2.5等比数列的前n项和(2)
教学目标：
综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.
教学重点：
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
教学难点：
灵活使用有关知识解决问题
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面我们学习了哪些有关等比数列的知识
定义式：＝q(q≠0，n≥2)
通项公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0)
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq,
Sn＝＝
(q≠1)
Sn＝na1，(q＝1)
an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)
Ⅱ.讲授新课
我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.
［例1］求和：（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋）
(其中x≠0，x≠1，y≠1)
分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.
解：当x≠0，x≠1，y≠1时，
（x＋）＋（x2＋）＋…＋（xn＋）＝(x＋x2＋…＋xn)＋(＋＋…＋)
＝＋
eq
\f(（1－）,1－)
＝＋
此方法为求和的重要方法之一：分组求和法.
［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
分析：由题意可得S3＋S6＝2S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证a2＋a5＝2a8即可.
证明：∵S3，S9，S6成等差数列，∴S3＋S6＝2S9
若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比数列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，∴q≠1，
∴S3＝，S6＝，S9＝且
＋＝
整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6
又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8
∴a2，a8，a5成等差数列.
评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.
［例3］某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)
分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
解：设每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30
∴＝30，整理可得：1.1n＝1.6
两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，即：n＝≈5
答：约5年内可以使总产量达到30万吨.
评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.
Ⅲ.课堂练习
课本P58练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通项公式、性质以及前n项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.
Ⅴ.课后作业
课本P58习题
3，4，5
课堂训练：
1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.
4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.
5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.
7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.
答案
1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.
分析：利用等比数列的前n项和公式Sn＝解题.
解：若q＝1，则应有S2n＝2Sn，与题意不合，故q≠1.
当q≠1时，由已知得
eq
\b\lc\{(\a\al(＝80
①,＝6560
②))
由，得＝82，即q2n－82qn＋81＝0
得qn＝81或qn＝1(舍)
∴qn＝81，故q＞1.
{an}的前n项中最大，有an＝54.将qn＝81代入①，得a1＝q－1
③
由an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q
即81a1＝54q
④
由③、④得a1＝2，q＝3
评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn＝81，应保留qn为一个整体求解方便.
2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？
分析：应对{an}的公比q分类讨论.
解：设bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且数列{an}的公比为q
则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1,
∴{bn}为公比是1的等比数列.
当q≠±1时，bn＝，＝＝qk
∴{bn}为公比是qk的等比数列.
当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列.
若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列.
3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.
解：(1)a＝0时，Sn＝1；(2)a＝1时，Sn＝n(n＋1)；
(3)a＝－1时，Sn＝
eq
\b\lc\{(\a\al(（n为偶数）,（n为奇数）))
；
(4)a＝±1；a≠0时，Sn＝.
4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)
(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.
分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1＝an(n≥2)的运用，然后回答定义.
（1）证明：∵Sn＝1＋kan
①
Sn－1＝1＋kan－1
②
①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)
∴(k－1)an＝kan－1，＝
(常数)，（n≥2）
∴{an}是公比为的等比数列.
（2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝
∴an＝·()n－1＝－
(3)解：∵{an}中a1＝，q＝
∴{an2}为首项为（）2，公比为（）2的等比数列.
当k＝－1时，等比数列{an2}的首项为
，公比为
∴a12＋a22＋…＋an2＝
eq
\f([1－（）n],1－)
＝[1－（）n]
评述：应注意an＝的应用.
5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.
解：设数列的公比为q，项数为2n
则，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝170，∴q＝2
又∵＝85，即＝85
∴22n＝256＝28，∴2n＝8
评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知三求二.
6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.
分析：关键是确定首项和公比.
解：设此数列的首项和公比为a1和q.
则
eq
\b\lc\{(\a\al(＝1
①,＝3
②))
由②÷①得q4＝2.
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16
＝－＝＝q16＝24＝16.
评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.
7．求和（x＋）2＋（x2＋）2＋…＋（xn＋）2
分析：注意到（xn＋）2＝an＝x2n＋＋2，且{x2n}与{()2n}为等比数列，故可考虑拆项法.
解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(＋＋…＋)＋
当x＝±1时，
Sn＝n＋n＋2n＝4n.
