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线与圆至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在图象是12函数和圆的联系,丰富了函数概念的内涵,又对圆赋予了代数意义.因此,可以用函数来研究平面几何问题,反过来也可以用平面几何研究函数问题,这充分揭示了数和形的密切联系,体现了数形结合的完美统一.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思判断点与圆的位置关系,可以判断该点与圆心间的距离和圆的半径的大小关系;也可将该点的坐标代入圆的方程判断.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.
解:因为点A在圆的内部,
所以(1-a)2+(2+a)2<2a2,
所以2a+5<0,题型一题型二题型三题型四【例2】 求经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上的圆的标准方程.
解法一:(直接法)
由题意,得线段AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,题型一题型二题型三题型四解法二:(待定系数法)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
故所求圆的标准方程是(x-7)2+(y+3)2=65.题型一题型二题型三题型四 反思求圆的标准方程的方法:
(1)直接法求圆的标准方程的策略:
①确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
②由条件列方程(组)解得a,b,r的值;
③写出圆的标准方程.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 求下列圆的标准方程:
(1)圆心在原点,半径是2;
(2)圆心在点(2,-1),且过原点;
(3)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2).
解:(1)因为圆心为(0,0),半径为2,
所以圆的标准方程为x2+y2=4.
(2)因为圆心为(2,-1),且过原点,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5. 题型一题型二题型三题型四(3)因为圆心在y轴上,故可设圆心坐标为(0,b),
因为圆的半径为1,且过点(1,2),
故圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思形如(x-m)2+(y-n)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题,体现了转化思想.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知实数x,y满足(x-2)2+y2=9,求x2+y2的最大值和最小值.
解:根据题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值.
因为原点(0,0)到圆心C(2,0)的距离为2,半径r=3,
所以圆上的点到坐标原点的最大距离为2+3=5,最小距离为3-2=1,
所以x2+y2的最大值为25,最小值为1.题型一题型二题型三题型四易错点:不理解圆的标准方程而致错
【例4】 已知圆C:(x-5)2+(y+1)2=3,则圆C的周长等于 .?
错解易知圆的半径r=3,则周长等于2πr=6π,故填6π.课件21张PPT。4.1.2 圆的一般方程1.正确理解圆的一般方程及其特点.
2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化.
3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.12(3)用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.12 归纳总结1.圆的一般方程的特点:
(1)x2,y2项的系数相等且不为零(如果x2,y2项的系数为不是1的非零常数,只需在方程两边同时除以这个数,系数就可变为1);
(2)没有xy项;
(3)D2+E2-4F>0.
2.关于x,y的二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:
(1)A=B≠0;(2)C=0;(3)D2+E2-4AF>0.12【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(-1,2) D.(-1,-2)12【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.25122.轨迹方程
点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.知识拓展当动点M的变化是由点P的变化引起的,并且点P在某一曲线C上运动时,常用中间量法(又称为相关点法)来求动点M的轨迹方程,其步骤是:(1)设动点M(x,y);(2)用点M的坐标来表示点P的坐标;(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方程,即得动点M的轨迹方程.12【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是 .?
答案:x2+y2=112 1.圆的标准方程和一般方程的对比
剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显.
(3)相互转化,如图所示.122.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
剖析:已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则其位置关系如下表:题型一题型二题型三【例1】 判断关于x,y的方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心坐标和半径.
解法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,
则D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,
当m=2时,D2+E2-4F=0,原方程表示一个点;
当m≠2时,D2+E2-4F>0,原方程表示圆的方程,
此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为
r=题型一题型二题型三解法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
当m=2时,原方程表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆的方程,
此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为 反思形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正.若D2+E2-4F>0,则方程表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.题型一题型二题型三【变式训练1】 若关于x,y的方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.
求:(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
解:(1)根据题意知
D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思当给出的条件与圆心坐标、半径有关,或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于D,E,F的三元一次方程组,这比用圆的标准方程简便得多.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例3】 等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
解:设另一端点C的坐标为(x,y).
依题意,得|AC|=|AB|,
由两点间的距离公式,得这是以点A(4,2)为圆心 如图所示,又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一条直径的两个端点.题型一题型二题型三因为点B,C不能重合,
所以点C不能为(3,5).
又因为点B,C不能为一条直径的两个端点,题型一题型二题型三 反思1.求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法:根据题目条件,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.
(2)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用圆的定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,先把x1,y1用x,y表示,再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中,得出点P的轨迹方程.题型一题型二题型三 2.求曲线的轨迹方程要注意以下三点:
(1)根据题目条件,选用适当的求轨迹方程的方法.
(2)看准是求轨迹,还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形).
