2.2.1 对数的运算性质（学案）
一、学习目标
1．理解对数的运算性质．(重点)
2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．
二、自主学习
教材整理1
对数的运算性质
阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．
对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．
教材整理2 换底公式
阅读教材P65至P66“例5”以上部分，完成下列问题．
对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
三、合作探究
例1.
求下列各式的值：
(1)lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18;
(2)；
(3)log3＋lg
25＋lg
4＋7log72；
(4)2log32－log3＋log38－52log53.
【自主解答】(1)法一； 原式＝lg(2×7)－2(lg
7－lg
3)＋lg
7－lg(32×2)＝lg
2＋lg
7－2lg
7＋2lg
3＋
lg
7－2lg
3－lg
2＝0.
法二； 原式＝lg
14－lg2＋lg
7－lg
18＝lg
＝lg
1＝0.
(2)原式＝＝＝＝.
(3)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg
102＋2＝－＋2＋2＝.
(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
归纳总结：1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
例2. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a，
∴t＝，两边取以10为底的对数得lgt＝lg，∴t(lg
3－2lg
2)＝－lg
3，
∴t＝≈≈4(年)．
归纳总结：解对数应用题的步骤
例3.
(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
【自主解答】 (1)由log1227＝a，得＝a，∴lg
2＝lg
3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一； 原式＝·log52＋＋
＝log52＋＋＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二； 原式＝＋＋
＝＝＝13.
法三 原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)
＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13.
归纳总结：1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．
2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝logab，logaan＝n，等，将会达到事半功倍的效果．
四、学以致用
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg
2·lg
50；
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25.
【解】 (1)原式＝lg25＋(1－lg
5)(1＋lg
5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25＝2lg
2＋lg25＋lg
2(1＋lg
5)＋2lg
5
＝2(lg
2＋lg
5)＋lg2
5＋lg
2＋lg
2·lg
5＝2＋lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2＝2＋lg
5＋lg
2＝3.
2．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg
E－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．
【解】 设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0级地震所释放的能量为E2.由9.0＝(lg
E1－11.4)，
得lg
E1＝×9.0＋11.4＝24.9.
同理可得lg
E2＝×5.0＋11.4＝18.9，
从而lg
E1－lg
E2＝24.9－18.9＝6.
故lg
E1－lg
E2＝lg
＝6，则＝106＝1
000
000，
即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1
000
000倍．
3.求值：log225·log3·log5＝________.
【解析】 原式＝log252·log32－4·log53－2＝··＝16.
【答案】 16
五、自主小测
1．若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；
③loga(xy)＝logax＋logay；
④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④
B．①③
C．①④
D．②③
2．lg
－2lg
＋lg
等于( )
A．lg
2
B．lg
3
C．lg
4
D．lg
5
3．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________.(用m，n表示)
4．计算(lg
2)2＋lg
2·lg
50＋lg
25＝________.
5．已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
参考答案
1.【解析】 ∵xy>0，∴①中，若x<0，则不成立；③中，若x<0，y<0也不成立，故选B.【答案】 B
2.【解析】 lg
－2lg
＋lg
＝lg＝lg
2.故选A.【答案】 A
3.【解析】 loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.
【答案】 m＋2n
4.【解析】 原式＝(lg
2)2＋lg
2·(1＋lg
5)＋2lg
5＝lg
2(1＋lg
5＋lg
2)＋2lg
5＝2lg
2＋2lg
5＝2.
【答案】 2
5.【解】 法一 ∵log189＝a,18b＝5，即log185＝b，
于是log3645＝＝＝＝＝.
法二 ∵log189＝a,18b＝5，即log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
法三 ∵log189＝a,18b＝5，∴lg
9＝alg
18，lg
5＝blg
18.
∴log3645＝＝＝＝＝.(共47张PPT)
第二章
基本初等函数
学习目标
1.理解对数的运算性质；（重点）
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.（难点）
3.了解对数在简化运算中的作用.
