3.3.2 简单的线性规划问题学案（一）
一、学习目标
了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
会用图解法求线性目标函数的最大值和最小值．
二、复习引入
1．不等式表示的平面区域是（
）
A．
B．
C．
D．
2．不等式组表示的平面区域是（
）
A．
B．
C．
D．
3．直线化成斜截式方程是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知直线、和的方程为、和，则直线、和的位置关系是（
）
A．相交
B．两两垂直
C．平行
D．重合
5．直线在轴上的截距是
．
三、新课讲授
例题：已知、满足条件，且，求的最大值．
练习：求的最小值，使、满足约束条件
．
四、总结提升
1．简单的线性规划问题的相关概念．
2．简单线性规划问题求解的基本步骤．
五、目标检测
1．目标函数，将其看成直线方程时的意义是（
）
A．该直线在轴上的截距
B．该直线在轴上的截距
C．该直线的截距
D．该直线在轴上的截距的相反数
2．在中，，点在内部及其边界上运动，则目标函数的最优解是
．
3．如图所示，已知中的三顶点、、，点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：
①
在
处有最大值为
，在______处
有最小值_______；
②
在
处有最大值为
，在______处
有最小值_______；
4．设变量、满足约束条件
，求目标函数的最小值．
思考：已知、满足约束条件，且的最大值是最小值的3倍，求的值．备课资料
备用习题?
1.某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）?
混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？?
分析：找约束条件，建立目标函数.?
解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界OA：y=0，AB：3x+y-900=0，BC：5x+4y-?1
800?=0，CD：x+2y-720=0，DO：x=0.?
由z=40x+50y,得，它表示斜率为，截距为z[]50的平行直线系，越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值.?
解方程组C(120,300).?
∴z
max=40×120+50×300=19
800,即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19
800元.?
点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1
800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究.?
2.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素A（单位/千克）
600
700
400
维生素B（单位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56
000单位维生素A和63
000单位维生素B.（1）用x、y表示混合食物成本C；（2）确定x、y、z的值，使成本最低.?
分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.?
解:（1）依题意x、y、z满足x+y+z=100?z=100-x-y.?
∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.?
（2）依题意
∵z=100-x-y,?
∴
作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.?
联立交点A(50,20).?
作直线7x+5y+400=C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元.?
∴x=50千克，z=30千克时成本最低.(共28张PPT)
3.3.2
简单的线性规划问题
（第1课时）
一.复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线:
2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7
x
Y
o
5
5
x=1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
1
A
B
C
C:
(1.00,
4.40)
A:
(5.00,
2.00)
B:
(1.00,
1.00)
O
x
y
问题1：x
有无最大（小）值？
问题2：y
有无最大（小）值？
问题3：2x+y
有无最大（小）值？
2.作出下列不等式组的所表示的平面区域
数据分析表：
日生产满足
4
0
2
乙产品
0
4
1
甲产品
B配件（个）
A配件（个）
每件耗时（h）
如果若干年后的你成为某工厂的厂长，你将会面对生产安排、资源利用、人力调配的问题……
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
2
4
8
6
4
2
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y)在上述平面区域中时，所安排的生产任务x,y才有意义。
2
4
8
6
4
2
【进一步】：
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？
M
(
4
,
2
)
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述二元一次不等式组且为非负整数时,z的最大值为多少
当点P在可允许的取值范围变化时,
0
x
y
4
3
4
8
M（4，2）
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
0
x
y
4
3
4
8
N（2，3）
变式：求利润z=x+3y的最大值.
二、基本概念
y
x
4
8
4
3
o
把求最大值或求最小值的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
可行域
可行解
最优解
实际问题
线性规划问题
寻找约束条件
建立目标函数
列表
设立变量
转化
1.约束条件要写全;
3.解题格式要规范.
