2.3 等差数列的前n项和(第2课时)
一、学习目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,
2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题,提高应用意识.
二、设计问题,创设情境
复习引入
1.通项公式:
2.求和公式:
3.两个公式中含有五个量,分别是 ,把公式看成方程,能解决几个量
4.Sn是关于n的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值
5.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,如何求数列{an}的通项公式
三、信息交流,揭示规律
1.两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,d,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”.
an=a1+(n-1)d,
2.Sn是关于n的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最值,方法更具有一般性.
Sn= , 有最大值; 有最小值.
3.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an如何求数列{an}的通项公式
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2)
只要两式相减就会得到an=Sn-Sn-1(n≥2),只不过这个表达式中不含有a1,需要单独考虑a1
是否符合an=Sn-Sn-1.
类似于分段函数.
an= ,最后验证是否可以用一个式子来表示.
四、运用规律,解决问题
1.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗
2..已知等差数列5,4,3,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
3..已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数列
五、变式训练,深化提高
1.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项公式an;
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差数列
六、反思小结,观点提炼
参考答案
四、运用规律,解决问题
1.分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的二元一次方程,
然后确定a1与d,从而得到所求前n项和的公式.
解:由题意知S10=310,S20=1220,
将它们代入公式Sn=na1+d,得到
解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6,
所以Sn=4n+×6=3n2+n
这就是说,已知S10与S20可以确定这个数列的前n项和的公式,这个公式是Sn=3n2+n.
2.解:方法一:令公差为d,则d=a2-a1=a3-a2=3-4=-,
所以Sn==-.
又n∈N
,所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值.
方法二:d=a2-a1=a3-a2=3-4=-,
其通项公式为an=5+(n-1)×=-n+.
因为a1=5>0,d=-<0,所以数列{an}的前n项和有最大值.
即有解得即7≤n≤8,又n∈N
,
所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值.
3.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,Sn=n2+n, ①
Sn-1=(n-1)2+(n-1), ②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-,
又当n=1时,2×1-=a1,所以当n=1时,a1也满足an=2n-,
则数列{an}的通项公式为an=2n-(n≥1,n∈N).
这个数列是等差数列,an-an-1==2(这是一个与n无关的常数).
五、变式训练,深化提高
1.解:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,解出a1=3,d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2,
所以当n=2时,Sn取到最大值4.
2.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=,
当n≥2时,Sn=n2+n+1, ① Sn-1=(n-1)2+(n-1)+1, ②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-,
又当n=1时,2×1-≠a1,所以当n=1时,a1不满足an=2n-,
则数列{an}的通项公式为an=
这个数列不是等差数列,a2-a1≠a3-a2=a4-a3=…=2.
六、反思小结,观点提炼等差数列前n项和公式的两个侧重
摘要：本文从在思想方法的角度给出了等差数列前n项和两个公式的侧重点。
关键词：等差数列
思想
前n项和公式
我们知道，教材就等差数列前n项和给出了两个公式：设等差数列的前n项和公式和为，公差为，，则
（公式一）
（公式二）
这两个公式在解决问题时如何使用，下面举例说明。以下,不再说明。
一
侧重于函数方程思想的公式一
1
方程思想：
所谓方程思想就是将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程，通过解决方程来解决问题。
例1
已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.
剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.
解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则
解得
∴S110=110a1+×110×109d=－110.
拓展：观察结构特点，将公式一做如下变形：，在处理问题是会更方便。
例2
如果等差数列的前4项和是2，前9项和是，求其前n项和公式。
解：由变形公式得：
将代入得：
2
函数思想
将，当，数列为常数列；当，则是关于n的二次函数，若令则。此时可利用二次函数的知识解决。
例题3
设等差数列满足，且，则的前多少项的和最大？
解析：思路一：由3
a8=5a13得：d=a1,若前n项和最大，则，
又a1>0得：，∴n=20,即的前20项和最大。这一做法为通法。
思路二：,当且仅当时n最大。
点评：这一做法突显了数列的函数特征。
思路三：
由得,又∵，
∴的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为，故时Sn最大。
点评：这一做法中几乎没有运算，抓住了题目条件，结合数列的函数特性做处理，显得十分巧妙。
二
侧重于等差数列性质的公式二
1
侧重于性质：若则。
有些涉及等差数列前项和的题目，常与等差数列的上述性质融合在一起，将与其他条件进行转换。
例题4
一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（
）
A.
22
B.
21
C.
19
D.
