2.4等比数列（2）
一、选择题
1.＋1与－1，两数的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D.
2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( )
A.
B．－
C.
D.
3．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值为( )
A．n(2n－1)
B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A．10n
B．n10
C．100n
D．n100
5．等比数列{an}中，an∈R
，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )
A．10
B．20
C．36
D．128
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．
7．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝______________．
8．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝________．
9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.等比数列的性质总结
1.
等比数列的定义：，称为公比
2.
通项公式：
，首项：；公比：
推广：，
从而得.
3.
等比中项
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列是等比数列
4.
等比数列的前项和公式：
（1）当时，
.
（2）当时，（为常数）
5.
等比数列的判定方法
（1）定义法：对任意的,都有为等比数列.
（2）中项公式法：（0）为等比数列.
（3）
通项公式法：为等比数列
（4）
前项和公式法：为等比数列
6.
等比数列的证明方法
依据定义：若或为等比数列
7.
注意
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；
如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；
8.
等比数列的性质
（1）当时
①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比.
②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
（2）对任何,在等比数列中,有,特别的,当时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若
(),则.特别的,当时,得
注：
（4）数列,为等比数列,则数列,,,
(k为非零常数)
均为等比数列.
（5）数列为等比数列,每隔项取出一项()仍为等比数列.
（6）如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列.
（7）若为等比数列,则数列，，，成等比数列.
（8）若为等比数列,则数列,
,
成等比数列
（9）①当时，
②当时，
③当时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）.
④当时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列中,
当项数为2n
(n)时,.
（11）若是公比为q的等比数列,则
注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等比数列练习
一、选择题
1.已知数列成等差数列,
成等比数列，则的值为(
)
A、
B、—
C、或—
D、
2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（
）A．
B．
C．
D．
3.已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（
）
A．8
B．－8
C．
D．
4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是
（
）
A．公差为0的等差数列；
B．公比为1的等比数列；
C．常数数列1，1，1…；
D．以上都不对.
5.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝（
）
A．12
B．10
C．8
D．2＋
6.已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（
）
A.
4
B.
6
C.8
D.10
7.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于（
）
A、28
B、32
C、36
D、40
8.等比数列的前项和为，若，则公比为（
）
A.1
B.1或－1
C.或
D.2或－2
9.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为(
)
A.15
B．17
C．19
D
．21
10.设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前5项和为（
）高考资源网
A．15
B．31
C．32
D．41
二、填空题
13.设等比数列{}的前n项和为。若，则=
14.已知等差数列满足：。若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为
。
15.等比数列的公比,
已知=1，，则的前4项和=
___.
16.等比数列的前项和=，则=_______.
三、解答题
17.（1）在等差数列中，，求及前项和；
（2）在等比数列中，，求．
18.为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2012年底库区的绿化率只有30%。计划从2013年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2012年绿化面积为，经过一年绿化面积为a2，…，经过n年绿化面积为
（I）试写出的关系式，并证明数列是等比数列；
（II）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？
19.已知等比数列记其前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）若
20.在等比数列中，公比，设，且
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和及数列的通项公式；
（3）试比较与的大小.
21.等比数列的前项和为，求公比。
22.设数列的前项和，且.
其中为常数，且
（Ⅰ）求证是等比数列；
（Ⅱ）若数列的公比，数列满足，
求证为等差数列，并求.
答案
一、选择题
1.A
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.A
10.B
二、填空题
13.3
14.-1
15.
16.
三、解答题
17.解析：（1）数列是等差数列，因此，
由于
又
（2）
由
所以，
18.解析：（I）设2012年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地面积为
由
所以数列
（II）由（I）可知
故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。
19.解析：（1）设等比数列的公比为q，则
解得
所以
（2）
由
20.解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列，
且公差为
（先求也可）
（2）因，又，所以
由
由.
（3）因当时，，所以时，；
又可验证是时，；时，.