当x≠±1时，Sn＝＋
eq
\f(（1－）,1－)
＋2n
＝＋2n
评述：在运用等比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.
8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.
分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.
解：（1）当x＝0时，Sn＝0.
(2)当x＝1时，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3).
(3)当x≠1时，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1
①
xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2
②
①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2
＝2x2＋－(n＋1)xn+2
∴Sn＝
③
又当x＝0时，Sn＝0适合③
∴Sn＝
eq
\b\lc\{(\a\al(n(n＋3)
（x＝1）,
（x≠1）))
评述：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.2.5等比数列的前n项和(2)
一、选择题
1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为( )
A．12
B．11
C．10
D．9
2．已知等比数列{an}的首项为
1，公比为q，前n项和为Sn，则数列的前n项和为( )
A.
B．Snqn－1
C．Snq1－n
D.
3．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前________项之和等于9.( )
A．99
B．98
C．97
D．96
4．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A.
B.
C.
D.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是( )
A．13
B．－76
C．46
D．76
二、填空题
6．求和：1＋3＋5＋…＋＝______________．
7．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第________项．
8．下列命题中正确命题为________(填序号)．
①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式an＝lg，试问：该数列的前多少项之和最大？求出这个最大的和(lg
2取0.3)．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝
求Sn.等比数列的性质总结
1.
等比数列的定义：，称为公比
2.
通项公式：
，首项：；公比：
推广：，
从而得.
3.
等比中项
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列是等比数列
4.
等比数列的前项和公式：
（1）当时，
.
（2）当时，（为常数）
5.
等比数列的判定方法
（1）定义法：对任意的,都有为等比数列.
（2）中项公式法：（0）为等比数列.
（3）
通项公式法：为等比数列
（4）
前项和公式法：为等比数列
6.
等比数列的证明方法
依据定义：若或为等比数列
7.
注意
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；
如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；
8.
等比数列的性质
（1）当时
①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比.
②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
（2）对任何,在等比数列中,有,特别的,当时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若
(),则.特别的,当时,得
注：
（4）数列,为等比数列,则数列,,,
(k为非零常数)
均为等比数列.
（5）数列为等比数列,每隔项取出一项()仍为等比数列.
（6）如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列.
（7）若为等比数列,则数列，，，成等比数列.
（8）若为等比数列,则数列,
,
成等比数列
（9）①当时，
②当时，
③当时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）.
④当时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列中,
当项数为2n
(n)时,.
（11）若是公比为q的等比数列,则
注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等比数列练习
一、选择题
1.已知数列成等差数列,
成等比数列，则的值为(
)
A、
B、—
C、或—
D、
2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（
）A．
B．
C．
D．
3.已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（
）
A．8
B．－8
C．
D．
4.某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是
（
）
A．公差为0的等差数列；
B．公比为1的等比数列；
C．常数数列1，1，1…；
D．以上都不对.
5.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝（
）
A．12
B．10
C．8
D．2＋
6.已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（
）
A.
4
B.
6
C.8
D.10
7.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于（
）
A、28
B、32
C、36
D、40
8.等比数列的前项和为，若，则公比为（
）
A.1
B.1或－1
C.或
D.2或－2
9.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为(
)
A.15
B．17
C．19
D
．21
10.设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前5项和为（
）高考资源网
A．15
B．31
C．32
D．41
二、填空题
13.设等比数列{}的前n项和为。若，则=
14.已知等差数列满足：。若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为
。
15.等比数列的公比,
已知=1，，则的前4项和=
___.
16.等比数列的前项和=，则=_______.
三、解答题
17.（1）在等差数列中，，求及前项和；
（2）在等比数列中，，求．
18.为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计，到2012年底库区的绿化率只有30%。计划从2013年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。设该地区的面积为1，2012年绿化面积为，经过一年绿化面积为a2，…，经过n年绿化面积为
（I）试写出的关系式，并证明数列是等比数列；
（II）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？
19.已知等比数列记其前n项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）若
20.在等比数列中，公比，设，且
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和及数列的通项公式；
（3）试比较与的大小.
21.等比数列的前项和为，求公比。
22.设数列的前项和，且.