(3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点.题型一题型二题型三【变式训练3】 已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),求线段MN的中点P的轨迹方程.
解:因为A,B是圆C直径的两个端点,课件20张PPT。4.2.1 直线与圆的位置关系1.知道直线与圆的位置关系的分类.
2.能根据方程,判断直线和圆的位置关系.
3.能够解决有关直线和圆的位置关系的问题.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断 【做一做】 直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
解析:由题意知圆心坐标为(1,-1),圆的半径r=3,圆心到直线3x+4y+12=0的距离
所以直线与圆相交但不过圆心.
答案:D代数法与几何法的比较
剖析:代数法的运算量较大,几何法的运算量较小,并且也简单、直观.受思维定势的影响,看到方程就想解方程组,自然就想到代数法.【例】 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100:①相交;②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围.
解法一:(代数法)
得25x2+8ax+a2-900=0.
则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000.
当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000=-36(a2-2 500)>0,也就是(a+50)(a-50)<0,解得-50
当直线和圆相切时,Δ=0,解得a=50或a=-50;
当直线和圆相离时,Δ<0,解得a<-50或a>50.题型一题型二题型三题型一题型二题型三当-20,方程组有两组不同实数解,
因此直线与圆有两个公共点,直线与圆相交.
当b=2或b=-2时,Δ=0,方程组有两组相同的实数解,因此直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切.
当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解,
因此直线与圆没有公共点,直线与圆相离.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【变式训练1】 直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离
C.相切 D.无法判断
解析:因为圆的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径为1,所以圆心到直线的距离
故直线与圆相切.
答案:C题型一题型二题型三题型一题型二题型三 反思1.圆的弦长的计算,一般不用弦长公式或两点间的距离公式,以避开联立方程涉及交点的有关烦琐运算,而常用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形直接求解.
2.若知弦长求直线时,要注意符合条件的直线条数,不要忽视斜率不存在的情形.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思过一点求圆的切线的方法:
(1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:
先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率
如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得到切线方程y=y0或x=x0.
(2)过圆外一点(x0,y0)的切线方程的求法:
设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,也就得到切线方程.当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.题型一题型二题型三【变式训练3】 过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
所以点A在圆外.
若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0.
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1,题型一题型二题型三若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.课件20张PPT。4.2.2 圆与圆的位置关系1.理解并掌握圆与圆的位置关系.
2.会利用方程组判断圆与圆的位置关系,并能解决有关问题.?(2)代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,两圆的方程联立得方程组,则有【做一做】 圆x2+y2=4与圆(x-4)2+(y-7)2=1的位置关系是( )
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
答案:D理解判定圆与圆的位置关系的两种方法
剖析:几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题,从而进一步体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系,而不能像几何判定方法一样,能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.例如,当由两圆的方程联立的方程组只有1组解时,圆与圆有内切与外切两种关系,具体是哪一种相切,这是用代数法无法判断的,因此,在一般情况下,使用几何法判定两圆的位置关系问题,只有在特定的情况下,才使用代数法,比如,只要求判断两圆是否相交或相切或不相交.知识拓展若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0;C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,则公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.题型一题型二题型三题型四【例1】 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).
试求当a为何值时,两圆C1,C2:
(1)相切;(2)相交;(3)外离.
解:对圆C1,C2的方程,配方可得:
圆C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
圆C2:(x-2a)2+(y-1)2=1.
所以C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,题型一题型二题型三题型四(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切,当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思两圆的相交问题可由两圆方程相减,先得到公共弦所在的直线方程,从而将问题转化为直线与圆的相交问题.其步骤如下:
两圆的方程作差→得公共弦方程→求弦心距→求半弦长→弦长题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思当两圆外切时,常用圆心距等于半径之和求解,圆与直线相切时,常用圆心到这条直线的距离等于圆的半径求解;若已知切点坐标,也可以用切点与圆心间的距离等于圆的半径求解.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.
解:将圆C化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,故其圆心为(-5,-5).
因为相切两圆的连心线过切点,
所以圆C的圆心(-5,-5)、原点、所求圆的圆心在一条直线上,即所求圆的圆心在直线x-y=0上.
又因为所求圆经过点(0,0)和(0,6),
所以所求圆的圆心在直线y=3上.题型一题型二题型三题型四易错点:不理解两圆相切而致错
【例4】 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m的取值满足什么条件时,圆C1与圆C2相切?
错解:对于圆C1与圆C2的方程,化为标准方程得C1:(x-m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-m)2=4,所以两圆的圆心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为r1=3,r2=2,且题型一题型二题型三题型四反思两圆外切和内切统称为相切,d=|r1-r2|?内切;d=r1+r2?外切.课件14张PPT。4.2.3 直线与圆的方程的应用1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题.
