课件22张PPT。3.1.1 倾斜角与斜率1.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握它们之间的关系.
3.掌握过两点的直线的斜率计算公式,并会简单的应用.121.倾斜角 12【做一做1】 如图,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.0° D.不存在
答案:B122.斜率(倾斜角为α) 12 归纳总结1.当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,并不是直线不存在,此时,直线垂直于x轴.
2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.
3.直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜程度就越大;当90°<α<180°时,斜率越大,直线倾斜程度也越大.
4.k>0?0°<α<90°;k=0?α=0°;k<0?90°<α<180°;k不存在?α=90°.1212123 1.倾斜角
剖析:(1)理解倾斜角的概念,需注意以下三个方面:①角的顶点是直线与x轴的交点;②角的一条边的方向是顶点指向x轴的正方向;③角的另一条边的方向是由顶点指向直线向上的方向.
(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.
(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度.
(4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.1232.斜率公式
剖析:(1)直线的斜率公式表明直线相对于x轴正方向的倾斜程度,可以通过直线上任意两点的坐标表示,这比使用几何的方法先求倾斜角,再求斜率的方法简便.
(2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,这就是说,如果分子是y2-y1,分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须是x1-x2,即斜率
(3)当x1=x2时,斜率不存在.
(4)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则往下继续;二用,就是将点的坐标代入斜率公式;三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.1233.已知直线的斜率求直线的倾斜角
剖析:本节中仅要求求特殊的倾斜角,因此突破方法是掌握特殊的斜率对应的倾斜角即可,其对应情况如下表所示.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例2】 若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k= .?
解析:可利用斜率公式列方程来求k的值.由直线上两点的斜率公式,得kAB=kBC.
所以3=k-3,解得k=6.
答案:6题型一题型二题型三题型四反思用斜率解决三点共线问题的依据是:A,B,C三点共线?kAB=kBC(kAB=kAC).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】 在平面直角坐标系中,画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1的直线l1,l2.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 在平面直角坐标系中,画出经过点P(2,2)且斜率分别为1,3的直线l1,l2.题型一题型二题型三题型四易错点:忽视斜率不存在的情况而致错
【例4】 求过点A(0,2)和点B(m,-2)的直线的斜率.
错因分析:忽视了利用两点求斜率的条件是“x1≠x2”,即忽视了斜率不存在的情况.
正解:当m=0时,直线的斜率不存在;课件23张PPT。3.1.2 两条直线平行与垂直的判定1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.
2.能根据两条直线的平行或垂直关系确定两条直线斜率的关系.121.两条不重合的直线平行与斜率之间的关系 12归纳总结1.当直线l1∥直线l2时,可能它们的斜率都存在且相等,也可能斜率都不存在.
2.直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,当k1=k2时,l1∥l2或l1与l2重合.
3.对于不重合的直线l1,l2,其倾斜角分别为α,β,有l1∥l2?α=β.12【做一做1】 已知直线l1∥l2,直线l2的斜率k2=3,则直线l1的斜率k1等于( )
A.可能不存在 B.3
解析:∵l1∥l2,∴k1=k2,
∵k2=3,∴k1=3.
答案:B122.两条直线垂直与斜率之间的关系 12平面内两条直线的位置关系
剖析:平面内两条直线的位置关系共有三种:平行、相交和重合.我们知道,确定一条直线需要两个基本量,一个是确定直线倾斜程度的量——倾斜角,另一个是确定直线位置的量——直线上一点,所以在研究直线位置关系时可以从这两个基本量入手.
(1)平行:倾斜角相同,所过的点不同;
(2)重合:倾斜角相同,所过的点相同;
(3)相交:倾斜角不同.
