(共34张PPT)
第2课时
数列的通项公式与递推公式
按照一定顺序排列的一列数称为数列.
(数列具有有序性、可重复性、确定性)
1.数列的定义：
2.数列与函数的关系:
数列可以看成以正整数集
（或它的有限子集
{1,2，…，n}）为定义域的函数
当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…
1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式;(重点）
2.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式.
（难点）
我们可以根据数列的通项公式算出数列的各项.
探究点1
数列的通项公式
注：数列与函数的关系
y=f（x）
an
n
（正整数集N﹡或它的有限子集{1,2,3,
…,n})
项
通项公式
函数值
自变量
如果数列
的第n项与序号n之间的关系可以用一个
式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
【即时练习】
写出下面数列的一个通项公式:
例1
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
【解析】（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为
通项公式不唯一
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为
【互动探究】1.根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明.
提示：不一定唯一.
.
2.根据数列的前若干项一定能写出通项公式吗？请举例说明.
提示：不一定能写出.
n
1
2
3
4
5
an
=2n-1
1
3
5
7
9
【解析】列表:
已知数列
的通项公式为
，用列表
写出这个数列
的前5项，并作出图象.
【变式练习】
O
1
2
3
4
5
6
7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
an=2n-1
n
图象如下：
图象是一群孤立的点
例2
图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.
【解析】如图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是
在直角坐标系中的图象如图所示.
.
O
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
1
2
3
4
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）3,5,7,9,11，….
（3）0,1,0,1,0,1，….
（5）7,77,777,7777，….
【变式练习】
探究点2
数列的递推公式
1.观察以下数列，并写出其通项公式：
思考：除用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？
（1）1,3,5,7,9,11，…
（2）0，-2，-4，-6，-8，…
（3）3,9,27,81，…
2.观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.
模型一：自上而下
…
第1层钢管数为4，即
第2层钢管数为5，即
第3层钢管数为6，即
第4层钢管数为7，即
第5层钢管数为8，即
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，
对于上述所求关系，若知其第n-1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要.
在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1）写出此数列的前六项.
【解题关键】通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.
【解析】a1=2，a2=3，
a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5，
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9，
a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,
a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.
【即时练习】
【互动探究】已知数列{an}的第一项是1，以后各项由公式an-1=2an-2给出，写出这个数列的前五项.
【解题关键】可先将公式变形为an=1+
an-1.根据递推公式写出数列的前几项，可由a1=1及a2=1+
a1，求出a2这一步是解题的关键.
【解析】∵an-1=2an-2,
∴an=1+
an-1.又a1=1,∴a2=
a3=
a4=
a5=
例3
设数列{an}满足
写出这个数列的前5项.
【解析】由题意可知
【变式练习】
1.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（
）
（A）-7
（B）-4
（C）-1
（D）2
【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
A
2.数列0，2，4，6，…的递推公式可以是（
）
（A）an+1=an+2
（B）an+1=2an
（C）an+1=an,a1=0
（D）an+1=an+2,a1=0
【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小，故选项A、B不是；选项C中，a2=0,
a3=0,a4=0,则选项C不是；选项D中，a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是正确的.
D
3.下列数列满足an+1=
的是（
）
(A)1,1,1,1,…
(B)2,2,2,2,…
(C)3,1,3,1,…
(D)-1,1,-1,1,…
【解析】选A.因为选项A中,
a1=1，an+1=
则能依次求出a2=a3=a4=1.
A
5.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.
2.
递推公式与数列的通项公式的区别是：
1.
通项公式、递推公式的概念；
(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系.
(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,
2,
3,
4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求出其他项.
