【人教B版】2017-2018高中数学选修2-2课时作业全套（36份打包，Word版，含解析）

第一章　§1.4　课时作业12
一、选择题
1．如右图所示，f(x)dx＝(　　)
A．S1＋S2＋S3
B．S1－S2＋S3
C．－S1＋S2－S3
D．－S1－S2＋S3
解析：由定积分的几何意义f(x)≥0时，f(x)dx表示面积S，当f(x)≤0，f(x)dx＝－S.故选C.
答案：C
2．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝(　　)
A.
2
B.
－3
C.
－1
D.
4
解析：[2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
答案：C
3．一物体的运动速度v＝2t＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：即求(2t＋1)dt，可由几何意义求解，
s＝＝4，故选A.
答案：A
4．定积分xdx与dx的大小关系是(　　)
A.
xdx＝dx
B.
xdx>dx
C.
xdxD.
无法确定
解析：由定积分的几何意义
结合右图可知xdx答案：C
二、填空题
5．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成图形(如图所示)的面积写成定积分的形式是________．
解析：由定积分定义可知：S＝∫0sinxdx.
答案：∫0sinxdx
6．若[f(x)＋g(x)]dx＝3，[f(x)－g(x)]dx＝1，则2g(x)dx＝________.
解析：2g(x)dx＝[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝[f(x)＋g(x)]dx－[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.
答案：2
7．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx，先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为__________．
解析：因为0≤f(x)≤1，且由定积分的定义知：
f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴围成图形的面积．
又产生的随机数对在如下图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N个数对，即N个点．
而满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，
所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，
即f(x)dx＝.
答案：
三、解答题
8．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；
(2)6x2dx；
(3)(3x2－2x3)dx.
解：(1)3x3dx＝3x3dx＝3(x3dx＋x3dx)＝3×(＋)＝12；
(2)6x2dx＝6x2dx＝6(x2dx＋x2dx)＝6×(＋)＝126；
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝7－＝－.
9．计算－3(－x3)dx的值．
解：如图，
由定积分的几何意义，得－3dx＝＝，－3x3dx＝0.
由定积分的性质，得－3(－x3)dx
＝－3dx－－3x3dx＝.第二章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和都是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A.
仅①②
B.
①③④
C.
①②④
D.
仅②④
解析：合情推理包括归纳推理和类比推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．归纳推理，应是由部分对象的特征，推出全部对象的特征．②④都具备此特征，①是类比推理，③中仅有一个同学的成绩，并不能推出全班同学的成绩，故选C.
答案：C
2．下列有关三段论推理“凡是自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是(　　)
A．推理正确
B．推理形式错误
C．大前提错误
D．小前提错误
解析：三段论中的大前提、小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．
答案：A
3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面__________．”(　　)
A．各正三角形内一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.
答案：C
4．已知命题p1为真命题，命题p2为假命题，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∨p2和q4：p1∧( p2)中，真命题是(　　)
A.
q1，q3
B.
q2，q3
C.
q1，q4
D.
q2，q4
解析：由复合命题的真值表知，q1：p1∨p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：( p1)∨p2为假，q4：p1∧( p2)为真，故真命题是q1，q4，故选C.
答案：C
5．用反证法证明：若a≥b>0，则＋2－a≤＋2－b的假设为(　　)
A.
＋2－a<＋2－b　　
B.
＋2－a≥＋2－b
C.
＋2－a>＋2－b　　
D.
＋2－a≤＋2－b
解析：易知“≤”的对立面为“>”．故选C.
答案：C
6．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝1，则可归纳出{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
解析：由an＋1＝和a1＝1得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝＝.归纳上述结果，得到猜想：an＝.
答案：A
7．如下图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，第4次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2010次互换座位后，小兔所坐的座位号为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2010＝4×502＋2，所以第2010次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上，应选B.
答案：B
8．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)
A.
n2
B.
nn
C.
2n
D.
22n－2
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，
x＋＝x＋≥4，…，
可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：B
9．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N
)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是(　　)
A.
16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1
B.
4×42k＋9×3k
C.
(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1
D.
3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1
解析：当n＝k时，式子为42k－1＋3k＋1，则n＝k＋1时，式子为42k＋1＋3k＋2＝42×42k－1＋3×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.故选A.
答案：A
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是(　　)
A．Sn＝n2
B．Sn＝n3
C．Sn＝n4
D．Sn＝n(n＋1)
解析：当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
答案：B
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数，又是正方形数的是(　　)
A．289
B．1024
C．1225
D．1378
解析：根据图形的规律可知，第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n2，由此可排除选项D(1378不是平方数)，将选项A，B，C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知，符合题意的是选项C，故选C.
