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等差数列的性质
等
差
数
列
等差数列的定义
定义
注意事项
等差数列的通项
推导
累加法
等差中项
概念
性质
典题剖析
题型一:等差数列的简单判定
题型二:等差中项的应用
例2:在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列.
题型三:等差数列的推理与证明
技巧传播
技巧传播
陷阱规避
陷阱一
陷阱二
陷阱三
【易错典例】
等差数列
学利网
www.
定义
通项
项
性质
(i)公差d是由后项减前项而得,不能用前项减后项得到,
不能隔项相减得到
(i)对于数列an},必须每一项都满足an-an1=d(与n
无关的数或字母),n≥2,n∈N,此数列才是等差数列,d为
公差.否则不是
等差数列的通项:①an=a1+(n-1)d,②an=an+(n-m)d
通项推导:若一等差数列{an}的首项是a,公差是d,则据其定义可得
d
等式左右两端相加变形得:an=a1+(n-1)d
这种方法叫做累加法
等差数列的性质
d的计算方法:0a=an-an1;②d=;d=n-a
n-1
atb
2.等差中项:G
a,G,b成等差数列
3.等差数列的性质
{an}为等差数列,m,n,p,q∈N,若m+n→p+q,则am+an1=an+ag
解析
d=5-8=-3
得
d=-9-(5)=-4,得a
-1)=-4n
题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得:401=4n-1成
解得
100即401是这个数列的第
点拨:紧扣等差数列定
理解等差数列的本质含义
解析
成等差数
与7的等差中项
的等差
点拨:等差中项所体现的
又c是3与7的等差中项
是等差数列的对称性
该数列
解析】取数
中任意两项an和an1(
D=p
无关的常数,所
是等差数
点拨:只需证明前一项与后一项的差
并且
是一个与n无关的常数即可
四个数成等差数列可设
d
3d或
atd
2d,
a+3d
3.在等差数
首项a1与公差d是两个最基本的元素;有
关等差数
题,如果条件与结论间的联系
则均可
成有关a1、d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变
形及整体计算,以减少计算
陷阱:掉入命题人命制的计算陷阱,用单一思维解题,计算繁
杂,出现计算错误
克服方法:充分利用等差中项、等差数列的对称性、公差的多
种求法解题,诚少计算量
陷阱:等差数列的通项是一个离散型函数关系,误认为是连续
性函数关系
·克服方法:深刻理解离散型和连续性函数的异同2.3
等差数列的前n项和公式(教师版)
一、选择题:
1.等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=14.记Sn=a1+a2+a3+…+an,则S13=
( D )
A.168
B.156
C.152
D.286
【答案】D
【解析】 ∵,∴,∴,∴S13=13a1+d=286.
2.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,则数列{an+bn}的前100项的和为
( C )
A.0
B.4475
C.8950
D.10
000
【答案】C
【解析】设cn=an+bn,则c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,{cn}是等差数列,
∴前100项和S100===8950.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=170,则a7+a9+a11的值为
( D )
A.10
B.20
C.25
D.30
【答案】D
【解析】∵S17=17a9=170,∴a9=10,∴a7+a9+a11=3a9=30.
4.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是
( C )
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】C
【解析】设等差数列为{an},公差为d,则,
∴5d=15,∴d=3.
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=
( A )
A.1
B.-1
C.2
D.
【答案】A
【解析】==×=1.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于
( C )
A.12
B.18
C.24
D.42
【答案】C
【解析】∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴2(S4-S2)=S2+S6-S4,
∴2(10-2)=2+S6-10,∴S6=24.
7.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是
( C )
A.S7
B.S8
C.S1
D.S15
【答案】C
【解析】 ∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,∴S13==13a7为常数.
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于
( A )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】据等差数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9仍成等差数列.
设S3=k,则S6=3k,S6-S3=2k,∴S9-S6=3k,S12-S9=4k,
∴S9=S6+3k=6k,S12=S9+4k=10k,∴==.
