(共28张PPT)
第二章
数列
2.1
数列的概念与简单表示法
第1课时
数列的概念与简单表示法
1.
“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”的含义是什么？
…
2.
三角形数
1
3
6
10
3.
正方形数
1
4
9
16
1.
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
（重点）
2.
了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
（难点）
3.
对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
（2）三角形数：1，3，6，10，…
探究点1
数列的概念
这些数有什么共同特点？
（5）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，…
（3）正方形数：1，4，9，16，…
（4）1，2，3，4，…的倒数排列成的一列数
提示：1.
都是一列数；2.
都有一定的顺序
按照一定顺序排列的一列数称为数列.
1.
数列的概念:
思考：
(1)
“1,
2,
3,
4,
5”与“5,
4,
3,
2,
1”是同一个数列吗？与“1,
3,
2,
4,
5”呢？
没有按照一定的顺序排列，不符合数列的有序性
不是同一个数列
提示:
(2)数列中的数可以重复吗？
(3)数列与集合有什么区别？
可以
数列：有序性、可重复性、确定性.
集合：无序性、互异性、确定性；
提示:
数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.
数列的项:
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
3.
数列的一般记法:
数列a1,a2,a3,a4,…,an,…
可简记为{an}.
思考：数列{an}是集合吗？
{an}与an有何区别？
集合中的元素具有无序性
、互异性，而数列不具备这些特征，数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号.{an}表示数列a1,
a2,
a3,
a4,…,
an,…，而an表示数列的第n项.
提示:
4.
数列的分类:
(1)按项数分：有穷数列与无穷数列；
(2)按项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.
有穷数列
递增数列
无穷数列
递减数列
有穷数列
递增数列
无穷数列
无穷数列
摆动数列
常数列
例
观察下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）全体自然数构成的数列
0,1,2,3,
….
（2）2008～2014年某市普通高中生人数（单位：万人）构成的数列
82,93,105,119,129,130,132.
（3）无穷多个3构成的数列
3,3,3,3,
….
（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成的数列（单位：元）
100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.
（5）-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂……构成的数列
-1，1，-1，1，….
解：递增数列有：（1）、（2）、（6)中的不足近似值构成的数列;
递减数列有：（4）、（6)中的过剩近似值构成的数列;
常数列有：（3）;
摆动数列有：（5）.
思考:上面数列中哪些是无穷数列,哪些是有穷数列
有穷数列有：（2）、
（4）；
无穷数列有：（1）、
（3）、
（5）
、
（6）.
提示:
观察下面数列的特点，用适当的数填空：
【即时练习】
（1）你能说出256是否是下面数列中的项吗？是的话,是这个数列的第几项
（2）同学们观察数列中的项与序号之间的关系,你能从中得到什么启示 你能否写出它的第n项
项:
序号:
探究点2
数列中的项与序号之间的关系
是第9项
256是数列中的一项，
1
2
3
4
…，
9
（3)
你能把上述数列按照（n,
an)的形式画在下面的坐标系中吗
O
1
2
3
4
5
6
7
2
4
8
16
32
64
n
an
图象是一些离散的点
5.数列的实质:
从函数的观点看，数列的项
是序号n的函数.
即数列可以看成以正整数集
（或它的有限子集
{1,2，…，n}）为定义域的函数
当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…
R或R的子集
N
或它的有限子集{1,2,3，…，n}
an＝f(n)
y＝f(x)
点的集合
一些离散的点的集合
数列与函数对比表
【总结提升】
B
【即时练习】
C
2.下面数列是有穷数列的是（
）
A.1,0,1,0，…
B.1，1，1，1，1
C.2,22,222，…
D.0,0,0,0，…
B
A.
第9项
B.
第10项
C.
第11项
D.
第12项
C
4.下列说法正确的是(
)
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列
的第k项为
D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
C
【解析】根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确;D项{2n}中的n∈N
,故不正确;C中an=
∴ak=
29
【解题关键】先利用第8项求出式子中k的值再求第17项。
本节课学习的主要内容有：
1.数列的有关概念；
2.数列的通项公式；
3.数列的实质；
4.本节课的能力要求是：
(1)
会由通项公式求数列的任一项；
(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式.
