等差数列的前n项和（2）
一、选择题
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30
B．31
C．32
D．33
解析：中间项为an＋1.
S奇＝·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.
S偶＝·n＝n·an＋1＝480.
所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.
答案：C
2．等差数列{an}的公差d＝且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5
B．72.5
C．60
D．85
解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为( )
A.
B.
C.
D.
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.
所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.
所以＝.
答案：A
4．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为( )
A．a3＋a5
B．a2＋2a10
C．a20＋d
D．a12＋a9
解析：因为S20＝×20＝10(a1＋a20)．
所以M＝a1＋a20＝a12＋a9.
答案：D
5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于( )
A．1
113
B．4
641
C．5
082
D．53
361
解析：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4
641.
答案：B
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是________．
解析：由|a5|＝|a9|且d＞0得，a5＜0，
a9＞0且a5＋a9＝0 2a1＋12d＝0 a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7，且最小．
答案：6或7
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
解析：由
解得
所以a5＝a1＋4d＝0，
所以S4＝S5同时最大．
所以n＝4或5.
答案：4或5
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝
________.
解析：由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0，所以＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，
因为S12＞0，S13＜0，
所以即
所以－＜d＜－3.
(2)因为S12＞0，S13＜0，
所以所以
所以a6＞0，又由(1)知d＜0.
所以数列前6项为正，从第7项起为负．
所以数列前6项和最大．
10．已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：由S2＝16，S4＝24，
得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N
)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－
…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝(共27张PPT)
第2课时
等差数列（第二课时）
高斯（Carl
Friedrich
Gauss,
1777-1855）
德国数学家、物理学家、天文学家.1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于格丁根.高斯是近代数学的奠基者之一.
与阿基米德、牛顿号称“三大数学大师”,并享有“数学王子”的美誉!他幼年时就表现出超人的数学天赋.
上一节课我们已经学习了高斯关于1+2+…+100=
的算法，本节课我们将继续研究等差数列的有关性质及其应用！
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
（重点）
3.会利用等差数列通项公式与前
n项和的公式研究最大（小）值.
（难点）
1.等差数列定义：an-an-1=d（d为常数）（n≥2）.
3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）d.
2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d.
探究点1
等差数列的性质
4.数列{an}为等差数列，则通项公式an=pn+q
(p,q是常数),反之亦然.
12.性质:
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m
也成等差数列.
联系:
an
=
a1+(n-1)d的图象是相应直线上
一群孤立的点，它的最值又是怎样
由d的正负决定
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=5,S10=20，求S15.
【解析】因为S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，
所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,
即30=5+S15-20，
S15=45.
【即时练习】
一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
分析：因为当n>1时，
当n=1时，a1=S1=p+q+r，
又因为当n=1时，a1=2p-p+q=p+q，
所以当且仅当r
=0时，a1满足an=2pn-p+q.
an=Sn-Sn-1
=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r
=2pn-p+q.
探究点2
等差数列的前n项和与二次函数的关系
数列{an}为等差数列
故只有当r=0时该数列才是等差数列，此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0).
等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系
定义域为N
联系
Sn
图象是一系列
孤立的点.
区别
f(x)
定义域为R
图象是一条光滑的抛物线.
①解析式都是二次式；
②Sn的图象是抛物线y=f(x)上的一系列孤立点.
【即时练习】
(-1,-
)
(1)
当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1
≤0，求得n的值；
当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.
可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.
解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(2)
由
取最值时n的值.
,利用二次函数配方法求得
【规律总结】
设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和，则（
）
A.
S4B.
S4=S5
C.
S6D.
S6=S5
B
【变式练习】
5
【变式练习】
1.在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于（
）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
12
2.等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为（
）
A.
130
B.
170
C.
210
D.
260
C
C
3.设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前
三项的积为48，则它的首项是（
）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
6
B
20
27
1.等差数列的前n项和与二次函数的关系；
2.利用Sn求an；
3.等差数列基本量的计算；
4.等差数列的性质.
5.等差数列的有关公式
通项公式
数列{an}是等差数列，公差为d，an=a1+_________.
求和公式
数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，
则Sn＝______________________.
等差中项公式
若三个数a，A，b成等差数列，则中项A=_____.
(n－1)d等差数列的前n项和（2）
一、选择题
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30
B．31
C．32
D．33
2．等差数列{an}的公差d＝且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5
B．72.5
C．60
D．85
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为( )
A.
B.
C.
