《等差数列前n项和公式》说课稿
各位评委，大家好：
我说课的课题是高中数学(人教B版)必修5第二章等差数列中“等差数列前n项和公式”的第一节内容，我将从教材分析、学情分析、教法分析、学法过程、教学过程五个方面来展开本节的说课内容。
一、设计思想
在讲授式的教学中，课堂实施过于注重知识的机械传授，忽略了学生学习的主体性，也抑制了学生综合能力的提高和综合素质的发展。当代学生观重视学生的自主发展，认为教育就应看到学生的未完成性，给学生创造发展的环境和机会。
本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方法，借助教材或教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。因此，我在此堂课的教学中借助图形拼接演示等差数列的前项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。
二、教材分析
1、教学内容：《等差数列前n项和》是现行教材高一上册第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前项和的推导过程和简单应用。
2、地位与作用：
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式及其简单应用。它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着密切的联系；同时，又为后面学习等比数列前n项和、数列求和等内容作好准备。因此，本节课既是本章的重点也是教材的重点。
与几何、函数等其他数学领域知识结合性强，是方程思想等诸多数学思想的学习载体，具有丰富的现实背景
3．教学目标
知识与技能目标：掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，掌握倒序相加法。
情感与态度价值观：使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推理能力。
4．教学重点、难点
重点：等差数列的前n项和公式。
用等差数列前项和公式解决简单实际问题。
难点：等差数列的前n项和公式的推导。
关键通过具体的例子发现一般规律。
三、学情分析
1、1
.认知基础：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。
2、2
.思维特点：正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。思维的严密性需要进一步的加强。
3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。
四、教法分析
数学是一门培养和发展思维的重要学科，因此在教学中要以学生为本，遵循学生的认知规律，展现获取知识和方法的思维过程。在教学中采用以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用变式题组的形式加强公式的掌握运用。整个教学过程分成问题呈现、探索与发现、应用公式三个阶段。
五、学法分析
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
六、教学流程
上节回顾，铺垫思维——创设情境，提出问题——启发引导，探索发现——类比联想，解决问题——总结公式，进行记忆——变式训练，深化认识——课堂小结，布置作业
七、教学过程设计
（一）上节回顾，铺垫思维
（1）等差数列的定义
（2）通项公式
（2）重要性质：
二）创设情景，提出问题
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。
【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。
（二）探究等差数列前n项和公式
教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，征求高斯故事。
问题2：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？
高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050
问题3：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？即1+2+3+····+21=？
借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：
把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形
获得算法：
说明：这是求奇数个项求和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要启发学生观察中间项11与首、尾两项1和21的和它们之间的关系。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”
的算法还得分奇数个项、偶个项两种情况求和。
【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。
问题4：求1到n的正整数之和，即1+2+3+····+n=？
说明：从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对”算法的改进。
设计意图：引导学生实现由图形倒置拼补迁移到数式求和的倒序相加，从而突破本节课的难点。采用由特殊到一般的研究方法.从学生熟悉的知识背景出发,让学生在具体的问题情境中,经历知识的形成和发展,充分体现了新课标“以人为本”,强调“以学生发展为核心”的原则。
（三）类比联想，解决问题
方法2
（四）总结公式，进行记忆
（五）公式应用
例：等差数列中，已知：
,求前n项和及公差d.（教师引导，师生共同完成）
选用公式：根据已知条件选用适当的公式
求出
变用公式：要求公差d，需将公式2变形运用，求d
知三求二
等差数列的五个基本量知三可求另外两个
（六）课堂小结，布置作业
小结：回顾从特殊到一般的研究方法
倒序相加法求和及数形结合，函数与方程的数学思想
掌握等差数列的前n项和公式及简单应用
课后作业：
说课小结：问题---探究的教学模式
由特殊到一般的研究方法
体现了数形结合的数学思想
课后作业：p120
1、2题
方法1：
n§2.3
等差数列的前n项和
学习目标
1.
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2.
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P42
~
P44，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？
复习2：等差数列有哪些性质？
二、新课导学
※
学习探究
探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1.
计算1+2+…+100=
2.
如何求1+2+…+n=
新知：
数列的前n项的和：
一般地，称
为数列的前n项的和，用表示，即
反思：
①
如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项的和
②
如何求首项为，公差为d的等差数列的前n项的和
试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和.
⑴
⑵.
小结：
1.
用，必须具备三个条件：
.
2.
用，必须已知三个条件：
.
※
典型例题
例1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.
为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.
那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
小结：解实际问题的注意：
①
从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
②
写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.
例2
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.
由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
变式：等差数列中，已知，，，求n.
小结：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.
※
动手试试
练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n为（
）.
A.
12
B.
16
C.
9
D.
16或9
三、总结提升
※
学习小结
1.
等差数列前n项和公式的两种形式；
2.