18
解：设该数列有项且首项为，末项为，公差为，则依题意有
结合上述性质可得
代入(3)有
从而有故选D
点评：依题意能列出3个方程，若将作为一个整体，问题即可迎刃而解。在求时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。
2
侧重于等差中项
利用等差中项，可以实施等差数列前项和与其通项的转换：
例题5
在等差数列和中，它们的前项和分别为，且，则的值是多少？
分析：利用等差中项建立起等差数列前项和与其通项的联系是解决本题的关键。
解析：第3节
等差数列的前n项和
【思维导图】
【微试题】
1.
已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为
( )
A．4
B.
C．－4
D．－
【答案】A
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（ ）
A.
8
B.
10
C.
12
D.
14
【答案】C
3.
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
4.
(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和Tn.
【答案】（1）当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为130；（2）Tn＝
【解析】解：(1)方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
∴a13＝0，即当n≤12时，
an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为
S13＝S12＝12×20＋×＝130.
方法二 同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋·
＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈N
，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
方法三 同方法一得d＝－.
又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或13时，Sn有最大值.且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.
令
由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.则Tn＝＝2.3
等差数列的前n项和（第2课时）
一、教学目标：
1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前
项和的公式研究。
2、通过等差数列前n项和的公式应用，体会数学的逻辑性
3、通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列前n项和公式的性质.
教学难点：等差数列前n项和公式的性质及函数与方程的思路.
三.
教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
六、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
一、温故知新，提出问题1.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？这就是本节我们探究的主要问题．
学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：探究点1. 已知数列{an}的前n项和Sn求an例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1)，可知，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－
①当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.由此可见：数列{an}是以为首项，公差为2的等差数列．探究点二 等差数列前n项和的最值思考1 将等差数列前n项和Sn＝na1＋d变形为Sn关于n的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答 由于Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，所以当d≠0时，Sn为关于n的二次函数，且常数项为0.思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？答 由二次函数的性质可以得出：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．另外，数列作为特殊的函数，则有(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值；特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．例2 已知等差数列5,4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．解 由题意知，等差数列5,4，3，…的公差为－，所以Sn＝5n＋(－)＝－(n－)2＋.于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．另解：an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×＝－n＋.an＝－n＋≤0，解得n≥8，即a8＝0，a9<0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．
教师引导，学生观察，分析，比较，并推导出等差数列的中项性质。反思与感悟:（1）已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．（2）等差数列的前n项和Sn一定是关于n的且没有常数项的二次()或一次函数().反思与感悟：在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是：找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．
培养学生分析，抽象能力、感受等差数列的中项性质发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
四、性质应用、讲练结合1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n+1，求an.解 当n＝1时，a1＝S1＝；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n+1－[(n－1)2＋(n－1)+1]＝2n－.当n＝1时代入an＝2n－得a1＝≠.∴an＝.2 在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a1
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化公式的理解和应用。并能灵活应用性质并体会方程与函数的思想方法。
课堂练习①一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。②差数列{}中,
＝－15,
公差d＝3,
求数列{}的前n项和的最小值。
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：①前n项和为，其中p、q、r为常数，且，一定是等差数列，该数列的②差数列前项和的最值问题有两种方法:
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
课本P46
习题2.3
B
组
第2、3、4题2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。等差数列的前n项和说课稿
《等差数列的前n项和》，内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第二章第三节。本节共分两个课时。我说课的内容是第一课时。下面我将从背景分析、教学目标、方法手段、教学过程及教学评价五个方面来阐述我对这节课的教学认识。
一、背景分析
1．在教材中的地位与作用
等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。
2．重点、难点
重点：等差数列前n项和公式的理解、推导、应用及它与二次函数之间的联系。
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
3．学生的知识与能力
学生已经学习了等差数列的通项公式和性质等有关内容。
学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到,要着重引导。
二、教学目标
从以上的分析考虑，“以知识为载体、注重学生的能力、良好的意志品质及合作学习的精神培养”是本教学设计中要贯穿始终的一个重要教学理念，为此本课的教学目标设定如下：
1、知识与技能
（1）理解等差数列前n项和的定义以及等差数列前n项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；
（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求；等差数列前n项和的两个公式涉及五个量，已知其中三个量求另两个量；
（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
2、过程与方法
（1）通过对历史上有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.
3、情感与价值观
(1)通过对数列知识的进一步学习，不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；
（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感,形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
三、方法手段
1.教学方法
采用自主观察，合作探究的教学模式进行教学.