2.作图要准确,计算也要准确;
注意:
结论1:
探究
转化
转化
转化
四个步骤：
1。画（画可行域）
三个转化
4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
3。移（平移直线L
。寻找使纵截距取得最值时的点）
2。作（作z=Ax+By=0时的直线L
。）
图解法
线性约束条件
可行域
线性目标函数
Z=Ax+By
一组平行线
最优解
寻找平行线组的
最大（小）纵截距
例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1千克食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
食物／kg
碳水化合物／kg
蛋白质/kg
脂肪／kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
分析：将已知数据列成表格
三、例题
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y
变形为
x
y
o
5/7
5/7
6/7
3/7
3/7
6/7
它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。
M
如图可见，当直线z＝28x＋21y
经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。
M点是两条直线的交点，解方程组
得M点的坐标为：
所以zmin＝28x＋21y＝16
由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。
例2
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示
：
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
规格类型
钢板类型
第一种钢板
第二种钢板
A规格
B规格
C规格
2
1
2
1
3
1
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0
y≥0
作出可行域（如图）
目标函数为
z=x+y
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
X张
y张
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y
=0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0,
x∈N
y≥0
y∈N
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
作出一组平行直线z=x+y，
目标函数z=
x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
当直线经过点A时z=x+y=11.4,
x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
调整优值法
2
4
6
18
12
8
27
2
4
6
8
10
15
但它不是最优整数解.
作直线x+y=12
答（略）
x
0
y
2x+y=15
x+3y=27
x+2y=18
x+y
=0
2x+y≥15,
{
x+2y≥18,
x+3y≥27,
x≥0,
x∈N
y≥0
y∈N
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.
答:(略)
作出一组平行直线t
=
x+y，
目标函数t
=
x+y
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
打网格线法
在可行域内打出网格线，
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
将直线x+y=11.4继续向上平移，
1
2
1
2
18
27
15
9
7
8
例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料利润为10000元；生产1车皮乙种肥料利润为5000元。分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：
x
y
o
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：
把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为
－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。
x
y
o
由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，
截距2z最大，即z最大。
故生产甲种、乙种肥料各
2车皮，能够产生最大利润，
最大利润为3万元。
M
容易求得M点的坐标为
（2，2），则Zmin＝3
0
A
B
C
①
在____处有最大值___，
在____处有最小值___；
②
在____处有最大值___，
在____处有最小值___；
1.如图所示，已知
中的三顶点
点
在
请你探究并讨论以下问题：
内部及边界运动，
练习：
A
6
BC
1
B
-3
C
1
2、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
3、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
1.解：作出平面区域
x
y
A
B
C
o
z＝2x＋y
作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。
求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3
2.解：作出平面区域
x
y
o
A
B
C
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y
＝z
的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。
求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。
分析：目标函数变形为
把z看成参数，同样是一组平行线，且平行线与可行域有交点。
最小截距为过A(5,2)
的直线
注意：直线取最大截距时，等价于
取得最大值，则z取得最小值
同理，当直线取最小截距时，z有最大值
y
1
2
3
4
5
6
7
O
-1
-1
1
2
3
4
5
6
x
3x+5y-25=0
x=1
B
A
C
x-4y+3=0
最大截距为过
的直线
4.若实数x,y满足
求z=x-2y的最大值、最小值
二元一次不等式
表示平面区域
直线定界，
特殊点定域
简单的线性规划
约束条件
目标函数
可行解
可行域
最优解
应用
求解方法：画、移、求、答
课堂小结
习题3.3
：A组4；B组3
作业：3.3.2 简单线性规划问题
教材分析
?
三维目标
一、知识与技能?
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学重点
重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点
难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.?
教学建议
本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.?
“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.?依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.?
本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.?
导入新课一
师
前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.?
（生回答）?
