§3.1 不等关系与不等式（2）
学习目标
1. 掌握不等式的基本性质；
2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
3. 会将一些基本性质结合起来应用.
学习过程
一、课前准备
1．设点A与平面之间的距离为d，B为平面上任意一点，则点A与平面的距离小于或等于A、B两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
2．在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质.
（1）
（2）
（3）
（4）
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：如何比较两个实数的大小.
问题2：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？并利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：
※ 典型例题
例1 比较大小：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时，_______.
变式：比较与的大小.
例2 已知求证.
变式： 已知，，求证：.
例3已知的取值范围.
变式：已知，求的取值范围.
※ 动手试试
练1. 用不等号“>”或“<”填空：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
练2. 已知x>0，求证.
三、总结提升
※ 学习小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.
※ 知识拓展
“作差法”、“作商法”比较两个实数的大小
（1）作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论
（2）作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论
§3.1 不等关系与不等式（2）
一、教学目标
（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质；
（2）会将一些基本性质结合起来应用.
（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
二、教学重、难点
重点：理解不等式的性质及其证明.
难点：利用不等式的基本性质证明不等式。
三、教学过程
（一）复习提问
1、比较两实数大小的理论依据是什么？
2、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.
3、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?
基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
其数学含义：
(1)若a＞b， 则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；
(2)若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞；
(3)若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜..
（二）新授
常用的不等式的基本性质
（1） （对称性）
（2） （传递性）
（3） （可加性）
（4）； （可乘性）
（5）（同向不等式的可乘性）
（6） （可乘方性、可开方性）
例1：已知求证：
例2：如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及的取值范围.
∵30＜x＜42，1６＜y＜24 ∴－4８＜－2y＜－32，
∴30＋1６＜x＋y＜42＋24 即4６＜x＋y＜６６；
∴30－4８＜x－2y＜42－32 即－1８＜x－2y＜10；
例3．已知，求的取值范围。
（三）随堂练习1、教材第3题
2、回答下列问题：
(1)如果a＞b，c＞d，是否可以推出ac＞bd?举例说明；
(2)如果a＞b，c＜d，且c≠0，d≠0，是否可以推出？举例说明.
3．若，则下列不等式总成立的是（ C ）
A． B。 C。 D。
4．有以下四个条件：（3）；（4）
其中能使成立的有 3 个
5．若a、b、c，a>b,则下列不等式成立的是（ C ）
A． B． C． D．
6．，则的取值范围是（ B ）
A． B．
C． D．
（四）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。
（四）小结
1. 若，，则与的大小关系为（ ）.
A． B．
C． D．随x值变化而变化
2. 已知，则一定成立的不等式是（ ）.
A． B．
C． D．
3. 已知，则的范围是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 如果，有下列不等式：①，②，③，④，其中成立的是 .
5. 设，，则三者的大小关系为 .
6. 比较与的大小.
7. 某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元．列出不等式表示“经n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．
§3.1 不等关系与不等式（2）
一、选择题
1．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )
A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0
C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是( )
A．[－7，26] B．[－1，20]
C．[4，15] D．[1，15]
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a3＜b3 B．a2＜b2
C．(－a)3＜(－b)3 D．(－a)2＜(－b)2
5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利( )
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
二、填空题
6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是
________．
7．若角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________．
8．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下________．
三、解答题
9．已知a＞b＞0，c＜d＜0，判断与的大小．
10．已知0＜x＜1，0＜a＜1，试比较|loga(1－x)|和
|loga(1＋x)|的大小．
§3.1 不等关系与不等式（2）
一、选择题
1．若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a等价于( )
A．－＜x＜0或0＜x＜
B．－＜x＜
C．x＜－或x＞
D．x＜－或x＞
解析：由题意知a＞0，b＞0，x≠0，
(1)当x＞0时，－b＜＜a?x＞；
(2)当x＜0时，－b＜＜a?x＜－.
综上所述，不等式－b＜＜a?x＜－或x＞.
答案：D
2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( )
A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0
C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
答案：C
3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是( )
A．[－7，26] B．[－1，20]
C．[4，15] D．[1，15]
答案：B
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a3＜b3 B．a2＜b2
C．(－a)3＜(－b)3 D．(－a)2＜(－b)2
解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.
答案：A
5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利( )
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a时，f(x)＞g(x)，故选A.
答案：A
二、填空题
6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是
________．
答案：②④
7．若角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________．
答案：(－π，0)
8．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下________．
答案：y＜－y＜x
三、解答题
9．已知a＞b＞0，c＜d＜0，判断与的大小．
解：因为a＞b＞0，c＜d＜0，
所以－c＞－d＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以0＜＜，
又因为a＞b＞0，所以＜.
