(共24张PPT)
第2课时
等差数列的性质
1.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2.
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
(重点、难点）
提示：成立.
思考：在上述两个数列中，首项和公差各是多少？
(2015·重庆高考)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,
则a6=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.6
【解析】选B.因为数列{an}为等差数列,所以a4为a2和a6的等差中项,所以有2a4=a2+a6,解得a6=0.
【解题关键】解答本题可以利用等差中项的概念进行计算.
【即时练习】
B
例1
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km（不含4
km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费
梯子的最高一级宽33
cm，最低一级宽110
cm，中间
还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.
【解析】
由题意知，建立一个等差数列{an}来计算中间各级的宽，由已知条件，有a1=33,a12=110，1≤n≤12，n∈N
,
又a12=a1+(12-1)d，即110＝33＋11d，所以
d=7，因此，a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103.
答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40
cm、47
cm、
54
cm、61
cm、68
cm、75
cm、82
cm、89
cm、96
cm、103
cm.
【变式练习】
证明等差数列的方法：
1.利用定义;
2.利用等差中项的性质;
3.利用通项公式是一次函数的性质.
在等差数列{an}中，已知
a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
【解析】a4+a5+a6+a7=56，所以a4+a7=28，①
又a4a7=187②，
联立①②解得
a4=17，
a7=11，
a4=11，
a7=17，
或
所以d=
-2或2,
从而a14=
-3或31.
【变式练习】
例3
在等差数列{an}中，
(1)已知
a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20.
(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8.
【解析】由a1+a20
=a6+a15=
a9+a12
及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10.
【解析】
a3+a11
=a6+a8
=2a7
，又a3+a11=10，
所以
a6+a7+a8=
（a3+a11）=15.
熟记性质
10
【变式练习】
1．在等差数列{an}中，a1+a9＝10，则a5的值为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
【解析】∵a1＋a9＝2a5，
∴a5＝5.
A
A
【解析】由题意知a4+a5=a2+a7
∴a2=15-12=3，故选A.
3.在等差数列
中，若
a1+
a2+
a3+
a4=30，则a2+
a3=
.
【解析】
15
C
5
（一）等差数列的基本性质
1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.(m,n,p,q∈N
)
2.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做
a与b的等差中项.
3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列.
4.两个等差数列{an},{bn}的和、差还是等差数列,即{an±bn}也是等差数列，{pan}、{an+c}也是等差数列.
（二）等差数列的证明
1.利用定义;
2.利用等差中项的性质;
3.利用通项公式是一次函数的性质.
(三)等差数列的公差与增减性的关系
公差d
数列{an}为递增数列
数列{an}的增减性
例子
d>0
d=0
数列{an}为常数列
数列{an}为递减数列
1,2,3,4,…,n
1，1，…，1，1
3，2，1，0，
-1，…，4-n
d<0
（四）等差数列与一次函数的关系
an=kn+b(n∈N
)
等差数列
一次函数
解析式
不同点
定义域为N
，图象是均匀排开的一系列孤立的点.
等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次整式，都是简单的，也是最基本的数列或函数的解析式.
f(x)=kx+b(k≠0)
定义域为R，图象为一条直线.
相同点§2.2等差数列
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d
，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q
(p、q是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
①
d=－
②
d=
③
d=
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A
，即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：成等差数列
[补充例题]
例
在等差数列{}中，若+=9,
=7,
求
,
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
解：∵
{an
}是等差数列
∴
+=+
=9=9－=9－7=2
∴
d=－=7－2=5
∴
=+(9－4)d=7+5
5=32
∴
=2,
=32
[范例讲解]
课本P38的例2
解略
课本P39练习5
已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
即
m+n=p+q
(m,
n,
p,
q
∈N
)
但通常
①由
推不出m+n=p+q
，②
探究：等差数列与一次函数的关系
Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2.
在等差数列中,
若
求
Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容：
1．成等差数列
2．在等差数列中，
m+n=p+q
(m,
n,
p,
q
∈N
)
Ⅴ.课后作业
课本P41第4、5题§2.2等差数列
一、选择题
1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项值为( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
2．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a1＋a8＜a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8＞a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
3．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．
30
B．27
C．24
D．21
4．下面是关于公差d＞0的等差数列(an)的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A.
p1，p2
B．p3，p4
C．p2，p3
D．p1，p4
5．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________．
7．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________．
8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________________．
三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
10．数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求{an}的通项公式．§2.2等差数列（2）
学习目标
1.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2.