导入新课二
我们知道一元一次不等式、一元二次不等式的解集都可以用数轴上的点来表示，而二元一次不等式，如的解集却不能用数轴上的点来表示.例如：已知，求的值域.这个题目我们已经用不等式的只是给予解决，不过，我们学习本课时之后，还可以用更直观、更简捷的方法给予解答.二元一次不等式组与简单的线性规划问题
【知识网络】
1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；
2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；
3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】
例1：（1）已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则（
）
A．
B．0
C．
D．
答案:
D。解析：将（1，2）代入得小于0，则。
（2）满足的整点的点（x，y）的个数是
（
）
A．5
B．8
C．12
D．13
答案：D。解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是
（
）
答案：C。解析：原不等式等价于
两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．
（4）设实数x,
y满足，则的最大值为
．
答案:
。解析：过点时，有最大值。
（5）已知，求的取值范围
．
答案：
。解析：过点时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．
答案:
解：原不等式组可化为如下两个不等式组：
①或
②
上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
它所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3．
例3：已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。
答案:
(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上
∴
（Ⅱ）
①
②
ⅰ）
ⅱ）
例4：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
且x，y都是整数．
求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x，y的值．
如图，当x＝3，y＝9或x＝4，y＝8时，z取得最小值．
∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢
板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．
【课内练习】
1．双曲线的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是
（
）
A、
B、
C、
D、
答案：A。解析：双曲线的两条渐近线方程为，过（3，0）且平行于的直线是和，∴围成的区域为A。
2．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（
）
A．
B．
C．2
D．
答案:B。解析：，
即。
3．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域
(不含边界的阴影部分)是
(
)
答案:A。解析：，故选A
4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋
35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费
元．
答案:
500。解析：设需第一种原料x袋，第二种原料y袋，，令，∴过（1，3）时元。
5．已知，
求的最大值为
。
答案：21。解析：可行域如图，当时，，于是可知可行域内各点均在直线的上方，故，化简得并平行移动，当过C（7，9）时，。
6．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小
钢板的块数如下表所示：
类
型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、
15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
答案：解：设需截第一种钢板张,第二种钢板张,所用钢板面积为,
则有
作出可行域(如图)
目标函数为
作出一组平行直线(t为参数).由得由于点不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使最小,且.
答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.
7．已知3≤x≤6，x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．
答案：原不等式组等价于
作出其围成的区域如图所示，
将直线x＋y＝0向右上方平行移动，
当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值．
∴(x＋y)
min＝3＋1＝4，
(x＋y)max＝6＋12＝18．
即x＋y的最大值和最小值分别是18和4．
8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润是生产甲种饮料得3元，生产乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？
答案:（1）列表
李子汁
苹果汁
获得利润
分配方案
甲
3/4
1/4
3元
乙
1/2
1/2
4元
受限条件
2000L
1000L
（2）线性约束条件
（3）作出可行域：图略。
（4）构建目标函数，即
（5）求出满足条件的最大值：时，取到最大值10000
9．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？
答案:：设桌、椅分别买x，y张，则
且x，y∈N
由解得
∴点A的坐标为（）．
由解得
∴点B的坐标为（25，）．
所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分．
由图形直观可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为（25，），但x，y∈N
，故y取37．
∴买桌子25，椅子37是满足题设的最好选择．
【作业本】
A组
1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为
（
）
A、
B、
C、
D、
答案:C。解析：用（0，0）代入验证。
2．设点，其中，满足的点的个数为
（
）
A、10个
B、9个
C、3
个
D、无数个
答案:A。解析：x,y可取0，1，2，3且满足条件即可。
3．不等式组，表示的区域为D，点P1（0，-2），P2（0，0），则
（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C。解析：代入检验。
4．设满足则使得目标函数的值最大的点是
．
答案:
。解析：作出可行域即可发现。
5．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力
限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为
货物
体积（每箱）
重量（每箱）
利润（每箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
答案：4
，1。解析：设甲、乙各托运的箱数为x,y，则，∴，当过（4，1）时有最大值。
6．试求由不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积大小．
答案:原不等式等价于
其表示的平面区域如图中阴影部分．
∴S＝()2＝2．
7．已知，若函数
恒成立，求a+b的最大值。
答案：已知恒成立，则作出可行域
令，当经过A时，z有最大值，
由解得，∴。
8．某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤（吨）
电（千瓦）
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则
z＝7x＋12y
作出可行域，如图阴影所示．
当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M（20，24）时z取最大值．
∴该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．
B组
1．若x，y满足约束条件，则x＋2y的最大值为
（
）
A．0
B．
C．2
D．以上都不对
答案：C解析：约束条件所表示的可行域如图所示．
当直线x＋2y＝0平行移动到经过点（0，1）时，
x＋2y取到最大值0＋2×1＝2．
2．已知点与点在直线
的两侧，则的取值范围
（
）
A、
B、
C、
D、
答案:B。解析：。
3．不等式组表示的平面区域的面积为
（
）
A、
B、
C、
D、2
答案:B。解析：区域的顶点。
4．
的三个顶点坐标分别为，则内任意一点所满足的条件为
．
答案:
。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。
5．已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区
域内，则b的取值范围是 ．
答案：
。解析：P（1，—2）关于原点的对称点为（—1，2），∴。
6．已知的三边长满足，，求的取值范围．
答案：解：设，，则，
作出平面区域（如右图），
由图知：，，
∴，即．
7.
