2.4
等比数列的性质
一、教学目标：
知识与技能?
1.了解等比数列更多的性质;?
2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;?
3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.??
过程与方法?
1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;?
3.当好学生学习的合作者的角色.??
情感态度与价值观?
1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.?
二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质;?
2.解决生活实际中的等比数列的问题.?
教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.?）.?
三、学情及导入分析：
这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.?
教具准备
多媒体课件、投影胶片、投影仪等?
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
1.温故知新师
教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.?师
对各组的汇报给予评价.?师
出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：?猜想：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.?◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.?第4题解答：?设{an}的公比是q，则?a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,?所以a52=a3·a7.?同理,a52=a1·a9.?(2)用上面的方法不难证明an2=a
n-1·a
n+1(n＞1).由此得出，an是a
n-1和a
n+1的等比中项，同理可证an2=a
n-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0).?师
和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.?
学生回答；生
由学习小组汇报探究结果.第3题解答：?(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为a
k+1，a
k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,?则数列a
k+1,ak+2,…,可视为b1,b2，….?因为
(i≥1),所以，{bn}是等比数列，即a
k+1，ak+2,…是等比数列.?(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a
11,a
21，…,则?
(k≥1).?所以数列a1,a
11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.?
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
合作探究?师
出示投影胶片1例题1 (教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a
10，a8+a9和a10+a
40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师
注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？?师
很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？?师
题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？?师
出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.?师
从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看出,?根据等式的性质，有.?所以ak+as=ap+aq.?师
在等比数列中会有怎样的类似结论？?师
让学生给出上述猜想的证明.?证明：设等比数列{an}公比为q，?则有ak·a
s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,?ap·at=a1q
p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.?因为k+s=p+t,?所以有ak·as=ap·at.?师
指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N
)，则有ak·as=ap·at.?师
下面有两个结论：?(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；?(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.?你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？?师
引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.?师
上述性质有着广泛的应用.?师
出示投影胶片2：例题2例题2?（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a
10=100,求a
18;?（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；?（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.
生
用等差数列1，2，3，…?生
在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N
)，则ak+as=ap+aq.?生
思考、讨论、交流.?生
猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N
)，则?ak·as=ap·at.生
思考、列式、合作交流，得到：?结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；?结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.?例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.?解答：?(1)在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a
18.?解：∵a1a
18=a9a
10，∴a
18=
=20.?(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积.?解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.?∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32)3×3=37=2
187.?(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.?解：.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).?∴a8=-1
458.?另解：a8=a5q3=a5·=-1
458.?
培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建模思想。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对数学概念的理解。教师引导学生回答，作出评价
例题解析师
判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.?例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.?anbnan·bn判断{an·bn}是否是等比数列例-5×2n-1是自选1自选2师
请同学们自己完成上面的表.?师
根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？?［教师精讲］?除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：?证法二：?设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项(n＞1,n∈N
)分别为a1p
n-1b1q
n-1、a1p
n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为?(anbn)2=(a1p
n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq)
2(n-1),?(a
n-1·bn-1)(a
n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),?即有(anbn)2=(a
n-1·bn-1)(a
n+1·bn+1)(n＞1,n∈N
),?所以{an·bn}是一个等比数列.?师
根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：?证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为?anbn=a1p
n-1b1qn-1=(a1b1)(pq)
n-1,?设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq)
n-1,?所以{an·bn}是一个等比数列.?
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导。生
得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列.?证明如下：?设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1p
n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为?,?它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
课堂小结?本节学习了如下内容：?1.等比数列的性质的探究.?2.证明等比数列的常用方法.
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本第60页习题2.4
A组第3题、B组第1题.2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
五、板书设计
?
板书设计
等比数列的基本性质及其应用例1 例2 例3
备课资料
备用例题?
1.已知无穷数列,,
,…,
,….?
求证：(1)这个数列成等比数列；?
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；?
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.?
证明：(1)
(常数)，∴该数列成等比数列.?
(2),即：.?
(3)apaq=，∵p,q∈N，∴p+q≥2.?
∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈
(第p+q-1项).?
