3.3.4《基本不等式》（第2课时）教师版
一、选择题：
1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是( )
A．10
B．25
C．5
D．2
【答案】D
【解析】a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D．
2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( )
A．100
B．50
C．20
D．10
【答案】B
【解析】由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B．
3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A．>
B．＋≤1
C．≥2
D．≤
【答案】D
【解析】∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，
∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D．
4．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】 根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，∴c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.
5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6
B．4
C．2
D．8
【答案】B
【解析】 ∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，
等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.
6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为( )
A．18
B．12
C．2
D．
【答案】A
【解析】 ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，
等号在3x＝32y即x＝2y时成立．∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.
7．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( )
A．7
B．3
C．1＋2
D．5
【答案】A
【解析】 由已知得x＋3y＝2，3x>0,27y>0，∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，
当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．
8．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】 ∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．
∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．
9．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【解析】 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应
过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4 (等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D．
10．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】B
【解析】 ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B．
二、填空题：
11．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
【答案】≤
【解析】∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝≥，
当且仅当a－b＝b－c，
即2b＝a＋c时等号成立．
12．若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
【答案】[，＋∞]
【解析】解法1：首先a＝0时不满足题意；若a≠0则由题意得：Δ＝1－8a2≤0，且a>0，解得a≥.
解法2：首先若a＝0，显然不合题意，若a<0，显然x＝0满足不等式；∴a>0.
令t＝|x|，则t≥0，原不等式化为at2－t＋2a<0，由题意知at2－t＋2a<0在[0，＋∞)上无实数根．
从而at2－t＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≥.
∵t>0时，＝≤＝，等号成立时，t＝，即t＝，又t＝0时＝0，∴a≥.
13．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
【答案】 1
760
【解析】 设水池池底的一边长为
x
m，则另一边长为
m，则总造价为：
y＝480＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1
760.
当且仅当x＝
即x＝2时，y取最小值1
760.所以水池的最低总造价为1
760元．
14．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．
【答案】4
【解析】 ∵a>0，∴(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.
三、解答题
15．(1)已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．
(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥10.
【答案】见解析
【解析】 (1)∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋
≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．
由，得.∴当a＝12，b＝6时，a＋b取最小值18.
(2)(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝4＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．∴(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥10.
16．某单位决定投资3
200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
【答案】见解析
【解析】 (1)设正面铁栅长x
m，侧面长为y
m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.由条件知z≤3
200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥2＝12.∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0(2)当S＝100
m2时，4x＝9y，且xy＝100.解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100
m2时，正面铁栅长15
m.
17．(1)已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.
(2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c>＋＋.
【答案】见解析
【解析】
(1)∵a、b、c∈R＋，，，均大于0，又＋b≥2＝2a，
＋c≥2＝2b，＋a≥2＝2c，
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，∴＋＋≥a＋b＋c.
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．
∴a＋b＋c>＋＋.(共13张PPT)
3.4.基本不等式及其应用
（第2课时）
基本不等式
知识点复习
常用的变形
基本不等式应用时,“结构为王”,掌握结论本身的同时也应关注它的变形及使用
复习要求
引入复习
一正,二定,三等
基本不等式求最值的条件
例1.
试着构造一个最小值为2的函数,
“□”内可填入常数或是x相关的式子
例题讲解
思维升华
方法点拨
配凑法,目的就是为了结构上满足“积”
或“和”
为常数
寻常之路
例题讲解
引申
方法点拨
①消元法是通法,但并非最简单的方法
②常数“1”的代换
③基于求解对象,可直接转化
条件最值问题
学生练习
方法点拨:配凑法
方法点拨:常数“1”的代换
例题讲解
例题讲解
学生练习
变题
基本不等式
基本不等式及其应用的运用的原则：
（1）结构为王
（2）配凑变形为辅（3）成立条件保障
课堂小结
（备用例题）
配套练习
作业：基本不等式说课稿（第一课时）
宝丰一高
王彩芳
一、对课标要求和教材特点的分析
基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。
1．课标对本节课的要求：
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。
2.