已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。
答案:最大值3X4-1=-11最小值3X(-4)-1=-13
8．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180
t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6
t的A型卡车和4辆载重为10
t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
答案:设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元
z＝320x＋504y（其中x，y∈Z）
作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×5＋504×2＝2608．
∴每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花成本最低．
3
-1
y
x
O《简单的线性规划问题》（第一课时）说课
一、内容与内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时.
主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.
教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.
本节教学重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
2.
会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
3.培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.
4.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.
（二）教学目标解析
1.
了解线性规划模型的特征：一组决策变量表示一个方案；约束条件是一次不等式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．
2.使学生学会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，其基本步骤为画、移、求、答.
3.教学中不但要教教材,还要教教材中的蕴含的方法.在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用.(1)不定方程的解与平面内点的坐标的结合，进而产生了直线的方程.(2)线性目标函数解析式与直线的斜截式方程的结合.(3)线性目标函数的函数值与直线的纵截距的结合.(4)二元一次不等式(组)的解集与可行域的结合.(5)线性目标函数在线性约束条件下的最值与直线过可行域内的点时纵截距的最值的结合.这样就能使学生对数形结合思想的理解更透彻,为以后解析几何的学习和研究奠定基础,
使学生从更深层次理解“以形助数”的作用以及具体方法.
4.
在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力.
三、教学问题诊断分析
本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：
（1）将实际问题抽象成线性规划问题；
（2）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？
（3）数形结合思想的深入理解.
为此教学中教师要千方百计地为学生创设探究情境，并作合理适度的引导，通过学生的积极主动思考，运用由特殊到一般的研究方法，借助于讨论、动手画图等形式进行深入探究.教师的引导是至关重要的，要做到既能给学生启示又能发展学生思维，让学生通过自己的探究获取直接经验.
教学难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.
教学关键：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法找到目标函数与直线方程的关系
四、教法分析
新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等.
本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.
（1）设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；
（2）提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经验.
（3）在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；
（4）让学生经历“学数学、做数学、用数学”的过程.
五、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台，将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值.让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．
六、教学过程
（一）
创设情境，激发探究欲望
组织学生做选盒子的游戏活动.
在下图的方格中,每列(x)与每行(y)的交汇处都放有一个盒子,每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关,且每次的关系式在变化,你会选哪个盒子
例如:
第一次:分值=
(即:
列数+行数)
第二次:分值=
(即:
行数-列数×2)
师生活动：教师组织学生做选盒子得分的游戏，学生用“运算—比较”的方法容易解决老师提出的问题.之后，给出图3，让学生在图中找目标函数的最大值，学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”.引出课题,提出何为线性（即为一次的）？怎么规划（即求函数的最值）？是本节课的研究重点.
【设计意图】数学是现实世界的反映.创设学生感兴趣的问题情境，从兴趣解决→稍有困难→有较大困难，使学生产生急于解决问题的内驱力，同时培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.
（二）独思共议，引导探究方法
引导学生由特殊到一般分析目标函数的函数值.
问题1：当时，求x，y的值.
师生活动：学生通过计算找到三个点的坐标，并观察出三点共线，求出直线方程，教师引导学生观察所对应的直线的纵截距.
