2.4等比数列素材
前面我们已提到过斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏.
1.从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：?
=1.000
0
=2.0
000?
=1.500
0
=1.666
7?
=1.600
0
=1.625
0?
=1.615
4
=1.619
0?
=1.617
6
=1.618
2?
=1.618
0
=1.618
1?
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618
0与1.618
1之间，它还能准确地用黄金数表示出来.?
2.我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如右图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：?
3.在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：?
前n项和Sn=a
n+2-1,?
ana
n+1-an-1a
n-2=a
2n-1(n≥3),?
an-12+an2=an-1(n≥2),?
an-2an=a
n-12-(-1)n(n≥3).?
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，..{U
n+1=Un+Un-1}命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式U
n+1U
n-1-Un2=(-1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世?纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式，现在称为之为比内公式.?
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人.斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间.?2.4
等比数列（第1课时）
一、教学目标：
知识与技能目标：等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标：明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，
会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
情感态度与价值观?1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过对有关实际问题的解决，体现数学
与实际生活的密切联系，激发学生学习的?兴趣.
教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
三.
教法、学法
本课采用“探究—类比—发现”教学模式．
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、类比、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
六、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、温故知新，提出问题1、回顾等差数列的定义；2.观察下列数列；（1）1、2、4、8、16……（2）由一句文言文引出一个数列；1、
、、、……
1、创设学习情境。2、激发学生学习的兴趣。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：问题1.能找这些数列的特点吗？(
1
)
2，22，23，24，…（2）1、、…()n-1…通过观察，发现，探究等比数列的特点，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）定义；一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列。问题2.
等比数列的定义用数学表达式该怎么表示吗？
（常数）问题2.(1)
在等比数列｛an｝中、公比为q，通项公式能用a1、和q，n表示an吗？
方法一：（不完全归纳法）根据等比数列的定义则an+1=anq这样可求得ａ2ａ3,
ａ4,...
ａna2=a1qa3=a2
q=
(a1q)
q=
a1q2a4=a3q=
（a1q2)q=a1q3……an=a1qn-1方法二：（叠乘法）根据等比数列的定义得：=q
，=q，=q,
……=q(观察上述有几个等式？我们该如何处理哪？)把n-1个式子两边分别相乘，得···…=ｑn-1整理得
，
an=a1qn-1
培养学生观察、思维的能力。借助黑板与多媒体增强学生感性认识。引导学生类比等差数列的定义，得出等比数列的定义，并理解剖析等比数列的定义。
（1）学生在教师的引导下,分析这几个等式怎样处理能消去一些项,从而得到有关a1、和q，n,an
式子。同时认识一下叠乘法美妙。（2）学生在教师的引导下，观察归纳，猜想，得出公式，进一步了解不完全归纳法。通过引导，分析，观察，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．从而了解叠乘法，不完全归纳法两种推导思路。
培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
四、性质应用、讲练结合例1.
在等比数列
{an
}
中,
a4
=
27,q=
-
3,求an
例2.
已知等比数列｛an｝中，a5=20
,
a15=5
,
求a20.强化1.
已知等比数列｛an｝中
,
a2=18
,
a4=8
,
求a1和q.强化2
9是等比数列，，..............的第几项？
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化公式的理解和应用。使同学能够熟练灵活的运用公式，能运用公式。
课堂练习1．已知下列各数列：①－1，－2，－4，－8；②1，－，3，－3；③a，a，a，a；④，，，.其中成等比数列的是( )A．①②③
B．①②C．①②④
D．①②③④2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－93．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A．，，成等比数列B．，，成等比数列C．，，成等比数列D．，，成等比数列4．在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )A．3
B．4
C．5
D．65．设＝2，数列{1＋2}是公比为2的等比数列，则等于( )A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：让学生从知识，数学思想，方法三方面进行总结。知识：（１）等比数列的
定义。（2）等比数列的通项公式。
数学思想：函数思想，方程思想。
方法：（1）不完全归纳法。（2）叠乘法
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
课本P53
习题2.4
A
组
第1、2题2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。2.4
等比数列（第1课时）（教师版）
一、选择题：
1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝，则公比q＝
( D )
A．－
B．－2
C．2
D．
【答案】D
【解析】 由条件得∵a1≠0，q≠0，∴q3＝，∴q＝.
2．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝
( D )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
【答案】D
【解析】由题意知消去a得4b2－5bc＋c2＝0，∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，
代入a＋3b＋c＝10中解得b＝2，∴a＝－4.
