3.1不等关系与不等式（2）
一、教学目标：
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
二、重难点：
重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．
难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式
：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、温故知新，1．同向不等式、异向不等式的概念：同向不等式：如：与；与．异向不等式：如：与．2．数运算性质与大小顺序之间的关系：；；．问题1.我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？?
回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。学生；等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.?
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.师
不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）??性质1：a＜b?a+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞b?a+c＞b+c（或a-c＞b-c）.?性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0?ac＞bc(或).?性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0?ac＜bc(或).?（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）?师
性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？?教师精讲；师
若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？师
类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,?a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.?师
这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.?
让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。生
对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.
培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
三、典例分析：【例1】
比较下列各组数的大小（a≠b）.?(1)与
(a＞0,b＞0);?（2）a4－b4与4a3（a－b）.?师
比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.?师
同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.??【问题2】
求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；?（2）a＞b?a+c＞b+c.?师
请同学们思考第一小问该如何证明？?师
这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？?（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）?【问题3】已知a＞b＞0,c＜0，求证：.?师
前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？?
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。解：（1），?∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.?∴.（2）a4-b4-4a3(a-b)?=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)?=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)?=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］?=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)?=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,?∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),?又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.?∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.?∴a4-b4＜4a3(a-b).?例题2.
生
可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.?例题3.生
可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴.?
课堂练习1.已知x＞y＞z＞0，求证：.?分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.?证明：∵x＞y,∴x-y＞0.∴.?又y＞z,∴.①?∵y＞z,∴-y＜-z.∴x-y＜x-z.?∴0＜x-y＜x-z.∴.?又z＞0,∴.②?由①②得.?2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和－2m+5；(2)a2-4a+3和－4a+1.?点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法：若A－B＞0，则A＞B；若A－B=0，则A=B；若A－B＜0，则A＜B.?这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。1.小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下.?2.解：(1)∵（m2-2m+5）-(-2m+5)?=m2-2m+5+2m-5?=m2，?∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.?∴m2-2m+5≥-2m+5.?(2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1)?=a2-4a+3+4a-1?=a2+2,?∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0.?∴a2-4a+3＞-4a+1.?
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：常用的不等式的基本性质及证明：?（1）a＞b,b＞c
a＞c; a＞b,b＞c
a-b＞0,b-c＞0
(a-b)+(b-c)＞0a-c＞0?a＞c.?（2）a＞b?a+c＞b+c; a＞ba-b＞0
(a-b)+(c-c)＞0
(a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.?（3）a＞b,c＞0ac＞bc; a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0
(a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.?（4）a＞b,c＜0ac＜bc. a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0
(a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本P75
习题3.1B组
第1\、2、3、4题2.
配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
.教学设计
3.1.2 不等关系与不等式（二）
从容说课
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.?
根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
教学重点
1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；?
2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；?
3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.?
教学难点
1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；?
2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.?
教具准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺?
三维目标
一、知识与技能?
1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;?
2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;?
3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;??
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课
师
上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.?
推进新课
师
我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？?
生
等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.?
师
很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？?
（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）?
师
一般地说，不等式的基本性质有三条：?
性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）
性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）?
性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）?
［过程引导］?
师
不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）??
性质1：a＜b?a+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞b?a+c＞b+c（或a-c＞b-c）.?
性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0?ac＞bc(或).?
性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0?ac＜bc(或).?
（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）?
师
性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？?
生
对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.?
师
很好，c可以为零吗？?
生
c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.?
师
这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.?
师
对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.?
（学生已迫不及待）?
生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.?
（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）?
师
为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.?
（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）?
［教师精讲］?
师
若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？
生
显然正确.?
师
类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,?
a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.?
师
这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.?
师
由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？?
生
只要考察它们的差就可以了.?
师
很好.请同学们思考下面这个问题.?
(此时，老师用投影仪给出问题)?
［合作探究］?
【问题1】
已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.?
（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)??
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，?
由x≠0，得x2＞0，从而(x2+1)2＞x4+x2+1.?
（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）?
师
下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
【例1】
比较下列各组数的大小（a≠b）.?
(1)与
(a＞0,b＞0);?
（2）a4－b4与4a3（a－b）.?
师
比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.?
