(共35张PPT)
2.4
等比数列
第1课时
等比数列
1,
3,
5,
7,
9，…;
(1)
3,
0,
-3,
-6,
…
;
(2)
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”.
如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：
生活中的数列
1.放射性物质镭的半衰期为1
620年，如果从现有的10克镭开始，每隔1
620年，剩余量依次为
10
000×1.05
,
10
000×1.052
,
10
000×1.053
，
10
000×1.054
，10
000×1.055
2.某人年初投资10
000元，如果年收益率为５％，那么按照复利计算，５年内各年末的本利和依次为
1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
(重点）
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；（难点）
3.体会等比数列与指数函数的关系.
看下列数列：
5.
3，9，27，81，…;
4.
10
000
×1.05
,
10
000
×
1.052
,
10
000
×
1.053
，
10
000
×
1.054
，
10
000
×
1.055
;
探究点1
等比数列定义
思考：它们的共同特点是什么？
提示：从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.
等比数列的定义:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母q表示
(q≠0).
等比数列的定义
或
注意：
1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.
2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.
写出上面六个等比数列的通项公式(如下)，类比等差
数列的通项公式的推导过程，补全首项是
，公比
是q的等比数列
的通项公式.
n-1
如果一个数列
是等比数列，它的公比是q，那么
…，
…，
由此可知，等比数列
的通项公式为
…
【即时练习】
探究点2
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，____，9
（2）-1，____，-4
（3）-12，___，-3
（4）1，____，1
±3
±2
±6
±1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
A
【即时练习】
B
例1
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？
分析：
时间：
剩留量:
最初
1
经过1年
a1=0.84
经过2年
a2=0.842
经过3年
a3=0.843
…
…
经过n年
an=0.84n
答：到第5代大约可以得到种子
粒.
培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？
【解析】由于每一代的每一粒种子都可得120粒种子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为
其中
【变式练习】
例2
根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
开始
输出A
结束
否
A=1
n=1
n=n+1
A=2A
n＞5
是
A=
A
在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，
则这个数列的公比为（
）
A.
B.
C.
D.
C
【变式练习】
例3
一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
【规律总结】
如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可以求得数列的其他项.
数列1，37，314，321，…中，398是这个数列的（
）
A.第13项
B.第14项
C.第15项
D.不在此数列中
C
【变式练习】
1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为( )
A．2 B．3
C．4
D．8
A
A
3.(2015·全国卷)等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( )
A.21
B.42
C.63
D.84
【解析】
选B.设等比数列的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,
又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,
解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
B
1
-1
1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：
（n≥2，n
∈N
）；
2.要会推导等比数列的通项公式：
，并掌握其基本应用.
)
0
(
1
=
-
q
q
a
a
n
n
3.等比数列与等差数列的区别与联系
不
同
点
等差数列
（1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}（a>0且a≠1）为等差数列；
（2）若{an}为等差数列，则{
}为等比数列（b≠0）.
（1）都强调每一项与前一项的关系；
（2）差或比结果都必须是常数；
（3）数列都可以由a1，d或a1，q确定.
等比数列
相同
点
联系
（1）强调每一项与前一项的比值；
（2）a1与q均不为零.