2.设a,b,c,d均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,?
求证：a,b,c成等比数列且公比为d.?
证法一：关于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有实根，?
∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.?
则必有：b2-ac=0，即b2=ac，∴a,b,c成等比数列.?
设公比为q，则b=aq,c=aq2代入?
(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.?∵(q2+1)a2≠0，∴d2-2qd+q2=0，即d=q≠0.?
证法二：∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,?
∴(a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0.?∴(ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b，且bd=c.?
∵a,b,c,d非零，∴d.∴a,b,c成等比数列且公比为d. 《等比数列》说课稿
我说课的课题是《等比数列》，选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修5）第二章第四节.共有两个课时,本节课为第一课时.下面我就本节课的教材分析、教学方法设计、教学过程、板书设计四个方面展开我的说课．
教材分析
1、本节在教材中的地位与作用
数列可以看作是一种特殊的函数,而等比数列在数列学习以及在高中数学的学习中占有重要的地位．本节课的教学内容是等比数列的定义及通项公式.等比数列是在等差数列学习的基础上,利用类比归纳的思想来学习的,在生活中应用较为广泛.对其定义和通项公式的掌握，有利于进一步研究等比数列的性质及前项和，从而极大提高学生利用数列知识解决实际问题的能力.这节课的内容和教学过程对培养学生观察、分析和归纳总结能力具有重要的意义.
2、教学目标
根据本节课在教材中的地位与作用，及课程标准的要求，我设计了如下的三维教学目标：
（1）知识目标：
理解等比数列定义，掌握等比数列的通项公式及对它的灵活运用.
（2）能力目标：
①通过让学生发现具体数列的等比关系，培养学生的观察、归纳能力；
②通过让学生观察分析、类比推理，亲自体会通项公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力及自主学习能力．
（3）情感目标：
让学生充分感受等比数列是反映现实生活的模型，体会数学来源于现实生活，并应用于现实生活，增强学生合作意识，提高学生数学学习兴趣．
教学重难点
根据新课程标准和在学生已有等差数列学习的基础上,
我把这节课的重点与难点确定为：
重点：掌握等比数列的定义及通项公式．
难点：类比等差数列的推导过程得到等比数列.因为类比是合情推导，没有严谨的逻辑论证过程，具有较高的思维形式，学生用的不太多，所以很难想到，必须由老师引导.
二、教学方法设计
为了实现三维目标，突出重点，突破难点，我采用以下教法、学法、教学手段：
教法分析：建构主义学习理论认为:“学习过程不是学习者被动地接受知识，而是积极地建构知识的过程”.第斯多惠也说过：“教育的艺术不在传授,而在于唤醒激励和鼓舞”.在遵循启发式教学原则的基础上,教师不再仅仅是传授知识，而是作为一个引导者来进行教学.由于学生具备一定等差数列知识的经验基础，老师引导学生利用类比归纳的思想来学习，所以放手让学生自己去探索，考虑到学生的认知水平和最近发展区，因此本节课采用以探究式为主，讲练结合法为辅的教学方法．
学法分析：本节课主要采用类比探究式学习法．教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．本节课通过小组活动探究得出等比数列定义及通项公式，让学生学会合作，学会探究；通过让学生小结，让学生发表自己的看法，让学生学会表达，学会归纳.总而言之，让学生积极参与到课堂，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学.
教学手段
为了提高课堂教学效率，增大教学容量，引起学生兴趣，激发学生思考，我采用了彩色粉笔、小黑板、多媒体进行教学．彩色粉笔是用来强调等比数列的定义、数学符号表达式及通项公式中的注意点，而多媒体则展示了形象的引入、例题和练习，帮助学生更直观的感受.
教学过程
根据教法和学法以及教学手段的特点，把教学目标、重难点体现在教学活动中，因此我从以下七个方面进行说明教学过程：.
1、复习旧知
我首先复习了等差数列的定义及作的一种什么运算得到的定义，同时复习了等差数列通项公式的推导过程，用的是什么方法．
设计意图：通过复习希望用等差数列的思维获得等比数列，目的是让学生够较为轻松的学习,并为后面的学习做好铺垫，依据是奥苏贝尔的比较性组织者理论.