答案：C
12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图(1)所示，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图(2)所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　)
A．2(AB2＋AD2＋AA)
B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．4(AB2＋AD2＋AA)
D．4(AB2＋AD2)
解析：如图，连A1C1，AC，
则四边形AA1C1C是平行四边形，
故A1C2＋AC＝2(AA＋AC2)．
连BD，B1D1，
则四边形BB1D1D是平行四边形，
∴BD＋DB＝2(BB＋BD2)．
又在 ABCD中，
AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，AA＝BB，
∴AC＋BD＋CA＋DB
＝2(AA＋AC2)＋2(BB＋BD2)
＝2(AC2＋BD2＋BB＋AA)
＝2[2(AB2＋AD2)＋2AA]
＝4(AB2＋AD2＋AA)．
故选C.
答案：C
二、填空题
13．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
解析：观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)
不等式右侧分别为，k＝1,2，…，
∴f(2n)>(n≥2)．
答案：f(2n)>(n≥2)
14．若符号“
”表示求实数a与b的算术平均数的运算，即a
b＝，则a＋(b
c)用含有运算符号“
”和“＋”表示的另一种形式是________．
解析：a＋(b
c)＝a＋＝＝＝(a＋b)
(a＋c)．
答案：(a＋b)
(a＋c)
15．观察下图：
1
2　3　4
3　4　5　6　7
4　5　6　7　8　9　10
…
则第__________行的各数之和等于20112.
解析：观察知，图中的第n行的各数构成一个首项为n，公差为1，共(2n－1)项的等差数列，其各项和为：
Sn＝(2n－1)n＋＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2.
令(2n－1)2＝20112，得2n－1＝2011.
∴n＝1006.
答案：1006
16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：(1)自反性；对于任意a∈A，都有a～a；(2)对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c.
则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：______________________________________________________.
答案：“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”(答案不唯一)
三、解答题
17．(10分)观察右图，可以发现：
1＋3＝4＝22，
1＋3＋5＝9＝32，
1＋3＋5＋7＝16＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，
……
由上述具体事实能得出怎样的结论？
解：将上述事实分别叙述如下：
对于正整数，有
前2个奇数的和等于2的平方；
前3个奇数的和等于3的平方；
前4个奇数的和等于4的平方；
前5个奇数的和等于5的平方；
……
由此猜想：前n(n∈N
)个连续奇数的和等于n的平方，即1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
18．(12分)[2012·江苏高考]已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N
，bn＋1＝·，n∈N
，且{an}是等比数列，求证：an＝a1，n∈N
.
证明：∵an>0，bn>0，∴≤a＋b<(an＋bn)2，∴1)
设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q＝1：
若q>1，则a1＝logq时，an＋1＝a1qn>，与(
)矛盾；
若0a2>1，∴当n>logq时，an＋1＝a1qn<1，与(
)矛盾．
综上所述，q＝1，从而an＝a1，n∈N
.
19．(12分)有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
证明：(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；
(2)假设n＝k(k∈N
)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；
那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
20．(12分)如图所示，已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点．求证：HG⊥EF.
证明：连结HE，HF，由CF⊥AB，且H是BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线，所以HF＝BC.
同理可证HE＝BC.
所以HF＝HE，从而△EHF为等腰三角形．
又G为EF的中点，所以HG⊥EF.
21．(12分)设等比数列{an}的通项公式为an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N
)，证明：对任意的n∈N
，不等式··…·>成立．
证明：依题意得bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n，
则＝，
所以··…·＝···…·.
下面用数学归纳法证明不等式···…·>成立．
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，即···…·>，那么，当n＝k＋1时，
···…··>·
＝＝
＝>.
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)可知，不等式对任意的n∈N
都成立，即不等式··…·>成立．
22．(12分)[2014·大纲全国卷]函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：解：(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.
①当10，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；
若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0,
f(x)在(a2－2a,0)是减函数；
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函数．
②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函数．
③当a>2时，若x∈(－1,0)，则f′(x)>0，f(x)在(－1,0)是增函数；
若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2a)是减函数；
若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函数．
(2)由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0,
即ln(x＋1)>(x>0)．
又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0,3)是减函数．
当x∈(0,3)时，f(x)下面用数学归纳法证明①当n＝1时，由已知②设当n＝k时结论成立，即当n＝k＋1时，
ak＋1＝ln(ak＋1)>ln(＋1)>＝，
ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln(＋1)<＝，
即当n＝k＋1时有根据①、②知对任何n∈N
结论都成立．第一章　§1.2　课时作业4
一、选择题
1．下列结论正确的个数为(　　)
①y＝ln
2，则y′＝；
　②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2;
　④y＝log2x，则y′＝.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
2．曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标是(　　)
A.