垂直关系是相交关系的一种特殊情况,从倾斜角来看,两条直线如果垂直,那么它们的倾斜角相差90°,在相交关系中,除了垂直这种特殊情况外,更多的情况是两条直线相交成一个非直角,这时就需要用两条直线的夹角来研究了.当然,如果两条直线的斜率都存在,以上位置关系也可以用直线的斜率和直线上一点来加以说明.题型一题型二题型三题型四【例1】 判断下列各小题中的直线l1与l2是平行还是垂直:
(1)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);
(2)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(0,-2);
(3)l1经过点A(1,3),B(1,-4),l2经过点M(2,1),N(2,3);
(4)l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1),N(2,1).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思判断两条直线l1与l2平行还是垂直时,当它们的斜率都存在时,若k1k2=-1,则l1⊥l2;若k1=k2,再从l1和l2上各取一点P,Q,并计算kPQ,当kPQ≠k1时,l1∥l2,当kPQ=k1=k2时,l1与l2重合;当它们中有一条直线的斜率不存在时,画出图形来判断它们是平行还是垂直.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对题型一题型二题型三题型四【例2】 已知?ABCD的三个顶点分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标.
解:设点D(m,n),由题意得AB∥DC,AD∥BC,
则有kAB=kDC,kAD=kBC,题型一题型二题型三题型四反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行?k1=k2或k1与k2都不存在.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】 已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
解:由题意知l2的斜率k2一定存在,l1的斜率可能不存在.
当l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意.
当l1的斜率k1存在时,a≠5,
由斜率公式,得题型一题型二题型三题型四反思解决与垂直有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系来解决,即l1⊥l2?k1k2=-1或k1与k2中的一个为0,一个不存在.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆与x轴有交点P,则交点P的坐标是 .?
解析:设以A,B为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).
∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,
∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.
故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
答案:(1,0)或(2,0)题型一题型二题型三题型四易错点:判断两条直线位置关系时常忽视重合而致错
【例4】 已知直线l1经过点A(-3,-5),B(0,1),直线l2经过点C(-1,-1),D(4,9),则l1与l2的位置关系是 .?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思已知两条直线l1与l2的斜率相等,不能确定它们是平行,还是重合.此时,可画图来进一步确定,也可以分别在l1与l2上取一点,求出过这两点的直线的斜率.若这个斜率与k1,k2相等,则l1与l2重合;若这个斜率与k1,k2不相等,则l1∥l2.课件23张PPT。3.2.1 直线的点斜式方程1.掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件.
2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.
3.会求直线的点斜式方程与斜截式方程.121.直线的点斜式方程
(1)定义:如图,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.
(2)说明:①如图甲,过定点P(x0,y0),倾斜角是0°的直线l与x轴平行或重合,其方程为y-y0=0或y=y0.12②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表示,其方程为x-x0=0或x=x0.12【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3
解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3.
答案:C122.直线的斜截式方程
定义:如图,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程y=kx+b叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式.12名师点拨 1.b是直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标,它叫做直线l在y轴上的截距.它可能是正数,也可能是负数,还可能是0.要注意截距不是距离.倾斜角是90°的直线没有斜截式方程.
2.斜截式方程的几种特殊情况:123.斜截式方程与一次函数解析式的关系.
斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别.当k≠0时,y=kx+b即为一次函数,一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程;当k=0时,y=b不是一次函数.12【做一做2】 已知直线的倾斜角为45°,在y轴上的截距为2,则此直线方程为( )
A.y=x+2 B.y=x-2
C.y=-x+2 D.y=-x-2
答案:A12122.直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别
剖析在直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)中,(x,y)是直线上任意一点的坐标,(x0,y0)是直线上的一个定点,k是直线的斜率;在直线的斜截式方程y=kx+b中,(x,y)是直线上任意一点的坐标,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,即过点(0,b).
联系:直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式,都可以看成直线上任意一点(x,y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式,即都表示直线.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况.
区别:直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0,y0)来表示的,同一条直线的点斜式方程有无数个;直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的,同一条直线的斜截式方程是唯一的.题型一题型二题型三题型四【例1】 写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点A(2,5),斜率是4;
(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°;
(3)经过点C(-1,-1),与x轴平行.