2、创设情境，引入新课
引入新课我用的是这样两个问题，第一个问题是在学生已经接触过的生物知识中，通过细胞有丝分裂实际问题，这是个旧知识；第二个问题是用的《庄子》一书中的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”
和我给出的一组数列，通过提问：此时这样的三组数列是否为等差数列？学生的回答当然是否定的，但是引导学生发现这样的三组数列依然很有规律，引导学生类比等差数列，通过作的一种什么样的运算得到等差数列定义，再先横向观察、再纵向观察这样均匀的三组数列相邻两项之间具有什么样的特点．继而发现数列的等比关系，所以引出今天将要学习的新知识“等比数列”．
设计意图：此环节让学生体会等比数列是来源于现实生活的，依据是弗赖登塔尔的“数学起源于现实”.通过谈话法，激发学生的学习兴趣．通过让学生观察情境中的三组数列，培养学生的观察、归纳能力，但是这个知识又是学生不知道的，引起学生的困惑，同时明确本节课知识目标．依据是皮亚杰的认知失衡理论.
3、合作探究、获得新知
引入新课后，就进入了第三个板块探究新知环节，此时我用了两个探究活动.第一个探究活动是类比等差数列的定义，给出等比数列定义，而第二个探究活动是等比数列通项公式的推导.让学生在类比、探索中解决问题，从而突出重点，突破难点．因此这两个探究活动我是这样来组织学生进行的.
探究1
类比等差数列的定义，给出等比数列定义．
我将引导学生类比等差数列的定义，试着归纳出等比数列的定义及数学符号表达式．最后我提出问题为什么，总结强调定义里的几个关键点,并将注意点用彩色粉笔在黑板上标注出来．
设计意图：运用杜威的“教学必须从学习者已有的经验开始”教学理论,在学生已有等差数列知识的基础上,让学生利用类比归纳的数学思想,得到等比数列定义．
为了能够让学生更好的理解等比数列的概念，达到巩固新知的目的，因此我设计了以下练习.
练习
1
判断以下几个数列是否为等比数列.
①，，，，…
②16，8，2，1，…
③1，3，9，0，27，…
④a，a，a，a，a，...
设计意图：练习1符合学生的认知理论，可以让学生进一步理解定义，会运用定义判断一个数列是否为一个等比数列．借助这个练习着重强调公比是不能等于0的．再提出不为0的常数列既是等差又是等比数列．其中①④为正例，属于非标准变式，目的突出等比数列的本质属性，而②③为非概念性变式，目的明确等比数列的外延，从而突出外延，依据是顾泠沅的变式理论.
在固化定义之后，此时到第二个探究活动——探究2
等比数列通项公式的推导
回到情境中的第一个例子，让学生依次回答该数列的第5项、第6项以及第100项是多少．引导学生回忆，类比等差数列，我们该计算等比数列的通项公式．类比等差数列通项公式的推导方法，给出一个等比数列，首项为，公比为，鼓励学生积极探索，小组讨论，小组活动完后抽同学回答，学生通过观察、归纳发现结果，老师将推导过程板书在黑板上，进而得到等比数列的通项公式.我提出与等差数列通项公式作比较，从而强调这个通项公式是知三求一的．再将我们问题中的第100项求解出来.
设计意图：此环节先让学生口答简单的项，使学生发现存在某种规律．再类比等差数列求通项公式所用方法，与复习引入首尾呼应．通过分组活动，培养学生的合作交流意识，让学生经历观察、归纳、发现知识的过程，培养学生的想象能力和逻辑思维能力，让学生自己发现规律来寻找等比数列通项公式,而不是直接给出通项公式,从而用不完全归纳法得到等比数列的通项公式，依据是弗赖登塔尔的数学再创造．这样的设计既能够让学生的归纳能力得到充分的锻炼，也让本节课的内容保持在学生的最近发展区上面，便于加强学生的学习主动性．
4、例题讲解，巩固知识
例1
一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项、第2项．
设计意图：当这部分知识讲解完后，学生需要做题，结合本节课是等比数列的导入课，所以我选择了学生较容易理解的教材中例3来作为例题.