对教材中本节课的内容安排特点的理解
课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。
教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系。
课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣。
教科书更加注重学生数学思维的培养，十分注重借助几何直观（即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高。
3.学情分析：学生在初中学习了完全平方公式、圆，初步认识了不等式。同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式（组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。
（根据以上情况，我制定了如下几点教学目标）
二、教学重点、难点、目标
1.重点：
应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。依据：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力。
均值不等式成立的条件及应用。依据：均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解。
突出重点的方法：我将采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导。
2.难点
基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
依据：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误。
突破难点的方法：反复强调限制条件，利用变式练习突出条件的重要性，使学生自然认为条件和结论是一个整体。
3.教学目标：
探索并了解基本不等式的证明过程。通过这一过程培养探索、研究精神；
理解基本不等式几何意义；体会数形结合的思想；
会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。
通过学习本节内容体会数学来源于生活，应用于生活，提高学习数学的兴趣。
4.教学法分析：
教法：本节课从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、概括，科学地提出、分析和解决问题，使学生感受到式子的来历。
学法：以讨论为主，自主探究、练习为辅。
三、处理教材的思路
课堂设计流程如下
教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程分析如下：
1.创设情景，提出问题；
右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问1]你能从中找出一些相等和不等关系吗？
背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，
抽象出不等式。在此基础上，引导学生
认识基本不等式。
2.抽象归纳：
一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a＝b时，等号成立。
[问2]
你能给出它的证明吗？
（
学生在黑板上板书）
利用不等式：4+9≥12,
（
2+3≥？）找出类比方法
特别地，当a>0,b>0时，在不等式中，以分别代替a、b，得到什么？
设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础。
【归纳总结出基本不等式】
如果a,b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。
3.
探究基本不等式证明方法：
[问3]
如何证明基本不等式？
（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华）
方法一：作差比较或由展开证明。
方法二：分析法（完成课本填空）
设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。
点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法
4.基本不等式的进一步理解：
文字语言叙述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
联想数列的知识理解基本不等式：
已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
符号语言叙述：
若，则有，当且仅当a=b时，。
[问4]怎样理解“当且仅当”？
探究不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步理解等号成立条件。如图直径AB，点C是AB上一点，AC=a,CB=b，CD=
几何解释：在同一个圆中，半弦不大于半径；
直角三角形斜边的一半不小于斜边的高。
5.例题及变式讲解与应用
（1）用篱笆围成一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
得出结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。
应用：
1.若，则的最小值。
2.若则的最小值。
3.若，则的最小值。（若改为x≥3呢？）（设计目的：等号成立条件）
用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
得出结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。
（3）例题变式：用一段长为24m
的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
应用：1.已知，求函数的最大值。
2.已知，求函数的最大值。（设计目的：配凑成定值）
应用重点：
一正
二定
三相等
6、课堂小结
1.
两个不等式
（1）若那么
（当且仅当时取“=”）
（2）当且仅当a=b时，等号成立。
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。
2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
7.布置作业：课本100页习题3.4
A组1,2.