3.数列通项公式与递推公式的区别与联系
区别
联系
项an及相邻项间的关系式
都是数列的一种表
示方法，可求出数
列中任意一项
通项
公式
递推
公式
区别
项an是序号n的函数式an=f(n)§2.1数列的概念与简单表示法（2）
【学习目标】
了解数列是自变量为正整数的一类函数，即数列是一种特殊的函数．
了解数列的递推公式．
3．能根据给出的递推公式求数列的前几项．
【学习过程】
一、问题引入
1.数列的定义是什么？
2.有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数列分别有什么含义？
3.什么叫数列的通项公式？如何理解一个数列与其通项公式的对应关系？
4.数列的通项公式是表示数列的一种方法，但不是唯一方法，对此，我们将作进一步探究.
二、自主探究
探究（一）：数列与函数的关系
思考1：数列中的项与项的序号是一种对应关系？这种对应关系是函数吗？
思考2：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，数列的各项就是当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，那么，这种函数的定义域是什么？
思考3：函数
与
，当x依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？
思考4：函数有哪几种表示法？相应地数列有哪几种表示法？
思考5：数列的图象有什么特点？
思考6：数列
，
，
，
和数列
，
，
，
，
，
用通项公式法分别怎样表示？
探究（二）：数列的递推公式
思考1：有5个猴子共同分享一堆苹果，它们先后来到苹果前，第一个猴子将所有苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉，自己拿走其中1份；第二个猴子又将余下的苹果平均分成5份，还剩1个，丢掉，自己拿走其中1份…；依次类推.那么第n个猴子与第n－1（n≥2）个猴子所得的苹果数应满足什么关系？
思考2：如果数列{an}满足，那么数列{an}是否确定？
思考3：上述给出数列的方法叫做递推法，其中
称为递推公式，一般地，数列的递推公式是什么概念？
思考4：递推法表示数列需要哪些要素？
思考5：数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，称为斐波那契数列，该数列的递推公式是什么？用递推法如何表示这个数列？
思考6：
称为数列的前n项和，记作Sn，那么Sn－1表示什么？，Sn，Sn－1三者之间有什么关系？
三、展示点拨
例1
在数列中，，通项是关于项数
的一次函数．
(1)求数列的通项公式；(2)判断
88
是否为数列的项．
例2
数列的通项公式为，求的最大项．
例3
已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列的通项公式．
例4
已知数列的前项和是．
（1）若求及；（2）若求．
四、自我反馈
写出此数列的前
5
项，并归纳这个数列的通项公式.
(1)
＝0,
＝＋(2n－1)
(n∈N)；
(2)
＝1,
＝
(n∈N)；
(3)
＝3,
＝3－2
(n∈N).
2．设是首项为1的正项数列，且满足关系：
(n∈N
)，求数列的通项公式．
3.分别写出三角形数构成的数列的第5项，第6项和第7项，并写出它的一个递推公式.
4.已知数列的第1项是1，第2项是2
，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出的前5项.
5．已知数列的通项公式为
(1)数列中有多少项是正数？
(2)当
为何值时，
有最大值？最大值是多少？
6.已知数列{an}的前n项和：
求数列{an}的通项公式.§2.1数列的概念与简单表示法
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列
的通项公式为
；
的通项公式为
；
的通项公式为
；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数
为横坐标，相应的项
为纵坐标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用
表示第一项，用
表示第一项，……，用
表示第
项，依次写出成为
4、列表法
．简记为
．
[范例讲解]
例3
设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例4已知，
写出前5项，并猜想．
法一：
，观察可得
法二：由
∴
即
∴
∴
Ⅲ.课堂练习
课本P31练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1)
＝0,
＝＋(2n－1)
(n∈N)；
(2)
＝1,
＝
(n∈N)；
(3)
＝3,
＝3－2
(n∈N).
