3.3.2《简单的线性规划问题》（第2课时）教师版
一、选择题：
1．已知函数f(x)＝x2－2x，则满足条件的点(x，y)所在区域的面积为( )
A．4
π
B．π
C.
D．2
π
【答案】B
【解析】即区域为圆面(x－1)2＋(y－1)2≤2和平面区域(x－y)(x＋y－2)≥0的公共部分，如图．
2．若则2x＋y的取值范围是( )
A．[，]
B．[－，]
C．[－，]
D．[－，]
【答案】C
【解析】：作出可行域：
设z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，[]
作出直线y＝－2x，当y＝－2x＋z在A点时纵截距最小，z最小．由得A(－，)，
zmin＝－.当y＝－2x＋z在B点时纵截距最大，(y＝－2x＋z与x2＋y2＝1相切时)，过B的切线为：
＝1，z＝，∴y＝－2x＋，由得B(，)，∴zmax＝.
3．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名；x，y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是( )
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】令z＝x＋y，即求z的最大值．由约束条件可画可行域，∵是要求整点最优解．
∴不妨用网格法，可发现(5,5)是最优解．∴选C.
4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0
B．30,20
C．20,30
D．0,50
【答案】B
【解析】设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x＋0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．[来源
当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，
韭菜种植20亩时，种植总利润最大．
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【答案】B
【解析】设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意得z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，画出可行域如图阴影部分，
联立 知z在A点取得最大值，故选B.
二、填空题：
6．某家具厂有方木料90
m3，五合板600
m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1
m3，五合板2
m2，生产每个书橱需要方木料0.2
m3，五合板1
m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则线性约束条件是________，线性目标函数是________．
【答案】 z＝80x＋120y
7．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为________．
【答案】2
200元
【解析】设甲型货车x辆，乙型货车y辆，则[]
z＝400x＋300y，可行域如下图：
作出直线y＝－x，可知在A点，z取得最小值，zmin＝2
200(元)．
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
【答案】15
【解析】设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，
则目标函数z＝3x＋6y，由得
可行域如图中阴影部分所示：
记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.
三、解答题
9．某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，已知生产1
t
A产品，1
t
B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.
问：在现有原料下，A，B产品应各生产多少才能使利润总额最大？
【答案】见解析
【解析】设生产A，B两种产品分别为x
t，y
t，其利润总额为z万元，根据题意，可得约束条件为
目标函数z＝4x＋3y，作出可行域如下图：
作直线l0：4x＋3y＝0，再作一组平行于l0的直线l：4x＋3y＝z，当直线l经过点P时z＝4x＋3y取得
最大值，由解得交点P(，1)．所以有zmax＝4×＋3×1＝13(万元)．
所以生产A产品2.5
t，B产品1
t时，总利润最大，为13万元．
10．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【答案】见解析
【解析】 设应当为该儿童分别预定x，y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z＝2.5x＋4y.
依题意得即
作出可行域如图中阴影部分内的整点．所以，当x＝4，y＝3时，花费最少，
为zmin＝2.5×4＋4×3＝22元．
答：应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐．
11．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
【答案】见解析
【解析】 设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，
根据题意得约束条件是
目标函数是z＝x＋y，画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分．
由解得此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，
所以点(3.6,7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z最小的直线是y＝－x＋12，
即z＝12，满足该约束条件的(x，y)有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．课题
线性规划的常见题型及其解法
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求线性目标函数的最值．
2．求非线性目标函数的最值．
3．求线性规划中的参数．
4．线性规划的实际应用．
本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．
【母题一】已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为( )
A．[7，23]
B．[8，23]
C．[7，8]
D．[7，25]
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值．
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由目标函数z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直线y＝－x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23．
【答案】A
【母题二】变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点(x，y)和连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．
【解析】(1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．
由解得A．
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
∵z＝＝×
∴z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin＝×＝．
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝．
∴2≤z≤29．
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：
可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，
dmax＝＝8
∴16≤z≤64．
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值，间接求出z的最值．
(2)距离型：形一：如z＝，z＝，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；
形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．
(3)斜率型：形如z＝，z＝，z＝，z＝，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率．
【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．
角度一：求线性目标函数的最值
1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8．
【答案】B
2．(2015·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为( )
A．3
B．4
C．18
D．40
【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示
，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18．
【答案】C
3．(2013·高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )
A．－6
B．－2
C．0
D．2
【解析】如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，
令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6．
【答案】A
角度二：求非线性目标的最值
4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2
B．1
C．－
D．－
【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，
显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－．
【解析】C
5．已知实数x，y满足则z＝的取值范围
．
【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数z＝＝2＋的取值范围可转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．
【答案】(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)
6．(2015·郑州质检)设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1，2]
