2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，
重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。设计流程如下:
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识
复习引入；首先回忆一下上节课所学主要内容：（1）．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d
，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
(2)．等差数列的通项公式：
(或=pn+q
(p、q是常数))(3)．有几种方法可以计算公差d
①
d=－
②
d=
③
d=
学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、新课学习：问题1：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A
，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列探究1. 等差数列的常用性质设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq.(2)若m＋n＝2k(m，n，k∈N
)，则am＋an＝2ak.
请你给出证明．
教师引导，学生观察，分析，比较，并推导出等差数列的中项性质。
培养学生分析，抽象能力、感受等差数列的中项性质发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
3、运用性质，解决问题。例1.在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想例
2.
在等差数列{}中，若+=9,
=7,
求
,
.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……P44例2问：已知数列{}是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？（3）是否成立？？你又能得到什么结论？探究：已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为
；②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为
的等差数列；③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为
的等差数列；④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为
；⑤数列{λan＋μbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为
.
引导学生共同分析解决问题，强化对等差数列性质的理解和应用。例1.解 ∵a1＋a4＋a7＝(a1＋a7)＋a4＝3a4＝39，∴a4＝13，∵a2＋a5＋a8＝(a2＋a8)＋a5＝3a5＝33.∴a5＝11，∴d＝a5－a4＝－2.∵a3＋a6＋a9＝(a3＋a9)＋a6＝2a6＋a6＝3a6＝3(a5＋d)＝3(11－2)＝27.教师引导学生回答，作出评价
课堂练习1.在等差数列中，已知，，求首项与公差2.
在等差数列中,
若
求3.正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：1．成等差数列2．在等差数列中，
m+n=p+q
(m,
n,
p,
q
∈N
)
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
课本P40
习题2.2
A组
第4，5，B
组
第2题2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
复习引入
讲解范例
2
等差数列的性质发现
讲解范例
1,2,3
课堂小结(共29张PPT)
等差数列（第二课时）
等差数列的性质
温故知新
想一想
若am＋an＝ap＋aq，则一定有m＋n＝p＋q吗？
提示：不一定．若{an}是常数列，不一定有m＋n＝p＋q.
归纳小结
⑵如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28
D．35
解析：选C.∵a3＋a4＋a5＝12，
∴3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
A
C
跟踪训练
2.（1）
2.（2）
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
合作探究
探究点二
三项数列问题
①若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d.
②若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
③若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
名师点睛
1．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数
y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个
（
）
A．0
B．1
C．2
D．1或2
跟踪训练
解析：由于2b＝a＋c，
则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
2．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
跟踪训练
跟踪训练
跟踪训练
名师点睛
跟踪训练
课
堂
小
结
课后作业
1.课本P40
习题2.2
A组
第4，5，
B
组
第2题
2.配套练习(共15张PPT)
等差数列的性质
等
差
数
列
等差数列的定义
定义
注意事项
等差数列的通项
推导
累加法
等差中项
概念
性质
典题剖析
题型一：等差数列的简单判定
题型二：等差中项的应用
例2：在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
题型三：等差数列的推理与证明
技巧传播
技巧传播
陷阱规避
陷阱一
陷阱二
陷阱三
【易错典例】
等差数列
学利网
www.
定义
通项
项
性质
(i)公差d是由后项减前项而得,不能用前项减后项得到,
不能隔项相减得到
(i)对于数列an},必须每一项都满足an-an1=d(与n
无关的数或字母),n≥2,n∈N,此数列才是等差数列,d为
公差.否则不是
等差数列的通项:①an=a1+(n-1)d,②an=an+(n-m)d
通项推导:若一等差数列{an}的首项是a,公差是d,则据其定义可得
d
等式左右两端相加变形得:an=a1+(n-1)d
这种方法叫做累加法
等差数列的性质
d的计算方法:0a=an-an1;②d=;d=n-a
n-1
atb
2.等差中项:G
a,G,b成等差数列
3.等差数列的性质
{an}为等差数列,m,n,p,q∈N,若m+n→p+q,则am+an1=an+ag
解析
d=5-8=-3
得
d=-9-(5)=-4,得a
-1)=-4n
题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得:401=4n-1成
解得
100即401是这个数列的第
点拨:紧扣等差数列定
理解等差数列的本质含义
解析
成等差数
与7的等差中项
的等差
点拨:等差中项所体现的
又c是3与7的等差中项
是等差数列的对称性
该数列
解析】取数
中任意两项an和an1(
D=p
无关的常数,所
是等差数
点拨:只需证明前一项与后一项的差
并且
是一个与n无关的常数即可
四个数成等差数列可设
d
3d或
atd
2d,
a+3d
3.在等差数
首项a1与公差d是两个最基本的元素;有
关等差数
题,如果条件与结论间的联系
则均可
成有关a1、d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变
形及整体计算,以减少计算
陷阱:掉入命题人命制的计算陷阱,用单一思维解题,计算繁
杂,出现计算错误
克服方法:充分利用等差中项、等差数列的对称性、公差的多
种求法解题,诚少计算量
陷阱:等差数列的通项是一个离散型函数关系,误认为是连续
性函数关系
·克服方法:深刻理解离散型和连续性函数的异同2.2.2 等差数列的性质
一、学习目标
在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.
