§2.2等差数列
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;
正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。
●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。
●教学难点
等差数列的性质
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。
课本P41页的4个例子：
①0，5，10，15，20，25，…
②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。
⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{},若－=d
(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d
为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
2．等差数列的通项公式：【或】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
即：
即：
即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
由上述关系还可得：
即：
则：=
即等差数列的第二通项公式
∴
d=
[范例讲解]
例1
⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵
-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由
n=20，得
⑵由
得数列通项公式为：
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3
已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。
解：当n≥2时,
（取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p。
注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…
②若p≠0,
则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.
③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q
(p、q是常数)，称其为第3通项公式。
④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P39练习1、2、3、4
[补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N
）∴=4×4－1=15,
=4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
解：根据题意可得：=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：=2+（n－1）×7=7n－5.
令7n－5=100,解得：n=15,
∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：=0,d=－3
∴此数列的通项公式为：=－n+,
令－n+=－20,解得n=
因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d
，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q
(p、q是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P40习题2.2[A组]的第1题(共29张PPT)
2.2
等差数列
第1课时
等差数列
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6
000，
第二天：6
500，
第三天：7
000，
第四天：7
500，
第五天：8
000，
第六天：8
500，
第七天：9
000.
得到数列：
6
000，6
500，7
000，7
500，
8
000，8
500，9
000.
情境1：
情境2：
某名牌运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
得到数列：
6
000，6
500，7
000，7
500，
8
000，8
500，9
000.
数列1
数列2
问题1：请你说出这两个数列的
后面一项是多少？你的依据是
什么？
问题2：这两个数列的共同特
征是什么？
观察，分析，
交流，讨论
学生活动：
提示：9500，
等差。
提示：都是等差数列。
1.
理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
(重点）
2.
探索并掌握等差数列的通项公式；（重点）
3.
正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
（难点）
学生活动1
等差数列的定义
探究点1
等差数列的概念
探究性问题1：
以上数列是否是等差数列？
若是，公差是多少？
问题1
6，4，2，0，
-2，-4，…
问题2
4，7，10，
13，16，19,…
问题3
0，1，0，1，
0，1,…
问题4
常数列
公差可以是正数,负数，
也可以是0.
每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征）.
公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.
“从第2项起”
探究性问题1
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
1.数学表达式:an-an-1=d
(n≥2).
3.取值范围：d∈R.
2.
d为同一个常数，如2，3，5，9，11就不是等差数列.
下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差d.
（1）1，4，7,10；
（2）1,1.5,2,2.5,3,3.5；
（3）15，12，10，8，6，…
【解析】（1）是等差数列，公差d=3；
（2）是等差数列，公差d=0.5.
（3）不是等差数列，相邻两项的差不相同.
【即时练习】
探究性问题2：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2，
，4；
（2）-8，
，0；
（3）a，
，b
等差中项的
相关知识
3
-4
？
探究点2
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
分组讨论学习，
探究等差数列的
通项公式
猜想：
（1）等差数列8，5，2,…的第10项，第30项，第40
项？
（2）已知等差数列的首项为
，公差为
，请根据等差数列的特点，猜想
？
？
学生活动2
等差数列的通项公式：
迭加法
观察，发现
求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.
【即时练习】
【解析】（1）根据题意得：
a1=3,d=7-3=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
例1
（1）求等差数列8，5，2,…的第20项.
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
判断102是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，第几项，如果不是，说明理由。
【解析】由题意得：
a1=2,d=9-2=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+
(n-1)
×
7
=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得
n=107/7
N
∴102不是这个数列的项。
【变式练习】
【解析】由题意，
解之得a1=-2,d=3.
即
代入公式
例2
在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
【变式练习】
B
1.等差数列{an}的前三项依次为
a-6，-3a-5，-10a-1，
则a等于（
）
A.
1
B.
-1
C.
D.
由(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5
)得a=1.
【解析】
A
2.(2015·北京高考改编)已知等差数列{an}满足
a1+a2=10,a4-a3=2.
求{an}的通项公式.
【提示】利用等差数列的基本量计算.
【解析】设等差数列公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2
=10,所以a1=4.
因此,an=4+(n-1)×2=2(n+1).
3.在等差数列｛an｝中，
(1)
已知a1=2,d=3,求a10.
