3.4
基本不等式（第1课时）
一、教学目标：
1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；
2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
二、教学重点：对基本不等式的理解和运用
教学难点：理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点
三、学情及导入分析：
对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
教具准备
多媒体课件、投影胶片、投影仪等?
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
1.创设情境，提出问题下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。
1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
合作探究??探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。师：从图形上你能观察到了什么？生：边、角、三角形、正方形师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。师：那么面积之间又有怎样的关系呢？生：大正方形面积，四个直角三角形面积，并且>。师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？生：还会相等。
时会相等。（教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）结论：（当且仅当时取等号）师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可）生：由，则恒成立。则时取等号。师：一般的我们都用，表示，那么若将上式中的，换成，，你又会得出什么结论？如何证明？
生：
当且仅当时取等号。
师：很好，还可以写成
，如何证明这个结论成立呢？
生投影展示：要证，只要证，只要证，只要证，显然式子成立，当且仅当取等号。师：这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。探究二：
如右图，是圆的直径，点是上的一点，，。过点作垂直于的弦,连接、。你能利用这个图形，得出的几何解释吗？（学生口述证明过程，教师给以引导）证明：因为，所以。
由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为
显然不等式当且仅当点与圆心结合，即当时，等号成立师：以上利用代数法和几何法推导基本不等式，过程详细，内容明确，学生们对基本不等式理解了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？
用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。结论:（教师投影展示学生口述结果）是、的几何平均数，是、的算术平均数。代数解释是几何平均数不大于算术平均数。几何解释为半弦不大于半径。
培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建模思想。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对数学概念的理解。教师引导学生回答，作出评价
例题解析例：判断对错1）由则
（）2）．若则
（
）3）当时，。
（
）4）函数的最小值为2.
（
）（学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。）师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题。例：（１）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为ｍ，宽为ｍ，则，篱笆的长为ｍ．
由，可得，。等号当且仅当时成立，此时.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m．师：完成此例题你有什么发现？生：乘积是定值的时候，和取最值，并且为最小值。师：很好，那总结个规律该怎么说呢？（学生尝试说，最后教师完善）结论1：积定和最小。师：看看下面这道例题，你又会得到什么结论呢？（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大的面积是多少？解：设矩形菜园的长为ｍ，宽为ｍ，则，，矩形菜园的面积为㎡．由，可得，当且仅当，即，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大的面积是81㎡。师：此题做完你又有什么想法呢？生：和定积最大。（由上面的题引导学生会很快得出结论）师：由上面例题，同学们，能总结一下运用基本不等式解题需要满足的条件吗？（根据前面学习学生会说出至少两点）生：都为正数，取最值的条件是师：例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？（通过教师引导学生会想到定值）生：有一个是定值。师：好，那我们给运用基本不等式满足的条件一个口诀吧？（生尝试去说，但不一定简便，但用自己的思维方式说印象会更深）师：一正、二定、三相等。师：那我们如何运用基本不等式都能求哪些最值得题型呢？下节课我们再研究。
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导。合作探究：下面两道例题都由学生先独立完成，然后组内探讨，最后组内出代表完成。考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了基本不等式并能注意运用公式时需要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。1．总结归纳利用基本不等式求最值问题，实现积与和的转化。2．培养学生在实际生活中对不等式的感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
课堂小结?1、本节课你学到了什么？2、你还有哪些疑问？
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.教材P113练习1、2、3.习题A组2、2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
五、设计说明
不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。
基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法。代数学通过图形展示，让学生自己找出不等式关系，从而引出结论。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的条件。最后用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程。两种方法就是希望学生真正理解公式的由来。从而能够灵活运用。
基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，所以一道求最值的实际问题引导学生理解运用不等式需要注意的三点：一正、二定、三相等。为后面求最值的题型做了铺垫。
课堂总结和课后作业都是给学生一个独立思考，理顺自己思路，回顾学习的内容，从而检验自己学习情况。
?
A
B
D
C
O(共15张PPT)
第三章
不等式
3.4
基本不等式
（第1课时）
学习目标
1、引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察分析问题的能力和形成数形结合的思想和意识。
2、进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3、通过例题的引导，培养学生形成类比归纳的思想和习惯，形成规律：一正、二定、三相等。
重点及难点
培养学生形成类比归纳的思想和习惯，会用基本不等式进行代数式大小的比较及求解简单的最值问题。
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.