B.或
C.
D.
解析：y′＝′＝－，由－＝－4，解得x＝±.
所以P点的坐标为或，故选B.
答案：B
3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标(　　)
A.
(0,0)
B.
(0,1)
C.
(1,0)
D.
以上都不是
解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x(　　)
A.
在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快
B.
在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢
C.
在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快
D.
以上都不对
解析：函数的导数表示函数的增长速度，
由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.
若2x>2即x>1时f(x)增长速度比g(x)增长速度快，
若2x<2即x<1时f(x)比g(x)增长速度慢，
在x＝2时两者增长速度相同．
故选D.
答案：D
二、填空题
5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
解析：∵(10x)′＝10xln10,
∴f′(1)＝10ln10.
答案：10ln10
6．曲线y＝x2的垂直于直线x＋y＋1＝0的切线方程为________．
解析：∵y′＝2x，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，所以2x＝1，x＝，代入y＝x2得y＝，即与直线x＋y＋1＝0垂直的曲线y＝x2的切线的切点坐标为(，)，故所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案：4x－4y－1＝0
7．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为__________．
解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.
∴an＝lg
.
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg
＋lg
＋…＋lg
＝lg(××…×)＝lg
＝－2.
答案：－2
三、解答题
8．求抛物线y＝x2过点(，6)的切线方程．
解：设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0.
又∵此切线过点(，6)和点(x0，x)，∴＝2x0.
由此x0应满足x－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)和(3,9)．
∴所求切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得4x－y－4＝0,
6x－y－9＝0.
9．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，试求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝lnx，∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，
∴
把k＝代入①式得
y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.第一章　§1.3　课时作业6
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A.
y＝sin2x
B.
y＝xex
C.
y＝x3－x
D.
y＝－x＋ln(1＋x)
解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
答案：A
3．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(π，2π)
B．(0，π)
C．(，π)
D．(0，)
解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos2x，x∈(0，π)，
∴f′(x)＝－2sin2x.
令f′(x)>0，则sin2x<0.
又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π，即答案：C
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)
解析：由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
答案：D
二、填空题
5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．
解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
答案：(－∞，－)∪(1，＋∞)
6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为__________．
解析：∵f′(x)＝，由f′(x)＝<0，得x<－1或答案：(－∞，－1)
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)　(－1,0)
三、解答题
8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
证明：函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
9．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．
(1)求a，b的值：
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0.
故有，
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1，
∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．第三章　§3.2　课时作业25
一、选择题
1．[2013·湖南高考]复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解析：z＝i＋i2＝－1＋i的对应点为(－1,1)，此点位于第二象限，故选B.
答案：B
2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A．2
B．－2
C．－
D.
解析：法一：＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.
法二：＝为纯虚数，
所以a＝2，故选A.
答案：A
3．[2014·安徽高考]设i是虚数单位，
表示复数z的共轭复数.
若z＝1＋i，则＋i·＝(　　)
A．－2
B．－2i
C．2
D．2i
解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝(－i＋1)＋i＋1＝2.
答案：C
4．[2012·课标全国卷]下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2,
p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i,
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为(　　)
A.
p2，p3
B.
p1，p2
C.
p2，p4
D.
p3，p4
解析：z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题；＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．[2012·上海高考]计算：＝________(i为虚数单位)．
解析：＝＝＝1－2i.
答案：1－2i
6．若n∈N
，则()4n＋()4n＝__________.
解析：∵()4＝i2＝－1，
()4＝(－i)2＝－1，
∴()4n＋()4n＝(－1)n＋(－1)n.
(1)当n是奇数时，原式＝－2.
(2)当n是偶数时，原式＝2.
答案：
7．若z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根，则实数a，b的值分别为__________，__________.
解析：把z＝i－1代入方程z2＋az＋b＝0，
得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，即
解得a＝2，b＝2.
答案：2　2
三、解答题
8．计算＋()2014＋.
解：原式＝＋()1007＋＝i＋(－i)1007＋＝i＋i＋0＝2i.
9．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴∴m＝4.∴a＝4i.第二章　§2.2　课时作业18
一、选择题
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证法
解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．
答案：B
2．欲证－<－成立，只需证(　　)
A.
(－)2<(－)2
B.