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=
( C )
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C
【解析】本题考查数列的前n项和Sn与通项an的关系及等差数列的定义.
Sm-Sm-1=am=2,Sm+1-Sm=am+1=3,∴d=am+1-am=3-2=1.
Sm=a1m+·1=0,①
am=a1+(m-1)·1=2,∴a1=3-m.②
②代入①得3m-m2+-=0,∴m=0(舍去),m=5,
二、填空题:
10.已知数列{an}的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=-.
【答案】-.
【解析】 ∵an=-5n+2,∴an-1=-5n+7(n≥2),∴an-an-1=-5n+2-(-5n+7)=-5(n≥2).
∴数列{an}是首项为-3,公差为-5的等差数列.∴Sn===-.
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=24.
【答案】24
【解析】∵S9==72,∴a1+a9=16,即a1+a1+8d=16,
∴a1+4d=8,又a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=3(a1+4d)=3×8=24.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O),则S200=100.
【答案】100
【解析】∵=a1+a200,且A、B、C三点共线,∴a1+a200=1,∴S200==100.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则S3等于14.
【答案】14
【解析】 对于Sn=2an-2,当n=1时,有a1=2a1-2,解得a1=2;当n=2时,有S2=2a2-2,即a1+a2=2a2-2,所以a2=a1+2=4;当n=3时,有S3=2a3-2,即a1+a2+a3=2a3-2,所以a3=a2+a1+2,又a1=2,a2=4,则a3=8,所以S3=2a3-2=14.
三、解答题
14.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8.求:
(1)数列{an}的首项a1和公差d;
(2)数列{an}的前10项和S10的值.
【答案】见解析
【解析】 (1)根据题意,得解得
(2)S10=10a1+d=10×8+×(-2)=-10.
15.设{an}是等差数列,前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求通项an;
(2)若Sn=242,求n的值.
【答案】见解析
【解析】 (1)设公差为d,则a20-a10=10d=20,∴d=2.∴a10=a1+9d=a1+18=30,
∴a1=12.∴an=a1+(n-1)d=12+2(n-1)=2n+10.
(2)Sn===n2+11n=242,∴n2+11n-242=0,∴n=11.
16.一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.
【答案】见解析
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+d.
由已知得①×10-②整理得d=-,代入①得,a1=,
∴S110=110a1+d=110×+×=110
=-110.
17.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,
求数列{}的前n项和Tn.
【答案】见解析
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d.
∵S7=7,S15=75,∴,即,
解得a1=-2,d=1.
∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),∵-=,
∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为,∴Tn=n2-n.等差数列前n项和公式的两个侧重
摘要:本文从在思想方法的角度给出了等差数列前n项和两个公式的侧重点。
关键词:等差数列
思想
前n项和公式
我们知道,教材就等差数列前n项和给出了两个公式:设等差数列的前n项和公式和为,公差为,,则
(公式一)
(公式二)
这两个公式在解决问题时如何使用,下面举例说明。以下,不再说明。
一
侧重于函数方程思想的公式一
1
方程思想:
所谓方程思想就是将题目条件运用前n项和公式,表示成关于首项a1和公差d的两个方程,通过解决方程来解决问题。
例1
已知{an}为等差数列,前10项的和S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.
剖析:方程的思想,将题目条件运用前n项和公式,表示成关于首项a1和公差d的两个方程.
解析:设{an}的首项为a1,公差为d,则
解得
∴S110=110a1+×110×109d=-110.
拓展:观察结构特点,将公式一做如下变形:,在处理问题是会更方便。
例2
如果等差数列的前4项和是2,前9项和是,求其前n项和公式。
解:由变形公式得:
将代入得:
2
函数思想
将,当,数列为常数列;当,则是关于n的二次函数,若令则。此时可利用二次函数的知识解决。
例题3
设等差数列满足,且,则的前多少项的和最大?