B．[1，4]
C．[，2]
D．[2，4]
【解析】如图所示，
不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
【答案】B
7．(2013·高考北京卷)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，
则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为．
【答案】
8．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )
A．
B．4
C．
D．2
【解析】不等式组，所表示的平面区域如图所示，
解方程组，得．点A(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2，则|AB|的最小值为4．
【答案】B
角度三：求线性规划中的参数
9．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D．当y＝kx＋过点时，＝＋，所以k＝．
【解析】A
10．(2014·高考北京卷)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2
B．－2
C．
D．－
【解析】D 作出线性约束条件的可行域．
当k＞0时，如图①所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．
当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．
当－1＜k＜0时，如图②所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4 k＝－．
【答案】D
11．(2014·高考安徽卷)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A．或－1
B．2或
C．2或1
D．2或－1
【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB＞zC或zA＝zC＞zB或zB＝zC＞zA，解得a＝－1或a＝2．
法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2．
【答案】D
12．在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是( )
A．[6，15]
B．[7，15]
C．[6，8]
D．[7，8]
【解析】 由得，则交点为B(4－s,2s－4)，y＋2x＝4与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为C′(0,4)，x＋y＝s与y轴的交点为C(0，s)．作出当s＝3和s＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．
(1) (2)
当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC及其内部，此时，7≤zmax＜8；
当4≤s≤5时，可行域是△OAC′及其内部，此时，zmax＝8．
综上所述，可得目标函数z＝3x＋2y的最大值的取值范围是[7，8]．
【答案】D
13．(2015·通化一模)设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．
【解析】∵＝1＋，而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，易知a＞0，
∴可作出可行域，由题意知的最小值是，即min＝＝＝ a＝1．
【答案】1
角度四：线性规划的实际应用
14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
【解析】 设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y．
画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点A处取得最大值，由方程组解得则zmax＝300×3＋400×2＝1
700．故最大利润是1
700元．
【答案】1
700
15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300．
(2)约束条件为整理得
目标函数为w＝2x＋3y＋300．
作出可行域．如图所示：
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，w有最大值．由得
最优解为A(50,50)，所以wmax＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0．即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24．
【答案】B
2．(2015·临沂检测)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3
B．0
C．
D．3
【解析】作出不等式组表示的可行域(如图所示的△ABC的边界及内部)．
平移直线z＝x－y，易知当直线z＝x－y经过点C(0,3)时，目标函数z＝x－y取得最小值，即zmin
＝－3．
【答案】A
3．(2015·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z＝·的最大值为( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【解析】如图作可行域，z＝·＝x＋2y，显然在B(0,1)处zmax＝2．
【答案】D
4．已知实数x，y满足：则z＝2x－2y－1的取值范围是( )
A．
B．[0，5]
C．
D．
【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是．
【答案】D
5．如果点(1，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为( )
A．2
B．1
C．3
D．0
【解析】由题意知(6－8b＋1)(3－4b＋5)＜0，即(b－2)＜0，∴＜b＜2，∴b应取的整数为1．
【答案】B
6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－，2)
B．(0，2)
C．(－1，2)
D．(0，1＋)
【解析】如图，根据题意得C(1＋，2)．
作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2【答案】A
7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为( )
A．2
B．
C．
D．1
【解析】作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1．
【答案】D
8．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )
A．2
B．1
C．
D．
【解析】不等式所表示的可行域如图所示，
设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1．
【答案】B
9．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )
A．(0，4)
B．(0，4]
C．[4，＋∞)
D．(4，＋∞)
【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤2＝4，∵a＞0，b＞0，∴ab∈(0，4]．
【答案】B
10．设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π．
【答案】D
11．(2015·东北三校联考)变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是( )
A．{－3,0}
B．{3,－1}
C．{0,1}
D．{－3,0,1}
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3．
【答案】B
12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5
B．3
C．－5或3
D．5或－3
【解析】法一：联立方程解得代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7．
法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．
当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．
图(1)
图(2)
由得交点A(－3，－2)，则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．
当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．
由得交点B(1,2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．
【答案】B
13．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则由点P(a，b)所确定的平面区域的面积是( )
A．
B．
C．1
D．
【解析】因为ax＋by≤1恒成立，则当x＝0时，by≤1恒成立，可得y≤(b≠0)恒成立，所以0≤b≤1；同理0≤a≤1．所以由点P(a，b)所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．
【答案】C
14．(2013·高考北京卷)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2．求得m的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【解析】当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m＜－m－1，解得m＜－．
【答案】C
15．设不等式组表示的平面区域为D．若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是 ( )
A．(1，3]
B．[2，3]
C．(1，2]
D．[3，＋∞)
【解析】平面区域D如图所示．
要使指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，所以1＜a≤3．
【解析】A
16．(2014·高考福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5
B．29
C．37
D．49
【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1．显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax＝6．∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37．