底
底
指数
对数
幂
真数
上一节中我们学习了：
1.指数和对数的关系
温故知新
2.对数的性质：
（1）负数和零没有对数
（2）
（3）
温故知新
已知指数运算法则
：
问题1.对数是否也有自己的运算法则呢？
问题探究
探究：对数的运算性质
思考1：
化为对数式，
结合指数的运算性质能否将
化为对数式？
将指数式
这两个对数式有何关系？
问题探究
试一试:由
得
由
得
从而得出
问题探究
思考2：结合前面的推导，由指数式
又能得到什么样的结论？
试一试:由
得
问题探究
又能得到什么样的结论？
试一试:由
得
思考3：结合前面的推导，由指数式
问题探究
思考4：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗
(a>0,且a≠1;
c>0,且c≠1;
N>0)
问题探究
证明：设
由对数的定义可得：
即证得
这个公式叫做换底公式
结论：对数的运算性质
(a>0,且a≠1;
c>0,且c≠1;
问题探究
对数的运算性质
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
归纳总结
归纳总结
归纳总结
[答案] A
[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A.
学以致用
[答案] C
[解析] lg20＋lg50＝lg1
000＝3.故选C.
[答案] A
[解析] log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)
＝3log32－2(log32＋1)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.故选A.
[答案] 22
[解析] 原式＝2×2＋3log226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22.
例题解析
跟踪训练
例题解析
[思路分析] (1)对数的运算性质可以“正用”，也可以“逆用”，如何理解使用．
(2)真数中出现根式或小数应如何处理？
(3)第(3)题中平方如何处理？
灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．
归纳总结
跟踪训练
例题解析
归纳总结
跟踪训练
例题解析
第(2)题中，解法一借助指数变形来解，
解法二利用换底公式来解．无论哪种解法，都
体现出一种转化思想，转化思想是进行对数运算的灵魂．
归纳总结
跟踪训练
典例解析
[错因分析] 在对数式的变形过程中，变形前后字母的取值范围会发生变化，这时一定要通过限制条件来保证变形的等价性．本题中，去掉对数符号后，x>0，y>0，x－2y>0，这些条件在整式中是体现不出来的．故应添上或在最后进行检验．
当堂检测
对数
运算
法则
换底公式
a>0，且a 1，M>0，N>0
能够证明
牢固掌握
熟练应用
(c>0,且c≠1)
课堂小结
作
业
不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。2.2.1 对数的运算性质
（检测学生版）
时间:50分钟
总分：80分
班级：
姓名：
选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．lg8＋3lg5的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
2．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3
B．9
C．18
D．27
3．已知a＝log32，用a来表示log38－2log36( )
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α、β，则α·β＝( )
A.
B．36
C．－6
D．6
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B．10
C．20
D．100
6．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
8．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝________.
9.
地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍．
10．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝________.
三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）
11．
(1)计算：log27＋lg4＋lg25.
(2)lg5(lg
8＋lg
1
000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06.
12．设3x＝4y＝36，求＋的值．
13.已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a、b和m的值．2.2.1 对数的运算性质
（检测教师版）
时间:50分钟
总分：80分
班级：
姓名：
选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．lg8＋3lg5的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D.
答案：D
2．若log34·log8m＝log416，则m等于( )
A．3
B．9
C．18
D．27
解析：原式可化为：log8m＝，∴log2m＝2log43，∴m＝3，m＝27，故选D.
答案：D
3．已知a＝log32，用a来表示log38－2log36( )
A．a－2
B．5a－2
C．3a－(1＋a)2
D．3a－a2－1
解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2，故选A.
答案：A
4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α、β，则α·β＝( )
A.
B．36
C．－6
D．6
解析：由题意知：α＋β＝－log26，α·β＝α＋β＝－log26＝4log26＝22log26＝36，故选B.
答案：B
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B．10
C．20
D．100
解析：a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝，故选A.
答案：A
6．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由题意，lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，则2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb
＝22－4×＝2，故选C.
答案：C
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
解析：原式＝＝log23·＝.
答案：
8．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝________.
解析：∵logax＝＝2，∴logxa＝.同理logxc＝，logxb＝.