解：（1），?
∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.?
∴.?
（2）a4-b4-4a3(a-b)?
=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)?
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)?
=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］?
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)?
=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,?
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),?
又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.?
∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.?
∴a4-b4＜4a3(a-b).?
师
同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.??
(此时，老师用投影仪给出下列问题)?
［合作探究］?
【问题2】
求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；?
（2）a＞b?a+c＞b+c.?
师
请同学们思考第一小问该如何证明？?
生
可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.?
师
这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？?
生
ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.?
师
这位同学证明得是否正确？?
生
正确.?
师
这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.?
生
第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.?
师
回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.?
（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）?
师
请同学继续思考第二小问该如何证明？?
生
可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴a+c＞b+c.?
师
这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？
生（齐声）没问题.?
师
这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.?
师
下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.?
（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）?
(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)?
［例题剖析］?
已知a＞b＞0,c＜0，求证：.?
师
前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？?
生
可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴.?
师
这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.?
课堂小结?
常用的不等式的基本性质及证明：?
（1）a＞b,b＞c
a＞c;
a＞b,b＞c
a-b＞0,b-c＞0
(a-b)+(b-c)＞0a-c＞0?a＞c.?
（2）a＞b?a+c＞b+c;
a＞ba-b＞0
(a-b)+(c-c)＞0
(a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.?
（3）a＞b,c＞0ac＞bc;
a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0
(a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.?
（4）a＞b,c＜0ac＜bc.
a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0
(a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.
布置作业
课本第84页习题3.1?A组3,?Ｂ组1.（3）（4）、2.?
板书设计
不等关系与不等式（二）引入
方法引导
方法归纳不等式和实数的基本性质
实例剖析（知识方法应用）
小结示范解题
习题详解
（课本第83页练习）?
1.（1）a+b≥0；（2）h≤4；（3）
2.这个两位数是57.?
3.（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＜.?
（课本第84页习题3.1）?
?A组?
1.略.?
2.(1)2+＜4；（2）.?
3.证明：因为x＞0,＞0,?
所以+x+1＞x+1＞0.
因为(1+)2＞(1+x)2＞0,?
所以
4.设A型号帐篷有x个，则B型号帐篷有(x+5)个，
5.设方案的期限为n年时，方案B的投入不少于方案A的投入，所以×10≥500,即n2≥100.?
?B组?
1.（1）因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3＞0,?
所以2x2+5x+9＞x2+5x+6.?
（2）因为(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1＞0,?
所以(x-3)2＞(x-2)(x-4).?
（3）因为当x＞1时，x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)＞0,所以x3＞x2-x+1.?
（4）因为x2+y2+1-2(x+y-1)=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1＞0,?
所以x2+y2+1＞2(x+y-1).?
2.证明：因为a＞b＞0,c＞d＞0,所以ac＞bd＞0.?
又因为cd＞0,所以＞0.于是.所以.?
3.设安排A型车厢x节，B型车厢y节，总费用为z.所以
所以x≥28,且x≤30.所以或或.?
所以共有三种方案，方案一安排A型车厢28节，B型车厢22节；方案二安排A型车厢29节，B型车厢21节；方案三安排A型车厢30节，B型车厢20节.?
当时，总运费z=0.5×30+0.8×20=31(万元),此时运费最少.?
备课资料
备用习题?
1.已知x＞y＞z＞0，求证：.?
分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.?
证明：∵x＞y,∴x-y＞0.∴.?
又y＞z,∴.①?
∵y＞z,∴-y＜-z.∴x-y＜x-z.?
∴0＜x-y＜x-z.∴.?
又z＞0,∴.②?
由①②得.?
小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下.?
2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和－2m+5；(2)a2-4a+3和－4a+1.?
点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法：
若A－B＞0，则A＞B；若A－B=0，则A=B；若A－B＜0，则A＜B.?
这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.
解：(1)∵（m2-2m+5）-(-2m+5)?
=m2-2m+5+2m-5?
=m2，?
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.?
∴m2-2m+5≥-2m+5.?
(2)∵(a2-4a+3)-(-4a+1)?
=a2-4a+3+4a-1?
=a2+2,?
∵a2≥0，∴a2+2≥2＞0.?