四、课堂效果预期
本节课通过七个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基础上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。
同时，以多媒体课件、作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。
通过这节课的学习，引导学生多角度、多方位地认识基本不等式，并了解它的几何意义，充分渗透数形结合的思路；能在教师的引导下主动探索并了解基本不等式的证明过程，强化证明的各类方法；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，并注意等号取到的条件。在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获取教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标，从而达到较为理想的教学效果。
五、板书设计：
标题
练习与板演
多媒体展示
基本不等式内容
例题讲解
板演
创设情景，提出问题
探究基本不等式证明方法：
抽象归纳出基本不等式
基本不等式的进一步探究
例题及例题变式讲解，得出结论
结论应用
本课小结
布置作业课题
基本不等式中的母题及其解答技巧
不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．
1．基本不等式≤
基本不等式的使用条件：
①
一正：a＞0，b＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；
②
二定：ab或a＋b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；
③
三相等：当且仅当a＝b时取等号；即：等号能否取得．
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2．由公式a2＋b2≥2ab和≤可以引申出的常用结论
(1)＋≥2(a，b同号)；
(2)＋≤－2(a，b异号)；
(3)≤≤≤(a＞0，b＞0)
．
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x＞0，y＞0，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”)
(2)如果x＞0，y＞0，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”)
类型一、直接应用类
此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
解答技巧一：直接应用
【母题一】若x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．【解析】由于x＞0，y＞0，则x＋y≥2，所以xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81．【答案】81
【变式】
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有
( )
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
【答案】C
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为
( )
A．
B．
C．
D．
【解析】∵0＜x＜1，∴1－x＞0．∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝．当x＝1－x，即x＝时取等号．
【答案】B
3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝3x，若f(a＋b)＝9，则f(ab)的最大值为__________．
【解析】∵3a＋b＝9，∴a＋b＝2≥2，得ab≤1，∴f(ab)＝3ab≤3．
【答案】3
4．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
【解析】依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20．
【答案】20
类型二、配凑定值类(恒等变形类)
此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．
解答技巧二：拆项
【母题二】已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．【解析】∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．【答案】－2
解答技巧三：凑项
【母题三】若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为________．【解析】∵x＞2，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时取等号．【答案】4
解答技巧四：凑系数
【母题四】若0＜x＜，则函数y＝x(8－3x)的最大值为________．【解析】∵x＞2，∴y＝(3x)(8－3x)≤2＝，当且仅当x＝时取等号．【答案】
【变式】
1．函数y＝(x＞1)的最小值是( )
A．2＋2
B．2－2
C．2
D．2
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2．当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
【答案】A
2．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0．又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．则a≤3，所以a的最大值为3．
【答案】3
3．(2014·潍坊一模)已知a＞b＞0，ab＝1，则的最小值为________．
【解析】＝＝＝(a－b)＋≥2．当且仅当a－b＝时，取等号．
【答案】2
4．已知函数f(x)＝．
(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；
(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．
【解】(1)f(x)＞k kx2－2x＋6k＜0．
由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2．
由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－．
(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．
由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是．
类型三、条件最值类
利用基本不等式求最值的方法及注意点
(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)
【母题五】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．【解析】∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．【答案】4
【变式】
1．本例的条件不变，则的最小值为________．
【解析】＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9．当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】9
2．本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________．
【解析】由＋＝4，得＋＝1．∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1．当且仅当a＝b＝时取等号．
【答案】1
3．若本例条件变为：已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
【解析】由a＋2b＝3得a＋b＝1，∴＋＝＝＋＋≥＋2＝．当且仅当a＝2b＝时，取等号．
【答案】
4．本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
【解析】∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
【答案】9
5．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________．
【解析】设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5 a5q2＝a5q＋2a5 q2－q－2＝0(q＞0) q＝2．＝2a1 a12m－1·a12n－1＝8a 2m－1·2n－1＝8 m＋n－2＝3 m＋n＝5，则＋＝(m＋n)＝≥(5＋2)＝，当且仅当n＝2m＝时等号成立．
【答案】
6．(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．
B．
C．5
D．6
【解析】∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＝1．∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)．
【答案】C
7．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4．
【答案】B
技巧六：构造一元二次不等式
在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥
(a，b＞0)逆用就是ab≤2
(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
思考方式还能以保留“和(a＋b)”还是“积(ab)”来确定公式的运用方向．
【母题六】若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．【解析】由x＞0，y＞0，2x＋y＋6＝xy，得xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，等号成立)，即()2－2－6≥0，∴(－3)·(＋)≥0．
又∵＞0，∴≥3，即xy≥18．∴xy的最小值为18．【答案】18
【变式】
1．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C．
D．
【解析】依题意，得2xy＝－(x＋2y)＋8≤2，当且仅当即时等号成立．∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，∴x＋2y的最小值是4．
【答案】B
2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】对于x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)，∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当＝，即x＝时等号成立)．
【答案】B
3．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
【解析】x2＋y2＋xy＝1 (x＋y)2－xy＝1 (x＋y)2－1＝xy≤()2，解得≤x＋y≤．
【答案】
类型四、基本不等式的应用
1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
【解析】设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x．费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，当且仅当0．8x＝，即x＝5时等号成立．
【答案】5
2．规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
【解析】1⊙k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1．
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
【答案】1；3