21.解析：若
则
矛盾
说明：此题易忽略的情况，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论。
22.解析：（Ⅰ）由，两式相减得
…………3分
，
∴{an}是等比数列
…………6分
（Ⅱ）b1=a1=1，，
……10分
∴是1为首项为公差的等差数列
∴
…………14分(共32张PPT)
第2课时
等比数列的性质
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
如果一个数列
是等比数列，它的公比是q，那么
…，
…，
由此可知，等比数列
的通项公式为
…
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；
2.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
(重点、难点）
(1)
1，2，4，8，16，…
观察数列
(3)
4，4，4，4，4，4，4，…
(4)
1，-1，1，-1，1，-1，1，…
公比
q=2
公比
q=
公比
q=1
公比
q=-1
探究点1
等比数列的图象
等比数列的图象1
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
●
●
●
●
●
递增数列
通过图象观察性质
等比数列的图象2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
数列：
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
递减数列
等比数列的图象3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
常数列
等比数列的图象4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
摆动数列
-1
在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．
【解析】a8＝a1q7,768＝6q7，∴q＝2，
∴a6＝6×25＝192.
【即时练习】
192
类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？
探究点2
等差、等比数列的性质比较
an-an-1=d
（n≥2）
等差数列
等比数列
常数
减—除
加—乘
加-乘
乘—乘方
迭加法
迭乘法
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定义
数学表
达式
通项公式证明
通项
公式
,
提示:
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质1：
an=am+(n-m)d
性质2：若an-k,an,an+k
是{an}中的三项
，
则2an=an+k+
an-k
猜想2：
性质3：
若n+m=p+q,
则am+an=ap+aq
猜想1：
若bn-k,bn,bn+k
是{bn}中的三项,则
若n+m=p+q，则
bn·bm=bp·bq
猜想3：
性质4：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)
性质5:
若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列.
若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn dn}是公比为q·q′的等比数列.
猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为
(可推广)
猜想5：
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0{an}是递增数列;
当q>1,
a1<0或00时,
{an}是递减数列;
当q=1时,
{an}是常数列;
当q<0时,
{an}是摆动数列.
(2)an≠0,且anan+2>0.
(3)an=amqn-m(n,m∈N
).
(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N
)时,有anam=apaq.
(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.
【规律总结】
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an
bn
}是公比为qq′的等比数列.
(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N
)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)当m，n，p(m，n，p∈N
)成等差数列时，am
,
an
,
ap
成等比数列.
(8)数列
是公比为
的等比数列.
在等比数列{an}中，an＞0，a2
a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5=_______.
6
【即时练习】
【解析】由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52
∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36，
∴a3＋a5＝6，故填6.
例
已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an bn}是等比数列.
证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;
{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an bn}的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以{an bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.
将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
【变式练习】
B
（
）
A．7
B.5
C．-5
D．-7
1.已知
为等比数列，
，
，
【解析】选D.
，
D
则
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
D.b=-3，ac=-9
【解析】选B.
∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又由等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3.而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9.
B
D
64
5.在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q＝________.
5
1.证明或判断一个数列为等比数列的方法:
(1)
=q
(n 2
且q≠0) {an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题和解答题)
(2)an=cqn
(c,q≠0) {an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)
(3)a2n+1=anan+2 {an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)
2.等差、等比数列的判定方法比较
定义法
中项法
an+1-an=d(d为常数)
方法
分类
等差数列
等比数列
2an+1＝an+an+2（n∈N
）
3.等比数列的性质:
(1)an=amqn-m（n,m∈N
）
(2)若m+n=p+q，则aman=
apaq（m,n,p,q∈N
）
(3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
(4)a1a2,
a3a4,
a5a6,
…仍为等比数列.
(5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.2.4等比数列（2）
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；
2.
熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P51
~
P54，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的通项公式
=
.
公比q满足的条件是
复习2：等差数列有何性质？
二、新课导学
※
学习探究
问题1：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则
新知1：等比中项定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项.
即G=
（a，b同号）.