解：a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)
已知a1=3,an=21,d=2,求n.
解：21=3+(n-1)×2,
所以n=10.
(3)
已知a1=12,a6=27,求d.
解：a6=a1+5d,即27=12+5d,
所以d=3.
(4)
已知d=
a7=8,求a1.
解：a7=a1+6d,
8=a1+6×(
),
所以a1=10.
4.-20是不是等差数列0,-3.5,-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【解析】不是，理由如下：
a1=0,d=-3.5.
所以-20不是这个数列中的项.
，因为n∈N
，
-20=0+(n-1)×(-3.5)，
1.等差数列的定义
2.通项公式及其应用
你都掌握
了吗？
等差数列
一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数.
d=an+1-an.
an=a1+(n-1)d.
等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
3.等差数列
几何意义——
通项——
公差——
定义——§2.2等差数列（1）
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N
)的项数是( )
A．n
B．3n＋11
C．n＋4
D．n＋3
解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.
答案：D
2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( )
A．bn＝a
B．bn＝an＋n2
C．bn＝an＋an＋1
D．bn＝nan
解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：
bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.
答案：C
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A.
B.
C.
D.
解析：a，b的等差中项为×＝
×(－＋＋)＝.
答案：A
4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89的项数为( )
A．92
B．47
C．46
D．45
解析：因为a1＝1，d＝－1－1＝－2，
所以an＝1＋(n－1)×(－2)．
an＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，则n＝46.
答案：C
5．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A．－2
B．－
C.
D．2
解析：由题意知a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，①
a1＋2d＝0，②
由①②解得：d＝－.
答案：B
二、填空题
6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2
7．在等差数列{an}中，a3＝2，a7＝9，则a15＝________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
所以a15＝－＋14×＝23.
答案：23
8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.
答案：5
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：(1)因为a5＝－1，a8＝2，所以解得
(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，
解得
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
所以a9＝2×9－1＝17.
10．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值，你能判断该数列从第几项开始为正数吗？
解：由等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d，
列方程组
解得
所以a14＝－46＋13×2＝－20.
所以an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48.
令an≥0，得2n－48≥0 n≥24，
所以从第25项开始，各项为正数．《等差数列的概念》说课稿
各位评委老师好，我说课课题是《等差数列的概念》第一课时。
一、教材分析：
（一）教材地位：
本节课教材选自人教版《数学：基础模块》6.2.1，主要内容是等差数列的概念，包括等差数列的定义，通项，例1，例2。在这节课前面的章节是《数列的概念》，后面的章节是《等差数列求和公式》，这节课需要联系已学章节中的内容，比如通项公式的定义，而且为后面章节《求和公式》准备知识基础。《中职数学教学大纲》对这部分知识的要求是“理解”——懂得知识的概念和规律以及与其他知识的联系。
（二）教学目标
根据本节课的教学内容，教纲对学生的要求，结合中职电子电工专业学生的知识水平与认知特点，确定本节课的教学目标：
知识目标：等差数列的定义（强调公差），等差数列的通项公式。
能力目标：培养学生计算技能、分析与解决问题能力。
情感目标：（1）结合生活、生产实践，进行数学来源于生活的唯物观教育。（2）通过问题解决培养学生注重细节，注重程序，注重逻辑的思维习惯。
（三）重点难点
1.重点：等差数列的概念（等差数列与一般数列的区别），求通项公式。
2.难点：求等差数列通项公式以及项。
二、教法
根据学生的知识水平与认知习惯，尽量从直观入手，利用图像，让学生体会“数”在“图”上的直观体现。分层教学，对A组，B组在课堂任务分配与课后作业中体现差别。设计问题引导上课进程，体现教师的主导地位。
三、学法
遵循学生的认知规律，给予充分的时间让学生动眼看，动嘴读，到动脑思考，体现学生的主体地位。
四、教学用具
PPT课件、玩具梯子。
五、教学过程
（一）预习环节
在上一节课《数列的通项》时布置预习作业：1.百度百科“等差数列”（其中内容为等差数列的相关概念、基本性质、小故事等等）2.阅读本节课并用红色标记概念，公式。
（二）课堂环节
1.引入（时间在5分钟左右）
（1）设问：梯子一共有九级，最高一级宽是33cm，往下第二级宽是40cm，第三级宽是47cm，那么接下来各级的宽各是多少？
（2）数列33，40，47，54，61，75，82，89从第2项开始每一项与前一项的差都是什么？
设计意图：引出等差数列的定义，而且为下节课例5的讲解做好铺垫。
2.分析概念，求通项（时间控制在10分钟左右）
（1）概念内涵：从第2项起（n≥2），每一项（an）与前一项（an-1）的差都等于同一常数（公差d）。
注：在分析内涵的同时，给出定义式。
概念外延：包括常数列。
（2）求通项公式。
设问1：已知一个等差数列的首项和公差，我们根据等差数列的定义可以求出它的第2项么？第3项呢？第n项呢？
设计意图：由浅至深，自然得出通项公式。
练习巩固：求引入问题中等差数列的通项。
结论：1.我们要写出通项公式必须求出首项与公差。2.通项公式中有4个变量，所以我们只要知道其中三个量就可以求出另一个量。
思考：通项公式可以进行怎么样的变式？
（3）练习：P13A组T2（已知三个量求另一个量）
3.例题、练习讲解（时间控制在20分钟左右）
（1）例1：已知等差数列8，5，2，···
求:1.它的首项与公差,通项公式.