3．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4
B．
C．8
D．9
【解析】∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．若A，B，C三点共线，则有∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．
【答案】D
4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0
B．1
C．
D．3
【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(
)，则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(
)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1．
【答案】B
5．已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立．
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋．设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是．
【答案】
【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y＝x＋(m＞0)的单调性．
1．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜
B．v＝
C．＜v＜
D．v＝
【解析】设甲、乙两地之间的距离为s．∵a＜b，∴v＝＝＝＜＝．又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a．
【答案】A
2．函数y＝的最小值是( )
A．2
B．2
C．3
D．5
【解析】y＝＝＝(x2＋1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x2＋1)＝，即x＝0时，取等号．
【答案】C
3．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________．
【解析】＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时，等号成立．
【答案】9
4．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m＝(2,1)，n＝(1－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为__________．
【解析】依题意得2a＝1－b，即2a＋b＝1(a＞0，b＞0)，因此1＝2a＋b≥2，即ab≤，当且仅当2a＝b＝时取等号，因此ab的最大值是．
【答案】
5．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
【解】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2
＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
∴xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2
＝18．
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18．
1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是
( )
A．lg＞lg
x(x＞0)
B．sin
x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．＞1(x∈R)
【解析】当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg
x(x＞0)，故选项A不正确；而当x≠kπ，k∈Z时，sin
x的正负不定，故选项B不正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
【答案】C
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A．
B．4
C．
D．5
【解析】依题意，得＋＝·(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是．
【答案】C
3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是
( )
A．
B．
C．2
D．
【解析】由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2．
【答案】C
4．已知a＞b＞0，则a2＋的最小值是________．
【解析】∵a＞b＞0，∴b(a－b)≤2＝，当且仅当a＝2b时等号成立．∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16，当且仅当a＝2时等号成立．∴当a＝2，b＝时，a2＋取得最小值16．
【答案】16
5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80
000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为
200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80
000＝－(x－300)2－35
000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80
000，－40
000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40
000元才能不亏损．
1．函数y＝(x＞－1)的最小值是( )
A．9
B．2
C．10
D．2
【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0．∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9．当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．
【答案】A
2．(2015·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4．
【答案】B
3．(2015·西安模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2
B．
C．1
D．
【解析】由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，则＋＝＋＝＝．又a＞1，b＞1，所以ab≤()2＝3，所以lg
ab≤lg
3，从而＋≤＝1，当且仅当a＝b＝时等号成立．
【答案】C
4．已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是_____________．
【解析】∵＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当y＝，x＝时，等号成立．
【答案】C
5．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20．
(1)求u＝lg
x＋lg
y的最大值；
(2)求＋的最小值．
【解】(1)∵x＞0，y＞0，由基本不等式，得2x＋5y≥2．
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10．
∴u＝lg
x＋lg
y＝lg(xy)≤lg
10＝1．
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg
x＋lg
y有最大值1．
(2)∵x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
∴＋的最小值为．
1．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C．
D．
【解析】依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4．当且仅当即时等号成立．
∴x＋2y的最小值是4．
【答案】B
2．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg
a·lg
b的最大值是( )
A．0
B．1
C．2
D．
【解析】∵a＞1，b＞1，∴lg
a＞0，lg
b＞0．lg
a·lg
b≤＝＝1．当且仅当a＝b＝10时取等号．
【答案】B
3．已知不等式＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为( )
A．4
B．8
C．9
D．12
【解析】易知不等式＜0的解集为(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)(＋)＝5＋＋≥5＋4＝9(当且仅当m＝n＝时取等号)，所以＋的最小值为9．
【答案】C
4．(2014·成都诊断)函数f(x)＝lg，若f(a)＋f(b)＝0，则＋的最小值为_________．
【解析】依题意得0＜a＜2，0＜b＜2，且lg＝0，即ab＝(2－a)(2－b)，＝1，＋＝＝≥(4＋2)＝2＋，当且仅当＝，即a＝3－，b＝－1时取等号，因此＋的最小值是2＋．
【答案】2＋
5．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
【解】(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，
即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，解得10－5＜x＜10＋5．
而2＜10－5＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为
＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，
而19－≤19－2＝9，当且仅当x＝5时等号成立，
即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．
1．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2
B．＋＞
C．＋≥2
D．a2＋b2＞2ab
【解析】∵ab＞0，∴＞0，＞0．由基本不等式得＋≥2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
【答案】C
2．
函数y＝loga(x＋3)－1
(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为( )
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】点A(－2，－1)，所以2m＋n＝1．所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥8，当且仅当n＝2m，即m＝，n＝时等号成立．
【答案】C
3．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．
【解析】由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，故－≤x＋y≤，当x＝y时等号成立，所以x＋y的最大值为．
【答案】
4．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
【解析】∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3，当且仅当＝时取等号．
【答案】3
5．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是__________．
【解析】由log4(3a＋4b)＝log2，得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)·(＋)＝7＋(＋)≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．
【答案】7＋43.4.2
基本不等式 （第2课时）
一、教学目标
知识与技能?