其中为常数，且
（Ⅰ）求证是等比数列；
（Ⅱ）若数列的公比，数列满足，
求证为等差数列，并求.
答案
一、选择题
1.A
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.A
10.B
二、填空题
13.3
14.-1
15.
16.
三、解答题
17.解析：（1）数列是等差数列，因此，
由于
又
（2）
由
所以，
18.解析：（I）设2012年坡度在25°以上的坡荒地面积为b1，经过n年绿化造林后坡荒地面积为
由
所以数列
（II）由（I）可知
故至少需要5年才能使库区的绿化面积超过60%。
19.解析：（1）设等比数列的公比为q，则
解得
所以
（2）
由
20.解析：（1）由已知为常数.故数列为等差数列，
且公差为
（先求也可）
（2）因，又，所以
由
由.
（3）因当时，，所以时，；
又可验证是时，；时，.
21.解析：若
则
矛盾
说明：此题易忽略的情况，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论。
22.解析：（Ⅰ）由，两式相减得
…………3分
，
∴{an}是等比数列
…………6分
（Ⅱ）b1=a1=1，，
……10分
∴是1为首项为公差的等差数列
∴
…………14分2.5等比数列的前n项和(2)
学习目标
1.
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2.
会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P57
~
P62，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当时，
＝
当q=1时，
复习2：等比数列的通项公式.
=
.
二、新课导学
※
学习探究
探究任务：等比数列的前n项和与通项关系
问题：等比数列的前n项和
，
（n≥2），
∴
，
当n＝1时，
.
反思：
等比数列前n项和与通项的关系是什么？
※
典型例题
例1
数列的前n项和（a≠0，a≠1），试证明数列是等比数列.
变式：已知数列的前n项和，且，
，设，求证：数列是等比数列.
例2
等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，，，求证：，，也成等比.
变式：在等比数列中，已知，求.
※
动手试试
练1.
等比数列中，，，求.
练2.
求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n项和Sn.
三、总结提升
※
学习小结
1.
等比数列的前n项和与通项关系；
2.
等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，，，则数列，，也成为等比数列.
※
知识拓展
1.
等差数列中，；
2.
等比数列中，.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
等比数列中，，，则（
）.
A.
21
B.
12
C.
18
D.
24
2.
在等比数列中，，q＝2，使的最小n值是（
）.
A.
11
B.
10
C.
12
D.
9
3.
计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)表示二进制的数，
将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数(11111111)转换成十进制的形式是（
）.
A.
B.
C.
D.
4.
在等比数列中，若，则公比q＝
.
5.
在等比数列中，，，，
则q＝
，n＝
.
课后作业
1.
等比数列的前n项和，求通项.
2.
设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；2.5等比数列的前n项和(2)
一、选择题
1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为( )
A．12
B．11
C．10
D．9
答案：D
2．已知等比数列{an}的首项为
1，公比为q，前n项和为Sn，则数列的前n项和为( )
A.
B．Snqn－1
C．Snq1－n
D.
解析：数列的首项为1，公比为，它的前n项和为Tn＝＝，又Sn＝，
所以Tn＝·Sn＝q1－n·Sn.
答案：C
3．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前________项之和等于9.( )
A．99
B．98
C．97
D．96
解析：an＝＝＝
－，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝
(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
令－1＝9 n＋1＝100，所以n＝99.
答案：A
4．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为＝
，得前n项和
Sn＝(－＋－＋－＋…＋－)＝＝.
答案：B
5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是( )
A．13
B．－76
C．46
D．76
解析：S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
答案：B
二、填空题
6．求和：1＋3＋5＋…＋＝______________．
解析：Sn＋1＝[1＋3＋…＋(2n＋1)]＋＝n2＋2n＋2－.
答案：n2＋2n＋2－
7．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第________项．
解析：令an＝log23 log2(n2＋3)－2＝log23 n2＋3＝12，所以n2＝9，n＝3.
答案：3
8．下列命题中正确命题为________(填序号)．
①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．
答案：④
三、解答题
9．已知数列{an}的通项公式an＝lg，试问：该数列的前多少项之和最大？求出这个最大的和(lg
2取0.3)．
解：由题设知：an＋1－an＝lg－
lg＝lg
sin＝－lg
2，
所以数列{an}是等差数列，a1＝2，
an＝2－(n－1)lg
2，
当an＝2－(n－1)lg
2＜0时可解得n＞14.3，
即n≥15时，an＜0.