解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2).
(2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1.
故直线的点斜式方程为y-3=x-2.
(3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
故直线的点斜式方程为y+1=0×(x+1),
即y=-1.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点(-4,1),且斜率是直线y-3=2(x+1)斜率的一半;
(2)经过点(2,-1),且倾斜角是150°;
(3)经过点(3,-2),且垂直于y轴的直线.
解:(1)因为已知直线y-3=2(x+1)的斜率为k=2,
所以所求直线的斜率为k'=1,
故所求直线的点斜式方程为y-1=x+4.
(2)因为直线的倾斜角为150°,题型一题型二题型三题型四(3)因为直线与y轴垂直,
所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.
故所求直线的点斜式方程为y=-2.题型一题型二题型三题型四【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率为2,在y轴上的截距为5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距为-2.
解:(1)由直线的斜截式方程可知,所求直线的斜截式方程为y=2x+5.题型一题型二题型三题型四反思已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时,用斜截式写出直线的方程,比用直线的点斜式方程更方便.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,则直线l的斜截式方程为 .?
解析:由直线l1的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截距为6,
所以直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6.
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+6.
答案:y=-2x+6题型一题型二题型三题型四【例3】 判断下列两条直线平行还是垂直:
(1)l1:y-2=3(x+1),l2:y=3x;
(3)l1:x+3=0,l2:x-2=0.
解:(1)l1的方程化为y=3x+5,则直线l1的斜率k1=3,直线l1在y轴上的截距b1=5,l2的方程为y=3x,则直线l2的斜率k2=3,直线l2在y轴上的截距b2=0,
于是k1=k2,b1≠b2,故l1∥l2.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思已知两条直线的方程,判断它们平行或垂直时,先确定它们的斜率是否存在再判断.若斜率不存在,则可通过画图来判断;若斜率都存在,则把方程都化为斜截式,l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,当k1=k2,且b1≠b2时,l1∥l2;当k1=k2,且b1=b2时,l1与l2重合;当k1k2=-1时,l1⊥l2.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点:平行条件转化不等价而致错
【例4】 当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行?
错解:l1的斜率k1=-1,l2的斜率k2=a2-2,
若l1∥l2,则k1=k2,
∴a2-2=-1,
∴a=±1.
错因分析:错解中一是l1∥l2与k1=k2不等价,二是没有验证当a=±1时,两条直线是否重合.题型一题型二题型三题型四正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
解得a=-1.
故当a=-1时,直线l1:y=-x-2与直线l2:y=-x+2平行.反思直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2,当l1∥l2时,有k1=k2,且b1≠b2,反之亦然课件20张PPT。3.2.2 直线的两点式方程1.掌握直线的两点式方程和截距式方程以及各自的适用条件.
2.会选择适当的方程形式求直线方程.
3.能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式.123(2)说明:与坐标轴垂直的直线不能用两点式方程表示.123归纳总结直线的两点式方程应用的前提条件是:x1≠x2,y1≠y2,即直线的斜率不存在或斜率为零时,都不能用两点式方程.
当x1=x2时,直线方程为x=x1;
当y1=y2时,直线方程为y=y1.123123(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均不能用截距式表示.1231231231231233.求直线方程时方程形式的选择技巧
剖析:一般地,已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程,再由其他条件确定直线的斜率;已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式方程,再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距;已知直线在两个坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程;已知直线上的两点时,通常选用两点式方程.不论选用哪种形式的方程,都要注意各自的限制条件,以免漏掉一些特殊情况下的直线.题型一题型二题型三【例1】 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线所在直线的方程.题型一题型二题型三反思已知两点求直线的方程,可利用两点式直接写出其方程;求中线所在的直线方程,联想到中点坐标公式即可求出中点.在没有特殊要求的条件下,以后求出的直线方程化为Ax+By+C=0的形式,且尽量满足:①A>0;②A,B,C均是整数时,最大公约数为1.题型一题型二题型三【变式训练1】 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在直线的方程.