D.
4．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为( )
A．a3＋a5
B．a2＋2a10
C．a20＋d
D．a12＋a9
5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于( )
A．1
113
B．4
641
C．5
082
D．53
361
二、填空题
6．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是________．
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝
________.
三、解答题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
10．已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.§2.3
等差数列的前n项和(2)
学习目标
1.
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2.
了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3.
会利用等差数列通项公式与前
n项和的公式研究的最大（小）值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P45
~
P46，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{}中，
＝－15，
公差d＝3，求.
复习2：等差数列{}中，已知，，求和.
二、新课导学
※
学习探究
问题：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※
典型例题
例1已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.
这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项和前n项和关系为
=，由此可由求.
例2
已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.
变式：等差数列{}中，
＝－15，
公差d＝3，
求数列{}的前n项和的最小值.
小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用:
当>0，d<0，前n项和有最大值，可由≥0，且≤0，求得n的值；当<0，d>0，前n项和有最小值，可由≤0，且≥0，求得n的值
（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值.
※
动手试试
练1.
已知，求数列的通项.
练2.
有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.
三、总结提升
※
学习小结
1.
数列通项和前n项和关系；
2.
等差数列前项和最大（小）值的两种求法.
※
知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则
；；
2°若项数为奇数2n＋1，则
；；；
.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
下列数列是等差数列的是（
）.
A.
B.
C.
D.
2.
等差数列{}中，已知，那么（
）.
A.
3
B.
4
C.
6
D.
12
3.
等差数列{}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（
）.
A.
70
B.
130
C.
140
D.
170
4.
在小于100的正整数中共有
个数被7除余2，这些数的和为
.
5.
在等差数列中，公差d＝，，
则
.
课后作业
1.
在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n的值.
2.
等差数列{}，，，该数列前多少项的和最小？★等差数列前n项和最值问题的快速解法
等差数列前n项和公式是，记住抛物线对称轴方程.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出关系式，则马上知道抛物线的对称轴方程为，即两足标和的一半！关于的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程，
★设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0和，则可设
■
（图像中x轴对应n轴，y轴对应轴，等差最值问题要立刻想到这2个图像！）
例1
等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解：抛物线对称轴方程为，则可设，
由
时，
例2
在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,
有最大值,并求它的最大值。
解：抛物线对称轴方程为，则可设
由，则
所以
n=12或13时，
例3
等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？
解
∵，∴的图像所在的抛物线的对称轴为，又
,，∴的前10项或前11项的和最小。
变式：等差数列中，，，该数列前多少项的和最大？
解：抛物线的对称轴为，又，所以n=6
or
7
例4
设等差数列的前n项和为，已知
求公差d的取值范围
指出中哪一个值最大,并说明理由.
解：（1）
的取值范围是
由（1）知d<0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0
和
，因，则2，故的值最大.
例5设等差数列的前n项和为，且，则k=
8
解：抛物线对称轴
①设等差数列的前n项和为，且，求的值
解：抛物线对称轴方程为，则抛物线两个零点为0和，所以=0
②已知等差数列的前项和满足，则
上面的结论，答案是0，对吧？
③已知等差数列的通项为，则使得最大的的值是？
解：（d就是一次项n的系数！why ），抛物线开口向下，有最大值，由抛物线对称轴方程，故答案为8.
设等差数列满足，且，则前n项和中最大的是（
）
A
B.
C
D
解：，抛物线开口向下，
由对称轴，最大，选择C
例8
（2010福建理科3）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,
n等于
（
）
A.6
B.7
C.8
D.9
速解：，d>0,抛物线开口向上，故有最小值。由抛物线对称轴方程，故选A
例9
（2009安徽理科）已知为等差数列，，。以表示的前n项和，则使得达到最大值的n是
（A）21
（B）20
（C）19
（D）18
解：
①
②
由②-①得，代入①得
故对称轴，故选B§2.3
等差数列的前n项和(2)
【教学目标】
1.知识与技能：
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.
2.过程与方法：
通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.
3.情感、态度与价值观：
①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；
②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.
【教学重点】
等差数列前n项和公式的掌握与应用.
【教学难点】
灵活应用求和公式解决问题.
【教辅手段】
多媒体投影仪、黑板
【教学过程】
I.情景设置—温故知新
首先，回顾上一节所学的内容：
（1）等差数列的前n项和公式1：
（2）等差数列的前n项和公式2：
Ⅱ.新知探究
等差数列的等价条件
例1：已知数列的前项和，求
（1）
（2）求这个数列的通项公式.