试试：数4和6的等比中项是
.
问题2：
1.在等比数列{}中，是否成立呢？
2.是否成立？你据此能得到什么结论？
3.是否成立？你又能得到什么结论？
新知2：等比数列的性质
在等比数列中，若m+n=p+q，则.
试试：在等比数列，已知，那么
.
※
典型例题
例1已知是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论 证明你的结论.
例
自选1
自选2
是否等比
是
变式：项数相同等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？证明你的结论.
小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.
例2在等比数列{}中，已知，且，公比为整数，求.
变式：在等比数列{}中，已知，则
.
※
动手试试
练1.
一个直角三角形三边成等比数列，则（
）.
A.
三边之比为3：4：5
B.
三边之比为1：：3
C.
较小锐角的正弦为
D.
较大锐角的正弦为
练2.
在7和56之间插入、，使7、、、56成等比数列，若插入、，使7、、、56成等差数列，求＋＋＋的值.
三、总结提升
※
学习小结
1.
等比中项定义；
2.
等比数列的性质.
※
知识拓展
公比为q的等比数列具有如下基本性质：
1.
数列，，，，等，也为等比数列，公比分别为.
若数列为等比数列，则，也等比.
2.
若，则.
当m=1时，便得到等比数列的通项公式.
3.
若，，则.
4.
若各项为正，c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列.
若是以d为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列.
当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
在为等比数列中，，，那么（
）.
A.
±4
B.
4
C.
2
D.
8
2.
若－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（
）.
A．8
B．－8
C．±8
D．
3.
若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，，，（
）
A.依次成等差数列
B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列
D.各项的倒数依次成等比数列
4.
在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于
.
5.
在各项都为正数的等比数列中，，
则log3+
log3+…+
log3
.
课后作业
1.
在为等比数列中，，，求的值.
2.
已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，求.2.4等比数列（2）
教学重点
1.探究等比数列更多的性质;?
2.解决生活实际中的等比数列的问题.?
教学难点
渗透重要的数学思想.?
教具准备
多媒体课件、投影胶片、投影仪等?
三维目标
一、知识与技能?
1.了解等比数列更多的性质;?
2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;?
3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.??
二、过程与方法?
1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;?
3.当好学生学习的合作者的角色.??
三、情感态度与价值观?
1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.?
教学过程
导入新课?
师
教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.?
生
由学习小组汇报探究结果.?
师
对各组的汇报给予评价.?
师
出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：?
第3题解答：?
(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为a
k+1，a
k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,?
则数列a
k+1,ak+2,…,可视为b1,b2，….?
因为
(i≥1),所以，{bn}是等比数列，即a
k+1，ak+2,…是等比数列.?
(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a
11,a
21，…,则?
(k≥1).?
所以数列a1,a
11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.?
猜想：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.?
◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.?
第4题解答：?
(1)设{an}的公比是q，则?
a52=(a1q4)2=a12q8,?
而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,?
所以a52=a3·a7.?
同理,a52=a1·a9.?
(2)用上面的方法不难证明an2=a
n-1·a
n+1(n＞1).由此得出，an是a
n-1和a
n+1的等比中项，同理可证an2=a
n-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0).?
师
和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.?
推进新课
［合作探究］?
师
出示投影胶片1
例题1 (教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a
10，a8+a9和a10+a
40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？
师
注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？?
生
用等差数列1，2，3，…?
师
很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？?
生
在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N
)，则ak+as=ap+aq.?
师
题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？?
生
思考、讨论、交流.?
师
出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.?
［教师精讲］?
师
从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看出,?
根据等式的性质，有.?
所以ak+as=ap+aq.?
师
在等比数列中会有怎样的类似结论？?
生
猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N
)，则?
ak·as=ap·at.?
师
让学生给出上述猜想的证明.?
证明：设等比数列{an}公比为q，?
则有ak·a
s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,?
ap·at=a1q
p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.?
因为k+s=p+t,?