解析:思路一:由3
a8=5a13得:d=a1,若前n项和最大,则,
又a1>0得:,∴n=20,即的前20项和最大。这一做法为通法。
思路二:,当且仅当时n最大。
点评:这一做法突显了数列的函数特征。
思路三:
由得,又∵,
∴的图象是开口向下的抛物线上的点列,对称轴恰为,故时Sn最大。
点评:这一做法中几乎没有运算,抓住了题目条件,结合数列的函数特性做处理,显得十分巧妙。
二
侧重于等差数列性质的公式二
1
侧重于性质:若则。
有些涉及等差数列前项和的题目,常与等差数列的上述性质融合在一起,将与其他条件进行转换。
例题4
一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于(
)
A.
22
B.
21
C.
19
D.
18
解:设该数列有项且首项为,末项为,公差为,则依题意有
结合上述性质可得
代入(3)有
从而有故选D
点评:依题意能列出3个方程,若将作为一个整体,问题即可迎刃而解。在求时,巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用,来源于对知识系统的深刻理解。
2
侧重于等差中项
利用等差中项,可以实施等差数列前项和与其通项的转换:
例题5
在等差数列和中,它们的前项和分别为,且,则的值是多少?
分析:利用等差中项建立起等差数列前项和与其通项的联系是解决本题的关键。
解析:2.3
等差数列的前n项和
一、教学目标:
知识技能目标:1.掌握等差数列前n项和公式;
2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式.
过程与方法:
1.通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法;
2.
通过公式的运用体会方程的思想。
情
感
态
度:
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.
二、教学重点难点:
教学重点:等差数列前n项和公式的推导和应用.
教学难点:在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.
三、教学策略及设计
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入,通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的思路,同时,借助多媒体的直观演示,帮助学生理解,师生互动、讲练结合,从而突出重点、突破教学难点。
四.
教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式.
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节:(如下图)
指导思想:就是从特殊到一般,由具体到抽象,类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法,然后引导学生认识和熟记公式并活应用,同时在应用过程中体会方程的思想方法。
四、教学过程:
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识,引入新知归纳抽象形成概念比较分析,深化认识
温故知新,提出问题1.明确数列前n项和的定义,开门见山确定本节课中心任务:对于数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用sn表示,记
sn=a1+a2+a3+…+an,如
S1
=a1,
S7
=a1+a2+a3+……+a7
学生回答,引导温故知新。
由复习引入,通过数学知识的内部发现问题。
二、问题牵引,探究发现问题1:(播放媒体资料情景引入)印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗?即:
S100=1+2+3+······+100=?著名数学家高斯小时候就会算,闻名于世,那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢?请同学们思考高斯方法的特点,适合类型和方法本质。同学们讨论后发言总结:(高斯用的是偶数个相加时首尾配对,变不同数的加法运算为相同数的乘法运算大大提高效率。)特点:
首项与末项的和:
1+100=101,
第2项与倒数第2项的和:
2+99
=101,
第3项与倒数第3项的和:
3+98
=101,
·
·
·
·
·
·第50项与倒数第50项的和:
50+51=101,于是所求的和是:
101×50=5050。1+2+3+
······
+100=
101×50
=
5050探索与发现1:第1层到21层一共有多少颗圆宝石呢?即计算S21=1+2+3+
······
+21的值,在这个过程中让学生发现当项数为奇数时,首尾配对出现了问题,通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法,为引出倒序相加法做铺垫。动画演示:假如再给你同样多的珠宝,在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢?把“全等三角形”倒置,与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为21个,共21行。有什么启发?
1+
2
+
3
+
……
+20
+2121
+
20
+
19
+
……
+
2
+1S21=1+2+3+…+21=(21+1)×21÷2=231探索与发现2:第5层到12层一共有多少颗圆宝石?(动画演示帮助学生体会出方法)S8=5+6+7+8+9+10+11+12=问题2:等差数列1,2,3,…,n,
…
的前n项和怎么求?
即:sn
=1+2+3+……+n
问题3:对于一般的等差数列{an}首项为a1,公差为d,它的前n项和公式Sn如何推导呢?