解：(1)
＝0,
＝1,
＝4,
＝9,
＝16,
∴
＝(n－1);
(2)
＝1,＝,＝,
＝,
＝,
∴
＝;
(3)
＝3＝1+2,
＝7＝1+2,
＝19＝1+2,
＝55＝1+2,
＝163＝1+2,
∴
＝1＋2·3;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题2.1.2数列的递推公式
各位评委老师，下午好！我是数学（
）号，今天我说课的题目是数列的递推公式，下面我将从说教材、说教法和学法、说教学过程、说板书设计这四个方面来对本课进行详细说明：
一、说教材
《数列的递推公式》是必修5第二章《数列》的第一节中的内容，数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为日后进一步学习数列的极限等内容做好准备。而数列的递推公式是在学生学习了数列的概念、通项公式、表示方法以及分类基础上，对数列知识的进一步深入和拓广，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列的一种方法，也是研究数列的一个途径，它是本章主要方法之一。结合本单元教学要求和本课特点，依据新课标中“知、过、情”三个维度，我将本节课的教学目标确定为：
⒈知识与技能:
了解数列的递推公式的定义，同时数列的递推公式是给出数列的一种方法，也是研究数列的一个途径
⒉过程与方法：通过对实例的“观察、试验、归纳”得出递推公式的概念，体会数列的递推公式是给出数列的一种方法；在探索和研究过程中，培养学生的观察、试验、归纳、猜想、类比、联想等能力
⒊情感、态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索的精神，体验探究的乐趣，感受成功的快乐，增强学习数学的兴趣；培养学生从实际问题中抽象出数学模型、解决实际问题的意识，认识并感受数学的应用价值
⒋本节课的教学重点是：数列的递推公式的定义，以及应用数列的递推公式求出该数列的通项公式
⒌本节课的教学难点是：从实际问题中抽象出数学模型，应用数列的递推公式求出该数列的通项公式
⒍本节课的教学难点同时也是本节课的教学关键
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：
二、说教法和学法
⒈在说教法和学法之前，我先作一下学情分析，我的教学对象是普通高中的学生，从知识层面上看，学生通过前面的学习已经掌握了数列的概念、通项公式、表示方法以及分类；从能力层面上看，学生会根据数列的前几项，通过观察、分析、抽象、归纳出数列的通项公式；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
⒉说教法，科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。基于此，我准备采用的教法是自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过自主探究与合作交流相结合的方式去进行问题研究；引导学生积极思考，加强学生对于知识的总结、巩固和深化。
⒊说学法，学法上，我贯彻的指导思想是把“学习的主动权还给学生”，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。让学生通过自主探究、教师指导学会观察问题，分析问题和解决问题。
三、说教学过程
为了完成教学目标，解决教学重点，突破教学难点，课堂教学我准备按以下六个环节展开：
环节⒈复习引入
通过2.1.1数列的学习，学生初步掌握了数列的概念、通项公式、表示方法以及分类，因此，采用提问的方式让学生复习上节课所学知识。这样一来可以检验学生对所学知识的掌握情况，二来也为本节课的学习作准备。
环节⒉新课探究
首先让学生观察数列
2，4，8，16，…；和
1，cos1,cos(cos1),cos(cos(cos1)),…；
看看这两个数列中前一项和后一项的关系是什么，从中会发现什么？
通过设置该问题情境，让学生自主探究、积极思考，并通过观察、分析找出规律，进而引出递推公式的定义，这样更有助于学生对于递推公式的理解并且加深记忆。
环节⒊应用举例
在本环节中，我将给出两道典型例题
已知数列的第一项是2，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项。
已知直线与曲线（如图所示），过曲线上横坐标为1的一点作轴的平行线交于，过作轴的垂线交曲线于，再过作轴的平行线交于点，过作轴的垂线交曲线于……设点，，，…，，…的纵坐标分别是试求数列的递推公式。
其中要重点对例2进行详细地说明和讲解，便于学生理解，通过对以上两道例题的分析和讲解，加深了同学们对于数列递推公式的理解和掌握。本环节的目的在于通过典型的例题解答，巩固学生所学的知识，提高学生的分析能力、理解能力和解题计算能力。
环节⒋反馈练习
练习题：练习A组题1、2、3；练习B组题1、2、3
在本环节中，我将找学生到黑板做题，期间巡视下面同学的做题情况，加以纠正和讲解；通过解决书后练习题，巩固学生所学知识，同时教师也可以及时了解学生的掌握情况，以便及时调整自己的教学步调。
环节⒌归纳小结
本环节让学生自主归纳小结，①递推公式的定义；②由数列的递推公式推导出数列的通项公式。
环节⒍课后作业
必做题：习题2-1A组2、3、5、6、7；
选做题：
基于因材施教的原则，在根据不同层次的学生情况，把作业分为必做题和选做题，必做题要求所有学生全部完成，选做题要求留有余力的学生完成，使不同程度的学生都有所提高。本环节的目的是让学生进一步巩固和深化所学的知识，培养学生的自主探究能力
四、说板书设计§2.1数列的概念与简单表示法（2）
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.数列{an}中,若a1=1,an+1=-1,则a2016= ( )
A.-1
B.-
C.