【设计意图】通过特殊问题，帮助学生理解问题的实质：求x，y的值即求不定方程的解.数形结合，将求变量x，y转化成求点的坐标.观察时三个盒子所在点的位置关系及直线的方程，使学生体会b值就是直线的纵截距.
问题2．在图3中，求的最大值.
师生活动：学生在教师的引导下分组讨论，求b的最大值.
通过之前教师的引导及学生对上一节“二元一次不等式表示的平面区域”的学习,对学生的讨论结果有两种预案：
预案1:学生通过由特殊到一般的分析，将目标函数转化成，x，y在取得每个可行解时，b的取值就是直线过这个点时的纵截距，而所有这些直线都是平行的，因此只需平移直线看纵截距的最大值即可.
预案2：根据上一节“二元一次不等式（组）所表示的平面区域”的知识，学生认为b取最大值时x、y的取值一定在直线的右上方的位置，为此就依次在这些位置上画平行于的直线，只要上面有点就不停的画，直至最后一点.
师生活动：学生展示讨论结果，教师借助几何画板作演示、分析，渗透转化和数形结合的数学思想.并对学生的结论作出总结，先作直线，再作平移，观察直线的纵截距.
【设计意图】由特殊到一般，利用数形结合，寻求解题思路.
（三）变式思考，深化探究思路
1．将目标函数变成，
求b的最大值.
师生活动：通过学生将化成的形式，做直线并进行平移，观察纵截距的最大值的回答过程，教师强调解题步骤:画、作、移、求.
【设计意图】规范方法并检验学生对方法的理解程度，使学生感受由直线斜率的变化引起使取最大值的过程中点的变化.
2．将目标函数变成，求b的最大值.
师生活动：教师引导学生比较此题和上题的区别，学生发现平移直线时若按上题的方法找纵截距的最大值便会出现问题，通过思考、讨论，找到本题需取截距最小的原因.
【设计意图】通过目标函数的不同变式，让学生熟悉求最值的方法，尤其是直线中纵截距的符号为负的情况．借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，提高课堂效率，建立精准的数形联系．
（四）规范格式，应用探究成果
1．例1：(习题3.3A组第3题)电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中广告时间为1min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min，广告时间为1min，收视观众为20万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？
播放时间(min)
广告时间(min)
观众人数（万）
甲
80
1
60
乙
40
1
20
解:设甲播放x次，乙播放y次，收视观众z万人次
则.
用如下步骤求z的最大值：
（1）画出可行域；
（2）作出直线：（3）平移至点A处纵截距最大，即z最大；
（4）解方程组：
得，因此.
答：甲播放2次，乙播放4次，收视观众最多为200万人次.
师生活动：教师引领学生理解题意，让学生继续领会用表格形式描述数据的直观性.让学生独立建立线性规划的数学模型，并正确设出变量，找好目标函数及约束条件后自行完成此题.通过学生板演，教师规范写法，然后借助解题的过程介绍线性目标函数、线性约束条件、可行解、可行域、最优解及线性规划的数学概念.
【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.
2．反思例1解题过程，深入体会数形结合思想
师生活动：教师引导学生纵观解题过程，体会在解题中“数”与“形”是怎样结合的，并加以总结.
代数
几何
线性目标函数
直线
线性目标函数的函数值
直线的纵截距
线性约束条件(二元一次不等式（组）的解集)
可行域
线性目标函数的最值
直线的纵截距的最值
【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构.
3．例2：(课本例2)营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪,花费28元；
1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪,花费21元.为了满足饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg
师生活动：学生独自完成此题，由一位同学生展示自己的解题过程和结果.规范解题步骤和格式.
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么
①
目标函数为.
二元一次不等式组①等价于
②
二元一次不等式组所表示的平面区域（图5），即可行域．
考虑，将它变形为.
这里是斜率为，随z变化的一组平行直线，是直线在y轴上的截距，当取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值．
由图5可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
解方程组
得M的坐标为,.
所以．
答：每天食用食物A为kg，食物B为kg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.
