2.1.1 第2课时 指数幂及运算 课件（人教A版必修1）

课件45张PPT。第2课时 指数幂及运算一、分数指数幂的意义0没有意义判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.( )
(2)分数指数幂 可以理解为 个a相乘.( )
(3)0的任何指数幂都等于0.( )提示：(1)正确.引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能
化成分数指数幂的形式, 即
(2)错误.分数指数幂 不可以理解为 个a相乘.事实上，它
是根式的一种新写法.
(3)错误.因为0的负指数幂无意义，所以此说法是错误的.
答案：(1)√ (2)× (3)×二、有理数指数幂的运算性质
(1)aras=____(a＞0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=___(a＞0,r,s∈Q).
(3)(ab)r=____(a＞0,b＞0,r∈Q).ar+sarsarbr思考：在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a＞0?
提示：(1)若a=0，∵0的负数指数幂无意义,
∴(ab)r=ar·br，当r＜0时不成立，∴a≠0.
(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如
∴a＜0时不成立.因此规定a＞0.三、无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0,α是无理数)是一个确定的_____,有理
数指数幂的运算性质对于无理数指数幂_________.
思考：为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数
是正数？
提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a=-1,则
(-1)α是1还是-1就无法确定了，规定后就清楚了.实数同样适用【知识点拨】
1.“三角度”理解分数指数幂
(1)角度一：与根式的关系.
分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相
互转化.
(2)角度二：底数的取值范围.
由分数指数幂的定义知a≤0， 可能会有意义.当 有意义
时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.(3)角度三：运算性质.
分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘.2.关于指数运算性质的四点说明
(1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广.
(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础.
(3)运算性质可以逆用.如amn=(am)n=(an)m(a>0).
(4)要会用文字语言来叙述运算性质.3.对无理数指数幂的理解
(1)无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数.
(2)无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算性质.对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：①aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 类型 一 根式与分数指数幂的互化
【典型例题】
1.下列互化中正确的是( )
A. (x>0)
B. (y<0)
C. (x,y≠0)
D.
2.将 化为分数指数幂的形式是______.【解题探究】1.分数指数幂的底数a≤0时成立吗？如何处理？
2.根式中的根指数和被开方数(式)的指数与分数指数幂有怎样的对应关系？探究提示：
1.由分数指数幂的定义知a≤0， 可能会有意义，当 有意
义时可借助定义将底数化为正数,再进行运算，如
等.
2.根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指
数的分子.【解析】1.选C. 故选项A不正确；选项B中，y<0，
故 选项B也不正确； 故选项D不正确.
2.
答案： 【互动探究】若将题2变为 又如何化为分数指数幂的
形式呢？
【解析】【拓展提升】根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然
后利用有理数指数幂的运算性质解题.【变式训练】 等于( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.类型 二 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【典型例题】
1.计算： =______.
2.化简：【解题探究】1.对于指数幂中指数、底数是负数，或是小数的应如何化简？
2.对于根式中含有多重根号的题目应如何处理?
探究提示：
1.负指数化成正指数，小数指数化成分数指数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
2.含有多重根号的题目，可以由内到外逐一化分数指数幂，边运算边化简；或都先化成分数指数幂，再进行幂的运算.【解析】1.原式=
答案：
2.原式=【拓展提升】
1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂;
(2)化根式为分数指数幂;
(3)化小数为分数进行运算.
2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数.【变式训练】化简
【解析】原式=类型 三 指数幂运算的条件求值
【典型例题】
1.x-2+x2= 且x>1，则x2-x-2的值为( )
A.2或-2 B.-2 C. D.2
2.已知x+y=12，xy=9x，且x2.条件求值的解题顺序怎样？
探究提示：
1.存在的关系为x2-x-2= 注意整体代换思想的应用.
2.条件求值一般要结合条件先化简再求值,另外要特别注意条
件的应用,如隐含条件,整体代入等.【解析】1.选D.x-2+x2= 且x>1，所以x2>x-2，x2-x-2>0，
故x2-x-2=
2.由x+y=12及xy=9x得x(12-x)=9x，
所以 或
当 时，
当 时，【拓展提升】条件等式求值的原则和方法技巧
(1)原则：①对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值.
②也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值.
(2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想.【变式训练】已知 =0，求yx的值.
【解题指南】解决本题的关键是根据已知条件，求出x,y的值.
【解析】由 =0得，|x-1|+|y+3|=0，所以
x=1，y=-3，yx=(-3)1=-3. 根式与分数指数幂的应用
【典型例题】
1. 从小到大的排列顺序为______.
2．在 中最大的数是______.【解析】1.
∵121<123<125，∴
即
答案：
2． 所以最大的数是
答案：【拓展提升】根式大小比较的一般方法
(1)根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数，根式的大小取决于被开方数的大小.
(2)根指数不同时，应先化成统一的根指数，再进行大小比较.【易错误区】根式化简时忽视符号致误
【典例】化简 =( )
A. B.
C.(a-1)4 D.【解析】选B.要使原式有意义，则a-1>0①.【类题试解】化简： =______.
【解析】由 知,-a≥0,a≤0,故a-1＜0，
所以
答案：【误区警示】【防范措施】
1.注意隐含条件的挖掘
要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根，则必须(a-1)3>0，即a-1>0.
2.准确应用公式和性质
对于公式和性质要记住且要记准.如本例根式与分数指数幂的互化公式，以及分数指数幂的运算性质.1．若a>0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是( )
A.am÷an= B.am·an=am+n
C.(am)n=am+n D.1-an=a0-n
【解析】选B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以am·an=am+n正确.2. 可化为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.当根式化分数指数幂时，注意分子与分母，3.若10x=3,10y=4,则10x-y=______.
【解析】
答案：4. 的值是______.
【解析】
答案：5.求值：
(1)
(2)【解析】(1)
(2)