（1）强调每一项与前一项的差；
（2）a1和d可以为零.等比数列（第一课时）说课稿
一、地位作用
数列是高中数学重要的内容之一，等比数列是在学习了等差数列后新的一种特殊数列，在生活中如储蓄、分期付款等应用较为广泛，在整个高中数学内容中数列与已学过的函数及后面的数列极限有密切联系，它也是培养学生数学能力的良好题材，它可以培养学生的观察、分析、归纳、猜想及综合解决问题的能力。
基于此，设计本节的数学思路上：
利用类比的思想，联系等差数列的概念及通项公式的学习方法，采取自学、引导、归纳、猜想、类比总结的教学思路，充分发挥学生主观能动性，调动学生的主体地位，充分体现教为主导、学为主体、练为主线的教学思想
二、教学目标
知识目标：1）理解等比数列的概念
2）掌握等比数列的通项公式
3）并能用公式解决一些实际问题
能力目标：培养学生观察能力及发现意识，培养学生运用类比思想、解决分析问题的能力。
三、教学重点
1）等比数列概念的理解与掌握
关键：是让学生理解“等比”的特点
2）等比数列的通项公式的推导及应用
四、教学难点
“等比”的理解及利用通项公式解决一些问题。
五、教学过程设计
（一）预习自学环节。（8分钟）
首先让学生重新阅读课本105页国际象棋发明者的故事，并出示预习提纲，要求学生阅读课本P122至P123例1上面。
回答下列问题
1）课本中前3个实例有什么特点？能否举出其它例子，并给出等比数列的定义。
2）观察以下几个数列，回答下面问题：
1，
，，，……
－1，－2，－4，－8……
1，2，－4，8……
－1，－1，－1，－1，……
1，0，1，0……
①有哪几个是等比数列？若是公比是什么？
②公比q为什么不能等于零？首项能为零吗？
③公比q=1时是什么数列？
④q＞0时数列递增吗？q＜0时递减吗？
3）怎样推导等比数列通项公式？课本中采取了什么方法？还可以怎样推导？
4）等比数列通项公式与函数关系怎样？
（二）归纳主导与总结环节（15分钟）
这一环节主要是通过学生回答为主体，教师引导总结为主线解决本节两个重点内容。
通过回答问题（1）（2）给出等比数列的定义并强调以下几点：①定义关键字“第二项起”“常数”；
②引导学生用数学语言表达定义：=q（n≥2）；③q=1时为非零常数数列，既是等差数列又是等比数列。引申：若数列公比为字母，分q=1和q≠1两种情况；引入分类讨论的思想。
④q＞0时等比数列单调性不定，q＜0为摆动数列，类比等差数列d＞0为递增数列，d＜0为递减数列。
通过回答问题（3）回忆等差数列的推导方法，比较两个数列定义的不同，引导推出等比数列通项公式。
法一：归纳法，学会从特殊到一般的方法，并从次数中发现规律，培养观察力。
法二：迭乘法，联系等差数列“迭加法”，培养学生类比能力及新旧知识转化能力。
通过回答问题（4）联系实例1通项公式an=×2n(a≤64)
可见，表示这个等比数列各点都在函数y=×2x图象上，而等差数列是在对应一次函数图象上。
（三）实际应用环节（7分钟）
通过例1熟悉函数，并培养数形结合意识；
通过例2让学生熟悉a、q、n、
an知三求其余，并类比等差数列中知三求二问题。
（四）学生练习巩固环节（8分钟）
课本P124练习1、2
（五）课堂小结环节
①定义=q（n≥2）
②通项公式的推导及简单应用
（六）布置作业（1）P125习题1、2
（2）列表类比等差与等比数列：
定义
通项公式
推导方法
等差数列
等比数列
附：板书设计
等比数列
预习提纲
一、定义
三、应用
1）
例1
2）
二、通项公式
例2
3）
4）
推导方法
四、小结2.4等比数列
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义：
－=d
，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2
隐含：任一项
“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3
q=
1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
…
…
…
…
…
…
…
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q
>1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q
>1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
[范例讲解]
课本P50例1、例2、P58例3
解略。
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.
即G=±（a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）
课本P58例4
证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则
，所以，数列{}也一定是等比数列。
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2
[补充练习]
2.（1）
一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5,
=q=40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业:课本P53习题A组1、2题2.4等比数列（1）
一、选择题
1．在数列{an}中，对任意n∈N
，都有an＋1－2an＝0，则的值为( )
A.
B.
C.
D．1
解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，
所以＝＝.
答案：A
2．在等比数列中，
a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由a1qn－1＝an ·＝ n＝4.
答案：B
3．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝( )
A．1
B．
3
C．±1
D．±3
解析：由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，
得q2＝3，a3＝a1·q2＝×3＝1.
