§1．1．3正弦定理余弦定理综合应用
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。§1.1
正弦定理和余弦定理
学习目标
1.
进一步熟悉正、余弦定理内容；
2.
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
学习过程
一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用
定理；
已知两边和夹角，求第三边，用
定理；
已知两角和一边，用
定理．
复习2：在△ABC中，已知
A＝，a＝25，b＝50，解此三角形．
二、新课导学
※
学习探究
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
A＝，a＝25，b＝50；
A＝，a＝，b＝50；
A＝，a＝50，b＝50.
思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
试试：
1.
用图示分析（A为直角时）解的情况？
2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？
※
典型例题
例1.
在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况．
变式：在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个．
例2.
在ABC中，，，，求的值．
变式：在ABC中，若，，且，求角C．
三、总结提升
※
学习小结
1.
已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2.
已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3.
已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4.
已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．
※
知识拓展
在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
：①当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解．
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，则的值=（
）.
A.
B.
C.
D.
2.
已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（
）.
A．135°
B．90°
C．120°
D．150°
3.
如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（
）.
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加长度决定
4.
在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝
．
5.
已知△ABC中，，试判断△ABC的形状
．
课后作业
1.
在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．
2.
在ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足，求角C．正弦定理、余弦定理综合应用
例1.设锐角三角形的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，
由为锐角三角形得．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，，．
，
所以．
由此有，
所以，的取值范围为．
例2.已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得 ，
所以．
例3.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝
.
例4.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求的值；
解：由余弦定理得＝
故
例5.在△中，三个角的对边边长分别为,
则的值为
.
例6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c
，若，
则_________________.
例7.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则
【解析】
由可知,,所以,由正弦定理得,
例8.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于
2
，
的取值范围为
.
解:
设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
例9.（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且
求b
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:
化简并整理得：.
又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得:
.又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………②
由①，②解得。
10.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
解：由
cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得
cos（AC）cos（A+C）=，
cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,
sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故
，
或
（舍去），
于是
B=
或
B=.
又由
知或
所以
B=。
例11.在中，（Ⅰ）求AB的值。
（Ⅱ）求的值。
【解析】（1）解：在
中，根据正弦定理，，于是
（2）解：在
中，根据余弦定理，得
于是=，
从而
例12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"，sinC=2sinB，则A=
【解析】由sinC=2sinB结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：
，所以A=30°.
例13．（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,
A+C=2B,则sinC=
.
【解析】由A+C=2B及A+
B+
C=180°知，B
=60°．由正弦定理知，，即．
由知，，则，，.
例14.在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______.
解析：设，则，由已知条件有
，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．
例15．（2010年高考北京卷理科10）在△ABC中，若b
=
1，c
=，HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则a
=
。
【解】由正弦定理，解得，又HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以，所以a
=
b
=
1。
例16．在△ABC中，a,
b,
c分别为内角A,
B,
C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
例17．（2010年高考浙江卷理科18）在中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=
-。
（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。
解：（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π
所以sinC=.
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0
解得
b=或2
所以
b=
c=4
或b=
c=4(共44张PPT)
课前自主预习
课堂典例讲练
名师辨误做答
课后强化作业
课前自主预习
温
故
知
新
自
主
预
习
课堂典例讲练
思路方法技巧
建模应用引路
探索延拓创新
名师辨误做答
(1
2
3
4