情景导入
如果用
、
分别代替结论中的
、
，则
、
需要满足什么条件？
替换之后我们又会得到了什么结论呢？
探究
1、本节课你学会了什么？
2、学完以后你还有哪些疑问？
总结
课后作业
二00二年国际数学家大
ITMAnONAL
CONTRESS
MATHEMA
nICIA
2002
IM
200
Beilin
g
August20-28,2002
弦
朱实
朱C
黄实
股
朱实
朱房
由
得到
恒成,所以的歌等号
写作
要证
(1)
只要证
要证(2),
只要证
要证(3)
只要证
(4)
显然(4)是成立的,当且仅当
时,(4)中的
等号成立
分析
如图,AB是圆的直径,C是AB上
点,AC=,BC=b过作函
孑AB的弦DE,连接ADBD
由相似定理成航影定速可求
HHCDs
圆的半径为
则
D
A
CB
探究
:判断对错
2、若
则
3、若
4、函数
的最小值为
结论
本不等式
若
则
(当且仅当
时政等号)
其中m做的几何平总数
则做的算术平均
代数解释:几何平地数不大于常术平数
几何解释:半弦不大子半径
解8设短形菜圆的长为m。宽为了m 则黑了=100。篱笆
的长为2(+了)m
等号当且仅当x时成立y此时x
闼泚。这个矩腦的长。髋鄱为]⑩时。所用篱笆鬣短。短篱
是40m3.4基本不等式（第1课时）
姓名
班级
(一)知识点梳理。
(1)基本不等式：≥
①基本不等式成立的条件：___________.
②等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
③其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的____________.
基本不等式可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
(2)基本不等式的变形
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
②，当且仅当a＝b时取等号．
③a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时取等号；
a＋≤______
(a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．
④.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
(3）利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
①如果积xy(积为定值)是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最_____值是2.(简记：积定和最小)
②如果和x＋y(和为定值)是定值s，那么当且仅当______时，积xy有最____值是.(简记：和定积最大)
典例研习
例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;
（2）求函数y=x+的值域.
例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.
变式训练
1、已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.
例3求f(x)=3+lgx+的最大值（0＜x＜1）.
变式训练
1、当x＜时，求函数y=x+的最大值.
三、巩固练习
1、下列函数中，最小值是2的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3.设实数满足,则当取得最小值时，的最小值为（
）
A.
B.
-
C.
D.
4、若正数满足，则取最小值时的值为（
）
A．1
B．3
C．4
D．5
5、如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（
）
（A）16
（B）18
（C）25
（D）
6、已知，则的最小值是（
）
A．
B．1
C．
D．
7、已知且，若不等式恒成立，则的最大值等于（
）
A．10
B．9
C．8
D．7
8、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．
9、设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是
。
10、设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
．
11、设x1，x2 R，函数f（x）满足ex=，若f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）最小值是
．第三章
不等式（人教A版新课标）
第4
节
基本不等式：
【思维导图】
【微试题】
下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2.
已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．16
D．不存在
【答案】B
3.已知0＜x＜，则函数y=x(1-3x)的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
4.
如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
【答案】（1）每间虎笼长4.5
m,宽3
m时，可使面积最大；
（2）每间虎笼长6
m,宽4
m时，可使钢筋总长最小。
【解析】解（1）设每间虎笼长为x
m，宽为y
m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S，则S=xy.
方法一：由于2x+3y≥2=2,
∴2≤18,得xy≤，即S≤.
当且仅当2x=3y时等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.
∵x＞0,∴0＜y＜6.
S=xy=(9-y)y=
(6-y)y.
∵0＜y＜6,∴6-y＞0.
∴S≤［］2=.
当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5
m,宽3
m时，可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:∵2x+3y≥2=2=24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24，得x=.
∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
故每间虎笼长6
m,宽4
m时，可使钢筋总长最小.3.4
基本不等式：（第1课时）说课稿
一、教材分析
（一）地位与作用
基本不等式是必修5的重要内容，也是高考的重点考察内容，在高考中占有重要的地位，因此需要我们着重重视.它也是不等式的延续与拓展，为基本不等式的应用奠定了基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用.