所以有ak·as=ap·at.?
师
指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.?
即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N
)，则有ak·as=ap·at.?
师
下面有两个结论：?
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；?
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.?
你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？?
生
思考、列式、合作交流，得到：?
结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；?
结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.?
师
引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.?
师
上述性质有着广泛的应用.?
师
出示投影胶片2：例题2
例题2?
（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a
10=100,求a
18;?
（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；?
（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.
例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.?
解答：?
(1)在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a
18.?
解：∵a1a
18=a9a
10，∴a
18=
=20.?
(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积.?
解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.?
∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32)3×3=37=2
187.?
(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.?
解：.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).?
∴a8=-1
458.?
另解：a8=a5q3=a5·=-1
458.?
［合作探究］?
师
判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.?
例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.?
an
bn
an·bn
判断{an·bn}是否是等比数列
例
-5×2n-1
是
自选1
自选2
师
请同学们自己完成上面的表.?
师
根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？?
生
得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列.?
证明如下：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1p
n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为?
,?
它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.?
［教师精讲］?
除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：?
证法二：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项(n＞1,n∈N
)分别为a1p
n-1b1q
n-1、a1p
n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为?
(anbn)2=(a1p
n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq)
2(n-1),?
(a
n-1·bn-1)(a
n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),?
即有(anbn)2=(a
n-1·bn-1)(a
n+1·bn+1)(n＞1,n∈N
),?
所以{an·bn}是一个等比数列.?
师
根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：?
证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为?
anbn=a1p
n-1b1qn-1=(a1b1)(pq)
n-1,?
设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq)
n-1,?
所以{an·bn}是一个等比数列.?
课堂小结?
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的性质的探究.?
2.证明等比数列的常用方法.?
布置作业?
课本第60页习题2.4
A组第3题、B组第1题.?
板书设计
等比数列的基本性质及其应用例1 例2 例32.4等比数列（2）
一、选择题
1.＋1与－1，两数的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D.
解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，所以b＝±1.
答案：C
2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( )
A.
B．－
C.
D.
解析：设其中三项为an，an＋1，an＋2(n∈N
)，公比为q，则有an＝an＋1＋an＋2，即an＝anq＋anq2，
所以q2＋q－1＝0.所以q＝.
因为各项都为正数，
所以q＝.
答案：D
3．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值为( )
A．n(2n－1)
B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a＝22n，an＞0，
则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，选C.
答案：C
4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A．10n
B．n10
C．100n
D．n100
解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，
则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.
答案：A
5．等比数列{an}中，an∈R
，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )
A．10
B．20
C．36
D．128
解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝
log2(a1·a2·a3·…·a8)＝
log2(a4a5)4＝4log232＝20.
故选B.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．
解析：由an＋1＞an a1qn＞a1qn－1，
因为a1＜0，
所以qn＜qn－1 qn＜0对任意正整数n都成立．
所以q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.
答案：0＜q＜1
7．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝______________．
解析：由a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，
所以an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，
即
(an＋3)是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，
所以该数列的通项an＝2n＋1－3.
答案：2n＋1－3
8．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝________．
解析：因为a1·a2·a3·…·a30＝230，所以a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，
所以a1＝2－，所以a1·q＝2，所以a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)＝(2－×22)10×(23)45＝220.
答案：220
9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
解：法一：设该数列的公比为q，项数为2n，
则S偶＝qS奇 ＝85＋170，
所以22n－1＝255.所以2n＝8.
故这个数列的公比为2，项数为8.
法二：设该数列的公比为q，项数为2n，则
S奇＝＝85，
S偶＝＝170.
所以n＝4，q＝2.
10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解：(1)由题意，(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2，又a1＝1，d＞0，
所以d＝2，an＝2n－1.
(2)bn＝＝＞0，
所以数列{Sn}是递增数列，
S1＝b1＝为Sn的最小值，
故＞，t＜9.
又t为整数，
所以适合条件的t的最大值为8.