首先带着同学来一起分析要求第一项与第二项，就需要知道首项和公比，又结合题中的已知条件，怎样建立,与及之间的关系，希望学生能够想到对通项公式的逆用，从而得到两个方程，而审题和分析题意是通过问答法，而板书让学生边讲老师边写，过程可以在PPT上，目的是规范学生的书写.回顾该题，让学生更好的理解要求一个等比数列的某项，首先需要知道它的首项和公比，即设未知数，将方程思想融入其中．也进一步强化对通项公式的掌握以及应用．这里体现了教师的组织者、引导者与合作者的理念.依据是波利亚的“怎样解题表”.
5、变式练习
根据顾泠沅的过程变式理论，为了培养学生独立解决问题的能力，同时为了巩固等比数列通项公式的应用，在例题讲解后，我将给出这样一个练习题：
已知是一个等比数列，在下表中填入适当的数.
这时请两位同学上台演示，下面的同学自主练习，老师巡视课堂检查学生的掌握情况，针对掌握不是很好的学生给予实时指导，及时掌控课堂．
设计意图：表格题型的设计既可以让学生不再只疲劳于文字之中，又可以让学生更好的观察出这四个变量是“知三求一”．
课堂小结
本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、方法的一般规律，深化对数学思想的认识，为后续学习打好基础．我通过提问让学生自己总结本节课的知识，在学生发表完意见后，我将从知识、方法、思想三个方面进行小结，并且将其展示在PPT上.
（1）知识小结：等比数列的定义，等比数列通项公式及其中一些应注意的问题；
（2）方法小结：不完全归纳法、知三求一法；
（3）思想小结：类比、方程思想.
设计意图：通过师生互动,回顾本节课知识,了解学生掌握情况,让学生学会反思，学会概括，学会归纳总结，并且形成良好的知识结构.
7、作业布置
基础性题：课后A组
1、3题.
提高性题：B组3题.
思考题：思考等比数列通项公式是否还有其他推导方法.
设计意图：分层布置作业则是为了注重个体差异，让不同层次的学生都得到应有加强,符合新课标理论．思考题主要是为了提高学生的思维能力、探索能力.并为下节课等比数列性质的讲解做铺垫.
四、板书设计
板书设计的好坏直接影响学生对本节课的学习兴趣，因此它有着举足轻重的作用．为了呈现本节课的知识，使整个板面重点突出，层次分明，让学生能够一目了然的清楚本节知识框架.因此第一版为等比数列的定义和通项公式，第二版为通项公式的推导过程，第三版为例1，第四版为引入．
2.4.1等比数列
多媒体展示区
定义二、通项公式
三、通项公式推导
例1引入第4节
等比数列
【思维导图】
【微试题】
1.
已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（
）
A.
B.
C.
D.2
【答案】B
2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A.
a1，a3，a9成等比数列
B.
a2，a3，a6成等比数列
C.
a2，a4，a8成等比数列
D.
a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
3.
在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝32，则的值为
( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
【答案】B
4.
数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n
(n∈N
).
(1)求a3,a4,a5,a6的值；
（2）求证：{bn}是等比数列.
【答案】（1）a3==6，a4==9，a5==18，a6==27
【解析】解：
（1）∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n，
∴a3==6，a4==9，
a5==18，a6==27.
（2）证明
∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，
∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.
∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，
∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1.