2.等差数列中的第20项,第100项
设计意图：1分解例题，降低难度，突破难点提高学生参与度2.凸显重点——通项公式的作用。
（2）练习P13A组T1（1）巩固
（3）例2：已知等差数列-5，-9，···
求:1.它的首项与公差,通项公式.
2.-401是其中的第几项？
设计意图：增加三个小问题突破难点——求通项公式。强调重点——通项公式的作用。
（4）练习P13B组T1（改）
求等差数列2，9，16，···中的第10项，第n项
设计意图：巩固所学。
小结、作业（复习、预习作业布置）
（1）小结：如图，利用思维导图进行小结，让学生形成知识结构。
（2）作业：i复习巩固作业A组做P13
T1(2)
B组除了A组的题目还需做P13
B组T2
ii预习作业：阅读P11，12，用红色笔划出重点（公式，定义）用蓝色的笔划出有疑问的地方。
5.板书：如图（不同颜色粉笔）§2.2等差数列（1）
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N
)的项数是( )
A．n
B．3n＋11
C．n＋4
D．n＋3
2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( )
A．bn＝a
B．bn＝an＋n2
C．bn＝an＋an＋1
D．bn＝nan
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A.
B.
C.
D.
4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89的项数为( )
A．92
B．47
C．46
D．45
5．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A．－2
B．－
C.
D．2
二、填空题
6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．
7．在等差数列{an}中，a3＝2，a7＝9，则a15＝________．
8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
10．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值，你能判断该数列从第几项开始为正数吗？§2.2等差数列（1）
学习目标
1.
理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2.
探索并掌握等差数列的通项公式；
3.
正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P36
~
P39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？
复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
①
0，5，10，15，20，25，…
②
48，53，58，63
③
18，15.5，13，10.5，8，5.5
④
10072，10144，10216，10288，10366
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它
一项的
等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的
，
常用字母
表示.
2.等差中项：由三个数a，A，
b组成的等差数列，
这时数
叫做数
和
的等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
，即：
，
即：
，即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项.
※
典型例题
例1
⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵
－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
例2
已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？
变式：已知数列的通项公式为，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
小结：要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数.
※
动手试试
练1.
等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.
练2.在等差数列的首项是，
求数列的首项与公差.
三、总结提升
※
学习小结
1.
等差数列定义：
(n≥2)；
2.
等差数列通项公式：
(n≥1).
※
知识拓展
1.
等差数列通项公式为或.
分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线上的一些间隔均匀的孤立点.
2.
若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为.
若四个数成等差数列，可设这四个数为.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（
）.
A.
92
B.
47
C.
46
D.
45
2.
数列的通项公式，则此数列是（
）.
A.公差为2的等差数列
B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列
D.公差为n的等差数列
3.
等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（
）.
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6
4.
在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则∠B＝
.
5.
等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那么a＝
，b＝
.
课后作业
1.
在等差数列中，
⑴已知，d＝3，n＝10，求；
⑵已知，，d＝2，求n；
⑶已知，，求d；
⑷已知d＝－，，求.
2.
一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.