合作学习
二、设计问题,创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质 又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢
三、信息交流,揭示规律
1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.
(1)2,( ),4;
(2)-12,( ),0;
(3)a,( ),b.
2.等差中项定义
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做a与b的等差中项.
符号表示:2A=a+b A= .
【思考】(1)在等差数列{an}中,是否有2an+1=an+an+2成立 等差数列又可以怎么叙述
从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.
(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.
3.等差数列的性质
问题1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.
性质1:若数列{an}是等差数列,公差为d.若d>0,则{an}是递增数列;若d<0,
则{an}是递减数列;若d=0,则{an}是常数列.
问题2:探究等差数列{an}中任意两项an,am之间的关系.它们之间的关系可表示为 .
由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:an=am+(n-m)d
公差的另一种表示:d=,
性质2:an=am+(n-m)d,d=.
问题3:在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq一定成立吗 特别地,m+n=2k,则am+an=2ak成立吗
性质3:在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
四、运用规律,解决问题
4.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗 证明你的结论.
5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求数列{an}的通项公式.
五、变式训练,深化提高
6.三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.
7.已知a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.
六、反思小结,观点提炼
参考答案
三、信息交流,揭示规律；
1.(1)3 (2)-6 (3)
2.问题1:略
问题2:an=am+(n-m)d
分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项公式.
解:由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,得
am=a1+(m-1)d.
an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
即等式成立.
问题3:am+an=ap+aq一定成立;当m+n=2k时,am+an=2ak成立.
四、运用规律,解决问题
4.证明:取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n>1),
求差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p,
它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列.
5.解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,由此得到a4=5.又∵a2·a4·a6=45,∴a2a6=9,
即(a4-2d)(a4+2d)=9,∴(5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.
当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3;
当d=-2时,an=a4+(n-4)d=13-2n.
五、变式训练,深化提高
6.解:设这三个数分别为x-d,x,x+d.
则解得；∴相应地,所求三个数为3,5,7或7,5,3.
7.证明:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),
∴b+c,c+a,a+b成等差数列.
说明:如果a,b,c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a,b,c成等差数列,
常改证2b=a+c成立.斐波那契数列
斐波那契数列
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )（Fibonacci
sequence），又称黄金分割
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda
Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )的方法定义：F(0)=1，F(1)=1,
F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N
）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列指的是这样一个数列
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
55,
89,
144,
233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
自然中的斐波那契数列
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（Leonardo
Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨
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"欢迎登陆21世纪教育网 )。他被人称作“比萨的列昂纳多
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"欢迎登陆21世纪教育网 )”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber
Abacci）一书。他是第一个研究了印度
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"欢迎登陆21世纪教育网 )和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及
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"欢迎登陆21世纪教育网 )、叙利亚
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )、希腊、西西里
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )和普罗旺斯
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )等地研究数学。
通项公式
编辑
( javascript:; )
递推公式
斐波那契数列：1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
55,
89,
144,
...
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N
），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)
显然这是一个线性递推数列
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )。
通项公式
(如上，又称为“比内公式”，是用无理数
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )表示有理数的一个范例。)
注：此时
通项公式推导
方法一：利用特征方程（线性代数
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )解法）
线性递推数列
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )的特征方程
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )为：
解得
则
∵
∴
解得
方法二：待定系数法
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )构造等比数列
( http: / / www.21cnjy.com"
\t
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )1（初等代数
( http: / / www.21cnjy.com"
\t
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )解法）
设常数 ，
.使得
则 ，
时，有
……
联立以上n-2个式子，得：
∵
，
上式可化简得：
那么
……
（这是一个以 为首项、以 为末项、
为公比的等比数列
( http: / / www.21cnjy.com"
\t
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )的各项的和）。
，
的解为
则
方法三：待定系数法
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )构造等比数列
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )2（初等代数解法）
设
得 构造方程
解得 ，所以
由(1)(2)式得
化简可得
方法四：母函数法。
对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那么有S(x)
(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2
x][1-(1+√5)/2
x].