教学中注重引导学生观察与思考,总结与发现，培养学生发现规律的能力。
2.学法指导
在教学过程中，我将指导学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标
3.教学媒体
（1）常规媒体（黑板）。
（2）多媒体展示。
四、教学程序设计
分为五个阶段：①复习巩固；②情景导入；③新知探究；④应用探究；⑤课堂小结、作业。具体过程如下：
复习巩固
前面我们学习了等差数列，了解了等差数列的一些简单性质，请同学们回顾一下：等差数列的定义：等差数列的通项：等差数列的性质：特别地：若为等差数列，一定有
设计意图：（1）复习巩固前面所学知识，同时为本节内容的学习作一些知识上的准备。（2）特别地，对于与首末距离相等的两项的和相等的回顾必不可少，这为后面推导等差数列前n项和公式做了充分的准备。
二、情景导入
问题1：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10
.
问共有多少根圆木？（学生一般能很快准确回答，肯定的同时提出问题2，一方面使问题得到延续的同时，也引出了高斯算法）问题2：你能快速算出1+2+3+…+100吗？（当学生真正体会了高斯算法后再提出问题3）问题3：你能应用高斯算法计算1+2+3+…+n的结果吗？（学生分组讨论，展示做法）●有的同学可能直接按照高斯的算法：（1+n）+(
2+n-1)
+(3+n-2)+……
但不知道数的个数是偶数还是奇数，不一定能恰好都配成对。●有的同学可能根据上面解法存在的问题，对n
进行分类讨论：n
为偶数：……
n
为奇数：……
●最后交流出最佳方法：由
1
+
2
+
…
+
n-1
+
n
n
+
n-1
+
…
+
2
+
1
（n+1）+（n+1）+
…
+（n+1）+（n+1）从而初步总结出推导等差数列前n项和的一般方法：倒序相加法。强调：高斯算法本质就是倒序相加法。
设计意图：其目的是引出高斯算法，与高斯的故事，与学生产生共鸣的同时也激发了学生继续学习的兴趣。设计意图：巩固高斯算法同时也引出了倒序求和法。为后面作了一定的铺垫。
三、新知探究合作展示
探究1：等差数列前n项和公式【合作探究】●借此东风，引领学生合作交流，推导出等差数列前n项和
可请同学们先根据1+2+
…
+n-1+
n
来推测一下
有的同学肯定会推测出来：
然后鼓励一下，再让学生分组合作交流，推导出来
……思路1：
用两种方法表示
①
把上式的次序反过来又可
②由①+②，得 =由此得到等差数列的前n项和的公式思路2：同样把反过来写一次，直接利用前面复习过的等差数列的性质直接相加也可以得到上面的结果。接着请同学们把
把代入中，看能得到什么：得：
公式巩固：根据下列条件求相应的等差数列的前n项和。（1）（2）（3）探究2：等差数列前n项和公式与关于n的函数关系。引导学生观察公式：的特点（可由学生自主观察归纳，教师总结便于学生记忆。）特别地，对于第二个公式可能让学生继续探究它是一个关于n的什么函数关系？（学生能较快回答）接着我将提出问题：一个等差数列的前n项和公式与关于n的二次函数之间到底是一个什么样的关系呢？问题：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【分析】这是一个关于前n项和的逆向问题，想一想的关系，然后列出，看到它们的关系，就会直接得到了。【点评】（1）引领学生总结出已知前n项和，求通项公式的方法；（2）用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的.（3）
变式：若求通项公式，并判断它是否为等差数列？（有了前面问题的探究，学生能较快的得到通项，可能有少部分学生把通项合并，可让学生相互交流相互点评）【深入探究】结合此例思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。所以得到：（1）如果一个数列前n项和
的常数项r不为0，则这个数列一定不是等差数列.（2）如果一个数列前n项和中常数项r为0，则这个数列一定是等差数列.