2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建二算三译”.解决与圆相关的实际问题的步骤
剖析:解决此类问题的基本步骤如下:
(1)阅读理解,认真审题.
做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学问题的转化.(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型.
根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计算做准备.
(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果.
(4)翻译成具体问题.题型一题型二【例1】 如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.题型一题型二证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①题型一题型二 反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.
2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题.题型一题型二【变式训练1】
如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.
|AP|2+|AQ|2+|PQ|2
=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2
=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).题型一题型二【例2】 某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01 m)题型一题型二解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以题型一题型二故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,解得
答:支柱A2P2的长约为5.39 m.题型一题型二反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用坐标法解决.建立适当的直角坐标系应遵循三点:(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.题型一题型二【变式训练2】 一座圆形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2 m,水面宽为12 m,问:水面下降1 m后,水面宽多少米?
解以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B(A在B的右侧),则由已知得A(6,-2).
设圆的半径为r,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
将点A的坐标(6,-2)代入①,解得r=10,
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1 m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)课件20张PPT。4.3.1 空间直角坐标系1.了解右手直角坐标系及有关概念,掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义.
2.会建立空间直角坐标系,并能求出点的坐标.121.空间直角坐标系 12【做一做1】 在空间直角坐标系中,三条坐标轴( )
A.两两垂直且相交于一点
B.两两平行
C.仅有两条不垂直
D.仅有两条垂直
答案:A122.坐标
如图,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,那么点M就对应
唯一确定的有序实数组(x,y,z).有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.1212【做一做2】 点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( )
A.(4,2,2) B.(2,-1,2)
C.(2,1,1) D.(4,-1,2)121.空间直角坐标系中特殊位置点的坐标
剖析:如下表所示.122.空间直角坐标系中特殊对称点的坐标
剖析:设点P(a,b,c)为空间直角坐标系中的点,则12归纳总结空间对称问题要比平面上的对称问题复杂,除了关于点对称、直线对称,还有关于平面对称.在解决这一类问题时,注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线,坐标平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置.空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口诀记忆“关于谁对称谁不变,其余的均相反”.如关于x轴对称,点的横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面对称,点的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数.特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.题型一题型二题型三【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(6,-2,4).
解:点M的位置如图所示.反思对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点和给出具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标这两类题目,要引起足够的重视,它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识,还可以进一步培养空间想象能力.题型一题型二题型三【变式训练1】 点(1,0,2)位于( )
A.y轴上 B.x轴上
C.xOz平面内 D.yOz平面内
解析:点(1,0,2)的纵坐标为0,所以该点在xOz平面内.
答案:C题型一题型二题型三【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;
(2)求点N的坐标.题型一题型二题型三解:(1)显然A(0,0,0),
因为点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).
同理可得D(0,3,0),A1(0,0,5).
由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点C(4,3,0).
同理可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与点C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,|CC1|=|AA1|=5,则点C1(4,3,5).
(2)由(1)知C(4,3,0),C1(4,3,5),则C1C的中点为题型一题型二题型三反思确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是:(1)过点P作PC⊥z轴于点C;(2)过点P作PM⊥平面xOy于点M,过点M作MA⊥x轴于点A,过点M作MB⊥y轴于点B;(3)设P(x,y,z),则|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|.当点A,B,C分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上时,则x,y,z的符号为正;当点A,B,C分别在x轴、y轴、z轴的负半轴上时,则x,y,z的符号为负;当点A,B,C与原点重合时,则x,y,z的值均为0.题型一题型二题型三【变式训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立空间直角坐标系,求点E,F的坐标.
解:(方法一)如图,以A为坐标原点,以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为点E在xOy平面上的射影为B,
又B(1,0,0),E为BB1的中点,题型一题型二题型三题型一题型二题型三 【例3】 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.
解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴上的分量不变,在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数,
故对称点的坐标为(-2,-1,-4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴上的分量不变,在z轴上的分量变为原来的相反数,
故对称点的坐标为(-2,1,-4).题型一题型二题型三(3)设所求对称点为P3(x,y,z),
则点M为线段PP3的中点,
即x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,故P3(6,-3,-12).题型一题型二题型三【变式训练3】 已知点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点为P1,点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,求点P3的坐标.
解:点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1).课件13张PPT。4.3.2 空间两点间的距离公式1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.
2.掌握空间两点间的距离公式及其简单应用.答案:D 12 1.对空间两点间距离公式的两点说明
剖析:(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.
