3.2.2 函数模型的应用实例
（检测学生版）
时间:50分钟
总分：80分
班级：
姓名：
选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1.
某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价( )
A．1
B.
C.
D.
2.某工厂10年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:
①前五年中产量增长的速度越来越快;
②前五年中产量增长的速度越来越慢;
③第五年后,这种产品停止生产;
④第五年后,这种产品的产量保持不变;其中说法正确的是( )
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
3.拟定从甲地到乙地通话m
min的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5
min的通话费为( )
A．3.71
B．3.97
C．4.24
D．4.77
4.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△APM的面积S关于x的函数的图象的形状大致是( )
A
B
C
D
5．有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
6．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1
000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30
B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45
D．a＝－45，b＝－30
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7.
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v
m/s和燃料质量M
kg、火箭(除燃料外)质量m
kg的关系是v＝2
000ln，则当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可达12
km/s.
8．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．
9．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠__________块玻璃块数是(lg3＝0.4771)
10.
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当0
1时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).
三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）
11.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合 并预测第8年的松树高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
12.
根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示)．
①
②
(1)分别写出两种产品的收益与投资额之间的函数关系式．
(2)若该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少？
13.
某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2014年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)=ax+b,
f(x)=2x+a,
f(x)=+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数).
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2016年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2016年的年产量.3.2.2 函数模型的应用实例
一、教学目标：
知识与技能：
1．会分析所给出数据，画出散点图．
2．会利用选择或建立的函数模型．
3．会运用函数模型解决实际问题．
过程与方法：
1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．
2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．
情感、态度和价值观：
1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．
2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．
二、重点难点
重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．
难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．
三、教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。
四、教学过程
（1）温故知新，提出问题；上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有，，，．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？
设计意图：从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．
（2）问题探究；例1
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
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下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
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（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
师生：共同完成例1
解答：
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1
+
r1)
=
56300，可得1951年的人口增长率，r1≈0.0200.
同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
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r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为；r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y 0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t
(t∈N)的图象
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由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，HYPERLINK
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由计算器可得t≈38.76.
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所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
例2
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
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解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
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如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
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所以，这个男生偏胖.
设计意图：利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．
归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：
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设计意图：回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．
当堂检测：
1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是
.
2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为
.
3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.
(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.
(2)
当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)
4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.
答案；1．(x N
)
2．
3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，
因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.
(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)
答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，
裁员
人，才能获得最大的经济效益.
4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有；解得
所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①
设y2＝g(x)＝mnx＋p则有；解得
所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②
比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.
五、课堂小结
所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.
六、课后作业
课时练与测
七、教学反思3.2.2 函数模型的应用实例（学案）
一、学习目标
1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)
2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点)
二、自主学习
教材整理 函数模型的应用
阅读教材P101～P106，完成下列问题．
1．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
(1)正比例函数模型
f(x)＝kx(k为常数，k≠0)
(2)反比例函数模型
f(x)＝(k为常数，k≠0)
(3)一次函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(4)二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(5)指数函数模型
f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)
(6)对数函数模型
f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)
(7)幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
(8)分段函数模型
f(x)＝
2.建立函数模型解决问题的框图表示
三、合作探究
例1.
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【自主解答】 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，
∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10
000k(x∈(100,300])，
∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10
000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10
000k·75%，即x2－400x＋37
500＝0，解得x＝250或x＝150.
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
归纳总结：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
例2.
声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg
给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
【自主解答】 (1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lg
＝10lg
106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
＝0，所以＝1，I＝10－12
W/m2，
则能听到的最低声强为10－12
W/m2.
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg
＝10lg
(5×105)＝50＋10lg
5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．
归纳总结：1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x，(其中N为基数，p为增长率，x为时间)的形式．
例3.
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【自主解答】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得：y＝
＝＝
(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1
200＝－(t－5)2＋1
225，
函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5)递增，在t∈(5,10]递减，
∴ymax＝1
225(当t＝5时取得)，ymin＝1
200(当t＝0或10时取得)．
②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2
000＝(t－45)2－25，
图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，t＝10时，y＝1
200，ymin＝600
(当t＝20时取得)，由①②知ymax＝1
225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．
归纳总结：1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．
四、学以致用
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点
由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，求供水
几小时后，蓄水池中的存水量最少.
【解】 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)，设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150，
∴当u＝，即t＝时，蓄水池中的存水量最少．
2．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
【解】 (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N
)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15
000元.
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【解】 (1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1
200－10x；
即y＝
(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15
000；
当30＜x≤75，S＝x(1
200－10x)－15
000＝－10x2＋1
200x－15
000；
即S＝
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15
000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12
000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1
200x－15
000＝－10(x－60)2＋21
000，
即x＝60时，Smax＝21
000＞12
000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
五、自主小测
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2
x
2．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，lg
7≈0.845
1)
5．已知A，B两地相距150
km，某人开汽车以60
km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50
km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时
)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
参考答案
1.【解析】 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2
x，可知满足题意．【答案】 D
2.【解析】 因为L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000＝－Q2＋30Q－2
000＝
－(Q－300)2＋2
500，所以，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2
500万元．
【答案】 2
500
3.【解析】 设彩电的原价为a，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，即0.12a＝270，解得a＝2
250.