答案：A
4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
解析：由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，得b＝1，c＝2.又a，b，c，d成等比数列，即a，1，2，d成等比数列，所以d＝4，a＝，故ad＝4×＝2.
答案：B
5．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5
解析：因为1＋2an＝(1＋2a1)×2n－1，
所以1＋2a6＝5×25，
所以a6＝＝79.5.
答案：C
二、填空题
6．若a4＝27，q＝－，则a6＝________，an＝________．
解析：因为a4＝a1q3＝a1(－)3＝27，
所以a1＝－36，
所以a6＝a1q5＝－36×(－)5＝
36×()5＝3，
an＝－36×(－)n－1＝(－1)n37－n.
答案：3 (－1)n37－n
7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.
所以q4＝，q2＝，
所以a3＝a1q2＝2×＝1.
答案：1
8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q＞0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.
答案：3－2
三、解答题
9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3.q＝2q，
所以＋2q＝.
解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，
所以an＝18×＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
所以an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
10．已知a，b，c，x，y，z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．
证明：法一：因为ax＝by，
所以＝bx－y.
所以＝b＝b1－＝(by)－.
同理因为by＝cz，所以＝(by)－.
因为，，成等差数列，
所以－＝－，所以＝.
所以a，b，c成等比数列．
法二：令ax＝by＝cz＝t，
lg
ax＝lg
by＝lg
cz＝lg
t，
所以t≠1，所以lg
t≠0.
所以x＝logat，y＝logbt，z＝logct.
所以＝，＝，＝.
因为＋＝，
所以＋＝，
所以b2＝ac，所以a，b，c成等比数列．
注：证法二自然更有效．2.4等比数列（1）
学习目标
1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
2.
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；
3.
体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48
~
P51，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式
，
等差数列的性质有：
二、新课导学
※
学习探究
观察：①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
思考以上四个数列有什么共同特征？
新知：
1.
等比数列定义：一般地，如果一个数列从第
项起，
一项与它的
一项的
等于
常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的
，通常用字母
表示（q≠0），即：=
（q≠0）
2.
等比数列的通项公式：
；
；
；
…
…
∴
等式成立的条件
3.
等比数列中任意两项与的关系是：
※
典型例题
例1
（1）
一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式.
例2
已知数列{}中，lg
，试用定义证明数列{}是等比数列.
小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个不为0的常数就行了.
※
动手试试
练1.
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.
这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
练2.
一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比（
）.
A.
B.
C.
D.
三、总结提升
※
学习小结
1.
等比数列定义；
2.
等比数列的通项公式和任意两项与的关系.
※
知识拓展
在等比数列中，
⑴
当，q
>1时，数列是递增数列；
⑵
当，，数列是递增数列；
⑶
当，时，数列是递减数列；
⑷
当，q
>1时，数列是递减数列；
⑸
当时，数列是摆动数列；
⑹
当时，数列是常数列.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
在为等比数列，，，则（
）.
A.
36
B.
48
C.
60
D.
72
2.
等比数列的首项为，末项为，公比为，这个数列的项数n＝（
）.
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
3.
已知数列a，a（1－a），，…是等比数列，则实数a的取值范围是（
）.
A.
a≠1
B.
a≠0且a≠1
C.
a≠0
D.
a≠0或a≠1
4.
设，，，成等比数列，公比为2，则＝
.
5.
在等比数列中，，则公比q＝
.
课后作业
在等比数列中，
⑴
，q＝－3，求；
⑵
，，求和q；
⑶
，，求；
⑷
，求.2.4等比数列（1）
一、选择题
1．在数列{an}中，对任意n∈N
，都有an＋1－2an＝0，则的值为( )
A.
B.
C.
D．1
2．在等比数列中，
a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．在等比数列{an}中，已知a1＝，a5＝3，则a3＝( )
A．1
B．
3
C．±1
D．±3
4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
5．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )
A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5
二、填空题
6．若a4＝27，q＝－，则a6＝________，an＝________．
7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________．
8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．
三、解答题
9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
10．已知a，b，c，x，y，z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．