D.1
3.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于 ( )
A.0
B.
C.2
D.5
4.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Πn,则Π2016的值为
( )
A.-
B.1
C.
D.2
5.已知数列{an}中,a1=b(b为任意实数),an+1=-(n∈N
)能使an=b成立的n的值可以是下面的 ( )
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016
6.若a1=1,an+1=,则给出的数列{an}的第4项是 ( )
A.
B.
C.
D.
7.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中最大值是 ( )
A.107
B.108
C.108
D.109
8.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N
),则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 ( )
A.a21和a22
B.a22和a23
C.a23和a24
D.a24和a25
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2016=________.
10.在数列{an}中,若a1=2,an+1=an+ln,则an=________.§2.1数列的概念与简单表示法（2）
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,
所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.
2.数列{an}中,若a1=1,an+1=-1,则a2016= ( )
A.-1
B.-
C.
D.1
【解析】选B.因为a1=1且an+1=-1,
令n=1,得a2=-,再令n=2,得a3=1,
所以数列{an}为1,-,1,-,…,周期为2.
故a2016=a2=-.
3.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于 ( )
A.0
B.
C.2
D.5
【解析】选B.由递推公式知a2=ma3+1,
故3=5m+1,即m=.
4.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Πn,则Π2016的值为
( )
A.-
B.1
C.
D.2
【解析】选B.由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而
Π2016=(-1)672=1.
5.已知数列{an}中,a1=b(b为任意实数),an+1=-(n∈N
)能使an=b成立的n的值可以是下面的 ( )
A.2013
B.2014
C.2015
D.2016
【解析】选B.由题意知,a2=-=-,
a3=-,a4=b,
所以数列{an}是以3为周期的周期数列,
在a2013,a2014,a2015,a2016中,a2014=a1=b.
6.若a1=1,an+1=,则给出的数列{an}的第4项是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.a2===,
a3===,a4===.
7.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中最大值是 ( )
A.107
B.108
C.108
D.109
【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2+108,
由于n∈N
,故当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值108.
所以数列{an}中的最大值为a7=108.
8.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N
),则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是 ( )
A.a21和a22
B.a22和a23
C.a23和a24
D.a24和a25
【解析】选C.因为3an+1=3an-2(n∈N
),所以an+1-an=-,所以数列{an}是递减数列,又因为a1=15,所以an=15-(n-1)=-n+,令an=0,即-n+=0,解得n==23.5,所以a23a24<0,故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2016=________.
【解析】计算得a2=,a3=,a4=,
故数列{an}是以3为周期的周期数列.
又2016除以3余0,所以a2016=a3=.
答案:
10.在数列{an}中,若a1=2,an+1=an+ln,则an=________.
【解析】由数列{an}中,若a1=2,an+1=an+ln,即an+1-an
=ln=ln(n+1)-lnn,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=
2+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)]=2+lnn.
答案:2+lnn
