3.1不等关系与不等式（2）
一、教学目标：
1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不与相
应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系
的辩证思想。
二、教学重点与难点:
重点；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
难点；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
三、教学模式与教法、学法
教学模式
：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
（一）创设情景，引入新课。学校要在长为8,宽为6
的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么
回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：问题探究一 三个“二次”之间的联系问题 下图是函数y＝x2－7x+6的图，对应值表：x3－2－101234y60－4－6－6－406则方程x2－7x+6＝0的解集为
；不等式x2－7x+6>0的解集为
；不等式x2－7x+6<0的解集为
；通过上面的例子，我们可以得出以下结论：(1)从函数的观点来看：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象在
部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象在
部分的点的横坐标x的集合．(2)从方程的观点来看：一元二次方程的根是二次函数的图象与
的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集，就是
的实数的集合；ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集，就是
的实数的集合．一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．问题探究二 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及二次函数的图象之间的关系二次函数的图像一元二次方程的根的解集的解集
让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。由特殊到一般，使学生自己探索一元二次不等式的解与一元二次函数的图像及一元二次方程根的关系。让学生自己建构知识体系
培养学生分析，抽象能力、感受发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
三、典例分析：例1
(课本第78页)求不等式的解集.解：因为.所以，原不等式的解集是例2(课本第78页)解不等式.解：整理，得.因为无实数解，所以不等式的解集是.从而，原不等式的解集是.
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。
课堂练习1：不等式的解集为，求与变式1：不等式的解集为求的解集变式2：若不等式的解集为，求关于x的不等式的解集．2、解关于x的一元二次不等式：ax2＋(a－1)x－1>0.
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。小结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．小结 解ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：解一元二次不等式的步骤：①
将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)②
计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.>0时，求根<，ⅱ.=0时，求根＝＝，ⅲ.<0时，方程无解，③
写出解集.
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本P80
习题3.2A组
第1\、2、题2.
配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
.(共12张PPT)
3.2
一元二次不等式的解法
（第1课时）
学校要在长为8,宽为6
的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么
整理得
设:花卉带的宽为
,则依题意有
整理得
创设情景
引入新课
一元二次不等式的一般形式：
一元二次不等式的定义：
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2
的不等式叫做一元二次不等式.
探究一元二次不等式
的解集
二次方程有两个实数根：
（1）一元二次方程
x
y
0
1
6
o
o
互动探究
发现规律
（2）一元二次函数
不等式x2
-7x+6>0
的解集为
。
不等式x2
-7x+6<0
的解集为
。
x<1
或
x>6
y
x
0
1
6
o
o
o
o
y>0
y>0
y<0
当x取
时，y=0？
当x取
时，y>0？
当x取
时，y<0
x=1
或
6
1
<
x
<6
﹛x|x<1或x>6﹜
﹛x|
1
<6﹜
大于0取两边，小于0取中间.
(3)由图象得：
典例剖析
规范步骤
一解：算△及解对应方程的根。
求一元二次不等式的的一般步骤：
二画：画出对应函数图像。
三写：根据函数图象写出不等式的解集。
当堂训练
巩固深化
△=b2-
4ac
二次函数
（
）的图象
对应二次方程的根
无实根
二次函数
一元二次方程的根
一元二次不等式的解
图象
启发引导
形成结论
1.一元二次不等式的定义与一般形式.
2.一元二次不等式的解法及其步骤.
3.数学思想：
课堂小结
数形结合的思想.
作业：
1、书面作业：习题3.2
A组第1题
2、配套练习：
C
C
D
C第三章
不等式（人教A版新课标）
第2节
一元二次不等式及其解法
【思维导图】
【微试题】
1.
（2015·山东理1）已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2.
若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝(
)
A．－28
B．－26
C．28
D．26
【答案】C
3.
若不等式的解集为，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．(－2,1)
C．
D．
【答案】D
4.
解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0
【答案】
【解析】解：若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为。
考点一一元二次不等式:集合的运算
分析
根据一元二次不等式的解法解出集合A,
解析
然后借助数轴或直接得出结果即可
2-4x+3<0}={x1解答
A∩B={x2即A∩B=(2,3),故选:C
考点
元二次不等式和一元二次方程的关系;韦达定理
根据一元二次不等式的解集可得出一元二次方程的根的情况
分析
解析
再利用韦达定理,由一元二次方程的根可求出其未知系数
由题意知:-2,是方程ar2+bx-2=0的两根
解答
由韦达定理得
a=4b=7.∴ab=28,故选:C
不等式恒成立问题:一元二次不等式和二次函数的关系
不等式ax-a+1≥0最高次项含参数a,所以不能直接认定为一元
不等式,需要对a进行讨论,若忽视对a的讨论,可能错选A
当a=0时即是一元二次不等式时,若ax2-a+120的解集为R,则对应
解析
的二次函数的图像一定开口向上,且与x轴有一个交点或无交点,这样就
可以列出有关a的不等式组,解出a的范
当a=0时,不等式化为1≥0,满足条伴
当a=0时,由慰意知{△=a-4a50,解得00≤
所以实数a的取值范围是[0,4],故选:B3.2
《一元二次不等式的解法》（第1课时）教师版
一、选择题：
1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )
A．{x|x≤2或x≥1}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2≤x≤1}
D．
【答案】C
【解析】：由－x2－x＋2≥0，得x2＋x－2≤0，即(x＋2)(x－1)≤0，
所以－2≤x≤1，所以原不等式解集为{x|－2≤x≤1}．
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0，2)
B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1，2)
【答案】B
【解析】由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以－2＜x＜1.