5.数列的分类
数
列
的
分
类
从单调性
的角度
从项数
的角度
递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
有穷数列
无穷数列
从第2项起项与项的大小关系不确定
项数有限
项数无限2.1数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．数列1，3，7，15，31，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝2n＋1
C．an＝2n－1
D．an＝2n－1
解析：代入检验，选C，另法：将数列的每一项都加1，得到的数列是2，4，8，16，32，…，通项为2n.故原数列的通项为2n－1.
答案：C
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个
B．512个
C．1
023个
D．1
024个
解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512.
答案：B
3．已知数列{an}的前n项的Sn＝n2－9n，第k项满足5＜an＜8，则k等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：a1＝－8，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10.由5＜ak＜8，得＜k＜9.所以k＝8.
答案：B
4．数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中，不是{an}的项的是( )
A．1
B．－1
C．3
D．2
解析：25－2n不可能是偶数，选D.
答案：D
5．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是( )
A.
B．cos
C．cos
D．cos
解析：分别取n＝1，2，3，4代入验证可得．
答案：D
二、填空题
6．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋，则a5＝________．
解析：a3＝a2＋＝4，a4＝a3＋＝.
a5＝a4＋＝.
答案：
7．数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N
)，则37是这个数列的第________项．
解析：由2n＋1＝37 n＝18.
答案：18
8．已知数列：1－，－，－，－，求其通项公式为__________________．
答案：an＝－
三、解答题
9．已知数列的通项公式为an＝，试问和是不是它的项？如果是，是第几项？
解：令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N
，
故n＝－8舍去，所以是数列的第5项．
令＝，则4n2＋12n－27＝0，
解得n＝或n＝－，
因为n∈N
，所以不是此数列中的项．
10．(1)设数列{an}满足写出这个数列的前5项；
(2)求数列{－2n2＋9n＋3}(n∈N
)的最大项．
解：(1)由题意可知：
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
(2)令an＝－2n2＋9n＋3，
所以an与n构成二次函数关系，
因为an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋，且n为正整数，
所以当n取2时，an取得最大值13，
所以数列{－2n2＋9n＋3}的最大项为13.2.1数列的概念与简单表示法
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，…
Ⅱ.讲授新课
⒈
数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉
数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n
项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.
②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓
↓
↓
↓
↓
序号
1
2
3
4
5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋
数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第
项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、
f(2)、
f(3)、
f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？
[范例讲解]课本P34-35例1
Ⅲ.课堂练习课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)
3,
5,
9,
17,
33,……；
(2)
,
,
,
,
,
……；
(3)
0,
1,
0,
1,
0,
1,……；
(4)
1,
3,
3,
5,
5,
7,
7,
9,
9,
……；
解：(1)
＝2n＋1；
(2)
＝；
(3)
＝；
(4)
将数列变形为1＋0,
2＋1,
3＋0,
4＋1,
5＋0,
6＋1,
7＋0,
8＋1,
……,
∴＝n＋；
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P33习题2.1A组的第1题2.1数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．数列1，3，7，15，31，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝2n＋1
C．an＝2n－1
D．an＝2n－1
2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成( )
A．511个
B．512个
C．1
023个
D．1
024个
3．已知数列{an}的前n项的Sn＝n2－9n，第k项满足5＜an＜8，则k等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
4．数列{an}的通项公式为an＝25－2n，在下列各数中，不是{an}的项的是( )
A．1
B．－1
C．3
D．2
5．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是( )
A.
B．cos
C．cos
D．cos
二、填空题
6．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1＋，则a5＝________．
7．数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N
)，则37是这个数列的第________项．
8．已知数列：1－，－，－，－，求其通项公式为__________________．
三、解答题
9．已知数列的通项公式为an＝，试问和是不是它的项？如果是，是第几项？
10．(1)设数列{an}满足写出这个数列的前5项；
(2)求数列{－2n2＋9n＋3}(n∈N
)的最大项．2.1数列的概念与简单表示法(1)
学习目标
1.
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2.
了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.
对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P28
~
P30
，找出疑惑之处）
复习1：函数，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？
复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务：数列的概念
⒈
数列的定义：
的一列数叫做数列.
⒉
数列的项：数列中的
都叫做这个数列的项.
反思：
⑴
如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？
⑵
同一个数在数列中可以重复出现吗？
3.
数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第
项.
4.
数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用
来表示，那么
就叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？
⑵一个数列的通项公式是唯一？
⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？
5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分
数列和
数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为
数列，
数列，
数列和
数列.
※
典型例题
例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴
1，－，，－；
⑵
1，
0，
1，
0.
