§1.2应用举例—①测量距离
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
学习过程
一、课前准备
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝，c＝2，则∠A为
.
复习2：在△ABC中，sinA＝，判断三角形的形状.
二、新课导学
※
典型例题
例1.
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.
求A、B两点的距离(精确到0.1m).
提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，
应用正弦定理算出AB边.
新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的
叫基线.
例2.
如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.
分析：这是例1的变式题，研究的是两个
的点之间的距离测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.
变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60°，ACD=30°，CDB=45°，BDA
=60°.
练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
三、总结提升
※
学习小结
1.
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
学习评价
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
※
当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（
）.
A．5cm
B．
C．
D．6cm
2.
台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（
）.
A．0.5小时
B．1小时
C．1.5小时
D．2小时
3.
在中，已知，
则的形状（
）.
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.在中，已知，，，则的值是
．
5.
一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
km．
课后作业
1.
隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.
2.
某船在海面A处测得灯塔C与A相距海里，且在北偏东方向；测得灯塔B与A相距海里，且在北偏西方向.
船由向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西方向.
这时灯塔C与D相距多少海里？
P
A
C1.2.1应用举例 （距离问题）
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
●教学过程
Ⅰ.课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
Ⅱ.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
[例题讲解]
(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
=
AB
=
=
=
=
≈
65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a
km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型。
解略：a
km
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，
ACD=，CDB=，BDA
=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得
AC
=
=
BC
=
=
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB
=
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA
=60
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。
Ⅲ.课堂练习
课本第13页练习第1、2题
Ⅳ.课时小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅴ.课后作业
课本第19页第1、2、3题(共22张PPT)
A
C
B
51o
55m
75o
解三角形公式、定理
正弦定理：
余弦定理：
三角形边与角的关系：
2.大角对大边，小角对小边
。
余弦定理的作用
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；
（3）判断三角形的形状。
三角形的面积公式
。
斜三角形的解法
已知条件
定理选用
一般解法
用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180 ，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。
正弦定理
余弦定理
正弦定理
余弦定理
由A+B+C=180 ,求出另一角，再用正弦定理求出两边。
用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180 得出第三角。
用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180 得出第三角。
一边和两角
(ASA或AAS)
两边和夹角(SAS)
三边(SSS)
两边和其中一
边的对角(SSA)
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）
水平线
视线
视线
仰角
俯角
2.方向角、方位角。
（1）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角。
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。
东
西
北
南
60°
30°
45°
20°
A
B
C
D
点A在北偏东60°,方位角60°.
点B在北偏西30°,方位角330°.
点C在南偏西45°,方位角225°.
点D在南偏东20°,方位角160°.
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
水平距离
垂直距离
坡面距离
坡度（坡度比）
i:
垂直距离/水平距离
坡角α:
tanα=垂直距离/水平距离
α
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55
m，∠BAC＝51°，
∠ACB＝75°，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）.
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
解：根据正弦定理，得
答：A,B两点间的距离为65.7米。
A
B
C
D
A
B
C
D
α
β
γ
δ
a
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,
∠ACD=β,
∠CDB=γ,
∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
BCA=
，
ACD=
，
CDB=
，
BDA=
求A、B两点间距离
.
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n
mile
/
h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n
mile
以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a
km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
（2）例题中涉及一个怎样的三角
形？
在△ABC中已知什么，要求什么？
C
A
B
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m。
C
A
B
总结
实际问题
抽象概括
示意图
数学模型
推理
演算
数学模型的解
实际问题的解
还原说明
练习：
P19
习题1.2
A组
1，4，5
作业：
P19习题1.2
A组
2，31.2应用举例 距离问题
1．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a
km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a
km
B．a
km
C．
a
km
D．2a
km
解析：∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，∴由余弦定理得AB＝a.
答案：B
2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案：D
3．某人向正东方向走x
km后，他向右转150°，然后朝新方向走3
km，结果他离出发点恰好
km，那么x的值为( )
A．
B．2
C．2或
D．3
解析：由题意画出三角形如图．则∠ABC＝30°，由余弦定理cos
30°＝，∴x＝2或.
答案：C
4．一艘船以4
km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过
h，则船实际航程为( )
A．2
km
B．6
km
C．2
km
D．8
km
解析：如图所示，在△ACD中，
AC＝2，CD＝4，
∠ACD＝60°，
∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.
∴AD＝6.即该船实际航程为6
km.
答案：B
5．两船同时从A港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12海里的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________海里．
解析：如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(海里)．
答案：28
6．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时．
解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v海里/小时，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
120°＝784，所以BC＝28(海里)．则速度v＝＝14(海里/小时)．
答案：14
7.
如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．
(1)求sin
75°；
(2)求该河段的宽度．
解：(1)sin
75°＝sin(45°＋30°)＝sin
45°cos
30°＋cos
45°sin
30°＝.
(2)在△ABC中，∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝(3＋)，
于是河段的宽度为d＝BCsin∠CBA＝(3＋)×＝＋50(米)．
8．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)海里/小时
B．20(－)海里/小时
C．20(＋)海里/小时
D．20(－)海里/小时
解析：由题意，∠SMN＝45°，
∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.
由正弦定理得＝.
∴MN＝＝＝10(－)．
则v货＝20(－)海里/小时．
答案：B
9．有一长为10
m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )
A．5
m
B．10
m
C．10
m
D．10
m
解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.依题意，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10
m，在△ABB′中，根据正弦定理，得BB′＝＝＝10(m)，即当坡底伸长10
m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
答案：C
10．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为________小时．
解析：设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)2＋402－2×20t×40·cos
45°＝302.
化简得：4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而|t1－t2|＝＝1.
答案：1
11．某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31
km，正沿公路向A城走去，走了20
km后到达D处，此时CD间的距离为21
km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
解：如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cos
β＝
＝＝－，
∴sin
β＝.
又sin
α＝sin(β－60°)＝sin
βcos
60°－sin
60°cos
β
＝×＋×＝，
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(km)．
∴这个人再走15
km就可以到达A城．
12．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
解：如右图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD．则根据题意，知在△ABC中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos
60°＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos
60°＝244t2－560t＋400＝2442＋400－244×2，∴当t＝时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
13．在垒球比赛前，某国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？(如图所示)(≈1.73)
解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点(如图所示)．设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，
则∠AOB＝15°，OB＝vt，AB≤t.
在△AOB中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠OAB＝sin
15°≥·＝－.
而(－)2＝8－4>8－4×1.73>1即sin∠OAB>1.
∴这样的∠OAB不存在，因此游击手不能接到球．