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；?
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
过程与方法?
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.?
情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.?
二、教学重点与难点:
重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.?
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
三、教学模式与教法
教学模式
：根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
教具准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、创设情景，
提出问题;前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.?
让学生明确学习任务
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、分析问题，解决问题师
已知，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？?师
若a＋b为常数s，那么ab的值如何变化？?师
同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.?(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)?1.最值练习：解答下列各题：?(１)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值.?(２)求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值.?(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值.?(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值.?(５)设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值.?
引导学生总结运用基本不等式的解题步骤和方法．生1；
当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为2k.?生2.当且仅当a＝b时，ab就有最大值（或ab有最大值）.。
让学生感受数学概念的出现是自然的．引出目标函数的概念，顺而引出约束条件、可行域、可行解、最优解、简单的线性规划问题等相关概念．
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
三、典例分析：师
我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.
?解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，＞0.∴y＝2x2＋＝2x
2＋.?当且仅当2x
2＝，即时等号成立.故当时，y有最小值.?(2)
，当且仅当，即x＝±时，等号成立.
故当x＝±时，y有最小值.?(3)∵0＜x＜,∴3－2x＞0.?∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）3＝1.当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，等号成立.?(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y
2＝x
2（1－x
2）2＝·2x
2（1－x2）（1－x2）≤
()3＝.当且仅当2x2＝1－x
2,即时，等号成立.∴当时，y
2有最大值.由题意可知y＞0，故当时，y有最大值.?(5)∵a＞0，b＞0，且a
2＋＝1，∴
(a2+
+)=,当且仅当,即，时取“＝”.?故当，时，a1+b2有最大值.?师
若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？?生
不一定.应当考虑等号成立的条件.?师
用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.?
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）?根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）?
课堂练习
１)∵y＝x＋≥2，∴y的最小值为2.?师
这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.?（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）?师
很好.请坐下.感谢你为大家讲解.?２)∵y＝3x2＋＝2x2＋x
2＋，∴y的最小值为.?师
很好.?(3)∵y＝x（1－x＋x
2）≤［］2＝（）2，当且仅当x＝1－x＋x2，即x＝1时?等号成立.∴当x＝1时，y有最大值为1.?师
很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.?师
下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.?(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)?（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）?1.用篱笆围一个面积为100
m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？?2.一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？?师
下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.?3.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4
800
m3，深为
3
m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？?
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。生1；
解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).?生
2；当x＜0时，y＝x＋＝-(-x-)≤-2.?生3；
解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x
2＝x2＝，显然这样的x不存在，故y没有最小值.?生4；
解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时，也越大，故y无最大值.?1.解：设矩形菜园的长、宽分别为x
m、y
m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)
m.由，可得x+y≥2，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为１０
m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０
m.?2.解：设矩形菜园的长、宽分别为x
m、y
m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2.?（学生完成情况很好，要注意对答的要求）?3.分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.设池底长、宽分别为x
m、y
m.水池总造价为z元.?根据题意有z=150×+120(2×３x+2×3y)?=240
000+720(x+y).?由容积为4
800
m3，可得xy=1
600z≥
297
600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０
m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７
６００元.?
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：师
通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？?生
基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.?师
数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.?