∴每台彩电的原价为2
250元．【答案】 2
250
4.【解析】 由题意，得14(1＋1.25%)x－2
008>20，即x－2
008>＝＝28.7，
解得x>2
036.7，又x∈N，故x＝2
037.【答案】 2
037
5.【解】 (1)①汽车由A地到B地行驶t
h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．
综上，s＝它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．3.2.2 函数模型的应用实例
（检测教师版）
时间:50分钟
总分：80分
班级：
姓名：
选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1.
某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价( )
A．1
B.
C.
D.
解析：设提价x，则由题意可知(1－10%)(1＋x)＝1，解得x＝.
答案：D
2.某工厂10年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:
①前五年中产量增长的速度越来越快;
②前五年中产量增长的速度越来越慢;
③第五年后,这种产品停止生产;
④第五年后,这种产品的产量保持不变;其中说法正确的是( )
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
解析：.由t∈[0,5]的图象联想到幂函数y=xα(0<α<1),反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢.由t∈[5,10]的图象可知,总产量C没有变化,即第五年后停产,所以②③正确.
答案：C
3.拟定从甲地到乙地通话m
min的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5
min的通话费为( )
A．3.71
B．3.97
C．4.24
D．4.77
解析：5.5
min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
答案：C
4.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，△APM的面积S关于x的函数的图象的形状大致是( )
A
B
C
D
解析：由题意可知，△APM的面积S＝故选A.
答案：A
5．有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.
答案：C
6．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1
000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30
B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45
D．a＝－45，b＝－30
解析：设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－p＝x－
＝x2＋(a－5)x－1
000(x>0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
∴解得，故选A.
答案：A
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7.
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v
m/s和燃料质量M
kg、火箭(除燃料外)质量m
kg的关系是v＝2
000ln，则当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可达12
km/s.
解析：依题意知2
000ln＝12
000，∴ln＝6,1＋＝e6，故＝e6－1.
答案：e6－1
8．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．
解析：设一个三角形的边长为x
cm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2
cm2.当x＝2
cm时，Smin＝2
cm2.
答案：2
cm2
9．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠__________块玻璃块数是(lg3＝0.4771)
解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则y＝ax(x∈N
)，
令y.
∵＝＝≈10.4.∴x>10.4。
答案：11
10.
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当01时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).
解析：①错误.因为f1(2)=22-1=3,f2(2)=22=4,所以f1(2)②错误.因为f1(5)=25-1=31,f2(5)=52=25,所以f1(5)>f2(5),所以x=5时,甲在乙的前面.
③正确.当0④正确.当01时,丙在丁前面,在甲、乙后面,
x=1时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.
⑤正确.指数函数增长速度越来越快,x充分大时,f1(x)的图象必定在f2(x),f3(x),f4(x)上方,所以最终走在最前面的是甲.
答案:③④⑤
三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）
11.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合 并预测第8年的松树高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
解析：据表中数据作出散点图如图.
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
不妨将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.
故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.
当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.
12.
根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图所示)．
①
②
(1)分别写出两种产品的收益与投资额之间的函数关系式．
(2)若该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少？
解析：(1)设投资额为x万元，稳健型产品的收益为y1＝f(x)，风险型产品的收益为y2＝g(x)，
由题设知f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图①知，f(1)＝，则k1＝.
由图②知，g(1)＝，故k2＝.
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设债券类投资为x万元，则股票类投资为(20－x)万元，则y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，
令t＝，
则x＝20－t2，y＝＋t＝－(t2－4t－20)＝－(t－2)2＋3.
所以当t＝2，即x＝16时，ymax＝3.
故当债券类投资为16万元，股票类投资为4万元时收益最大，最大收益为3万元．
13.
某企业常年生产一种出口产品,根据预测可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2014年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)=ax+b,
f(x)=2x+a,
f(x)=+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数).
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2016年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2016年的年产量.
解析：(1)符合条件的是f(x)=ax+b,
若模型为f(x)=2x+a,
则由f(1)=21+a=4,得a=2，即f(x)=2x+2,
此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.
若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符合.
由已知得解得
所以f(x)=x+,x∈N.
(2)2016年预计年产量为f(7)=×7+=13,
2016年实际年产量为13×(1-30%)=9.1(万件).(共44张PPT)
第二章
基本初等函数
学习目标
1.
能根据数据的特点，建立函数模型解决实际问题．
2.通过函数知识的应用，复习巩固已学过的基本初
等函数的知识．
3．通过实例了解函数模型的广泛应用.
进一步巩固
函数的应用问题，进一步熟悉用函数解题的步骤
和方法.
温故知新
温故知新
温故知新
问题探究
归纳总结
跟踪训练
问题探究
归纳总结
跟踪训练
问题探究
归纳总结
跟踪训练
当堂检测
（1）读题理解题意
（2）挖掘数量关系，建立数学模型
（3）求解数学问题
（4）回归实际，进行答题
求解数学应用问题的一般步骤：
课堂小结
作
业
即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。
好教
Jtyhy.
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12
2
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据图[
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志存
馬远
未来,实破创新,超越更高的日标
桃战无处不在,