因此S(x)=(1/√5)
{x/[1-(1+√5)/2
x]-x/[1-(1-√5)/2
x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)
{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)
{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}
与黄金分割
关系
有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到后面，这些比值越接近黄金比.
证明
两边同时除以
得到： 若
的极限存在，设其极限为x，
则
。所以
解得 所以极限是黄金分割比。
特性
平方与前后项
从第二项开始，每个奇数
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )项的平方
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )都比前后两项之积多1，每个偶数
( http: / / www.21cnjy.com"
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )项的平方都比前后两项之积少1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
与集合子集
斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 ){1,2,...,n}中所有不包含
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )相邻正整数
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的子集
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"欢迎登陆21世纪教育网 )个数。
奇数项求和
偶数项求和
平方求和
隔项关系
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)
[
n〉m≥-1，且n≥1]
两倍项关系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
应用
生活斐波那契
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。合并图册(2张)
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"欢迎登陆21世纪教育网"
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合并图册(2张)
斐波那契数与植物花瓣3………………………
百合和蝴蝶花5……………………
蓝花耧斗菜、金凤花
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"欢迎登陆21世纪教育网 )、飞燕草、毛茛花8………………………
翠雀花13………………………
金盏和玫瑰21……………………
紫宛34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
黄金分割
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的数值0.6180339887..…
杨辉三角
将杨辉三角
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"欢迎登陆21世纪教育网 )左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m)
(m<=n-1-m)
质数数量
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个连续的数中有且只有一个被2整除，
每4个连续的数中有且只有一个被3整除，
每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，
每7个连续的数中有且只有一个被13整除，
每8个连续的数中有且只有一个被21整除，
每9个连续的数中有且只有一个被34整除，
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契数列的素数无限多吗？
尾数循环
斐波那契数列的个位数：一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。
自然界中“巧合”
斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间
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"欢迎登陆21世纪教育网 )（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数
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"欢迎登陆21世纪教育网 )0.618033989……的倒数
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"欢迎登陆21世纪教育网 )，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。
数字谜题
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件
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"欢迎登陆21世纪教育网 )是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段
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"欢迎登陆21世纪教育网 )就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数
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"欢迎登陆21世纪教育网 )1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码
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"欢迎登陆21世纪教育网 )》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题
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"欢迎登陆21世纪教育网 )~在FOX热播美剧《Fringe
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"欢迎登陆21世纪教育网 )》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。
推广
斐波那契—卢卡斯数列
卢卡斯
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"欢迎登陆21世纪教育网 )数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n)
=
f(n-1)+
f(n-2）。
卢卡斯数列的通项公式为
f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）
L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
斐波那契数列F(n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
卢卡斯数列L(n)
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F(n)
L(n)
1
3
8
21
55
144
377
987
2584
6765
…
类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列
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"欢迎登陆21世纪教育网 )。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,4]n
1
4
5
9
14
23
37
60
97
157
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F[1,4]n-F[1,3]n
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,4]n+F[1,3]n
2
7
9
16
25
41
66
107
173
280
…
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,1](n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，
斐波那契数列：|1
1-1
2|=|2
2-1
3|=|3
3-2
5|=|5
5-3
8|=|8
8-5
13|=…=1
卢卡斯数列：|3
3-1
4|=|4
4-3
7|=…=5
F[1，4]数列：|4
4-1
5|=11
F[2，5]数列：|5
5-2
7|=11
F[2，7]数列：|7
7-2
9|=31
斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例