解:因为A(2,-1),B(2,2),A,B两点横坐标相同,直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2.
因为A(2,-1),C(4,1),题型一题型二题型三【例2】 已知直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.
解:由题意,可设A(a,0),B(0,b).题型一题型二题型三反思在涉及直线在两个坐标轴上的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两个截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.题型一题型二题型三【变式训练2】 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.题型一题型二题型三易错点:忽视截距为0的情形而致错
【例3】 已知直线l过点P(2,-1),且在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思截距式方程中的a≠0,b≠0,即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程.注意在两个坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程.课件25张PPT。3.2.3 直线的一般式方程1.掌握直线的一般式方程,明确各系数的意义.
2.掌握一般式与其他形式的互化.
3.了解二元一次方程与直线的对应关系.直线的一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
(2)适用范围:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.
(3)系数的几何意义:知识拓展1.当AB>0时,k<0,倾斜角α为钝角;当AB<0时,k>0,倾斜角α为锐角;当A=0,B≠0时,k=0,倾斜角α=0°;当B=0,A≠0时,k不存在,倾斜角α=90°.
2.二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.【做一做1】 若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为( )
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2+B2≠0
解析:A,B不能同时为0,则A2+B2≠0.
答案:D【做一做2】 直线2x+y+4=0的斜率k= .?
答案:-2121.直线方程的一般式与其他形式的互化
剖析:一般式化斜截式的步骤:
(1)移项,By=-Ax-C;12由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:122.直线方程的五种形式及比较
剖析:如下表所示.12题型一题型二题型三题型四【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;已知直线上两点的坐标时,选用两点式;已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用截距式.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(1)斜率为0,在y轴上的截距为2;
(2)经过A(-2,1),B(1,0)两点.题型一题型二题型三题型四【例2】 把直线l的一般式方程2x-3y-6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出直线l.题型一题型二题型三题型四即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3,-2.
则直线l与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),B(0,-2),过点A,B作直线,即为直线l,如图所示.题型一题型二题型三题型四反思在直线的一般式方程中:(1)令x=0,解得y值,即为直线在y轴上的截距,令y=0,解得x值,即为直线在x轴上的截距,这就确定了直线与两个坐标轴的交点坐标,从而画出图形.当然也可将一般式方程化为截距式来解决;(2)化为斜截式可讨论斜率与倾斜角以及在y轴上的截距等.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为-1;
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
解:(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化题型一题型二题型三题型四【例3】 (1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
解:(1)方法一:设直线l的斜率为k,
因为l与直线3x+4y+1=0平行,题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四方法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.
因为直线l经过点A(2,1),
所以2-2×1+m=0,所以m=0.
所以所求直线l的方程为x-2y=0.反思1.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
2.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,
(1)若l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)若l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.
(1)若l1⊥l2,求实数a的值;
(2)当l1∥l2时,求实数a的值.
解(方法一)当a=2时,显然l1与l2相交且不垂直,题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 易错点:忽视一般式方程中A与B的条件而致错
【例4】 若直线l1:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2:x-y+1=0的斜率相同,则m等于( )
A.2或3 B.2 C.3 D.-3题型一题型二题型三题型四 反思在直线的一般式方程Ax+By+C=0中,A与B满足的条件是A与B不能同时为0,即A2+B2≠0.当A=B=0时,方程变为C=0,不表示任何图形.课件15张PPT。3.3.1 两条直线的交点坐标1.了解两条直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解.
2.会用方程组解的个数判断两条直线的位置关系.两条直线的交点坐标
(1)求法:两个直线方程联立组成方程组,此方程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此解方程组即可.
(2)应用:可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系.