即:
=a1+a2+a3+……+an∴(1)+(2)可得:2∴(公式一)公式变形:将代入可得:(公式二)归纳小结、公式的认识与理解:1、两个公式的认识:
(公式一)(公式二)
教师引导,学生观察,分析,比较,并推导出等差数列的中项性质。【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出任意项数的等差数列求和都可用倒序相加法,确立倒序相加的思想和方法!【设计意图】进一步强化倒序相加法的理解和运用,为一般的等差数列求和打基础。【设计意图】学生在前面的探究的基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的前n项和公式,从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导,同时也复习等差数列的通项公式和基本性质。【设计意图】帮助学生类比联想,拓展思维,增加兴趣,强化记忆。
培养学生分析,抽象能力、感受等差数列的中项性质发现和推导过程。
培养学生善于联想,体会知识间的内在联系,从而加深对等差数列及其性质的理解。
四、公式应用、讲练结合1、练一练:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
:(1)a1=5,an=95,n=10解:500(2)a1=100,d=-2,n=50
解:2、例题1:2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.
据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少 解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列{an}是一个等差数列,其中
a1=500,
d=50那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为答:
从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。3、例题2:已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗?解:法1:由题意知
,代入公式得:
解得,
引导学生共同分析解决问题,熟悉并强化公式的理解和应用。【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。例题2法2:由题意知
,代入公式得:,即,②①得,,故由得故【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。
课堂练习练习1:在等差数列{an}中,a1=20,
an=54,sn
=999,求n.解:由解n=27练习2:
已知{an}为等差数列,,求公差。解:由公式得
即d=2
学生分组讨论自主探究,教师巡视指导,作出评价。【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想(化归到首项和公差)。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题,培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结:1、倒序相加法求和的思想及应用;2、等差数列前n项和公式的推导过程;3、掌握等差数列的两个求和公式,;
4、前n项和公式的灵活应用及方程的思想。
引导学生学会自己总结,让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
课本P40
习题2.2
A组
第4,5,B
组
第2题2.配套练习
六、作业布置:(一)书面作业:1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15,
an
=-10,求a1及sn。2.在a,b之间插入10个数,使它们同这两个数成等差数列,求这10个数的和。(二)课后思考:思考:等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢 【设计意图】通过布置书面作业巩固所学知识及方法,同时通过布置课后思考题来延伸知识拓展思维。
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
附:板书设计
等差数列的前n项和
数列前n项和的定义:等差数列前n项和公式的推导:公式的认识与理解:公式一:公式二:
四:例题及解答:
议练活动:
一、教材分析
1.教学内容:
本节课是高中人教A版必修5第二章第三节第一课时的内容。主要研究等差数列的前n项和公式的推导及其简单应用。
2.地位与作用
本节课是前面所学知识的延续和深化,又是后面学习“等比数列及其前n项和”的基础和前奏。学好了本节课的内容,既能加深对数列有关概念的理解,又能为后面学好等比数列及数列求和提供方法。同时还蕴涵着深刻的数学思想方法(倒序相加法、数形结合、方程思想),因此“等差数列的前n项和”无论是在《数列》这一章中还是在高中数学中都有极为重要的位置,具有承上启下的重要作用。
二、学情分析
1.知识基础:
高二年级学生已学习了数列及等差数列有关基础知识,并且在初中已了解特殊的数列求和及小高斯的故事。
2.认知水平与能力:
高二学生已初步具有抽象逻辑思维能力,能在教师的引导下独立地解决问题。
3.
学生特点:
平行班里有不少学生基础不差且思维较活跃,能带动其它学生积极学习,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。第3节
等差数列的前n项和
【思维导图】
【微试题】
1.
已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为
( )
A.4
B.
C.-4
D.-
【答案】A
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( )
A.
8
B.
10
C.
12
D.
14
【答案】C
3.
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】D
4.