【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.
4．反思例2的求解过程.教师通过巡视发现错解的学生，帮助学生找到错误的原因.并提出问题：有时若由于不可避免的误差带来错解，你如何解决
师生活动:由教师帮助学生分析错解的原因,并提出问题.学生意识到可以把所有可能的解都求出来,进行比较即可.
【设计意图】通过反思及寻求问题答案，让学生深入思考,培养学生科学严谨的学习态度和解决问题的能力.
（五）
归纳梳理，体会探究价值
由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.
师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其是本节课是如何经历的知识探究过程，如何运用化归与数形结合思想得到方法，以及如何通过数学建模解决实际问题.再有教师介绍数学是有用的，通过本节课看到了时间如何合理分配收获最大的问题,如何使消费最少保证饮食健康的问题,还有很多实际应用由学生自己查资料作为拓展作业.
【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.
（六）
目标检测题
1．在线性约束条件下，求①目标函数的最大值和最小值；②目标函数的最大值和最小值；
2．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？
【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.
x
y
0
1
2
3
4
5
1
2
4
3
y
0
1
2
3
4
5
x
1
2
4
3
图1
图2
x
1
4
5
2
3
7
9
10
11
8
1
2
3
4
O
y
图3
x
y
O
图４
转化
M
N
图5
O
x
y3.3.2《简单的线性规划问题》（第1课时）教师版
一、选择题：
1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几何意义是( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距
D．该直线的纵截距的相反数
【答案】B
【解析】把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距．
2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标为( )
A．(1,1)
B．(3,2)
C．(5,2)
D．(4,1)
【答案】A
【解析】对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越小．
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，
又直线y＝3x－z的斜率为3.
由图象知当直线y＝3x－z经过点A(2,0)时z取最大值6，
当直线y＝3x－z经过点B(，3)时，z取最小值－.
∴z＝3x－y的取值范围为[－，6]．故选A.
4．设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20
B．35
C．45
D．55
【答案】D
【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．
不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5,15)时2x＋3y的值最大，此时2x＋3y＝55.
5．若实数x，y满足则的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】所表示的可行域如下图．
而表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点O与直线AB平行的直线l的斜率为1，l绕点O逆时针转动必与AB相交，直线OB的倾斜角为90°，因此的范围为(1，＋∞)．
6.已知以x，y为自变量的目标函数ω＝kx＋y(k>0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k的值为( )
A．1
B.
C．2
D．4
【答案】A
【解析】目标函数可变形为y＝－kx＋ω，又∵k>0，结合图象可知，当ω最大时，－k＝kDC＝＝－1.
即k＝1.
二、填空题：
7．若实数x，y满足则目标函数z＝x＋3y的取值范围是________．
【答案】[8,14]
【解析】画出可行域，如图所示．作直线x＋3y＝0，并平移，由图象可知当直线经过A(2,2)时，z取最小值，则zmin＝2＋3×2＝8.
当直线经过C(2,4)时，z取最大值zmax＝2＋3×4＝14.
所以z＝x＋3y的取值范围是[8,14]．
8．已知x，y满足则z＝2x＋y取最大值时点的坐标为________．
【答案】(2，－1)
【解析】不等式组所表示的可行域如图所示．
当平行直线系z＝2x＋y经过点A(2，－1)时，目标函数z＝2x＋y取得最大值．
9．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________.
【答案】0
【解析】由条件作出可行域如下图．
根据图象知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，∴k＝0.[来源:学。科。
三、解答题
10．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，试求a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 区域D如下图所示，其中A(2,9)．
当y＝ax恰过点A时，a＝3.因此当1
11．设z＝2x＋y，式中变量x，y满足条件求z的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．
把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．
解方程组得A点坐标为(5,2)，解方程组得B点坐标为(1,1)，
所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
12．在约束条件下，当3≤s≤5时，求目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围．
【答案】见解析
【解析】 由如图得交点为
A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)，
令z＝0，得l0：3x＋2y＝0，当l0向上平移时z值逐渐增大．
(1)当3≤s<4时可行域为四边形OABC，此时l0平移到B点时z取最大值，
zmax＝3×(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4.
