§1.1.1 正弦定理
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、课前准备
试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又，
从而在直角三角形ABC中，．
(
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=，则，
同理可得，
从而．
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
．
试试：
（1）在中，一定成立的等式是（ ）．
A． B.
C. D.
（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；
（2）等价于 ，，．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如； ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在中，已知，，cm，解三角形．
变式：在中，已知，，cm，解三角形．
例2. 在．
变式：在．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展
，其中为外接圆直径.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在中，若，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶
3. 在△ABC中，若，则与的大小关系为（ ）.
A. B.
C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
4. 已知ABC中，，则= ．
5. 已知ABC中，A，，则
= ．
课后作业
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．
1．1.1正弦定理（教学设计）
教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学过程：
一、创设情景、新课引入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
二、新课讲解： (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，
C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1（课本例题）．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
变式训练1：已知在
解：
∴
由得
由得
例2．（课本例题）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
变式训练2：
（1）在
（2）在
解：（1）∵
∴
（2）
，
例3：已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设
则有，，
从而==
又，所以=2
评述：在ABC中，等式
恒成立。
变式训练3：已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
例4：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
求证：三角形面积
（记忆：两边夹角正弦值的一半）
三、课堂小结
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
四、课时必记：（优化设计P1知识拓展）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
=2R （其中R指的是三角形外接圆的半径）
五、作业：
1在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为( A )?
A直角三角形? B等腰直角三角形?C等边三角形 D等腰三角形
2．在△ABC中，已知角,则角A的值是（???D ）
A．15° B．75° C．105° D．75°或15°
3．若,则△ABC是（??C? ）
A．等边三角形? B．有一内角是30°
C．等腰直角三角形? D．有一内角是30°的等腰三角形
4、已知ABC中，a=50，b=25，A=450，求B。
（答：600或1200）
5、在ABC中，已知a=，b=，B=450，求角A、C和边c。
（答：A=600，C=750,c=或A=1200，C=150，c=）
课件24张PPT。正弦定理在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一般记为a，其余类似)的关系:不难得到:CBAabc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?所以AD=csinB=bsinC, 即同理可得过点A作AD⊥BC于D,此时有 若三角形是锐角三角形, 如图1,若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，正弦定理:即在一个三角形中,各边和它所对角的
正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？（R为△ABC外接圆半径）另证1:证明：作外接圆O,过B作直径BC′,连接AC′,另证2:证明：∵
而∴同理∴ha剖析定理、加深理解1.正弦定理可以解决三角形中的问题：① 已知两角和一边，求其他角和边 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角剖析定理、加深理解2.A+B+C=π3.大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。剖析定理、加深理解5.正弦定理的变形形式6.正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化正弦定理的应用一：例 1.在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。，解三角形 (精确到0.01）.已知两角和任意边，
求其他两边和一角例 2. 已知a=16， b= ， A=30° .
解三角形.已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角解：由正弦定理所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形.由于154.3°+30°>180°故B只有一解（如图）C=124.3°,变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形.所以Ｂ＝25.7°,C=124.3°,∵a > b ∴ A > B ,三角形中大边对大角课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理的应用正弦定理：课后作业P10 习题1.1A组 1， 2（1）（2）已知两边和其中一边的对角,求其他边和角根据下列条件解三角形