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"欢迎登陆21世纪教育网 )最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2
2-1
5|=|5
5-2
12|=…=1（该类数列的这种特征值
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"欢迎登陆21世纪教育网 )称为勾股特征）。
佩尔
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"欢迎登陆21世纪教育网 )数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n)
=
f(n-1)
p
+
f(n-2)
q，称为广义斐波那契数列。
当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )有关的数列集合）。
当p=2，q=-1时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征
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"欢迎登陆21世纪教育网 )）。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。
当f1=1，f2=2，p=2，q=0时，我们得到等比数列
( http: / / www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网 )1，2，4，8，16……
相关数学
排列组合
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是（1/√5)
{[(1+√5)/2]^(10+2)
-
[(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。
求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式
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"欢迎登陆21世纪教育网 )
由数学归纳法
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"欢迎登陆21世纪教育网 )可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
兔子繁殖问题
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契
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"欢迎登陆21世纪教育网 )以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列
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"欢迎登陆21世纪教育网 )”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
幼仔对数
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
成兔对数
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
总体对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数
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"欢迎登陆21世纪教育网 )的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)
{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
数列与矩阵
对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
对于以下矩阵
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"欢迎登陆21世纪教育网 )乘法
F(n+1)
=
11
F(n)
F(n)
10
F(n-1)
它的运算就是右边的矩阵
11乘以矩阵
F(n)
得到：10
F(n-1)
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
设矩阵A=1
1
迭代n次可以得到：F(n+1)
=A^(n)
F(1)=
A^(n)
1
1
0
F(n)
F(0)
0
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。
另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数)
=
A^(n/2)
A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。
因此可以用递归的方法求得答案。
数列值的另一种求法：
F(n)
=
[
((
sqrt
(
5
)
+
1
)
/
2)
^
n
]
其中[
x
]表示取距离
x
最近的整数。
斐波那契弧线
斐波那契弧线，也称为斐波那契扇形线。第一，此趋势线
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"欢迎登陆21世纪教育网 )以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%，
50%和61.8%的无形垂直线交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
要注意的是弧线的交叉点
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"欢迎登陆21世纪教育网 )和价格曲线会根据图表数值范围而改变，因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。
词条图册更多图册
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"欢迎登陆21世纪教育网 )
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"欢迎登陆21世纪教育网 )时间周期理论是股价涨跌的根本原因之一，它能够解释大多数市场涨跌的奥秘。在时间周期循环理论中，除了利用固定的时间周期数字寻找变盘点之外，还可以利用波段与波段之间的关系进行研究。但无论如何寻找变盘点，斐波那契数列都是各种重要分析的基础之一，本文将简单阐述斐波那契数列及其与市场的关系。
工具/原料
步骤/方法
斐波那契数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现。数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数奇异数。具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233等，从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。而斐波那契数列中相邻两项之商就接近黄金分割数0.618，与这一数字相关的0.191、0.382、0.5和0.809等数字就构成了股市中关于市场时间和空间计算的重要数字。
大到整个宇宙空间到小到分子原子，从时间到空间，从自然到人类社会，政治、经济、军事等，各种现象中的规律都能找到斐波那契数的踪迹。世界著名建筑如巴黎圣母院、埃菲尔铁塔、埃及金字塔等均能从它们身上找到0.618的影子。名画、摄影、雕塑等作品的主题都在画的0.618处。报幕员站在舞台的0.618处所报出的声音最为甜美、动听。人的肚脐眼是人体长度的0.618位置，人的膝盖是从脚底到肚脐眼长度的0.618。战争中0.618的运用也是无所不在，小到兵器的制造、中到排兵布阵到战争时间周期的运用，相传拿破仑大帝即败于黄金分割线。
在金融市场的分析方法中，斐波那契数字频频出现。例如，在波浪理论中，一轮牛市行情可以用1个上升浪来表示，也可以用5个低一个层次的小浪来表示，还可继续细分为21个或89个小浪；在空间分析体系中，反弹行情的高度通常是前方下降趋势幅度的0.382、0.5、0.618；回调行情通常是前方上升趋势的0.382、0.5和0.618。
斐波那契数列在实际操作过程中有两个重要意义：
第一个实战意义在于数列本身。本数列前面的十几个数字对于市场日线的时间关系起到重要的影响，当市场行情处于重要关键变盘时间区域时，这些数字可以确定具体的变盘时间。使用斐波那契数列时可以由市场中某个重要的阶段变盘点向未来市场推算，到达时间时市场发生方向变化的概率较大。
图1综合指数（1A0001）2009年7月29日—12月31日日线图
如图1所示，综合指数（1A0001）2009年8月4日的3478点到2009年9月1日阶段低点2639点的时间关系是21个交易日，2009年9月1日的阶段低点2639点到2009年9月18日的高点3068点是13个交易日的时间，到2009年9月29日的低点2712点是21个交易日，到2009年10月23日的高点3123点的时间是34个交易日，到2009年11月24日的年度次高点3361点的时间是55个交易日。
图2综合指数（1A0001）2009年7月10日—12月31日周线图
如图2所示，综合指数（1A0001）2009年8月4日的高点3478点到2009年9月4日2639点的运行时间是5周；2009年9月4日的低点2639点到2009年11月27日反弹高点3361点的时间是13周。
第二个实战意义在于本数列的衍生数字是市场中纵向时间周期计算未来市场变盘时间的理论基础。这组衍生数列分别是：1.236、1.309、1.5、1.618、1.809、2、2.236、2.382、2.5等一系列与黄金分割0.618相关的数字。