∴==3，故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列.(共27张PPT)
2.4
等
比
数
列
（第2课时）
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
温故知新
如果一个数列
是等比数列，它的公比是q，那么
…，
…，
由此可知，等比数列
的通项公式为
…
(1)
1，2，4，8，16，…
观察数列
(3)
4，4，4，4，4，4，4，…
(4)
1，-1，1，-1，1，-1，1，…
公比
q=2
公比
q=
公比
q=1
公比
q=-1
探究点1：等比数列的图象
问题探究
等比数列的图象1
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
●
●
●
●
●
递增数列
通过图象观察性质
等比数列的图象2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
数列：
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
递减数列
等比数列的图象3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
常数列
等比数列的图象4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
摆动数列
-1
类比等差数列的性质，
等比数列有哪些性质呢？
探究点2：等差、等比数列的性质比较
an-an-1=d
（n≥2）
等差数列
等比数列
常数
减—除
加—乘
加-乘
乘—乘方
迭加法
迭乘法
等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”
定义
数学表
达式
通项公式证明
通项
公式
,
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质1：
an=am+(n-m)d
性质2：若an-k,an,an+k
是{an}中的三项
，
则2an=an+k+
an-k
猜想2：
性质3：
若n+m=p+q,
则am+an=ap+aq
猜想1：
若bn-k,bn,bn+k
是{bn}中的三项,则
若n+m=p+q，则
bn·bm=bp·bq
猜想3：
性质4：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.
(可推广)
性质5:
若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列.
若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn dn}是公比为q·q′的等比数列.
猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为
(可推广)
猜想5：
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
当q>1,a1>0或0{an}是递增数列;
当q>1,
a1<0或00时,
{an}是递减数列;
当q=1时,
{an}是常数列;
当q<0时,
{an}是摆动数列.
(2)an≠0,且anan+2>0.
(3)an=amqn-m(n,m∈N
).
(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N
)时,有anam=apaq.
(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.
【知识提升】
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an
bn
}是公比为qq′的等比数列.
(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N
)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)当m，n，p(m，n，p∈N
)成等差数列时，am
,
an
,
ap
成等比数列.
(8)数列
是公比为
的等比数列.
例1、等比数列
{an}
中，
a
4·a
7
=
－512，
a
3
+
a
8
=
124,
公比q为整数，求a10
法一：直接列方程组求
a
1、q
法二：由
a
4
·
a
7
=
a
3
·
a
8
=
－512
∵
公比
q
为整数
∴
a
10
=
a
3×q
10
－3
=
－4×(-2)
7
=
512
例2.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an
·
bn}是等比数列.
证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;
{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an bn}的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以{an bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.
思考:
1.
{an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？
2.
已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列
，
是等比数列吗？
A．7
B.5
C．-5
D．-7
1.已知
为等比数列，
，
，
解析:选D.
，
D
（
）
则
2.
在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为
( )
A．2
B．4
C．8
D．16
D
解析：选D.因为{an}为等差数列，所以
＝4＝b7.又{bn}为等比数列，所以b6·b8
＝
＝16.
3.（真题·福建高考）已知等比数列
的公比为q，记
，
cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m
，则以下结
论一定正确的是（ ）
A.
数列
为等差数列，公差为
B.
数列
为等比数列，公比为q2m
C.
数列
为等比数列，公比为
D.
数列
为等比数列，公比为
C
【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列，
注意一定是作差，或作比，看看是不是常数.
解析:选C.显然，
不可能是等比数列；
是等比数列；证明如下：
4.在等比数列{an}中，an＞0，a2
a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5=
_
.
5.在等比数列{an}中，
a15
=10,
a45=90,则
a30
=__________.
6.在等比数列{an}中，a1+a2
=30,
a3+a4
=120,
则a5+a6=_____.
6
30
480
或-30
7.
的等比中项是___________.
8.已知正数等比数列
中，
9.设数列
是等比数列，且
则
对所有的自然数
n
都成立，则公比
q
=___________.
课堂小结
1.
等比中项的定义；
2.
等比数列的性质；
3.
判断数列是否为等比数列的方法．
数
列
等
差
数
列
等
比
数
列
关
系
式
性
质
中
项
构造三数
构造四数
a，a+d，a+2d
a,
aq,
aq2
或者
a-d，a，a+d
或
a-3d，a-d，a+d，
a+3d
an=am
+(n-m)
d
an=amqn-m
m+n=p+q
an+am=ap+aq
m+n=p+q
anam=apaq
课后作业
1.配套练习2.4等比数列（2）
姓名
班级
【学习目标】
1.类比等差数列的性质，理解等比数列的性质.