∴a2-4a+3＞-4a+1.?(共4张PPT)
3.1
不等关系与不等式
（第1课时）
1、常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字
语言
大于，高于，超过
符号语言
小于，低
于，少于
大于等于，
至少，不低于
小于等于，
至多，不多
于，不超过
＞
＜
≥
≤
2、不等式的基本性质
性质
具体名称
性质内容
特别提醒
（1）
（2）
（3）
（4）
对称性
传递性
可加性
可乘性
a>b
a>b,b>c
a>b
_______
_______
注意c
的符号
b
a>c
a+c>b+c
ac>bc
ac
______
____
_________
性质
具体名称
性质内容
特别提醒
（5）
（6）
（7）
（8）
同向可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
可开方性
________
______
a>b>0
a>b>0
a,b同
为正数
a+c>b+d
________
ac>bd
an>bn
________
(n∈N,n≥2)
(n∈N,n≥2)3.1 《不等关系与比不等式》学案(第2课时)
一、学习目标
1.掌握常用不等式的基本性质.
2.会将一些基本性质结合起来应用.
3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
二、合作学习
1、设计问题,创设情境
问题1:等式的性质有哪些 请大家用符号表示出来.
问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗 请大家加以探究.
2、信息交流,揭示规律
问题3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个数之间的大小
关系,可以用什么方法比较呢 其原理是什么呢
问题4:请大家用作差法证明性质(4).
问题5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质:
性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;
性质6 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
性质7 如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥1);
性质8 如果a>b>0,那么
(n∈N,n≥2).
3、运用规律,解决问题
【例题】已知a>b>0,c<0,求证.
问题6:观察条件和结论中的不等式有什么差异 用不等式的哪些性质可以将条件向结论转化
问题7:请大家思考还有其他证明方法吗 请大家尝试一下.
问题8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤
4、变式训练,深化提高
变式训练1:下列结论的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
①若b②若a>b,则.
( )
③若,则a>b.
( )
④若a+c>b+d,则a>b,c>d.( )
⑤若a2>b2>0,则a>b>0.
( )
⑥若,则a>b.
( )
变式训练2:设x变式训练3:设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是( )
A.
B.
C.(0,π)
D.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
1、设计问题,创设情境
问题1:①对称性:a=b b=a;②传递性a=b,b=c a=c;③加法法则:a=b a±c=b±c;
④乘法法则:a=b,c≠0 ac=bc.
问题2:(1)如果a>b,那么bb.即a>b b(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c a>c.
(3)如果a>b,那么a+c>b+c.
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac2、信息交流,揭示规律
问题3:可以用作差法比较.a-b>0 a>b;a-b=0 a=b;a-b<0 a问题4:证明:因为a>b,c>0,所以ac-bc=c(a-b)>0,所以ac>bc.
同理可证如果a>b,c<0,那么ac问题5:证明:(5)因为a>b,所以a+c>b+c. ①因为c>d,
所以b+c>b+d.
②由①②得,a+c>b+d.
(6) ac>bd;
(7)因为a>b>0,由性质(6)可得an>bn,(n∈N,n≥1);
(8)(反证法)假设,若这都与a>b矛盾,所以.
3、运用规律,解决问题
【例题】证明:因为a>b>0,所以ab>0,>0.于是a×>b×,即.由c<0,得.
问题6:结论中的a,b在分母上,且结论中a,b,c在同一个不等式中;性质(4).
问题7:有,用作差法.
证明:因为,又因为a>b>0,所以b-a<0,ab>0.又c<0,所以>0,所以.
问题8:作差—变形—定号—结论,四个步骤.
4、变式训练,深化提高
变式训练1:答案:√、×、×、×、×、√
变式训练2:解:方法一:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y),
∵x0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
方法二:∵xy2,x+y<0.
∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,∴0<<1,∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
变式训练3:解析:由题设得0<2α<π,0≤,
-≤-≤0,所以-<2α-<π.答案:D
5、反思小结,观点提炼
略(共28张PPT)
3.1
不等关系与不等式
（第2课时）
和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A、B、C、D，桶A、B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C、D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？
创设问题情景
[解析] 水桶A、B、C、D的容积依次为πa3、πa2b、πab2、πb3，
∵a≠b，∴a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，
∴a3＋b3＞a2b＋ab2，
∴πa3＋πb3＞πa2b＋πab2，
先取水桶A和水桶D必胜．
[答案] ③
温故知新
问题探究
不等式的证明
归纳小结
变式练习
若二次函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，
且1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4，求f(3)的范围．
利用不等式的性质求取值范围
[方法规律总结] 求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．
变式练习
某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．
不等式的实际应用
[方法规律总结] “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．
甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种)，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购买1
000
kg，乙每次购粮用去1
000元钱，谁的购粮方式更合算？
变式练习
已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范围．
[错解] ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
∴两式相加可得0≤a≤4.
又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1，
∴两式相加可得－1≤b≤3.
∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，
∴－6≤3a－2b≤14.
[辨析] 错误的原因是“由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a≤4，－1≤b≤3”的过程是一个不等价变形．
[警示] 在应用不等式性质变形时，要保持变形的等价性．避免扩大或缩小取值范围．
课堂小结：
配方法；因式分解法等。
分类讨论数学思想
方法：
数学思想：
课后作业；
课本P75
习题3.1
A组
第5
题。
B组
1、2、33.1《不等关系与不等式》（第2课时）教师版
一、选择题：
1．若x>1>y，下列不等式不成立的是( )
A．x－1>1－y
B．x－1>y－1
C．x－y>1－y
D．1－x>y－x
【答案】A
【解析】特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确．
2．下列结论中成立的是( )
A．若a>b，则>1
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，则lga>lgb
D．若(a－b)a2<0，则a【答案】D
【解析】 a＝1，b＝－1时，A、B、C错误，排除A、B、C，选D．
3．设a＋b<0，且a>0，则( )
A．a2<－abB．b2<－abC．a2D．ab【答案】A
【解析】∵a＋b<0，且a>0，∴04．已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
【答案】B
【解析】∵a2＋a<0，∴0－a2>a，∴a<－a2[点评] 可取特值检验，∵a2＋a<0，即a(a＋1)<0，令a＝－，则a2＝，－a2＝－，－a＝，
∴>>－>－，即－a>a2>－a2>a，排除A、C、D，选B．
5．下列结论中，成立的个数为( )
①若则
②若，则
③若，则
④若则
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】C
【解析】由xy>0知x与y同号，又x＋y>0，∴x>0且y>0，故①正确；
∵x>0，y>0，∴x＋y>0，xy>0，∴②正确；
∵x>1，y>1，∴x＋y>2，xy>1，∴③正确；当x＝4，y＝时，x＋y>3，xy>1，但不成立．
6．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( )
A．M＞N
B．M＜N
C．M＝N
D．M、N的大小无法确定
【答案】A
【解析】M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga，若a>1，则a3>a2，∴>1，∴loga>0，
∴M>N，若00，∴M>N，故选A．
7．若0A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1
D．
\【答案】A
【解析】 本题可用特值法：令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A．a1b1＋a2b2＝0.74；
B．a1a2＋b1b2＝0.25；C．a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A．
[点评] 不能小题大做．本题若实际比较大小，则比较麻烦．
(a1b1＋a2b2)－(a1a2＋b1b2)＝a1(b1－a2)＋b2(a2－b1)＝(b1－a2)(a1－b2)．
由条件知00，
∴a1b1＋a2b2>a1a2＋b1b2.(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)>0.
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.设a1＝－α，a2＝＋α，b1＝－β，b2＝＋β，
由题意知0<α<，0<β<.∴a1b1＋a2b2－＝－(α＋β)＋αβ＋＋(α＋β)＋αβ＝＋2αβ>0，
∴a1b1＋a2b2>.