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
布置作业，巩固提高1.课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、４题
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
板书设计
基本不等式的应用（二）?复习引入 课堂练习 ??方法归纳基本不等式
例
方法引导
小结?实例剖析（知识方法应用）?示范解题
习题详解
(课本第114页习题3.4)?
?A组?
1.（1）设两个正数为a、b，则a＞0,b＞0，且ab=36,所以a+b≥2ab
=236=12,当且仅当a=b=6时取等号.?
答：当这两个正数均为６时，它们的和最小.?
（２）设两个正数为a、b，依题意a＞0,b＞0，且a+b=18,所以a×b≤()2=()2=81,当且仅当
a=b=9时，它们的积最大.?
答：当这两个正数均为９时，它们的积最大.?
2.设矩形的长为x
m，宽为y
m，菜园的面积为S
m2，则x+2y=30,S=xy.由基本不等式与不等式的性质，可得S=×x×2y≤
=×=.?
当
x=2y,即x=15,时，菜园的面积最大，最大面积是m2.?
3.设矩形的长和宽分别为x和y，圆柱的侧面积为z.因为2(x+y)=36,即x+y=18,?
z=2π×x×y≤2π×=162π.?
当x=y，即长和宽均为９时，圆柱的侧面积最大.?
４.设房屋地面长为x
m,宽为y
m，总造价为z元，则?
xy=12,?
,?
z=3y×1
200+6x×800+5
800?
=
+4
800x+5
800?
≥23
600×12×4
800+5
800?
=34
600.?
当=4
800x，即x=3时，z有最小值，最低总造价为34
600元.?
?Ｂ组?
1.设矩形的长ＡＢ为
x，由矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ＞ＡＤ）的周长为24，可知宽ＡＤ为12-x，设ＰＣ＝
a，则ＤＰ＝
x-a，所以(12-x)2+(x-a)2=a2,可得,ＤＰ＝
x-a=.所以△ＡＤＰ的最大面积.?
由基本不等式与不等式的性质,得?
S≤6（-2+18）=6×(18-12)=108-72.?
当，即x=6
m时，菜园的面积最大，最大面积是(108-72)m2.?
2.过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ交ＡＢ的延长线于点Ｄ，设∠ＢＣＤ＝
α,∠ＡＣＤ＝β,ＣＤ=x.在△ＢＣＤ中，
tanα=.在△ＡＣＤ中，?
tan
(α+β)=
,则?
.?
当且仅当，即β=arctan时,视角最大.
备课资料
备用习题?
1.已知a、b是正实数，试比较an+bn与a
n-1·b+abn-1的大小.?
解：an+bn-a
n-1b-ab
n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).?
①当a＞b＞0时，a-b＞0,a
n-1-b
n-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0;?
②当b＞a＞0时，a-b＜0,a
n-1-bn-1＜0,得（a-b）(a
n-1-b
n-1)＞0;?
③当b=a＞0时，（a-b）(an-1-bn-1)=0;?
所以当a≠b时，an+bn＞a
n-1b+ab
n-1;?
当a=b时,an+bn=a
n-1b+ab
n-1.?
2.已知△ABC内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，?
（1）求证:内角C为定值；（2）求△ABC面积的最大值.
?
（１）证明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tan?B)=0.∵(tanA+tanB)≠0,?
∴，即tan(A+B)=1.∴∠C=135°.?
（2）解析：由题意,可得S△ABC?=
AC×BCsinC=
AC×BC≤
()2.当?AC=BC时，S△ABC有最大值，最大值为S△ABC=
(AC)2.?
再作辅助线如图，连结OC、OA，OC交AB于D得AB⊥OC，所以AD=BD=,CD=1-,?
AC
2=AD2+CD2=
2-2,所以S△ABC的最大值=
(AC)2=.?
3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x
km/h的速度匀速开往400
km处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？?
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知t相当于：最后一辆车行驶了25个
+400
km所用的时间，因此，.
当且仅当,即x=80时取“=”.?
答：这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时.?
4.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A、B孔面积忽略不计)?
分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.?