3．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1、2、5项，则q为
( B )
A．2
B．3
C．－3
D．3或－3
【答案】B
【解析】设等差数列为{bn}，则b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由题设(1＋d)2＝1×(1＋4d)，
∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝＝＝3.
4．在等比数列{an}中，＝3，a3＝3，则a5＝
( D )
A．3
B．
C．9
D．27
【答案】D
【解析】∵q＝＝3，a3＝a1q2＝9a1＝3，∴a1＝，∴a5＝a1q4＝27.
5．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为
( C )
A．
B．
C．
D．或
【答案】C
【解析】 ∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.∴＝＝＝.
6．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则
( A )
A．a1＋a8>a4＋a5
B．a1＋a8
C．a1＋a8＝a4＋a5
D．a1＋a8与a4＋a5大小不定
【答案】A
【解析】 由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]
＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．
∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.
7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为
( C )
A．
B．4
C．2
D．
【答案】C
【解析】∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2，故选C．
8．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log
ax，log
bx，log
cx
( C )
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
D．各项的倒数依次成等比数列
【答案】C
【解析】 ＋＝log
xa＋log
xc＝log
x(ac)＝log
xb2＝2log
xb＝
∴，，成等差数列．
二、填空题：
9．在8和5
832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是648.
【答案】648.
【解析】 设公比为q，则8q6＝5
832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.
10．已知在△ABC中，sinA与sinB的等差中项为，等比中项为，则sinC＋sin(A－B)＝或.
【答案】或.
【解析】由题意知∴或
(1)若则A>B，∴cosB＝，∴sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝.
(2)若则>B>A，∴cosB＝，∴sinC＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝.
11．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝3·2n－3.
【答案】an＝3·2n－3.
【解析】 ∵，∴∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.
12．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是－.
【答案】－.
【解析】∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.
三、解答题
13．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝，证明{an}是等比数列，并求出通项公式.
【答案】见解析
【解析】 ∵2an＝3an＋1，∴＝，故数列{an}是公比q＝的等比数列．
又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，即a·()5＝()3.由于数列各项均为负数，则a1＝－.
∴an＝－×()n－1＝－()n－2.
14．已知：数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N
)．
求证：数列{an＋1}是等比数列.
【答案】见解析
【解析】 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N
)．
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4.两式相减
得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，
∴a2＋a1＝2a1＋6.
又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N
.
又∵a1＝5，a1＋1≠0.
从而＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
15．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
【答案】见解析
【解析】
(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
解得从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
16．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N
.
(1)求证：{an－}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：∵an＋1＝an＋，∴an＋1－＝an＋－＝(an－)．
∴＝.∴{an－}是首项为，公比为的等比数列．
(2)解：∵an－＝×()n－1，∴an＝×()n＋2＋.2.4《等比数列》学案（第1课时）
一、学习目标：1理解等比数列的定义,会判断数列是否是等比数列；
2理解等比数列的通项公式的推导思想，
3掌握等比数列的通项公式并能用公式求值，掌握等比中项。
二、自主学习
1．等比数列的定义：如果一个数列从
起，每一项与它的前一项的比等于
，那么这个数列
就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的
，公比通常用表示．即：，则称数列为等比数列．
2．设等比数列的首项是，公比是，则通项式
．
推导：由定义得：
将这个式子的等号两边分别相乘，得：
，
即
3.等比数列的相关性质:
若是等比数列，则；
若是等比数列，，当时，
特别地，当时，
若是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；
两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
三、自我检测
1已知等比数列中，，则=
2.
___________
3
等比数列中，，=，则
_______________-
4
等比数列中，，=，则的等比中项为
________
5已知等比数列中，
6在由正数组成的等比数列中,则_
四、自研自悟；
1、已知数列的通项公式为，试问这个数列是等比数列吗？
2、等比数列
在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。
五、自练自提
1、已知等比数列
2．已知为等比数列，，则的通项公式为
．
3.在等比数列中，，则
4.在等比数列中，
．
5．等比数列中，（1），，求与；（2），，求；
选作；已知数列的前n项和为，求证：是等比数列谈一类递推数列求通项公式的典型方法
除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列求通项的问题.它的基本形式是:已知及递推关系求.其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法.
题目:在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.
解法一:因为,所以,,所以,,所以,数列是公比为的等比数列.又,所以,,将代入上式可得.