∵3≤s<4，[][]∴7≤zmax<8.
(2)当4≤s<5时，可行域是△OAC′，
此时l0过C′点时z取最大值，zmax＝3×0＋2×4＝8.综上所述，zmax∈[7,8]．3.3.2 简单线性规划问题 （第1课时）
一、教学目标及目标分析
1.教学目标；（1）了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
（2）掌握解决线性规划问题的基本步骤；（3）会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值．
2．目标解析；（1）了解线性规划模型的特征：约束条件、目标函数、求目标函数的最大值或最小值等．熟悉线性约束条件（不等式组）的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最优解的关系．
（2）能理解目标函数的几何表征（一组平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数的最大（小）值，掌握解题的基本步骤．
（3）在线性规划问题的探究过程中，使学生经历观察、分析、操作、确认的认知过程，培养解决运用已有知识解决新问题的能力，体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，引发学生对现实世界中的一些数学模式进行思考．
二、教学重点与难点:
重点：线性规划问题的基本概念及解决问题的步骤。
难点：
把目标函数转化为斜截式方程时，对含“”的项的几何意义与“”最值之间关系的理解
三、教学模式与教法、学法
教学模式
：采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。使用多媒体辅助教学。
教师的教法：
利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
学法设计：引导学生通过主动参与、合作探讨学习知。
四、教学过程设计
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、温故知新，1．前面我们学习了二元一次不等式（组）与平面区域，请大家做一下《复习引入》的5道题．
通过这5道题检验学生对前面二元一次不等式（组）表示的平面区域及直线方程相关的知识掌握情况．
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：问题1.
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.?例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？?设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？?生
由已知条件可得二元一次不等式组：师
如何将上述不等式组表示成平面上的区域？?生
（板演）?师
对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？?设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？?生
则z=2x+3y.?师
这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？
问题1：本题中目标是求什么？老师一边引导学生思考一边把方程化为斜截式，并判断直线在轴上的截距与的关系．在学生思考过程中，老师作必要的语言辅助。学生得到直线后，通过平移找出使得截距的最大值的点C．引导学生总结求解简单线性规划问题的解题步骤和方法．
让学生感受数学概念的出现是自然的．引出目标函数的概念，顺而引出约束条件、可行域、可行解、最优解、简单的线性规划问题等相关概念．
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
三、典例分析：师
把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.?生
当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）?师
由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线，这说明，由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.?由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.?［知识拓展］?再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.?然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.?(2)(3)［合作探究］?师
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.?另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.?一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.?那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.?
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.?作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.?可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.?而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.?在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin?=2×1+3=3.?
课堂练习1.求的最小值，使、满足约束条件．2.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1
000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6
000元，运费不超过2
000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？?分析：将已知数据列成下表：?甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本1
0001
5006
000运费5004002
000产品901003.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？?解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，?则目标函数为z=2x+3y.?作出可行域：?把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.?解方程得M的坐标为（2，3）.?答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.?
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。2解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则?z=90x+100y.?作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：?由得令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.?由此得出t的值也最大，zmax?=90×+100×=440.?答：工厂每月生产440千克产品.?1
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?2.设t=0，画出直线l0.?3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?4.最后求得目标函数的最大值及最小值.?
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本课本106页习题3.3A组2.2.
配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
五、教学评价
面对基础较为薄弱的学生，课堂教学容量不能太大，而本节课内容需要频繁地在代数和几何上转换，学生理解起来相当的艰难．本教学设计力求让学生充分地体验数与形的转化，适当使用多媒体，让学生更直观地理解代数问题的几何形态，感受用“图解法”解决简单的线性规划问题的必要性和有效性，进而掌握解题基本方法和步骤．作为解题的步骤，若老师没有经过仔细斟酌想要把过程表述清楚都有一定难度，更何况是学生，因此，对于刚接触新知识的学生来说必需明确解题的步骤，这样也有助于学生更深入地理解和掌握知识．