（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.
[设计意图]本例题实际上给出了数列前项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前项是一个常数项为0的关于的二次型函数.
接下来，我们来完成一探究题.
如果一个数列的前
n
项和为.其中p、q、r
为常数，且
，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：由
得
又
时
此类数列从第二项开始为等差数列.
归纳要使数列为等差数列，则即
[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前项公式是一个常数项为0的关于的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.
2.等差数列的最值问题
例2：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值
分析：等差数列的前n项和公式可以写成
，所以
可以看成函数，，当时的函数值.另一方面，容易知道
关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.
解：由题意知，等差数列
的公差为
所以
当
n取与最接近的整数即为7或8时取最大值.
[设计意图]通过学习等差数列前项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。
例3：等差数列
中，，求使得最小的序号的值？
解法一（同例2的解法一样，在此可以带过即可）：
由得
因此
则
则
由以上条件知有最小值.
又
，则=10或11时取最小值，最小值为.
即
解法二：由解法一知
而
则数列为递增数列.
令
即
数列的前10项均为负值,
=0.从第12项开始为正值.
n=10或n=11时取最小值.
解法三：
即
又则数列
为递增数列.
数列的前10项均为负值，
=0.从第12项开始为正值.
当n=10或11是取最小值.
[设计意图]本例是对例2
的深化，通过一般的求最值方法，引导学生思考用简单的方法来解决同样的问题，达到数学浅入深出的学习效果。
等差数列前项和的性质
例4：已知数列是等差数列，是其前项和，求证也成等差数列，设成等差数列吗？
解法一：由
可得
解法二：
同理可得：
（的情况也类似，在此省略）
[设计意图]本例是要求学生通过自己做题来得出结论的，但是为了学生能更好的理解这个结论并且应用这个结论，在本节课加了这个例题，希望可以减轻学生课后的负担。
例5：（备用例题，时间允许可在课堂上讲解）若两个数列和的前项和和满足关系式求
（分析：条件是前项和的比值，而结论是通项的比值，所以，需要将通项的比值转化为前项和的比值，恰当的应用等差公式可以简化解题过程.）
解：由等差数列性质：
[设计意图]本例题对于初学者来说解答比较困难，若果让学生自行解答比较吃力，在这里加了讲解，希望对学生有所帮助。
【归纳提升】
1.等差数列的等价条件
若一个数列为等差数列，则
中的C必为0，A、B为任意常数.反之也成立.
2.求等差数列前n项和的最值有两种方法
第一种：根据项的正负来定
若，则数列的所有正数项之和最大，
若,
则数列的所有负数项之和最小..
第二种：
由二次函数的最大，小值知识及
知.当n取接近于的正整数时，取最大值（或最小值）值得注意的是接近的正整数有时1个，有时2个.
3.等差数列前项和的性质
若数列是等差数列，是其前项和，设也成等差数列.
[设计意图]总结是为了让学生明白本节课的重难点在哪，同时使学生回顾本节课的知识点，达到复习加总结的效果。
【即时体验】
问题1.等差数列中，，求数列的前n项和的最小值.
分析：利用归纳的2种解题方法进行求解：①将Sn表示成关于n的一元二次函数的最值求解.②确定数列中负值的个数，由所有项之和最小求解.
解答过程略.
问题2：已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为多少？
解：成等差数列，设其公差为D，
又首项为，前10项的和为
又
问题3：若两个等差数列的前项和之比是，试求它们的第11项之比.
分析：同例3同题型，问题转化为具体的项之比，题目更简单化，解答过程在此处省略.
[设计意图]及时巩固，让学生活学活用，直接应用本节课所学的知识点来解决数学问题。达到加深理解的学习效果。
八、课后延续
P46习题2.3.A组第3题；P47习题2.3.B组第4题
[设计意图]课后作业可以让学生加深本节课的认识，同时不忘记巩固。
九、板书设计
幕布
课题一、复习二、探究题归纳总结三、最值问题归纳四、等差数列性质
一
例1二
探究分析
三
例2分析四
例3分析
十、备用问题
（高考题）：【2010年高考福建卷·理3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）
A、6
B、7
C、8
D、9
考点：等差数列的前n项和．
专题：常规题型．
分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．
解答：
解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，
所以
，所以当n=6时，Sn取最小值．
故选A.
十一、教后反思