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知,其中k＞0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），即a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0），∵a＋2b≥2,∴2·＋ab≤30.当且仅当?a＝2b?时取“＝”，ab有最大值.∴当a＝2b时有2·ab＋ab＝30，即b2＋2b－1５＝0.解之，得b
1＝3，b2＝－５（舍去）.∴a＝2b＝６.故当a＝６米，b＝3米时，经沉淀后流出的水中杂质最少.?
解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知4b＋2ab＋2a＝６0（a＞0，b＞0），
∴a＋2b＋ab＝30（a＞0，b＞0）.∴（0＜a＜30).由题设，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.
∴.当且仅当a＋2＝时取“＝”，即?a＝６?，b＝3时ab有最大值18.故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.?
点评：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”成立.?
5.如图，在△ABC中，∠Ｃ＝９0°，AC＝3，BＣ＝4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.?
分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即S△BＥＦ＝S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE＝x，BＦ＝y.?
解：设BＥ＝x，BＦ＝y(0＜x＜4，0＜y＜５），则S△BＥＦ＝BＥ·BＦsinB＝xysinB.?
又S△ABＣ＝BＣ·AＣ＝×3×4＝６,依题意可知S△BＥＦ＝S△ABＣ.∴xysinB＝×６＝3.??
∵，xy＝10,又,∴在△BＥＦ中，由余弦定理得ＥＦ2＝BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BＦ·cosB＝x
2＋y
2－2xy·＝x2＋y2－1６≥2xy－1６＝4，当且仅当x＝y＝时，等号成立.故此时线段EF的长为2.?
点评：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法. 第三章
不等式（人教A版新课标）
第4
节
基本不等式：
【思维导图】
【微试题】
下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
2.
已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．16
D．不存在
【答案】B
3.已知0＜x＜，则函数y=x(1-3x)的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
4.
如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
【答案】（1）每间虎笼长4.5
m,宽3
m时，可使面积最大；
（2）每间虎笼长6
m,宽4
m时，可使钢筋总长最小。
【解析】解（1）设每间虎笼长为x
m，宽为y
m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S，则S=xy.
方法一：由于2x+3y≥2=2,
∴2≤18,得xy≤，即S≤.
当且仅当2x=3y时等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.
∵x＞0,∴0＜y＜6.
S=xy=(9-y)y=
(6-y)y.
∵0＜y＜6,∴6-y＞0.
∴S≤［］2=.
当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5
m,宽3
m时，可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:∵2x+3y≥2=2=24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24，得x=.
∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
故每间虎笼长6
m,宽4
m时，可使钢筋总长最小.(共10张PPT)
基本不等式及其应用
高考中的要求及部分题目展示
2017浙江省普通高考《考试说明》中关于“基本不等式”的考试要求：
2012年浙江高考9
2013年福建高考7
2014年重庆高考9
2014年浙江高考数学文科16题
浙江省五校2016届高三第二次联考
嵊州市2016届高三上学期期末教学质量检测
宁波市2016届高三上学期期末考试
杭州学军中学2016届高三5月模拟考试3.4
基本不等式
学案（第2课时）
【学习目标】
进一步掌握基本不等式及应用
能用基本不等式解决一些求最值问题，掌握一些技巧
【复习旧知】
重要不等式_______________________________________
基本不等式_______________________________________
【课堂探究】
探究：下面几道题的解答可能有错，如果
错了，那么错在哪里？
已知x<0,求的最值
解：因为
所以原式有最小值为2.
（2）已知，求的最小值。
归纳：使用基本不等式时应注意：________________________________________
利用基本不等式求最值问题
题型一：
例：已知x>1,求
的最小值；
变式:已知x>-2,求
的最小值
题型二：
例：已知0变式.
若
0,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
题型三
例：已知，且，求的最小值。
变式：
若且，求的最小值
归纳：使用基本不等式时应注意：________________________________________
【课堂小结】
1、在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项为正
二是寻求定值
（1）求和式最小值时应使积为定值，
（2）求积式最大值时应使和为定值
(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、“1”的代换是常用的解题技巧)；
三是考虑等号成立的条件
2、常用方法：拼凑法、整体代换法等
【课后巩固】
1、
2、已知且，求的最小值。
3、若实数满足，求的最小值。