(2)若已知两点的坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间的距离求参数或点的坐标时,则应利用公式建立相应方程求解.122.空间两点间距离的求解
剖析:(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的空间直角坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算.一般遵循如下的步骤:题型一题型二【例1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,点N在D1C上且为D1C的中点,求M,N两点间的距离.题型一题型二解:如图,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0).
因为|DD1|=|CC1|=2,
所以C1(3,3,2),D1(0,3,2).
因为N为CD1的中点,题型一题型二反思求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系,以确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中求解,有时也利用图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.题型一题型二【变式训练1】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.题型一题型二解:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|=|CB|=|CA|=2,
∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),题型一题型二解析:由于点P在x轴上,根据x轴上点的特征,设出坐标,列出方程求解.因为点P在x轴上,设P(x,0,0),题型一题型二反思空间两点间的距离公式是本小节的重点,也是将来在选修模块中继续学习空间直角坐标系的基础.应用两点间的距离公式列出方程,是求解此类问题的常用方法,体现了两点间距离公式的应用.题型一题型二变式训练2】 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC的形状.
解:由题意,得课件24张PPT。本章整合第四章 圆与方程专题一专题二专题三专题四专题一 求圆的方程
求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解,采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为:
第一步:选择圆的方程的某一形式;
第二步:由题意得关于a,b,r(或D,E,F)的方程(组);
第三步:解出a,b,r(或D,E,F);
第四步:代入圆的方程.
注:解题时应充分利用圆的几何性质等有关知识,减少运算量.例如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦;当两圆相切时,连心线经过切点等.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题二 直线与圆相交的问题
当直线与圆相交时,常涉及弦长问题,弦长的计算有以下两种思路:
(1)代数方法:将直线和圆的方程联立得方程组,消元后得到一个一元二次方程,在判别式Δ>0的前提下,可利用根与系数的关系求弦长.
(2)几何方法:若弦心距为d,圆的半径为r,则弦长
解决直线与圆相交的问题时,常利用几何方法,即构造直角三角形,利用勾股定理求解.如图所示,过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率k=tan 135°=-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.专题一专题二专题三专题四应用已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.
解:(1) (方法一 几何法)专题一专题二专题三专题四(方法二 代数法)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),
即y=-x+1,代入x2+y2=8,得2x2-2x-7=0.
(2)如图,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB.
即x-2y+5=0.专题一专题二专题三专题四专题三 直线与圆相切的问题
当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,圆心和切点的连线垂直于切线.
求经过一点的圆的切线方程,首先要判断点在圆上还是在圆外.若点在圆上,则该点为切点,切线有且只有一条,利用切点与圆心的连线垂直于切线,求得切线的斜率,然后用点斜式写出切线的方程.若点在圆外,一般用点斜式设出圆的切线方程,根据圆心到切线的距离等于半径,求出切线的方程,注意用点斜式表示直线方程的前提是斜率必须存在.过圆外一点可以作圆的两条切线,若只有一解,则一定有一条切线的斜率不存在,这时可用数形结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来.专题一专题二专题三专题四应用已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点P(2,-1),过点P作圆C的切线PA,PB,A,B为切点.
(1)求PA,PB所在直线的方程;
(2)求切线长PA;
(3)求AB的方程.专题一专题二专题三专题四解(1)由题意知切线的斜率存在,设切线的斜率为k.
因为切线经过点P(2,-1),
所以切线的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
解之,得k=7或k=-1.故所求切线PA,PB的方程分别是x+y-1=0和7x-y-15=0.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题四 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,其判断方法有两种:代数法(通过解两圆的方程组成的方程组,根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r,R的关系来判断).
应用已知两圆C1:x2+y2=1,C2:(x-2)2+(y-2)2=5,求经过点P(0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程.解:当斜率存在时,设所求直线方程为y=kx+1,
即kx-y+1=0.
由题意知圆C1(0,0),r1=1,专题一专题二专题三专题四因为直线被两圆截得的弦长相等,
解得k=-1.
所以y=-x+1,即x+y-1=0.
当所求直线垂直于x轴时,所求直线方程为x=0.
分别代入圆C1,C2,可知都满足条件,
所以所求直线方程为x+y-1=0或x=0.123456781(2016·北京高考)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )
解析:由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离
答案:C123456782(2016·全国高考甲卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
解析:由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以
答案:A12345678答案:B 123456784(2016·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离12345678答案:B 12345678答案:(x-2)2+y2=9 123456786(2016·全国高考乙卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 .?答案:4π 123456787(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .?
解析:由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,
即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,
故圆心坐标为(-2,-4),半径为5.
答案:(-2,-4) 5123456788(2016·全国高考丙卷)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= .?12345678答案:4