10．已知0＜x＜1，0＜a＜1，试比较|loga(1－x)|和
|loga(1＋x)|的大小．
解：法一：|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2＝
[loga(1－x)＋loga(1＋x)]·[loga(1－x)－loga(1＋x)]＝loga(1－x)2loga.
因为0＜1－x2＜1，0＜＜1，
所以loga(1－x2)loga＞0.
所以|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
法二：＝|log1＋x(1－x)|＝
－log1＋x(1－x)＝log1＋x＝
log1＋x＝1－log1＋x(1－x2)．
因为0＜1－x2＜1，1＋x＞1，
所以log1＋x(1－x2)＜0.
所以1－log1＋x(1－x2)＞1.
所以|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
法三：因为0＜x＜1，
所以0＜1－x＜1，1＜1＋x＜2，
所以loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0.
所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝
loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)．
因为0＜1－x2＜1，且0＜a＜1，
所以loga(1－x2)＞0.
所以|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
不等关系与不等式
【知识梳理】
1．不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
2．比较两个实数a、b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；
如果a＜b，那么a－b是负数；
如果a＝b，那么a－b等于0，
反之亦然
a>b?a－b>0
a
a＝b?a－b＝0
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：?ac>bc；?ac推论(同向同正可乘性)：?ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)．
【常考题型】
题型一、用不等式（组）表示不等关系
【例1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得
即
【类题通法】
用不等式表示不等关系的方法
(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．
(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．
【对点训练】
1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：
(1)限速80 km/h的路标；
(2)桥头上限重10 吨的标志；
(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h，
则v≤80.
(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.
(3)
题型二、比较两数（式）的大小
【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与2x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
[解] (1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3
＝2＋2≥2＞0，
∴x2＋3＞2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
【类题通法】
比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
【对点训练】
2．比较x3＋6x与x2＋6的大小．
解：(x3＋6x)－(x2＋6)
＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)
＝(x－1)(x2＋6)
∵x2＋6＞0.
∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，
即x3＋6x＞x2＋6.
当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，
即x3＋6x＝x2＋6.
当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，
即x3＋6x＜x2＋6.
题型三、不等式的性质
【例3】 已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，
∴＞.
【类题通法】
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
【对点训练】
3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.
证明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.
∴－ap＜－bp，
又m＞n，即n＜m.
∴n－ap＜m－bp.
【练习反馈】
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：选D 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M≥－5 D．M≤－5
解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5
＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，
∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.
故M＞－5.
3．如果a＞b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0.
答案：c－2b
4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．
解析：∵－10＜a＜8，
∴0≤|a|＜10，
又－10＜b＜8，
∴－10＜|a|＋b＜18.
答案：(－10,18)
5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)若－1＜a＜b＜0，试比较，，a2，b2的大小．
解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
∵x≤1，∴x－1≤0.
又3x2＋1＞0，
∴(x－1)(3x2＋1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
(2)∵－1＜a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0，
∴a2＞b2＞0.
∵a＜b＜0，
∴a·＜b·＜0，
即0＞＞，
∴a2＞b2＞＞.
课件27张PPT。第2课时 不等式的性质我们知道，等式有一些基本性质，如不等式是否有类似性质呢？带着这个问题，我们进入本节课的学习！1. 掌握不等式的基本性质；
2. 会用不等式的性质证明简单的不等式；（重点）
3. 会将一些基本性质结合起来应用.（难点）探究点1 不等式的性质（对称性)(传递性)(可加性)由性质（3）可得： 一般地说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.(可乘性)(同向不等式的可乘性)（同向不等式的可加性）(可开方性)(可乘方性)判断对错：【即时练习】（3）对，（4）对，（1）错，若 （2）错，若 【解析】故a2>ab>b2. 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件.【规律总结】你还有其他证明方法吗？探究点2 不等式的性质的应用证明： 还可以利用作差法. 设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞axB
【解析】∵x＜a＜0，∴x2＞a2.
∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax.
又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2.
∴x2＞ax＞a2. 【变式练习】例2 【规律总结】【变式练习】DD
2．已知a>b，c>d，且cd≠0，则( )
A．ad>bc B．ac>bc
C．a＋c>b＋d D．a－c>b－d
【解析】∵a>b，c>d，
∴a＋c>b＋d，故选C.
CD B1.不等式的基本性质；
2.不等式基本性质的应用.3.不等式的基本性质列表性质 具体名称 性质内容 特别提醒 （1） （2） （3） （4） 对称性 传递性 可加性 可乘性 a>ba>b,b>ca>b_______ _______ ? ?注意c
的符号 ? bc a+c>b+c ac>bc ac可乘性 可乘方性 可开方性 ________ ______ a>b>0 a>b>0a,b同
为正数??a+c>b+d ________ ac>bd an>bn ________ ????(n∈N,n≥2)(n∈N,n≥2)