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴
，，，；
⑵
1，
－1，
1，
－1；
小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.
例2已知数列2，，2，…的通项公式为，求这个数列的第四项和第五项.
变式：已知数列，，，，，…，则5是它的第
项.
小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.
※
动手试试
练1.
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
⑴
1，
，，
；
⑵
1，，，2
.
练2.
写出数列的第20项，第n＋1项.
三、总结提升
※
学习小结
1.
对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；
2.
会用通项公式写出数列的任意一项.
知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
思考：设＝1＋＋＋…＋（n）那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
下列说法正确的是（
）.
A.
数列中不能重复出现同一个数
B.
1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C.
1，1，1，1…不是数列
D.
两个数列的每一项相同，则数列相同
2.
下列四个数中，哪个是数列中的一项（
）.
A.
380
B.
392
C.
321
D.
232
3.
在横线上填上适当的数：
3，8，15，
，35，48.
4.数列的第4项是
.
5.
写出数列，，，的一个通项公式
.
课后作业
1.
写出数列｛｝的前5项.
2.
（1）写出数列，，，的一个通项公式为
.
（2）已知数列，，，，，…
那么3是这个数列的第
项.关于《数列的概念与简单表示法》的说课稿
各位老师你们好！
今天我要向大家介绍的课题是《数列的概念与简单表示法》。
首先，我对本节教材进行简单的分析：
一、教材分析（说教材）
《数列的概念与简单表示法》是普通高中新《课标》数学必修5人民教育出版社A版第二章第一节第一课时的内容，是本章的开启课。
数列是高中数学的重要内容之一，它的地位和作用可用从以下两点来看:
数列有着广泛的实际应用。如储蓄、分期付款的有关计算要用到数列的一些知识。
数列起着承前启后的作用。一方面，数列与前面学习的函数等知识有着密切的联系，数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型；另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容奠定了基础。因此有必要研究数列。
二、教学目标（说目标）
根据对教材结构与内容的分析，以及新《课标》的要求，我制定了如下的教学目标：
1.知识与技能目标：
（1）理解数列及其有关概念，了解数列与函数之间的关系；
（2）了解数列的通项公式，并会用数列的通项公式写出数列的任意一项；
（3）会根据数列的前几项写出它的一个通项公式。
2.过程与方法目标：
（1）通过实例，引入数列的概念；
（2）通过对一列数的观察、分析、归纳，写出符合条件的一个通项公式。
3.情感态度价值观目标：
（1）培养学生的观察能力和抽象概括能力，逐步培养学生善于思考和解决问题的能力；
（2）调动学生的积极情感，主动参与学习。
三、
教学重点与教学难点（说重点与难点）
根据上述对教材地位与作用的分析和制定的教学目标，以及结合学生的实际情况，本节课的教学重点是：数列的有关概念，通项公式及其应用。
考虑到学生已有的知识基础与认知能力，根据数列的前几项写出它的一个通项公式具有高度抽象性的特点。因此，根据数列的前几项写出它的一个通项公式是本节课的难点。
四、
教学方法
（说教法）
根据本节课的内容和学生的实际情况，本节课主要采用“提问法、观察法、发现法和启发式法”的教学方法，引导学生发现问题，探索问题，并解决问题。
五、
教学过程
（说过程）
（1）
创设情景，引入概念
首先设置，情景一
细胞分裂数排成的一列数：1,2,4,8,16，···.
情景二
三角形数：1,3,6,10,15，···.
情景三
正方形数：1,4,8,16,25，···.
然后提出问题，问题1：以上三列数各自有什么规律？
问题2：以上三列数的共同特点是什么？
问题3：这些数字能否调换顺序？顺序变化了之后所表达的意思变化了吗？
进而探索问题，最后构建概念。在得出概念之后，引导学生列举实例，进而对数列进行分类。
（2）
类比分析，突破难点
通过对数列的序号与项之间的类比分析，得出数列与函数之间的关系，进而由函数的解析式引入数列的通项公式，从而化解难点。
（3）例题讲解，加强对概念的理解。
（4）习题训练，加深对概念的理解。
（5）归纳小结：
本节课的小结主要是：1、数列的有关概念；2、观察法求数列的通项公式。
（6）布置作业：为了让学生巩固本节所学知识，加强对数列有关概念的理解和记忆，我布置教材P36练习题第1题和第4题作为课后作业。
五、板书设计（说板书）