【解析】C
17．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】已知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．
当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．当直线y＝k(x－1)－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k＞1时，也可形成三角形，综上可知k＜－1或k＞1．
【答案】D
18．(2016·武邑中学期中)已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
【解析】区域如图所示，目标函数z＝2x＋y在点A(3,2)处取得最大值，最大值为8．
【答案】C
19．(2016·衡水中学期末)当变量x，y满足约束条件时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
【解析】画出可行域如图所示，目标函数z＝x－3y变形为y＝－，当直线过点C时，z取到最大值，
又C(m，m)，所以8＝m－3m，解得m＝－4．
【答案】A
20．(2016·湖州质检)已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，
观察图形可知当A为(1,2)，B为(2,1)时，tan∠AOB取得最大值，此时由于tan
α＝kBO＝，tan
β＝kAO＝2，故tan∠AOB＝tan
(β－α)＝＝＝．
【解析】C
二、填空题
21．(2014·高考安徽卷)不等式组
表示的平面区域的面积为________．
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4．
【答案】4
22．(2014·高考浙江卷)若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．
【解析】作出可行域，如图，作直线x＋y＝0，向右上平移，过点B时，x＋y取得最小值，过点A时取得最大值．
由B(1,0)，A(2,1)得(x＋y)min＝1，(x＋y)max＝3．所以1≤x＋y≤3．
【答案】[1,3]
23．(2015·重庆一诊)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为____．
【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，
∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zmax
＝3×2－2＝4．
【答案】4
24．已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．
【解析】目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，
由图可知，点(2,2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝．
【答案】
25．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝＝．
【答案】
26．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．
【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，
由题意知利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，
求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．
【答案】27
27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为________亩．
【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y．线性约束条件为即
画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，
由解得A(30,20)．
【答案】30
28．(2015·日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
【解析】平面区域A如图所示，所求面积为S＝×2×2－××＝2－＝．
【答案】
29．(2014·高考浙江卷)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤．所以a的取值范围是1≤a≤．
【答案】
30．(2015·石家庄二检)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为________．
【解析】由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan
120°＝－，所以k＝．
【答案】
31．设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围
．
【解析】变换目标函数为y＝－x＋，由于m>1，所以－1<－<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－x＋在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A，所以目标函数的最大值zmax＝＋<2，所以m2－2m－1<0，解得1－【答案】(1,1＋)
32．已知实数x，y满足若目标函数z＝x－y的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．
【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y＝x－z，当z最小时，直线y＝x－z在y轴上的截距最大．
当z的最小值为－1，即直线为y＝x＋1时，联立方程可得此时点A的坐标为(2,3)，此时m＝2＋3＝5；当z的最小值为－2，即直线为y＝x＋2时，联立方程可得此时点A的坐标是(3,5)，此时m＝3＋5＝8．故m的取值范围是[5,8]．
目标函数z＝x－y的最大值在点B(m－1,1)处取得，即zmax＝m－1－1＝m－2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．
【答案】[3,6]
33．(2013·高考广东卷)给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
【解析】线性区域为图中阴影部分，
取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条
，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．
【答案】6
34．(2011·湖北改编)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b．若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为__________．
【解析】∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0．又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，
∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmin＝3．
∴z∈[－3,3]．
【答案】[－3,3]
35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________．
【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．
若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，
若m＜0，则－＞0，由数形结合知，使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；
若m＞0，则－＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1．
综上可知，m＝1．
【答案】1(共58张PPT)
3.3.2
简单的线性规划问题
（第2课时）
跟踪训练
二元一次不等式
表示平面区域
直线定界，
特殊点定域
简单的线性规划
约束条件
目标函数
可行解
可行域
最优解
应用
求解方法：画、移、求、答
课堂小结
配套练习
作业：3.3.2 简单的线性规划问题学案（第2课时）
【学习目标】
1、能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；
2、掌握简单的二元线性规划问题的解法．
【课前预习】
某工厂生产甲、乙两种产品，生产吨甲种产品需要种原料吨、种原料吨，产生的利润为万元；生产吨乙种产品需要种原料吨、种原料吨，产生的利润为万元．现有库存种原料吨、种原料吨，如何安排生产才能使利润最大？
1．约束条件：_________________________________________；
2．目标函数：_________________________________________；
它的几何意义：__________________________________________________________；
3．可行域：___________________________________________；
4．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为：____________；
上述只含有_______变量的简单线性规划问题可以用______________来解决．
【课堂研讨】
1.温故知新
（1）已知x、y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是
解题步骤总结：
2.问题探究
（2.）．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3
t、B原料2
t；生产每吨乙产品要用A原料1
t、B原料3
t．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13
t，B原料不超过18
t，那么该企业可获得最大利润是
解题步骤总结：
3.自主练习
（1）．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件，
求目标函数z＝10x＋10y的最大值．
（2）．某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1
h和2
h，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3
h和1
h；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8
h和9
h，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
参考答案
1.