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P39
~
P40，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？
复习2：等差数列的通项公式是什么？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务：等差数列的性质
1.
在等差数列中，为公差，
与有何关系？
2.
在等差数列中，为公差，若且，则，，，有何关系？
※
典型例题
例1
在等差数列中，已知，，求首项与公差.
变式：在等差数列中，
若，，求公差d及.
小结：在等差数列中，公差d可以由数列中任意两项与通过公式求出.
例2
在等差数列中，，求和.
变式：在等差数列中，已知，且，求公差d.
小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则
，可以使得计算简化.
※
动手试试
练1.
在等差数列中，，
，求的值.
练2.
已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？
三、总结提升
※
学习小结
1.
在等差数列中，若m+n=p+q，则
注意：，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
2.
在等差数列中，公差.
※
知识拓展
判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）；
（2）；
（3）.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
一个等差数列中，，，则（
）.
A.
99
B.
49.5
C.
48
D.
49
2.
等差数列中，，则的值为（
）.
A
.
15
B.
30
C.
31
D.
64
3.
等差数列中，，是方程，则＝（
）.
A.
3
B.
5
C.
－3
D.
－5
4.
等差数列中，，，则公差d＝
.
5.
若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝
，b＝
，c＝
.
课后作业
1.
若
，
，
求.
2.
成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.等差数列性质总结
1.等差数列的定义式：（d为常数）（）；
2．等差数列通项公式：
，
首项:，公差:d，末项:
推广：
．
从而；
3．等差中项
（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或
（2）等差中项：数列是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1）
定义法：若或(常数)
是等差数列．
（2）
等差中项：数列是等差数列．
⑶数列是等差数列（其中是常数）。
（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若或(常数)
是等差数列
等差中项性质法：．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）
8.等差数列的性质：
（1）当公差时，
等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和是关于的二次函数且常数项为0.
（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有.
注：，
（4）若、为等差数列，则都为等差数列
(5)
若{}是等差数列，则
，…也成等差数列
（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和
。当项数为偶数时，
。当项数为奇数时，则
（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）的前和分别为、，且，
则.
（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和
则
(10)求的最值
法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和
即当
由可得达到最大值时的值．
（2）
“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即
当
由可得达到最小值时的值．
或求中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．§2.2等差数列
一、选择题
1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项值为( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N
)，从而c37＝100.
答案：C
2．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )
A．a1＋a8＜a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8＞a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.
答案：B
3．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．
30
B．27
C．24
D．21
解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列．
所以39＋b3＝2b2＝66，b3＝66－39＝27.
答案：B
4．下面是关于公差d＞0的等差数列(an)的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A.
p1，p2
B．p3，p4
C．p2，p3
D．p1，p4
解析：因为an＝a1＋(n－1)d，d＞0，所以数列{an}是递增数列，故p1正确．同理知p4正确．
命题p2中，因为nan＝na1＋n(n－1)d是n的二次函数
所以其增减与a1，d的大小有关，故错误．
命题p3中，因为＝＋
d其增减性与a1与d的大小有关，所以p3错．
答案：D
5．下列说法中正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析：因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，
即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．
答案：C
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________．
解析：由已知得a3＋a10＝3.
又数列{an}为等差数列，
所以a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案：3
7．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________．
解析：由等差数列的性质可知，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝(a3＋a11)＋(a5＋a9)＋a7＝5a7＝100，
所以a7＝20.
所以3a9－a13＝2a9＋a9－a13＝(a5＋a13)＋a9－a13＝a5＋a9＝2a7＝40.
答案：40
8．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________________．
解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
三、解答题
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝
10＋10，
所以a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
所以(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
所以a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30，80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．
所以30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，
所以a11＋a12＋…＋a15＝130.
10．数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求{an}的通项公式．
解：因为b1＋b2＋b3＝＋＋＝，b1b2b3＝＝，
所以a1＋a2＋a3＝3.
因为a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，
所以a2＝1.
由＋＋＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋
2(n－1)＝2n－3；
当d＝－2时，a1＝1－d＝3，
an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