一般地,将直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的方程联立,得方程组当方程组有唯一解时,l1和l2相交,方程组的解就是交点坐标;
当方程组无解时,l1与l2平行;
当方程组有无数组解时,l1与l2重合.名师点拨 若两个直线方程组成的方程组有解,则这两条直线不一定相交,还可能重合.【做一做1】 直线x=1与直线y=2的交点坐标是 ( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,1) D.(2,2)
答案:A【做一做2】 已知直线l1:x+y=5,直线l2:x-y=1,则l1与l2的位置关系是 .(填“相交”“平行”或“重合”)?
答案:相交题型一题型二题型一题型二【变式训练1】 判断下列各对直线的位置关系:
(1)l1:2x+3y-7=0,l2:5x-y-9=0;
(2)l1:2x-3y+5=0,l2:4x-6y+10=0;
(3)l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0.题型一题型二①×2,得4x-6y+10=0,
因此①和②可以化成同一方程,
即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.
①×2-②,得-1=0,矛盾,方程组无解,
所以两条直线无公共点,即l1∥l2.题型一题型二【例2】 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
解:方法一:(直接法)题型一题型二方法二:(待定系数法)
设直线l的方程为4x+3y+m=0.
因为直线l经过直线l1与l2的交点P(0,2),
所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.
所以直线l的方程为4x+3y-6=0.题型一题型二反思1.直接法是从两条垂直直线的斜率关系求出直线l的斜率和从两条直线相交关系确定直线l上一点的坐标.
2.待定系数法是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程.题型一题型二【变式训练2】 求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1).
又因为直线2x+y-3=0与所求直线平行,
所以所求直线的斜率为-2.
所以所求直线的方程为y=-2x+1,即2x+y-1=0.题型一题型二所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1).
设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+c=0(c≠-3),
把(0,1)代入所求的直线方程,得c=-1.
故所求的直线方程为2x+y-1=0.课件15张PPT。3.3.2 两点间的距离1.掌握平面内两点间的距离公式及应用.
2.了解坐标法的解题步骤.121.两点间的距离公式
(1)公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
(2)文字叙述:平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.12 名师点拨 1.坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广.
2.使用公式时,注意几何意义的逆向思维,
(x,y)到原点的距离,也可理解为点(-x,y)到原点的距离等,可根据实际需要而定.12【做一做】 已知点P1(5,1),P2(2,-2),则|P1P2|= .?122.坐标法
(1)定义:通过建立平面直角坐标系,用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法.
(2)步骤:①建立坐标系,用坐标表示有关的量;②进行有关代数运算;③把代数运算结果“翻译”成几何关系.12122.用坐标法解决几何问题时,选择坐标轴的依据
剖析:用坐标法解题的关键是建立适当的平面直角坐标系.根据几何特征选择适当坐标系的规则是:如果有对称中心,那么可选择对称中心为坐标原点;如果有对称轴,那么可选对称轴为坐标轴,使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.例如,通常以直角三角形的两条直角边所在的直线为坐标轴;以斜三角形的一边所在的直线为x轴,以这一边的中点为原点;以矩形的相邻两边所在的直线为坐标轴;以平行四边形的一边所在的直线为坐标轴,这边的一个端点为原点;以菱形的对角线所在的直线为坐标轴等.题型一题型二反思解析几何中的一些距离问题常与方程联系起来,它体现了几何问题代数化处理的策略.题型一题型二【变式训练1】 已知A(-3,1),B(3,-3),则|AB|= .? 题型一题型二【例2】
用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.题型一题型二题型一题型二又kEF=0,kBC=0,
故EF∥BC.
综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.反思解决本题时,应先建立适当的坐标系,再转化为代数问题,即转化为求与距离大小和斜率有关的问题.题型一题型二【变式训练2】 用坐标法证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.解:已知:如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,D为AB边的中点.题型一题型二证明:如图,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设|CA|=b,|CB|=a,
则A(b,0),B(0,a),
综上所述,直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.课件17张PPT。3.3.3 点到直线的距离1.掌握点到直线的距离公式,明确公式中各字母表示的含义.