通过以上对等差数列前n项和公式的两步探究，学生就已经较好的掌握了公式的形式及结构。同时培养了学生的探究能力与探索精神。
设计意图：展示探究成果，让学生体会收获的喜悦，同时引导学生思考前n项和能否用基本量来表示呢？这样就顺其自然的得到了另一个公式。设计意图：训练学生运用公式的能力和计算能力。设计意图：培养学生的观察能力与函数的思想，从而引发学生质疑，引出对于下面问题的思考。设计意图：进一步探究前n
项和公式与关于
n的函数关系。同时，让学生体会与通项的关系。设计意图：培养学生严谨的学习态度，强调对的处理。
四、应用探究拓展延伸
例1.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
【分析】对于应用问题，首先应仔细阅读、审清题意。然后，抽象、提炼出相关数据，并分析出它们的本质关系，把实际问题转化为相应的数学问题……
【点评】通过此题引领学生逐步按照下列步骤来进行：⑴先阅读题目；⑵引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型；⑶写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？【分析】最直接的思路是利用方程思想：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前n项和的公式.【引领学生探讨其他解法】——总结出解决数列基本问题的几种常用的思想方法：【另法一】可求出所以从而代入①得：【另法二】由问题.2的探索知等差数列的前n项和可表示为利用待定系数法可求出结果（在这里，也可看成是运用了函数思想）
设计意图：建立数学模型的思想
五、课堂小结作业
知识线：（1）等差数列前
项和的定义；
（2）等差数列前
项和公式；（3）相关的等差数列的性质。思想方法线：（1）待定系数法；
（2）方程思想；（3）整体思想；（4）函数思想；（5）分类讨论的思想。题目线：（1）利用等差数列的通项公式、前
项和公式解决关于前
项和的基本问题；（2）利用等差数列的通项公式、前
项和公式解决上述问题的逆向问题；（3）实际问题；（4）相关的综合问题。作业：习题2.3
A组
第2题、第3题
五、评价设计
1、本节课在“等差数列前n项和公式”的猜想与推导过程中，充分利用类比推理，使学生体会这种从特殊到一般的推理过程，过程中让学生积极参与、相互交流与合作，让学生感受到参与快乐与收获成果的喜悦。同时在公式的应用过程中让学生体会构造方程与解方程的思想。
2、在教学中始终本着“教师是课堂教学的组织者，引导者、合作者”的原则，让学生通过观察思考类比、自主探究、合作交流从而收获新知识。
3、在教学中充分的培养学生的观察能力，分析能力、推理能力及应用能力
最后结论：
数列是等差数列等价于(共22张PPT)
2.3
等差数列的前n项和
性质与应用
一.等差数列的前n项和的性质探究
温故知新
（
为常数）那它是不是等差数列呢？
，
是一个不含常数项的二次函数式.
，
是一个常数列，
（
为常数）那它又是不是等差数列呢？
如果
，则有
（
为常数）那它是不是等差数列呢？
(n≥2)
不是等差数列,从第二项起等差。
与上式不符，所以有
（
为常数）那它又是不是等差数列呢？
归纳小结
注意：运用此公式要注意首项的合写与分写
归纳小结
解:
练习
:已知数列
前n项和
求证：
为等差数列；
例2:已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式.
解：由题设：
得：
法一：
二.等差数列前n项和公式的求法
另用待定系数法即可确定系数,可得前n项和的公式.
解:设
代入公式有,
解得,
点评：对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有
些题而言选择适当的公式可以简化求解的计算量.
将
例2:已知一个等差数列的前10项的和是310，
前20项的和是1220，求其前n项和的公式.
三.两种求等差数列前n项和最值的方法
确定
确定
解法一：
例3、在等差数列{an}中
解法二：
例3、在等差数列{an}中
(1)解:
四.等差数列前n项和的综合问题
(2)解:
四.等差数列前n项和的综合问题
例5.已知两个等差数列{an},{bn}，
它们的
前n项和分别是Sn,Tn，若
例6:已知数列
前n项和
记数列
的前项和为
求
的表达式
s
例6:已知数列
前n项和
记数列
的前项和为
求
的表达式
1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
2、结合二次函数图象和性质求
的最值.
课
堂
小
结
课后作业
1.课本P406习题2.3
B
组
第2、3、4
题
2.配套练习2.3
等差数列的前n项和公式（第2课时）（教师版）
一、选择题：
1．已知某等差数列共有21项，其奇数项之和为352，偶数项之和为320，则a11＝
( D )
A．0
B．－32
C．64
D．32
【答案】D
【解析】解法1：a11＝S奇－S偶＝352－320＝32.故选D．
解法2：a11＝＝＝32.故选D．
解法3：a11＝＝32.
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是
( B )
A．21
B．20
C．19
D．18
【答案】B
【解析】由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，
所以当n＝20时Sn最大．
3．等差数列{an}中，S16>0，S17<0，当其前n项和取得最大值时，n＝
( B )
A．16
B．8
C．9
D．17
【答案】B
【解析】 ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，
∴a8＋a9>0；又S17＝17a9<0，∴∴前8项之和最大．
4．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为
( B )
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】 解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝d，∴an＝－d＋(n－1)d＝nd－d，由，
得，∴5解法二：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，
∴前六项之和S6取最大值．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为
( A )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】 ∵a5＝5，S5＝15
∴＝15，∴a1＝1.∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.则数列{}的前100项的和为：
T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
6．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为
( B )
A．11
B．19
C．20
D．21
【答案】B
【解析】 ∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，∵<－1，∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0.