(1)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【答案】(1)当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为130;(2)Tn=
【解析】解:(1)方法一 ∵a1=20,S10=S15,
∴10×20+d=15×20+d,∴d=-.
∴an=20+(n-1)×=-n+.
∴a13=0,即当n≤12时,
an>0,n≥14时,an<0,
∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为
S13=S12=12×20+×=130.
方法二 同方法一求得d=-.∴Sn=20n+·
=-n2+n=-2+.
∵n∈N
,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
方法三 同方法一得d=-.
又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
∴当n=12或13时,Sn有最大值.且最大值为S12=S13=130.
(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,
∴an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21.
所以数列{an}是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列.
令
由①得n<6;由②得n≥5,所以n=6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列,而|a7|=a7=4×7-24=3.则Tn==2.3 等差数列的前n项和(第1课时)
一、学习目标
1.掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
2.了解等差数列前n项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
3.能用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前n项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.
二、设计问题,创设情境
问题1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.
我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发
三、信息交流,揭示规律
1.公式推导
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,Sn=a1+a2+a3+…+an= ,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用a1和d表示,得
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
有以下等式a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=…,
问题是一共有多少个,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:上面的等式其实就是a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,为回避个数问题,
做一个改写Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1,两式左右分别相加,
得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),
2Sn=n(a1+an)
于是有.这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得2Sn=n[a1+a1+(n-1)d],于是Sn=na1+d.
综合思路二和思路三得到了两个公式: 和 .
四、运用规律,解决问题
1.求和:(1)101+100+99+98+97+…+64;
(2)2+4+6+8+…+2n(结果用n表示).
2.等差数列2,4,6,…中前多少项的和是9900
3.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少
五、变式训练,深化提高
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=6,a4=8,求公差d.
2.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若满足an=an-1+2(n≥2),且S3=9,求首项a1.
六、反思小结,观点提炼
参考答案
二、设计问题,创设情境
1.“1+2+3+4+…+100= ”
三、信息交流,揭示规律
1.a1+[a1+(n-1)d] Sn= Sn= Sn=na1+d
四、运用规律,解决问题
1.解:(1)101,100,99,98,97,…,64可以看做是一个首项为101,公差为-1的等差数列,
由等差数列的通项公式,可得64=101+(n-1)(-1),解得n=38,
于是Sn==3135.另外也可用公式Sn=na1+d来求解,Sn=38×101+×(-1)=3135.
(2)2+4+6+8+…+2n可以看做是等差数列{2n}的前n项和,
则Sn==n2+n,另外可运用公式Sn=na1+d来求解.
2.解:由题知,等差数列首项a1=2,公差d=2,由Sn=na1+d,得2n+×2=9900,即n2+n-9900=0,
解得n=-100(舍去),或n=99,所以等差数列2,4,6,…中的前99项的和是9900.
3.解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.
所以,可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中a1=500,d=50.
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为S10=10×500+×50=7250(万元)
答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
五、变式训练,深化提高
1.解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,∵S3=6,即a1+a2+a3=6∴a2=2.∵a4=8,∴8=2+2d,∴d=3.
2.解:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2(n≥2),
∴等差数列{an}的公差是2.由S3=3a1+×2,即3a1+6=9,解得a1=1.(共38张PPT)
2.3
等差数列的前n项和
a1+a2+…+an
温故知新
等差数列的前n项和
创设情景,探究新知
归纳小结
1.等差数列前n项和的有关计算
例题解析
跟踪训练
2.已知Sn求通项公式an
例题解析
跟踪训练
3.等差数列前n项和的性质
例题解析
跟踪训练
等差数列前n项和的最值
例题解析
答案:B
当堂检测
答案:C
课
堂
小
结
课后作业
1.课本P40
习题2.2
A组
第4,5,
B
组
第2题
2.配套练习
题型四
第步审结论一明解题方向→第2步审条件一挖解题信息→篇③步建联系—找解题突破口
巴为接下来该怎么办
老师,上面这个
哇噻,三步解题
题给指点一下
y》法轻松拿下!