2.能运用等比数列的性质解决一些简单的问题.
【学习重点】等比数列性质的运用。
【学习方法】自主学习，合作探究
【自主学习】
等比数列的性质：
若m+n=s+t,则_________________
若m+n=2s，则__________________
【预习自测】
已知是等比数列，且，，求的值。
【合作学习】
1.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。
2.
在等比数列中，
。
【练习与检测】
1．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于( )
A．90
B．30
C．70
D．40
2．等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝( )
A．39
B．310
C．311
D．312
3.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2
B．4
C．8
D．16
4.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则=__________
5.等比数列的各项均为正数，且，
求。
【小结与反思】
【课后作业】
1.在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )
A.
B.
C.
D．6
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
3．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2
B．4
C．8
D．16
4.已知等比数列{an}的公比q＝－，则=_______
5.在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.
学习反思：1、本节课我学到了什么？
2、本节课我的学习效率如何？
3、本节课还有哪些我没学懂？2.4等比数列的性质（教师版）
一、选择题：
1．在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，则公比q应满足( )
A．q>1
B．0D．－1【答案】B
【解析】：an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0对任意正整数n都成立，而a1<0，只能02．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】∵a3·a11＝16，∴a＝16.又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B.
3．设2a是1＋b和1－b的等比中项，则6a＋4b的最大值为( )
A．10
B．7
C．5
D．4
【答案】C
【解析】：由题意得(2a)2＝1－b2，即4a2＋b2＝1.令a＝cosθ，b＝sinθ，则6a＋4b＝3cosθ＋4sinθ＝
5sin(θ＋φ)，∴6a＋4b的最大值为5，故选C.
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )
A．(－2)n－1
B．－(－2)n－1
C．(－2)n
D．－(－2)n
【答案】A
【解析】：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1，∵a5＝－8a2，∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5>a2，即a2q3>a2，∴a2<0，而a2＝a1q＝－2a1<0，∴a1＝1，故an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.
5．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于( )
A．－64
B．－32
C．32
D．64
【答案】C
【解析】∵数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，∴a5＝a1××××＝
1×(－)×(－)2×(－)3×(－)4＝(－)10＝32.
6．若数列{an}是等比数列，则①{can}(c为常数)，②{an＋an＋1}，③{an·an＋1}，④{a}四个数列为等比数列的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】若{an}为等比数列，当c＝0时，{can}不为等比数列，①不是等比数列；若{an}是公比q＝－1的等比数列，则an＋an＋1＝0，{an＋an＋1}不为等比数列，②不是等比数列；由等比数列的定义可知③④为等比数列．
二、填空题：
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．
【答案】 4
【解析】：∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，
即q＝，a1＝8.又an＝a1qn－1＝8·n－1＝n－4，∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
【答案】 16
【解析】∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
9．下列命题中，正确命题的序号为________．
①若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N
)，则akal＝aman；②若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2；③若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为q2；④若{an}，{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
【答案】 ①②④
【解析】③中若q＝－1，则a2n－1＋a2n＝0.
10．若数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则＝________.
【答案】
【解析】∵1，a1，a2,4成等差数列，∴a1＋a2＝5.∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，∴b＝1×4＝4.
又b2>0，∴b2＝2.∴原式＝.
三、解答题
11．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
【答案】见解析
【解析】：由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，
∴＝＝.
12．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】
(1)根据根与系数的关系，有
，代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3，所以an＋1＝an＋.
(2)因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝，
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)当a1＝时，a1－＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝＋n(n＝1,2,3，…)．
13．某市2011年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底．
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4
750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
【答案】见解析
【解析】
(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4
750，得n2＋9n－190≥0，
令f(n)＝n2＋9n－190，当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，
由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，而n是正整数．∴n≥10.
故到2020年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4
750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2016年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
14．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求d，q的值；
(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，
求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】
(1)由a2＝b2，a8＝b3，得即
解方程组得或(舍去)
(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1.
由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，即5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数得解得a＝，b＝1，使得对一切自然数n，都有an＝loga
