§1.2应用举例—④解三角形
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；
2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；
3. 能证明三角形中的简单的恒等式．
学习过程
一、课前准备
复习1：在ABC中
（1）若，则等于 ．
（2）若，，，则 _____．
复习2：
在中，，，，则高BD= ，三角形面积= ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究：在ABC中，边BC上的高分别记为h，那么它如何用已知边和角表示？
h=bsinC=csinB
根据以前学过的三角形面积公式S=ah，
代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，
或S= ，
同理S= ．
新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．
※ 典型例题
例1. 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）：
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5；
（2）已知B=62.7，C=65.8，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，
c=38.7cm．
变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）
例2. 在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）．
小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．
※ 动手试试
练1. 在ABC中，已知，，，则ABC的面积是 ．
练2. 在ABC中，求证：
．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 三角形面积公式：
S=absinC= = ．
2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．
※ 知识拓展
三角形面积，
这里，这就是著名的海伦公式．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在中，，则（ ）.
A. B. C. D.
2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为，面积为，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.
A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7
3. 在中，若，则一定是（ ）三角形．
A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角
4. 三边长分别为，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．
5. 已知三角形的三边的长分别为，，，则ABC的面积是 ．
课后作业
1.已知在ABC中，B=30，b=6，c=6，求a及ABC的面积S．
2. 在△ABC中，若
，试判断△ABC的形状.
1.2.3解三角形应用举例(面积与证明)
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例7、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1）acosA = bcosB
（2）sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1）师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
Ⅴ.课后作业
课本第20页练习第12、14、15题
新授课：1.2.3 应用举例(3)
一、教学目标
重点：仰角、俯角、方位角、方向角等角度问题并解决简单的相关题目.
难点：能够读懂应用题并转化为数学问题，利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
知识点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题.
能力点：根据实际问题转化为数学问题，画出正确的图形，利用正余弦定理解决问题.
考试点：利用正、余弦定理进行边角的互化、借助三角函数和三角恒等变换，求出角或者边.
易错易混点：利用正弦定理判断多解的情形不清，容易出错。对于边角互化中正弦定理容易直接边和角的正弦相互代换.
拓展点：如何转化成三角函数求范围、最值问题.
二、引入新课
利用泰坦尼克号电影和图片以PPT形式引入，在海上航行方向和速度的重要性.
设计意图：利用航海引起学生学习兴趣，让学生感受数学在生活中的巨大应用.
三、探究新知
请同学们认真阅读教材，要求：快速、高效、“独立”完成下列问题：
问题1：指出对应的序号
（1）仰角和俯角：
（2）方位角：
（3）方向角：
坡度： ．
问题2：:解三角形应用题的一般步骤？
[设计意图]让学生生自学完成，提高学生自主学习能力.
四、理解新知
应用解三角形的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，画出正确的图形.
[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.
五、运用新知
例1：一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行54 n mile后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达，此船应该沿怎样的方向航行，
需要航行多少距离？（角度精确到0.1°，距离精确到0.01n mile）
分析：引导学生读应用题，要多读几遍理清题目的思路，引导学生读图分析.
解：（见教材15页）学生看教材，自学，老师点拨.
便式训练：甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
答案：北偏东
[设计意图]让学生明白方向角，以及能独立画出图形,提高学生解决问题能力.
例2：如图，在海岸A处，发现北偏东方向距A为( )海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：)．
分析：若缉私船在D处截获走私船，分析构成四边形四边形ABDC的边角关系，在三角形ABC中用余弦定理先求出BC，用正弦定理求出角CBA，进一步达到目的.
解：如图，设缉私艇小时后在处追上走私船，则
.
因为，所以在中，由余弦定理得
，
所以.由正弦定理得，
所以，所以为东西走向，所以.
在中，由正弦定理得，
所以，所以.
所以，即，所.
即缉私艇沿北偏东方向行驶才能最快追上走私船，需小时.
[设计意图]：提高学生对角度应用的学习，同时也激发了学生分析问题，解决问题的能力．
六、课堂小结
把角度问题的实际问题转化为数学为题，画出正确的三角图形，利用正弦定理或余弦定理解决实际问题，把条件先集中在一个三角形中解决，再解决其他三角形问题.
七、布置作业
必做题：教材 P20.A组T14 P20. B组T1
选做题：某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东相距n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以每小时 n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且小时后开始影响基地，持续2小时.求台风移动的方向.
答案：台风向北偏西方向移动
[设计意图]设计作业是引导学生熟悉边角互化方法解决三角实际问题，培养学生在公式上的综合应用，起到承上启下的作用。选做题的安排，是让学有余力的学生加深理解公式应用，拓宽视野。
八、教后反思
三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理实际应用问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。
1.本教案的亮点是注重应用题的练习，基础内容三角形正余弦定理应用，画出正确的图形也是很重要的，在不知不觉中培养了学生的发现问题，分析问题，解决问题的能力．
2.在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3.来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。
九、板书设计
1.2.4三角形计算问题
引入
泰坦尼克号
有关角度的概念
典型例题
例1(较为基础)
练习
例2（提升难度）
四、作业（分出层次）
课件33张PPT。1.2.3应用举例(面积与证明)1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用;2.三角形各种类型的判定方法. 1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？D思考：如何用已知边和角表示三角形的面积？探究一 三角形面积公式2.已知边角求三角形面积:ha＝bsinC＝csinB
hb=csinA＝asinC
hc=asinB＝bsinADcb分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.(3)根据余弦定理的推论，得例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1㎡）分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。CAB解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，，得例3 在△ABC中，求证：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.探究二 三角形边角关系应用证明：（1）根据正弦定理，可设（2）根据余弦定理右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边.（1）acosA = bcosB例4 判断满足下列条件的三角形的形状，提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.探究三 判断三角形的形状另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B, 即2A=2B, 根据边的关系易得是等腰三角形所以A=B 思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.前一种解法正确.后一种解法遗漏了一种情况；所以此三角形为直角三角形.思考:能否直接用角推导,而不转化为边呢?利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.形状所以B=60°或120°（1）若B=60°，则C=180°-60°-45°=75°
故S= absinC= ×2× ×sin75°= ；答：三角形的面积为.1.三角形面积公式：2.确定三角形的形状利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.3．三角形形状的判断
判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种：
方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断三角形的形状．
方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关系．常见结论有：
4.解三角形问题的几种类型
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
若cos(A＋B)>0，则角C是钝角；
若cos(A＋B)<0，则角C是锐角；
若cos(A＋B)＝0，则角C是直角．
有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以达到化异为同的效果．练 习3．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.
4．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A＝tanB，a＝b(1＋cosA)，求证：A＝C.
5.
3.在△ABC 中，求证：c(acosB－bcosA)＝a2－b2.作业5.在△ABC 中，a，b，c 分别为内角A、B、C 的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．
若sinB＋sinC＝1
（1）试判断△ABC 的形状.
（2）求sinB＋sinC 的最大值.