在使用神奇数列时主要有六个重要的时间计算方法：
第一、通过完整的下跌波段时间推算未来行情上涨波段的运行时间。
第二、通过完整的上涨波段时间推算未来行情下跌波段的运行时间。
这两种比例关系就像生活中我们经常见到的作用力与反作用的关系，乒乓球垂直掉到地面的高度决定乒乓球触击地面以后反弹的高度是同样的道理。
第三、通过上升波段中第一个子波段低点到高点的时间推算本上升波段最终的运行时间。
第四、通过下降波段中第一子波段高点到低点的时间推算本下跌波段最终的运行时间。
这两种比例关系就像生活中我们经常见到的推动力与惯性的关系，当古代弓箭的弓与弦被拉开的距离直接决定了未来箭向前飞行的距离。
第五、通过本上升波段中第一子波段的两个相邻低点的时间推算未来上升波段的最终运行时间。
第六、通过下降波段中第一子波段的两个相邻高点的时间推算本下跌波段最终的运行时间。这两种比例关系就像生活中我们经常见到的建筑物地基宽度影响未来高度一样重要。在材质相同的情况下，地基宽度越大，未来高度越高。
5在这六种重要的时间计算方法中最为重要的就是计算过程中实际使用的参数，利用不同的参数会得到不同的答案，而使用过程中几乎所有的重要参数都与斐波那契数列有关。由于篇幅原因，这里先埋个伏笔，我会在以后的文章中为股民朋友详细阐述计算方法。2.1.2数列的通项公式与递推公式（教师版）
一、选择题：
1．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝
( )
A．22
B．23
C．24
D．25
【答案】A
【解析】∵数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0，∴ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d.解得k＝22.故选A.
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于
( )
A．－1
B．1
C．3
D．7
【答案】B
【解析】 ∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
故选B．
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝
( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】 在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3；
又a2＋a4＋a6＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a3＋a4＝8.
故选D．
4．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝
( )
A．2
B．23
C．2
D．21
【答案】B
【解析】 由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－，所以数列{an}为首项a1＝15，公差d＝－的等差数列，
所以an＝15－(n－1)＝－n＋，则由ak·ak＋1<0得ak>0，ak＋1<0，令an＝－n＋＝0得n＝，
所以a23>0，a24<0，所以k＝23，故选B．
5．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于
( )
A．120
B．105
C．90
D．75
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，
即(a2－d)(a2＋d)＝16，∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
故选B．
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于
( C )
A．0
B．37
C．10
D．－37
【答案】C
【解析】∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．
又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，
∴{an＋bn}的公差为0，∴数列{an＋bn}的第37项为100.
故选C．
7．下列命题中正确的个数是
( )
(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；
(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；
(3)若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列；
(4)若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】 对于(1)取a＝1，b＝2，c＝3 a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错．
对于(2)，a＝b＝c 2a＝2b＝2c，(2)正确；对于(3)，∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b.∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正确；
对于(4)，a＝b＝c≠0 ＝＝，(4)正确，综上选B．
点评; 等差数列的性质;
(1)等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．
即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝……
(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q)为常数
(3){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
8.
设{an}是等差数列．下列结论中正确的是
( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
【答案】C
【解析】先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若0
0，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3 a2>，选C．
二、填空题：
9．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝
.
【答案】18
【解析】 解法1：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，
∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.
∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.
解法2：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
10．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝
【答案】15
【解析】 ∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，
∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.
11．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝
.
【答案】
【解析】设两个等差数列的公差分别为d1，d2，由已知，得即
解得＝，即＝＝.
12．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为
.
【答案】15.
【解析】设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，则＝－，
解得a＝10，三边长分别为6,10,14.所以S△ABC＝×6×10×＝15.
三、解答题
13．已知等差数列{an}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式.
【答案】2n－12.
【解析】由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，又∵a3a7＝－12，
∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.
∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.
14．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，
求此四个数.
【答案】见解析
【解析】设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，
(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94 2a2＋10d2＝47.①
又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18 8d2＝18 d＝±代入①得a＝±，故所求四数为8,5,2，－1
或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.
15．设数列{an}是等差数列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
【答案】见解析
【解析】 ∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.