7．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于
( C )
A．12
B．16
C．9
D．16或9
【答案】C
【解析】 an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180得n<13且n∈N
，
由n边形内角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9∵n<13，∴n＝9.
8．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是
( D )
A．a8
B．a9
C．a10
D．a11
【答案】D
【解析】 S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
9．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是
( C )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
【答案】C
【解析】 由S50，由S6＝S7知a7＝0，由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5
即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．
10．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于
( A )
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】 ∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，
二、填空题：
11．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝8时，{an}的前n项和最大.
【答案】8
【解析】 由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S9[点评] 等差数列{an}中首项a1>0公差d<0，{an}是一个递减的等差数列，前n项和有最大值，a1<0，
公差d>0，{an}是一个递增的等差数列，前n项和有最小值．
12．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N
.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为110.
【答案】110.
【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20.∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.
13．等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为5或6.
【答案】n＝5或n＝6
【解析】∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，∴S11＝＝0，
根据二次函数图象的性质，由于n∈N
，所以当n＝5或n＝6时Sn取最大值．
三、解答题
14．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】 (1)依题意，即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③将③分别代入②①，得，解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
15．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数.
【答案】见解析
【解析】 解法1：设此数列的首项a1，公差d，项数2k(k∈N
)．
根据题意，得，即∴，解得.
由S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝.∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
解法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N
)，
根据题意，得即
∴解得∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
[点评] 注意整体思想的运用．在等差数列综合问题求解过程中，经常需要设出某些量，但实际解答过程中，并不需要求出这些量，而是利用等差数列及其和的性质，整体代换消去，向已知量转化，以简化解题过程．解法1运用整体思想解答比解法2显得简捷．
16．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
【答案】见解析
【解析】 (1)设{an}的首项，公差分别为a1，d.
则
解得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)＝(n－)2－，
∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值为－18.
[点评] 由于(2)问不仅求何时取到最小值，还问最小值是多少，故应当用Sn讨论以减少运算量．
17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】见解析
【解析】 (1)设等差数列{an}的首项为a，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，∴a－1＝4n(n＋1)，∴bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.(共15张PPT)
等差数列的性质
等
差
数
列
等差数列的定义
定义
注意事项
等差数列的通项
推导
累加法
等差中项
概念
性质
典题剖析
题型一：等差数列的简单判定
题型二：等差中项的应用
例2：在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
题型三：等差数列的推理与证明
技巧传播
技巧传播
陷阱规避
陷阱一
陷阱二
陷阱三
【易错典例】
等差数列
学利网
www.
定义
通项
项
性质
(i)公差d是由后项减前项而得,不能用前项减后项得到,
不能隔项相减得到
(i)对于数列an},必须每一项都满足an-an1=d(与n
无关的数或字母),n≥2,n∈N,此数列才是等差数列,d为
公差.否则不是
等差数列的通项:①an=a1+(n-1)d,②an=an+(n-m)d
通项推导:若一等差数列{an}的首项是a,公差是d,则据其定义可得
d
等式左右两端相加变形得:an=a1+(n-1)d
这种方法叫做累加法
等差数列的性质
d的计算方法:0a=an-an1;②d=;d=n-a
n-1
atb
2.等差中项:G
a,G,b成等差数列
3.等差数列的性质
{an}为等差数列,m,n,p,q∈N,若m+n→p+q,则am+an1=an+ag
解析
d=5-8=-3
得
d=-9-(5)=-4,得a
-1)=-4n
题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得:401=4n-1成
解得
100即401是这个数列的第
点拨:紧扣等差数列定
理解等差数列的本质含义
解析
成等差数
与7的等差中项
的等差
点拨:等差中项所体现的
又c是3与7的等差中项
是等差数列的对称性
该数列
解析】取数
中任意两项an和an1(
D=p
无关的常数,所
是等差数
点拨:只需证明前一项与后一项的差
并且
是一个与n无关的常数即可
四个数成等差数列可设
d
3d或
atd
2d,
a+3d
3.在等差数
首项a1与公差d是两个最基本的元素;有
关等差数
题,如果条件与结论间的联系
则均可
成有关a1、d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变
形及整体计算,以减少计算
陷阱:掉入命题人命制的计算陷阱,用单一思维解题,计算繁
杂,出现计算错误
克服方法:充分利用等差中项、等差数列的对称性、公差的多
种求法解题,诚少计算量
陷阱:等差数列的通项是一个离散型函数关系,误认为是连续
性函数关系
·克服方法:深刻理解离散型和连续性函数的异同