3．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c＜0，则.
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14
B．－10
C．10
D．－14
【答案】D
【解析】由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，.所以解得
所以a＋b＝－14.
5．已知不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}．则a，b的值等于( )
A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2
D．a＝－2，b＝1
【答案】C
【解析】
因为不等式ax2＋3x－2＞0的解集为{x|1＜x＜b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，b＝2.
6．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝
则f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C.
D.∪(2，＋∞)
【答案】D
【解析】由x＜g(x)，得x＜x2－2，则x＜－1或x＞2；由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝即f(x)＝
因为当x＜－1时，y＞2；当x＞2时，y＞8.
所以
当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f(x)的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时，
－≤y≤0.
所以当x∈[－1，2]
时，函数f(x)的值域为.
综上可知，函数f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
二、填空题：
7．设0＜b＜1＋a.若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
【答案】(1，3)
【解析】 原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a＞1时，＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2.整理，得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a.所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上可得a∈(1，3)．
8．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为________．
【答案】
【解析】因为0＜t＜1，所以＞1，所以(x－t)＜0的解集为.
9．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________．
【答案】{x|x＞1或x＜－2}
【解析】 因为ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以解得
所以bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2.
10．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，且B A，则a的取值范围为________．
【答案】(－∞，1]
【解析】 A＝{x|3x－2－x2＜0}＝{x|x2－3x＋2＞0}＝{x|x＜1或x＞2}，
B＝{x|x＜a}．若B A，如图，则a≤1.
三、解答题
11．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
【答案】见解析
【解析】
(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，所以(2x＋1)(x－2)＜0，故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
12．解不等式组：
－1＜x2＋2x－1≤2.
【答案】见解析
【解析】 原不等式组等价于
即
由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得(x＋3)(x－1)≤0，
所以－3≤x≤1.所以原不等式组的解集为{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}，
13．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)＞0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1＞0的解集为，求m的值．
【答案】见解析
【解析】
(1)当m＝1时，不等式f(x)＞0为2x2－x＞0，因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1＞0，即(m＋1)x2－mx＋m＞0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根．因此 m＝－.3.2 《一元二次不等式及其解法》学案(第1课时)
一、【学习目标】
1、知识目标
理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。
2、能力目标
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
3、情感、态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
二、【重点难点】
1、重点
一元二次不等式的解法.
2、难点
理解三个二次之间的关系.
三、【学习新知】
问题1：复习回顾：
1．我们把
，并且
不等式，称为一元二次不等式．
2．不等式的解集是
．
3．若将不等式的二次项系数化为正数，则不等式化为
．
预习课本,自主探究下列问题：
问题2：尝试写出课本P76实例对应的不等式
问题3：一元二次函数和一元二次方程有什么关系？
问题4：画出二次函数的图象。观察图象求解一元二次不等式
思路点拨：
四、【合作探究】
【活动一】：总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格
二次函数的图象
一元二次方程
无实根
的解集
的解集
思考：任意的一元二次不等式任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：>
0（a
>
0）或<
0（a
>
0）
【活动二】：尝试用框图将求解一般一元二次不等式的过程表示出来．
例1
求不等式的解集．
变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．
例2
解不等式．
变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5)
(7)．
五、【达标自测】
1．与不等式的解集相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合，，则
．
4．不等式的正整数解集为
．
5．求下列不等式的解集
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
6．求下列函数的定义域
（1）
（2）
7．已知集合，，求
六、【归纳总结】
解一元二次不等式的步骤：
①将二次项系数化为“”：(或)．
②计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ．时，求根，
ⅱ．时，求根，
ⅲ．时，方程无解，
③写出解集．
2．在我们探究的过程中，主要运用了哪些策略和数学思想？一元二次不等式解法学情分析
从知识储备来说，学生在初中已经学习了一元二次方程和二次函数，对不等式的性质有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升。在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。因此对于这个阶段的学生来说，对一元二次不等式及其解法的学习有一定的基础和必要。一元二次不等式的解观评记录
1、联系旧知，构建新知
在这个环节中我设置了两个问题以便唤起学生对旧知识的回忆．而这两个问题都是为突破重点作准备的.
2、创设情境，提出问题
从一个图标引入一个实例，有力地说明了数学来自于生活，通过引导学生对实例的分析，进而引入了一元二次不等式的定义和表达式，学生通过观察发现一元二次不等式的表达式会发现它与一元二次方程和二次函数很相似，从而提出问题：这三者间有什么关系？激发了学生强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节.
3、合作交流，探究新知
知识必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，所以在这里，通过探究一个一元二次不等式的解，从而设立了三个思考问题，引导学生层层递进，让学生充分思考，通过
“
观察分析”、
“小组交流”等活动，引导学生归纳。通过“身手小试”来验证自己归纳的成果，再由特殊到一般，让学生自己来归纳当二次项系数大于0时一元二次不等式的解法，使学生在找到了一元二次不等式、二次函数和一元二次方程的关系的同时也找到了解一元二次不等式的方法。经历这一过程，学生在完成课本上这个表格时将易如反掌。
4、
数学运用，深化认知
通过上一个环节总结的规律，让学生在例题上大胆的去应用，而我则在一旁适时点拨，规范做题步骤，从而让学生更容易地掌握知识
