§1.1.2 余弦定理
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC中，已知，A=45(，C=30(，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学
※ 探究新知
问题：在中，、、的长分别为、、.
∵ ，
∴
同理可得： ，
．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
， ，
．
[理解定理]
（1）若C=，则 ，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC中，，，，求．
（2）△ABC中，，，，求．
※ 典型例题
例1. 在△ABC中，已知，，，求和．
变式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
例2. 在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．
变式：在ABC中，若，求角A．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
知识拓展
在△ABC中，
若，则角是直角；
若，则角是钝角；
若，则角是锐角．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知a＝，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A． B． C． D．
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A． B．＜x＜5
C． 2＜x＜ D．＜x＜5
4. 在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|－|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
，则∠C等于 ．
课后作业
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值.
1.1.2余弦定理（教学设计）
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重、难点
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学过程：
一、创设情景 C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
二、新课讲解：
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题选讲：
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
变式训练1：在ABC中，若b=4,c=6，A=600，求a的值。
（答：2）
例2（课本P7例4）在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；
变式训练2：在ABC中，若，求角A
（答案：A=120）
例3：在△ABC中，bcosA＝acosB试判断三角形的形状
解法一：利用余弦定理将角化为边
∵bcosA＝acosB?,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2?,∴a2＝b2?,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形?
解法二：利用正弦定理将边转化为角?∵bcosA＝acosB?
又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA?，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB?
∴sinAcosB－cosAsinB＝0?∴sin（A－B）＝0?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?，∴A－B＝0 即A＝B?
故此三角形是等腰三角形?
变式训练3：在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
解：，即，cos<0,角A为钝角.
所以.
三、课堂小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
四、课时必记：
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
五、作业：
1、在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为_______；若a2=b2+c2，则△ABC为___________；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为_________
（答：钝角三角形，直角三角形，锐角三角形）
2、在ABC中，已知：(a+b+c)(a+b-c)=3ab，则角C=_______
(答：600)
3、在ABC中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角和sinC。
（答：最大角为：A=1200，sinC=）
4、在ABC中，B=300，AB=2，面积S=，求AC的长。
（答：先求得BC=2，再求得AC=2）
1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读
一、正弦定理
1．正弦定理及其证明
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．
课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：
当为锐角三角形时（如图所示），过点作单位向量垂直于，因为，所以，，即，得．
当为钝角或直角三角形时也可类似证明．
2．正弦定理常见变形公式
（1），，；
（2）；
（3），（为外接圆的半径）；
（4），，；
（5）．
注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．
3．正弦定理的运用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．
二、余弦定理
1．余弦定理及表达式
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
；
；
．
注：余弦定理反映了元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．
2．余弦定理的另一种表达形式
；
；
；
注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．
3．余弦定理的运用
利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
注：这两类问题在有解时都只有一个解．
4．勾股定理和余弦定理的区别与联系
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．
课件14张PPT。1.1.2 余弦定理一、实际应用问题 隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。BCA二、转化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A
求：a（即BC）.三、证明问题向量法：四、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与
它们的夹角的余弦的积的两倍。 或
（推论）B转化：在 △ABC中，
求 。BCBA例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。B五、余弦定理基本应用解：∴A=45°解：由例2可知 A=45°思考 在解三角形的过程中，求某一个角有时
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取。练习1：在△ABC中，已知
解：=31+18=49∴b=7练习2：解：六、作业1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。2.在△ABC中，已知 , , B=45°，求b和A。3.在△ABC中，已知 , ,
A=45°，求边长c，B，C。谢谢指导