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）了解基本不等式的来源及证明过程；
（2）会利用基本不等式求简单的最值问题；
（3）在使用基本不等式求最值时，注意：基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可.
2.过程与方法目标：
（1）探索并了解基本不等式的形成和证明过程；
（2）体会基本不等式的证明方法和简单应用.
3.情感态度价值观目标：
通过动手操作，使学生亲身体验基本不等式的来源，激发学生的学习兴趣.
（三）重点难点
重点：会使用基本不等式求最值，尤其注意基本不等式成立的前提条件和等号成立的条件；
难点：不知何时使用基本不等式，在使用基本不等式求最值时，容易忽略基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）.
二、教法分析
（一）学情分析
在此之前，学生掌握了不等式的性质和比较法证明不等式，因此学生能够看懂基本不等式的几何证明与代数证明.但让学生困惑的是在什么情况下可以用基本不等式，在使用基本不等式时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件.因此，在教学过程中，要让学生领会到遇到两数的和化为求它们的乘积，或乘积化为求和（尤其是这两数有倒数关系）时，首先考虑用基本不等式.应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用.
（二）教法
根据本节课的内容和学生的实际水平，实验操作、计算机辅助教学、小组讨论汇报等教学方法.
（三）学法
观察法，合作探究法，发现法，学思结合法
（四）教学手段
折纸活动，课件展示
三、教学过程分析
（一）创设情境，启发引导
今天我们来做一个实验，请准备两个正方形纸张，记一张面积为，另一张面积为.
步骤一：把两张纸张沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢，则两部分的总面积为；
步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看成一个矩形（见下图），则其中一个边长为，另一边为，故矩形的面积为；
步骤三：由图显然可得基本不等式：矩形面积不大于整个面积，即
这就是本节课要学习的基本不等式.
下面我们一起来看看这个基本不等式的两种证明过程：
（教师直接用课件展示比较法、分析法的证明过程）
（三）初步应用，归纳提升
例1、判断下列式子能否直接运用基本不等式求最值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）；
（6）.
变式训练1：求函数的最小值.
引导学生注意：表达式为倒数或具有倒数关系的两数之和，可以考虑用基本不等式，但使用基本不等式的前提条件：，，等号成立的条件：当且仅当.
（通过反复验证基本不等式的条件来突破难点）
例2：已知，，，则求的最小值.
（已知和为定值，可以考虑用基本不等式，但必须对代数式进行变形成具有倒数关系的形式来）.
变式训练：已知，，且，求的最大值.
（已知和为定值，要求乘积，可考虑用基本不等式，但需要配凑成与的形式.）
（四）反思总结，培养能力
1、基本不等式的前提条件：，，等号成立的条件：；
2、使用基本不等式求最值的三个限制条件（一正二定三相等），这三个条件缺一不可；
3、和为定值积最大，积为定值和最小.
（五）课后作业，自主学习
必做题：
（1）求函数的最小值；
（2）若正数、满足
，则求的取值范围.
选做题：
（1）求函数的值域，并作出图象；
（2）求函数的值域.
（六）板书设计
3.4
基本不等式
基本不等式基本不等式的条件说明
例1变式训练1
例2变式训练2
四、教学反思
采用及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过变式训练考查学生对基本不等式是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。
以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指正。3.4基本不等式（第1课时）（学生版）
一、选择题：
1．函数f(x)＝的最大值为( )
A．
B．
C．
D．1
2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
3．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为( )
A．
B．3
C．
D．1
4．下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝＋
B．y＝lgx＋(1
C．y＝3x＋3－x(x∈R)
D．y＝sinx＋(05．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D．
6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )
A．0
B．1
C．2
D．4
7．若0A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
二、填空题：
8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．
9．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
10．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．
三、解答题
11．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．
12．已知直角三角形两条直角边的和等于10
cm，求面积最大时斜边的长．
13．已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋)2＋(b＋)2的最小值．
14．某商场预计全年分批购入每台2
000元的电视机共3
600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43
600元．现在全年只有24
000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．