2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题.点到直线的距离 归纳总结点到几种特殊直线的距离:
(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
(3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;
(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|. 理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点间的最短距离.
(2)公式的形式是:分母是直线方程Ax+By+C=0的x,y项系数平方和的算术平方根,分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对值.要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.例如求P0(x0,y0)到直线y=kx+b的距离,应先把直线方程化为kx-y+b=0,得(3)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应用公式时不必判定点P0与直线l的位置关系.
(4)直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线的距离.题型一题型二题型三 【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
解:(1)由点到直线的距离公式,知(2)(方法一)把直线方程化为一般式为x-2=0.
由点到直线的距离公式,题型一题型二题型三(方法二)因为直线x=2与y轴平行,
所以由下图知d=|-1-2|=3.
(3)(方法一)由点到直线的距离公式,
(方法二)因为直线y-1=0与x轴平行,
所以由下图知d=|2-1|=1.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【变式训练1】 若点P(a,2)到直线l:6x+8y-2=0的距离等于点P到直线y+1=0的距离,则a= .?题型一题型二题型三【例2】 求过点A(2,1)且与原点距离为2的直线方程.
解:若直线与x轴垂直,则直线为x=2,
所以d=|2-0|=2.故x=2符合题意.
当直线不与x轴垂直时,设直线方程为y-1=k(x-2),
即kx-y-2k+1=0.
所以直线为3x+4y-10=0.
综上所述,所求直线为x=2或3x+4y-10=0.题型一题型二题型三反思利用点到直线的距离公式,列方程求出与x轴不垂直时直线的斜率.这种用公式列方程(组)的方法是解析几何中的一种重要方法,在今后的学习中会经常用到.
本题容易漏掉直线x=2,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜率不存在的直线是否符合题意.题型一题型二题型三【变式训练2】 求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线l的方程.
解:方法1:当直线的斜率不存在时,不存在符合题意的直线l.
当直线l的斜率存在时,设直线的方程为y-1=k(x+2),
即kx-y+2k+1=0.故直线的方程为y=1或x+2y=0. 题型一题型二题型三方法2:当l∥AB或l过AB的中点时,满足点A,B到l的距离相等.
若l过AB的中点N(1,1),则直线l的方程为y=1.
故直线l的方程为y=1或x+2y=0.题型一题型二题型三易错点:求点到直线的距离时直线方程没有化成一般式而致错
【例3】 点P(-1,4)到直线3x+4y=2的距离d= .?题型一题型二题型三反思求点到直线的距离时,务必将直线方程化为一般式Ax+By+C=0(A,B不同时为0),否则容易出错.课件13张PPT。3.3.4 两条平行直线间的距离1.掌握两条平行直线间距离的定义.
2.会求两条平行直线间的距离.两条平行直线间的距离
(1)定义:夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条平行直线间的距离.
(2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离.两条平行直线间的距离的另一种求法
剖析:对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
当直线l1∥l2时,它们的方程可以化为以下形式:直线l1:Ax+By+D1=0,直线l2:Ax+By+D2=0.
在直线l1上任取一点P(x0,y0),
则有l1:Ax0+By0+D1=0,
即Ax0+By0=-D1.
所以点P到直线l2的距离名师点拨 1.使用两条平行直线间的距离公式的前提条件:
(1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
2.当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合方法来解决.
(1)两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则两条平行直线间的距离d=|x2-x1|;
(2)两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则两条平行直线间的距离d=|y2-y1|.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思求两条平行直线间的距离有两种思路:
(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
l1:Ax+By+D1=0,l2:Ax+By+D2=0.题型一题型二题型三【变式训练1】 求两条平行直线l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15间的距离.