因此，有关不等式大小的选择题，解题时要依据题目特点灵活选取方法，以简化解题过程．
8．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b>0
B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0
D．a＋b<0
【答案】D
【解析】 由a＋|b|<0知，a<0,0≤|b|<－a，∴b20；
∵|b|≥b，∴a＋b≤a＋|b|<0；∵|b|≥－b，∴a－b≤a＋|b|<0；
∵－a>|b|≥b，∴(－a)3>b3，∴a3＋b3<0.∴A、B、C错，D正确．
解法2：取a＝－2，b＝±1，易知a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A、B、C，故选D．
9．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A．>
B．a＋>b＋
C．a＋>b＋
D．>
【答案】C
【解析】 解法一：由a>b>0 0<< a＋>b＋，故选C．
解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B．
10．若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】 ∵＜＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错；∴ab＞0，∴a＋b<0又0＞a＞b，∴|a|＜|b|.∴②错；∵＋＝＝＝＋2且a－b＜0，ab＞0，
∴＋＞2，∴④成立．∴①④正确．选B．
二、填空题：
11．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是________．
【答案】＞
【解析】 ∵c＞d＞0，∴＞＞0，∵a＞b＞0，∴＞＞0，∴＞.
12．若a、b、c、d均为实数，使不等式>>0和ad(只要举出适合条件的一组值即可)．
【答案】(2,1，－1，－2)
【解析】由>>0知，a、b同号，c、d同号，且－＝>0.
由ad①a、b同号，c、d同号，b、d异号；②ad0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，
c＝－1，则d<＝－，取d＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．
13．若规定＝ad－bc(a、b∈R，a≠b)，则与的大小关系为________．(填“>”“＝”“<”)
【答案】>
【解析】 ∵＝a2＋b2，＝ab－(－ab)＝2ab，
∴－＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴>.
14．已知2b【答案】(－1,2)
【解析】 ∵2b三、解答题
15．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac【答案】见解析
【解析】 ∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.又e>f，即f16．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．
【答案】见解析
【解析】
(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，
(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.
17．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，∴－18＜x－2y＜10；
∵3018．设a＞0，a≠1，t＞0比较logat与loga的大小．
【答案】见解析
【解析】 logat＝loga，∵－＝＝，
∴当t＝1时，＝；当t＞0且t≠1时.＞.
∵当a＞1时，y＝logax是增函数，∴当t＞0且t≠1时，loga＞loga＝logat.
当t＝1时，loga＝logat.∵当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＜loga＝logat，当t＝1时，loga＝logat.
综上知，当t＝1时，loga＝logat；当t＞0且t≠1时，若a＞1则loga＞logat；
若0＜a＜1则loga＜logat..
第三章
不等式（人教A版新课标）
第1节
不等关系与不等式
【思维导图】
【微试题】
1.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A．＞
B.
＜
C.
＞
D.
＜
【答案】D
2.
若，则下列不等关系中不能成立的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
【答案】D
3.有下列命题：
(1)若ac2>bc2，则a>b；
(2)若a>b，则－ac<－bc；
(3)若a>b，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd；
(5)若a）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】B
4.
设，比较与的大小.
【答案】
【解析】解：因为，所以，
当时，，所以；
当即时，，所以；
当即时，，所以．
用不等号表示不等
(1>bsb<:(对称性)
关系的式子
不等式的定义
>b,b>c→a>e;(传通性
a-b>0÷a>b
(3>b→a+c>b+c;(如法法明
a-b<0今a基本原理
a-b=0分a=b.
4>b,c>0→aC>be(乘法法明
证明简单的不等式
(5>bc>d→a+c>b+小;(如法法)
等关系
比较实数的大小
不等式性
6a>b>0,c>d>0→ac>bd;(泉法法p)
质的应用
7>b>0→a>b,n∈N,n22);(泉方法則
判断命题的真
求取值范围
)>b>0→va>Vbn∈N,n≥2),(开方法
考点
不等式比较大小:不等关系与不等式
分析
可以利用特例法判断选项,也可以利用不等式的性质推导
析
由a>b>0,c不妨令a=3,b=1,c=-3,d-1
解答
则一=-1,=-1,∴A、B不正确
C不正确,D正确
考点一不等式的性质的应用)
注意ab的取值范围,根据选项选择适当的不等式性质进行推导
分析
也可以给ab赋两个特殊值,如=2=1,代入各选项中,即可得答案
去一,图为0b0,所以h0,由复数法有占,A
因为a和a2>b2均成立,排除A、C
D项中a-b““aa-b)·又ab<0,所
aa-b
解答
所以D不成立,故进:D
法二:取a=-2.b=-1,可得->-1(-2)2>(-12>+1,EAB.C均成立
即D不成立,故选:D