[评注]这种方法叫做差分法.即由条件进行递推可得,进一步可得,数列是公比为的等比数列,所以,,再将代入即可求得.
解法二:所给数列对应的特征方程为:,所以,特征根为.因为,所以,,即数列是公比为的等比数列,又,所以,.故.
[评注]:这种方法叫做特征根法,因为,所以满足(叫做此数列对应的特征方程)的存在,由可得,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列或各项均为0,于是再根据条件,所以,.
解法三:设,即与已知对比可得,所以,.所以,可得,即数列是公比为的等比数列或者各项均为0.(下同解法二).
[评注]:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数的值即可得是以为首项,以为公比的等比数列.
以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.(共20张PPT)
2.4
等比数列
（第1课时）
1、等差数列:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.
数学表达式:
2、等差中项：
如果三个数
a，A，b
成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式:
(
n
≥
2，n
∈N
)
（2A=
a+b
）
温故知新
①
下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
，
2
，
4
，
8
，
···
.
情景引入
②“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
现代语言
：一尺长的木棒，每天取它的一
半，永远也取不完。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”，
1
,
···
.
,
,
,
那么，得到的数列是：
(第一轮)
第二轮
病毒制造者
被感染计算机20台
被感染计算机202台
③计算机病毒的传播
每一轮感染的计算机数构成的数列是：
1
,
20
,
202
,
203
,
···
.
邮件接收者
④
银行另一种支付利息的方式——复利
计算本利和的公式是：
本利和
=
本金×（1+利率）存期。
现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，
那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了
下面的数列：
,
,
,
,
.
观察:这四个数列有什么共同特点？
共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的
比等于同一个常数.
①
1
,
2
,
4
,
8
,
···
.
②
1
,
···
.
,
,
,
1
,
20
,
202
,
203
,
···
.
③
,
,
,
,
.
④
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的
比
等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）(
q≠0）
。
注：等比数列的每一项和公比都不能为0。
（
n
≥
2，n
∈N
）
数学表达式：
2、等比中项:
(a、b同号)
如果三个数
a，G，b
成等比数列，那么G叫做a与b的等比
中项.
由
得
3、等比数列的通项公式：
法一：递推法
……
由此归纳等比数列的通项公式可得：
等比数列
等差数列
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
类比
3、等比数列的通项公式：
迭乘法
……
共n
–
1
项
×）
等比数列
法二：迭加法
……
+）
等差数列
类比
3、等比数列的通项公式：
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过
一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期
为多长(精确到1年)
？
解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是a
n.
由条件可得,数列{a
n}是一个等比数列,其中
a1
=
0.84，q
=
0.84，
设a
n
=
0.5，则
0.84
n
=
0.5，
两边取对数,得
n
lg
0.84
=
lg
0.5，
解得
n≈4.
答:这种物质的半衰期大约为4年.
分析:
经过1年剩留量:
0.84
2
0.842
3
0.843
···
···
n
0.84
n
当
n=？时，0.84
n
=
0.5
放射性物质衰变到
原来的一半所需时
间称为这种物质的
半衰期.
例2：根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式。这个数列是等比数列吗？
开始
A=1
n=1
输出A
A=
A
n=n+1
n>5
是
结束
否
解：若将打印出来的数依次记为：
其递推公式为：
由于
因此这个数列是等比数列，其通项公式是
（即A），
···
，
，
由图可得
开始
A=1
n=1
输出A
A=
A
n=n+1
n>5
是
结束
否
例3：一个等比数列的第3项和第4项分别是
12和18，求它的第1项和第2项。
解：设首项为a1，公比为q，则有
解得：
所以
a2
=
8
分析:
2
8
2
0.2
q
4
16
50
0.08
0.0032
2、在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染到多少台计算机？
1.已知
为等比数列，填表
2、解：由题意知，每一轮被感染的计算机台数构成一
个
首项为80，公比为20的等比数列，
则第5轮被感染的计算机台数为：
答：第5轮被感染的计算机台数为：
.
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：
，（n
≥
2，n
∈N）；
2、掌握等比中项的定义.
3、要会推导等比数列的通项公式：
课
堂
小
结
思考:
(1)在等比数列
中,
与
(n>m)之间有什么关系
(2)在等比数列
中，若m,n,r,s∈
N
，且m+n=r+s，
那么，
、
、
、
这些项与项之间满足什么等
量关系？
课后作业；
课本P53
习题2.4
A组
第1、2题。