(1)b=13，a=26，B=30°.(2) b=40，c=20，C=45°.练习注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解无解课堂小结（2）正弦定理应用范围：① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其他的边和角。（要注意可能有两解）练习2.在△ ABC中，若 a=2bsinA，则B＝（ ）
A. B. C. D.或或练习3.在△ABC中， ，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形练习1、在△ABC中，若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c＝( )
A.1:2:3 B.3:2:1
C.1: :2 D.2: :1自我提高！正弦定理情景设计
一、情境创设的意图（目的）
1．正弦定理是必修（5）的第一章节的内容，是整本书的开始章节，在初中所学的借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题的基础上，本章内容在解三角形中占有比较重要的位置，能测量底部不可到达的建筑物的高度等一系列实际测量困难的问题。与生活实际和各学科知识紧密相联系。本情境设计，是通过设置对正弦定理的猜测与研究活动，并进行证明，让学生了解正弦定理的背景，掌握定理的产生和证明的过程，掌握一些解决数学问题的基本方法，研究不同的创新证明方法，培养学生良好的思维品质。
2．用生活中实际的鲜活情境展开教学，让学生体验数学与现实生活间的联系，了解数学来源与生活，且用于生活，这样的设计在一定程度上克服了传统教学的枯燥、乏味和学生对旧知识的抵触情绪，可以充分地调动学生的积极性、参与到体验过程之中。把猜测和探索的过程交给学生，这样的设计在于增加数学课的趣味性、价值性，同时也增强了学生自主探究知识的内动力。
3.这样设计使学生学会自主学习，学会怎样学习数学知识。让学生理解生活问题的数学化过程，了解知识的来龙去脉，增强知识与实际生活间的联系，建立良好的数学认知结构，体验数学并发现数学的美。
4．通过通过对定理的探索过程，进行分类讨论与数形结合去探索定理的证明过程，培养学生的数形结合思想相应的增强自身的文化修养。提高学生分析问题、解决问题的能力以及归纳总结能力。
二、情境素材
（一）情境信息素材
在生活中较为常见的高山入手。
设计以下教学情境：
[教学情境]一个野外作业人员要测的一座高山
的山底到山顶破面的长度，以使用工具测的
AB=20米，∠A=45°，∠ABC=120°，要求得AC的长度。
（二）情境教学素材
1．通过教师提供的信息，引导学生对题目信息的分析，利用以学习的基本数学知识对生活问题的一种分析，培养学生的分析、归纳、概括能力，体验生活问题数学化的过程。
2．组织学生开展分组讨论，在适当的时间讨论问题的解决方法。在合作中培养学生的交流合作能力、数学问题解决能力；在成功体验中培养学习自信心与学习兴趣；在一题多解中培养思维广阔性。
3．通过对学生的引导，实现把问题转化到以学习的特殊的直角三角形中探究，得出弦定理的一种猜测，培养知识迁移能力与探究能力。
4．再通过教师教室的引导提问，对所得到的定理进行证明，对于任意的三角形都要成立，就涉及到分类讨论（直角、锐角、钝角三角形），是学生学会分类讨论的思想，并使学生体会数学的逻辑性与严密性，。
5．数形结合探究，使学生学会数形结合的数学思想，提升数学能力。
三、由情境引发的问题组
1．[问题1]我们能不能用以学习的数学知识来解决这样的一个现实生活中的问题？
2．[问题2]如果能，我们有没有更简洁的方法？ 如过不能，我们将怎么样去探究解决的方法
3. [问题3]观察问题中的已知条件，他们有怎么样的联系？以学习的知识中是否有这样的关系存在？
4．[问题4]在直角三角形中得出了这样的一个角于边的关系，是否在其他的任意三角形中也成立？（引导学生进入锐角与钝角三角形中证明定理成立）
5．[问题5]请依据我们对这样一个定理的探究过程进行总结，归纳出其中所运用到的数学思想与方法？(总结使学生对数学思想与方法有更深的体会与掌握）
附：情境教学过程设计
情感价值
知识主线
过程体验
反馈调控
预设
借助生活中的实际例子，引入问题，引起学生学习兴趣
【引入】同学们，今天我们学习一堂新的数学课，首先我们来看一下生活中这样一个的问题，一个观测员在野外作业，为了测的山底到山顶的破面长度，他只测的了AB=20米，∠A=45°，∠ABC=120°，要求得AC的长度，他是如何求得的呢？同学们用以学习的知识求解看看，能不能求呢？
【学生活动】回忆、观察、思考、分析、归纳、总结。
【预期答案】能求解，做高，从而转化为三角函数间的关系，建立方程求解。
【调控】教师评论并引导。提问并引导：能不能用跟家简便的方法求解？
激发学生兴趣；培养分析、归纳、概括能力。体验生活问题数学化的过程
【教师操作】对题目进行分析：题目是在三角形中研究角于边之间的关系，引导学生回忆，思考，并进入直角三角形中研究其中个关系。
【教师提问】同学们，在我们以学习的内容中，是否也有在三角形中研究角于边间的关系的知识呢？
【学生活动】观察、思考、分析、归纳、总结。
【预测答案】有，在三角函数那章节的内容就是研究这样的角于边间的关系。
【调控】对学生的答案进肯定，并作适当的引导，对直角三角形进行探究，猜测出正弦定理。
通过分组讨论激发学生兴趣，培养合作交流能力
【教师讲述】请同学们结合三角函数的知识，在直角三角形中对边与角的关系进行一个探索。下面给同学们3分钟时间，对它进行一个探究，并得出相应的结论。
【学生活动】学生分组讨论
【调控】老师参与讨论，并适当的巡视，帮助有困难小组。
培养学生交流与合作的能力，让学生自己体验成功，培养自信心。
【教师讲述】在学生合作讨论探究完成以后，抽一小组，给出他们的结论。
【学生活动】各组汇报结果；小组相互评判与学习交流。
【预测答案1】
【预测答案2】
【调控】老师肯定学生的答案，并对两种答案进行点评。（2）引导学生进入任意三角形中对结论进行证明。
让学生体验成功，学会欣赏；激经一步对得出的结论进行证明，培养思维深刻性与灵活性；
保持学生参与激情。
培养学生知识迁移能力。
【提问】同学们，我们已经在直角三角形中得出上述的结论，但是生活中常常遇到的问题并不是在直角三角形，那么对于这样的一个结论，在其他的两种三角形中是否也是成立的呢？如果在任意的三角形中也是成立的，那么我们用这样的一个结论去解决刚才观测员的问题就可以很简洁的求解出来，现在同学们就对其他的两种三角形进行证明，证明这样的结论在其他两种三角形中也是成立的（引导学生分类讨论）。
【学生活动】给予学生适当的时间，对其余两种三角形进行初步的探究。
教师带领学生对定理进行证明。
【调控】（1）强调定理的严密性。（2）在学生解决问题中作相应启发、补充。
（3）总结探究思想方法由来。
培养学生数形结合思想，增强学生的知识的应用能力，增强学生对数学与现实生活的联系的认识。提高学生的解决实际生活的能力。
【对问题的求解】同学们在对任意三角形的探索研究以及证明了正弦定理，现在用已经证明了的定理对课前我们提出的问题进行求解。
【学生活动】回归到课前提出的观测员的问题，解决求解AC的长度。
【调控】注意数学与实际生活的联系，注意将实际的生活问题数学化的过程，培养解决实际问题的能力。
培养学生在理论上对与定理的巩固和应用
【例题的求解】利用例题，使学生对定理进行巩固与应用，体验正弦定理在求解三角形的过程中的便捷性。
对例题进行讲解。
强调在利用正弦定理求解三角形过程中对不同类型的题型进行讨论