∴logabcx＝＝＝1.
答案：1
9.
地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍．
解析：由R＝(lgE－11.4)，得R＋11.4＝lgE，故E＝10R＋11.4.
设2011年和2008年地震能量分别为E1，E2， 则＝＝10＝10.
即2011年地震的能量是2008年地震能量的10倍．
答案：10
10．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则＝________.
解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，∴x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
∴舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
答案：4
三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）
11．
(1)计算：log27＋lg4＋lg25.
(2)lg5(lg
8＋lg
1
000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06.
解析：(1)原式＝log()6＋2lg2＋2lg5＝6＋2(lg2＋lg5)＝8.
(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2
＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.
12．设3x＝4y＝36，求＋的值．
解析：由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
13.已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a、b和m的值．
解析：由题意得，
由③得(lga＋2)2＝0，∴lga＝－2，得a＝.④
④代入①得lgb＝1－lga＝3，∴b＝1
000⑤
④⑤代入②得m＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.2.2.1 对数的运算性质
一、教学目标：
知识与技能：
(1)
掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
(2)能较熟练地运用法则解决问题.
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过程与方法：
通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
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情感、态态与价值观
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通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
二．重点难点
重点：对数运算性质及其推导过程.
难点：
对数的运算性质发现过程及其证明.
三、学生学习情况分析
现在大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
五、教学过程
（1）温故知新；
复习：对数的定义及对数恒等式
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（＞0，且≠1，N＞0），
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指数的运算性质.
设计意图：对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．
(2)问题探究：
问题1：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？
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如：.于是
由对数的定义得到
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即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
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提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
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让学生探究，讨论；
对数的运算性质：如果，那么
（1）；
（积的对数）
（2）；
（商的对数）
（3）．
（幂的对数）
2.换底公式：
若，则。
进行探究换底公式。
设计意图：让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
例3、用换底公式化简：
（1）；
（2）.
总结：同底的对数之间的运算利用对数的运算性质进行，但同一个式子中出现不同底的对数时，要善于利用对数的换底公式化为同底对数进行运算。
六、课堂小结
1.对数的运算性质.
2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：
（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；
（2）要避免错用对数运算性质.
3.对数和指数形式比较：
式子
ab=N
名称
a——幂的底数b——幂的指数N——幂值
运算性质
am·an=am+nam÷an=am－n（am）n=amn（a＞0，且a≠1，m、n∈R）
式子
logaN=b
名称
a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数
运算性质
loga（MN）=logaM+logaNloga=logaM－logaNlogaMn=nlogaM（n∈R）（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
七、课后作业
课时练与测
八、教学反思纳皮尔与对数
纳皮尔（Napier，1550－1617年）是苏格兰数学家。纳皮尔1550年出生在苏格兰首府爱丁堡，他从小喜欢数学和科学，并以其天才的四个成果被载入数学史．。其中他发明的对数使整个欧洲沸腾了。．拉普拉斯认为“对数的发现，以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。可以说对数的发现使现代化提前了至少二百年。
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科
。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习运用对数简化计算的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。所以纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
下面是广泛流传的有关纳皮尔的两个小故事
一次，他宣称他的黑毛公鸡能为他证实，他的哪一个仆人偷了他的东西。仆人们被一个接一个地派进暗室。要他们拍公鸡的背，仆人们不知道耐普尔用烟灰涂黑了公鸡的背。自觉有罪的那个仆人怕碰着那个公鸡。所以回来时手是干净的。
还有一次耐普尔因他的邻居的鸽子吃他的粮食而感到烦脑，他恫吓道：如果他邻居不限制鸽子，让它们乱飞，他就要没收些鸽子。邻居认为他的鸽子是根本不可能被捉住的，就告诉耐皮尔，如果他能捉住他们，尽管捉好了。第二天，邻居看到他的那些鸽子在耐普尔的草坪上蹒跚地走着，十分惊讶。耐普尔镇静自若地把它们装进一只大口袋．原来，耐普尔在他的草坪上各处撒了些用白兰地酒泡过的豌豆，使这些鸽子醉了。