两个公式适用条件，并能灵活运用；
3.
等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
※
知识拓展
1.
若数列的前n项的和（A，A、B是与n无关的常数），则数列是等差数列.
2.
已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，设也成等差数列，公差为.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
在等差数列中，，那么（
）.
A.
12
B.
24
C.
36
D.
48
2.
在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.
A．5880 B．5684 C．4877 D．4566
3.
已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（
）
A.
24
B.
26
C.
27
D.
28
4.
在等差数列中，，，则
.
5.
在等差数列中，，，则
.
课后作业
1.
数列｛｝是等差数列，公差为3，＝11，前和＝14，求和.
2.
在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2
这些数的和是多少？等差数列的前n项和
一、选择题
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A．12
B．24
C．36
D．48
2．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2
B．3
C．6
D．7
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12
B．14
C．16
D．18
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1
B．－1
C．2
D.
二、填空题
6．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11等于________．
7．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________．
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
10．已知等差数列{an}的公差劲d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a2；
(2)若S5＞a1a9求a1的取值范围．等差数列的前n项和
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点
等差数列n项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:
“现在给大家出道题目:
1+2+…100= ”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
探究：——课本P51的探究活动
结论：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由，得
当时==
=2p
对等差数列的前项和公式2：可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前项和公式1：
证明：
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．
等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但
代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件：
（有时比较有用）
[范例讲解]
课本P43-44的例1、例2、例3
由例3得与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．差数列{}中,
＝－15,
公差d＝3,
求数列{}的前n项和的最小值。
Ⅳ.课时小结
1．前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的
首项是
公差是d=2p
通项公式是
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。
（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值
利用：
由利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅴ.课后作业
课本P46习题[A组]2、3题等差数列的前n项和
一、选择题
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( )
A．12
B．24
C．36
D．48
解析：由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.
答案：B
2．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2
B．3
C．6
D．7
解析：法一：由
解得d＝3.
法二：由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，
解得d＝3.
答案：B
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63
B．45
C．36
D．27
解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案：B
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12
B．14
C．16
D．18
解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
答案：B
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1
B．－1
C．2
D.
解析：＝＝＝＝×＝1.
答案：A
二、填空题
6．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11等于________．
解析：设的公差为d，则有＝＋4d，
解得d＝，所以＝＋8d，
即＝＋，
解得a11＝.
答案：
7．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________．
解析：an＝2n－30，令an＜0，得n＜15，即在数列{an}中，前14项均为负数，
所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝
－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.
答案：190
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋
d以及a1＝12，
d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋·2，
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知等差数列{an}的公差劲d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a2；
(2)若S5＞a1a9求a1的取值范围．
解：(1)因为数列{an}的公差d＝－1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a＋8a1，即a＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.故a1的取值范围是(－5，2)．(共32张PPT)
2.3
等差数列的前n项和
第1课时
等差数列的前n项和
高斯
(1777—1855）
德国著名数学家
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
我们先看下面的问题.
1+2+3+···+100=
带着这个问题，我们进入本节课的学习！
1.
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
(重点）
2.
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．（难点）
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1
+
2
+
3
+…+98+99+100
反序S100=100+99+98+…+
3+
2
+
1
+
+
+
+
+
+
+
作
加
法
+
+
+
+
+
+
+
作
加
法
多少个101
100个101
2S100=101+101+101+…+101+101+101
//
//
//
//
//
\\
\\
+
+
+
+
+
+
+
作
加
法
探究点1
等差数列的前n项和公式
所以S100=
(1+100)×100
？
？
首项
尾项
？
总
和
？
项数
这就是等差数列前n项和的公式！
=5
050
+ 得：
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则
证：Sn=
a1+
a2
+
a3
+
…
+an-2+an-1+an,
即Sn=
a1,
an
+
a2
+
+an-1+
a3
an-2
+…+
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+
…
+(a1+an)
多少个(a1+an)
共有n个(a1+an)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq
知：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以 式可化为：
=
n(a1+an).
这种求和的方法叫倒序相加法！
因此，
【即时练习】
探究点2
等差数列的前n项和公式的其他形式
【即时练习】
例1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施
“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
【解析】根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”
工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{an}
，表示从2001年起各年投入的资金，其中
本题的设计意图：
培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.
【变式练习】
C
例2
已知一个等差数列
前10项的和是310，前20项的和是1
220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
【解题关键】将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于
与d的二元一次方程，由此可以求得
与d，从而得到所求前n项和的公式.
【规律总结】
此例题的目的是建立等差数列前n项和与方程组之间的联系.已知几个量，通过解方程组，得出其余的未知量.
让我们归纳一下！
【变式练习】
C
【变式练习】
B
2.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5= ( )
A.5
B.7
C.9
D.11
【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3 a3=1,S5=
=5a3=5.
A
6
A
说明：两个求和公式的使用——知三求一.