[答案]
.
[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由，解得A(，)，
∴当直线z＝x＋y经过可行域内点A时，z最大，且zmax＝.
2.
[答案]
27(万元)．
[解析] 设生产甲产品x
t，乙产品y
t，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意，得，
可行域如图阴影所示．
由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
3.
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图．
由，解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数．直线y＝－x＋由经过A点向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
∴z＝10x＋10y的最大值为90.
4.
[解析] 设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则
，目标函数z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．
作直线l0：2x＋3y＝0，平移直线l0，当l0经过可行域内的点M时，目标函数z＝2x＋3y取最大值．
由，得M(2,3)．
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．3.3.2 简单线性规划问题
教材分析
?
三维目标
一、知识与技能?
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学重点
重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.?
教学建议
本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.?
“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.?依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.?
本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.?
导入新课一
师
前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.?
（生回答）?
导入新课二
我们知道一元一次不等式、一元二次不等式的解集都可以用数轴上的点来表示，而二元一次不等式，如的解集却不能用数轴上的点来表示.例如：已知，求的值域.这个题目我们已经用不等式的只是给予解决，不过，我们学习本课时之后，还可以用更直观、更简捷的方法给予解答.3.3.2 简单线性规划问题 （第2课时）
一、教学目标
1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；
2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；
3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
2．能力目标:
1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；
2、理解线性规划问题的图解法；
3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；
4、
让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。
3．情感目标：
1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；
2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二、教学重点与难点:
重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；
2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：
1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；
2、在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
三、教学模式与教法、学法
教学模式
：采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。使用多媒体辅助教学。
教师的教法：
利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
学法设计：引导学生通过主动参与、合作探讨学习知。
四、教学过程：
数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境，
提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法；4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结；6、布置作业，巩固提高.
五、教学过程设计
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、创设情景，
提出问题;李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目，想必大家都看过．当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题：例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生思考。数学是现实世界的反映。通过学生关注的热点问题引入，激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、分析问题，解决问题那么如何解决这个求最值的问题呢？我让学生先自主探究，再分组讨论交流，在学生遇到困难时，我运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题，突破难点。分析：将已知数据列成下表播放片甲播放片乙节目要求片集时间（min）3.51≤16广告时间（min）0.51≥3.5收视观众（万）6020先请学生回答提出的问题，然后总结再根据所求设出未知参数，得到目标函数。解：设电视台每周应播映片甲x次，
列约束条件时，要注意讲清xN.yN，这是学生容易忽略的问题。列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解。先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l平移，平移过程中可以显示z值的大小变化。由图解法可得：当x=3，
y=2时，zmax=220。答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多。
引导学生总结求解简单线性规划问题的解题步骤和方法．例题小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1．
将已知数据列成表格的形式，设出变量x，y和z;2．
找出约束条件和目标函数;3．
作出可行域，并结合图象求出最优解;
4．
按题意作答。数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展的过程，体验转化和数形结合的思想方法，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。
让学生感受数学概念的出现是自然的．引出目标函数的概念，顺而引出约束条件、可行域、可行解、最优解、简单的线性规划问题等相关概念．
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
三、典例分析：就在学生解决了问题之后，我就此给出相关概念，供学生回味复习：不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。由于又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。
一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。象上述求解线性规划问题的方法叫图解法。概念复习之后，再进行解题回顾，解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。我借用多媒体辅助教学，动态演示解题过程，
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。由前面实际问题的解决自然地过渡到概念的复习和解题方法的回顾，使得知识的衔接较为顺畅。引导学生归纳、提炼求解步骤：（1）
画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；（2）
过原点作目标函数直线的平行直线l
0；（3）
平移直线l
0，观察确定可行域内最优解的位置；（4）
求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。简记为画——作——移——求四步
课堂练习1.私人办学市教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据表（以班级为单位）：班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万元）初中502.0202.4高中402.5703.6根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制。预计出书本费、办公费以外每个学生每年2000元，高中每个学生每年可收取4000元，因生源和环境条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年，请你合理安排招生计划，使年利润最大。
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，并为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：1、本节课你学习到了哪些知识？2、本节课渗透了些什么数学思想方法？（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）知识：1、把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）2、求解整点最优解的解法：网格法。网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形。（链接到例题2，进行具体实例回顾）思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题。
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
布置作业，巩固提高1、阅读本节内容，完成课本P65
习题7.4
第2题。
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
五、教学评价
本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。
附：课堂上中适当穿插高等数学知识，如运筹学、数学建模、最优化方案、最小生成树、动态规划等基本概念，以提高同学们进一步学习数学的兴趣。