所以当n＝14时，S14最大且S14＝28－lg
2≈14.35.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝
求Sn.
解：①当n为奇数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)＝
·＋＝
＋＝
＋.
②当n为偶数时，
Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋
(42＋44＋…＋4n－1＋4n)＝＋.(共37张PPT)
第2课时
等比数列前n项和
等比数列的前n项和公式
上节课我们学习了等比数列的前n项和，这节课我们继续学习等比数列前n项和公式的应用！
1.
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；(重点）
2.
会用公式解决有关等比数列中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.
(难点）
探究点1
等比数列前n项和的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1)
Sn,
S2n-Sn,
S3n-S2n成等比数列；
知和求项:
1.定义：
=q（q为不为零的常数）
3.等比数列的通项变形公式：
an=amqn-m（am≠0,q≠0）
2.等比数列的通项公式：an=a1qn-1（q≠0）
【复习要点】
8.性质:
在等比数列｛an｝中,Sn是它的前n项和,
那么有:Sm,
S2m-Sm,
S3m-S2m,
也成等比数列.
a1,
q,
n,
an,
Sn中
知三求二
【重要结论】
在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．
【即时练习】
探究点2
等比数列判定方法
一般数列求和法
⑴倒序相加法求和，如an=3n+1
⑵错项相减法求和，如an=(2n-1)2n
⑶拆项法求和，
如an=2n+3n
⑷裂项法求和，
如an=
⑸公式法求和，
如an=2n2-5n
已知数列递推公式求通项公式
⑴累加法：如
⑵累乘法：如
⑶构造新数列：如
⑷分解因式：如
⑸取倒数：如
【即时练习】
例1
某商场今年销售计算机5
000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30
000台（结果保留到个位）？
【解析】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列
，其中
于是得到
答：大约5年可以使总销售量达到30
000台.
整理，得
（年）.
注：数学应用问题的解答步骤：
一、通过阅读，理解题意，建立数学模型；
二、通过解决数学问题来解决实际问题；
三、回答实际问题．
已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn.
(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1.
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
【解题关键】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.
【变式练习】
【解析】(1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以a12=1×(a1+2),即a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.
(2)因为数列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,
所以5a1+10>a12+8a1,
即a12+3a1-10<0,解得-5
y=9-x2
x
y
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
o
SUM=0
k=1
INPUT
N
WHILE
k<=N-1
AN=(9-(k
3/N)^2)
3/N
SUM=SUM+AN
PRINT
k,AN,SUM
k=k+1
WEND
END
公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且
，
则log2a10=（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
B
【变式练习】
A.任意一项都不为0
D.可以有无数项为0
C.至多有有限项为0
B.必有一项为0
D
2.已知等比数列{an}中，前n项和Sn=54,
S2n=60,
则S3n等于(
)
C
3.等比数列{an}共2n项，其和为-240，且奇数项的和
比偶数项的和大80，则公比q=______.
2
64
1.等比数列的前n项和公式；
2.等比数列前n项和的性质；
3.知和求项；
4.等比数列的判定方法；
5.一般数列求和法；
6.已知数列递推公式求通项公式.
等差数列{an}
等比数列{an}
定义
⑴通项公式
⑵推导方法
性质
前n项和Sn
⑴公式
⑵推导方法
an+1-an=d(常数)
(不为零的常数)
an=a1+(n–1)d
an-am=(n–m)d
①归纳猜想验证法
②首尾相咬累加法
①归纳猜想验证法
②首尾相咬累乘法
若m+n=r+s,m，n，r，s∈N
则am+an=ar+as
若m+n=r+s,m，n，r，s∈N
则am·an=ar·as
当q＝1时，
Sn=na1
当q≠1时，
化零为整法
①归纳猜想验证法;②错项相减法
7.等差数列与等比数列的比较
an=a1
qn-1
=qn-m
8.数列综合应用题的解题步骤：
实际应用题
构建数列模型
与数列有关的
数学问题
数学问题的解
审题，找出题意
中的数学关系
分析
转化
运用数列知识求解
翻译
作答