§1.2.2应用举例（高度、角度问题）
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,
=
所以AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,
BC ==
≈ 7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第15页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
课本第19页练习第6、7、8题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
1.2应用举例 高度、角度问题
1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.
答案：C
2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1＞d2 B．d1＜d2
C．d1＞20 m D．d2＜20 m
解析：由tan 50°＝，tan 40°＝及tan 50°＞tan 40°可知，d1＜d2.
答案：B
3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A．米 B．米
C．200米 D．200米
解析：如图，设AB为山高，CD为塔高，
则AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°
∴BC＝＝，
AM＝DMtan 30°＝BCtan 30°＝.
∴CD＝AB－AM＝.
答案：A
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米 B．h米
C．h米 D．2h米
解析：如图所示，BC＝h，AC＝h，∴AB＝＝2h.
答案：A
5．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________.
解析：由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×＝44 100.
∴AB＝210，DE＝210.
答案：210
6．一船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________km.
解析：如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，
AB＝22×＝33，由正弦定理，得＝，∴SB＝66(km)．
答案：66
7. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡走a米到B，又测得山顶P的仰角为γ，求山高．
解：在△PAB中，∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，
AB＝a，由正弦定理可得PA＝.
在Rt△PAQ中，PQ＝PA·sin α
＝.
故山高为 米．
8．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60m
解析：设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40，故选C．
答案：C
9．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．30＋30 m B．30＋15 m
C．15＋30 m D．15＋3 m
解析：在△PAB中，由正弦定理可得
＝，PB＝＝，
h＝PBsin 45°＝(30＋30)m.
答案：A
10．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x，依据正弦定理可得＝，所以x＝·sin (120°－α)．
因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．
答案：30°
11．在南海伏季渔期中，我渔政船在A处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？
解：如图所示，
设渔船沿B点向北行驶的速度大小为v，则我船行驶的速度大小为 v，两船相遇的时间为t，则BC＝vt，AC＝vt，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝a，
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°，
即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，
∴2v2t2－vat－a2＝0.
解得t1＝，t2＝－(舍去)．
∴BC＝a，∴∠CAB＝30°.
即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船，在渔船行驶a海里处相遇．
12．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10米，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
解：因为∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，
所以∠BPA＝θ，所以BP＝AB＝30，
又因为∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，
所以∠BPC＝2θ，所以CP＝BC＝10.
在△BPC中，根据正弦定理得：
＝，即＝，
所以＝，所以cos 2θ＝，
因为0°<2θ<90°，所以2θ＝30°，
所以θ＝15°.
13．某人在塔的正东沿着南60°西的方向前进40 m以后望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．(精确到0.01米)
解：如图，CD＝40，∠BCD＝30°.
∠DBC＝135°，∴∠BDC＝15°.
在△DBC中，由正弦定理得DB＝20，
在CD上任一点E处望塔顶的仰角为∠AEB．
∵AB一定∴欲使∠AEB最大，则BE最小，
∴BE为点B到直线CD的距离，
即BE⊥CD．且∠AEB＝30°，
在Rt△DBE中，BE＝DB·sin 15°＝10－10，
在Rt△AEB中，AB＝BE·tan 30°＝10－≈4.2(m)．
课件34张PPT。第2课时 解三角形的实际应用举例
——高度、角度问题1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这些方面的问题.2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. (重点)2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.(难点)
3.分清仰角、俯角、方向角、方位角和视角及坡度、经纬度等概念.探究点1 测量底部不可到达的建筑物的高度例1 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.【解题关键】如图，求AB长的关键是先求AE，在 △ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长.【解析】选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得 如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340mm，曲柄CB长为85mm，曲柄自CB0按
顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离AA0）（精确到1mm）.【变式练习】【解题关键】此题可转化为“已知在△ABC中，BC＝85 mm，AB＝340 mm，∠ACB＝80°，求AA0 ．” 【解析】如图,在△ABC中，由正弦定理可得：又由正弦定理：答：活塞移动的距离约为81 mm． 例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′ ,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m). 据已知条件,大家能设计出解题方案吗？【解题关键】若在ΔABD中求BD，则关键需要求出哪条边呢？那又如何求BD边呢？【解析】在△ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，答：山的高度约为150米.把测量数据代入上式，得CD=BD-BC≈177.4-27.3≈150(m)..【互动探究】有没有别的解题思路呢？先在△ABC中，根据正弦定理求得AC.再在△ACD中求CD即可.B 【变式练习】例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高CD(精确到1 m).【解析】在△ABC中，∠A=15°, ∠C= 25°-15°=10°.
根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1 047(m).答：山的高约为1 047米.正确转化为数学模型【变式练习】例4 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,
需要航行的距离是
多少?(角度精确到
0.1°,距离精确到
0.01 n mile)探究点2 测量角度问题【解题关键】首先求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.【解析】在 △ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，根据正弦定理,【解析】如图，在△ABC中，由余弦定理得： 我舰在敌岛A南偏西50°的方向上，且与敌岛A相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？(精确到1°）【变式练习】所以我舰的追击速度为14海里/小时.答：我舰需以14海里/小时的速度，沿北偏东12°方向航行才能用2小时追上敌舰.C B 74.3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2 m的地面上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤对地面的倾斜角α. (精确到0.01°）答：堤对地面的倾斜角α为63.77°.1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化.实际问题2.实际问题处理3. 解三角形在实际测量中的常见应用两点A，B间不
可达又不可视两点A，B间可
视但不可达两点A，B都不
可达 底部可达底部不可达