解:方法一:若在直线l1上任取一点A(2,1),
则点A到直线l2的距离即是所求的平行直线间的距离.
l2的方程可化为3x+4y-15=0,方法二:直线l1,l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思 求平行于直线Ax+By+C=0的直线方程时,常设为Ax+By+m=0(m≠C),利用待定系数法来解决.有关平行直线间的距离问题,常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决.题型一题型二题型三【变式训练2】 到直线2x+y+1=0的距离
A.直线2x+y-2=0
B.直线2x+y=0
C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0
D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0题型一题型二题型三易错点:利用两条平行直线间的距离公式求距离时,常忽略方程的系数而致错
【例3】 求两条平行直线l1:3x+4y+2=0,l2:12x+16y-8=0之间的距离.课件24张PPT。本章整合第三章 直线与方程专题一专题二专题三专题四专题一 直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.
(1)倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)倾斜角α与斜率k的对应关系.
①当α≠90°时,k=tan α;
②当α=90°时,k不存在.
(3)倾斜角与斜率的单调性问题.
当直线l的倾斜角α从0°增大到90°时,直线l的斜率大于0,且越来越大;当直线l的倾斜角α从90°增大到180°(不含180°)时,直线l的斜率小于0,且越来越大.专题一专题二专题三专题四(4)斜率公式:经过A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式
应用时注意其适用的条件x1≠x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题二 直线的方程
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件,不能表示所有的直线;直线方程的一般式则可以表示所有直线.在解题的时候,如果没有特别说明,最后的结果都要化成一般式.
特别提醒:点斜式、斜截式适合直线斜率存在的直线,应用时容易忽视斜率不存在的情况;两点式不适合垂直坐标轴的直线;截距式不适合垂直坐标轴和过原点的直线.专题一专题二专题三专题四应用若直线l满足如下条件,分别求出其方程:
(2)经过两点A(1,0)及B(m,1);
(3)将直线l绕其上一点P沿顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)所得直线方程为x-y-2=0,若继续旋转90°-α,所得直线方程为x+2y+1=0;
(4)过点(1,0),经过第二象限且与坐标轴围成一个面积为2的三角形区域.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题三 两条直线的平行与垂直
利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型.求解时,可以利用斜率之间的关系判定;若方程都是一般式,知道平行或垂直关系,求参数的值时,也可用如下方法:
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)当l1∥l2时,可令A1B2-A2B1=0,解得参数的值后,再代入方程验证,排除重合的情况;
(2)当l1⊥l2时,可利用A1A2+B1B2=0直接求参数的值.专题一专题二专题三专题四应用已知两条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:
(1)直线l1经过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.
解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·1=0,
即a2-a-b=0.①
又点(-3,-1)在l1上,
所以-3a+b+4=0.②
由①②解得a=2,b=2.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题四 距离问题
解决解析几何中的距离问题时,往往是代数运算与几何图形直观分析相结合,三种距离是高考考查的热点,公式如下表:专题一专题二专题三专题四应用已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离等于2.专题一专题二专题三专题四1234561(2015·广西校级学业考试)直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定1234562(2016·北京高考)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为( )
A.-1 B.3 C.7 D.8
解析:由题意得,线段AB的方程为y-1= (x-4)(2≤x≤4),即y=-2x+9(2≤x≤4),∴2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9.∵2≤x≤4,∴-1≤4x-9≤7.
∴2x-y的最大值为7,故选C.
答案:C1234563(2015·北京海淀区期末)已知点A(a,a)(a≠0),B(1,0),O为坐标原点.若点C在直线OA上,且BC与OA垂直,则点C的坐标是( )
解析:设C(x,y),因为点C在直线OA上,且BC与OA垂直,
答案:D1234564(2015·江西九江二模)过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,则这样的直线l一共有( )
A.3条 B.2条
C.1条 D.0条1234561234561234561234566(2016·上海高考)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为 .?