(－)2<(－)2
C.
(＋)2<(＋)2
D.
(－－)2<(－)2
解析：A中，－<0，－<0平方后不等价；B、D与A情况一样；只有C项，－<－ ＋<＋ (＋)2<(＋)2.故选C.
答案：C
3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的(　　)
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．必要不充分条件
解析：∵A>B a>b sinA>sinB(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A 1－2sin2B>1－2sin2A sin2B∴A>B cos2B>cos2A.故选C.
答案：C
4．已知a、b、c、d为正实数，且<，则(　　)
A.
<<
B.
<<
C.
<<
D.
以上均可能
解析：先取特值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B、C不正确．
要证<，∵a、b、c、d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.
故A正确，B、C、D不正确．
答案：A
二、填空题
5．设n∈N，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系是________．
解析：要比较－与－的大小，即判断(－)－(－)
＝(＋)－(＋)的符号，
∵(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)<0，
∴－<－.
答案：a6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．
解析：p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，(当且仅当a＝3时取“＝”)
－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，
∴q<22＝4≤p.
答案：p>q
7．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a<2－，而2－≥2－＝，∴a<.
当n为奇数时，a>－2－，而－2－<－2，
∴a≥－2.综上可得－2≤a<.
答案：[－2，)
三、解答题
8．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证法一：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0
a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
证法二：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证a3＋b3－a2b－ab2>0，
即证(a－b)2(a＋b)>0.
∵a>0,
b>0,
∴a＋b>0，
又∵a≠b,
∴(a－b)2>0，
∴(a－b)2(a＋b)>0成立．
∴原不等式成立．
9．证明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则<.
证明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.
要证<，
只需证即证b2－ac<3a2.
因为b＝－a－c,
故只需证(a＋c)2－ac<3a2,
即证2a2－ac－c2>0,
即证(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0成立．
∴原不等式成立．第一章　§1.3　课时作业7
一、选择题
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，
∴f(x)>f(a)≥0.
答案：A
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是(　　)
解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.
答案：A
3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则(　　)
A．b2－4ac>0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：∵f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∴Δ＝4b2－12ac≤0.
∴b2－3ac≤0.
答案：D
4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝，
∵当x<0时，F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．
又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.
∴当x<－3时，F(x)<0；
当－30.
又F(x)为奇函数，
∴当0当x>3时，F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－答案：－6
6．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.
答案：[，＋∞)
7．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
答案：[1，)
三、解答题
8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解：解法一：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
设函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立 t≥g(－1)，即t≥5.
而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是[5，＋∞)．
解法二：由题意得f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t，
则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝(－1)2－1，
所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈[，1]．
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.第一章　§1.3　课时作业10
一、选择题
1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为(　　)
A.
5分米
B.
6分米
C.
7分米
D.
8分米
解析：设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．
答案：D
2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元
B．60元
C．28000元
D．23000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11700P－166000，
所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.
令L′(P)＝0，解得P＝30，或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．
答案：D
3．[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为(　　)
A.
d，d
B.
d，d
C.
d，d
D.
d，d
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，
由题意知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0解得x＝d或x＝－d(舍去)．
当00；
当d因此，当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．
综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．
答案：C
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　　)
A.
B.
C.
D．2
解析：
如右图，设底面边长为x(x>0)
则底面积S＝x2，
∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2.
S′表＝x－，令S′表＝0，x＝.
∵S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
答案：C
二、填空题
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知502×100＝k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：25
7．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0y′＝－＋20＝.
∴当0当150.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10　15000
三、解答题
8．[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100
km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解：设火车的速度为x
km/h，甲、乙两城距离为a
km.
由题意，令40＝k·203，∴k＝，
则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a(kx2＋)．
∴f(x)＝a(x2＋)(0由f′(x)＝＝0，得x＝20.
当00.
∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20
km/h时，总费用最少．
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．第一章　§1.3　课时作业8
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)
A.
极大值点x＝－1
B.
极大值点x＝0
C.
极小值点x＝0
D.
极小值点x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
答案：C
2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)
A.
有极小值
B.
有极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
无极值
解析：∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝，
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，∴函数无极值．
答案：D
3．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是(　　)
A．2
B．2，－1
C．－1
D．－3
解析：
f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图象如右图．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
∴x＝－1时取极小值．
答案：C
4．[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A.
当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B.
当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C.
当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D.
当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
答案：C
二、填空题
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝__________.
解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x>1时，y′<0，
当－1≤x≤1时，y′≥0，
当x<－1时，y′<0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，
∴bc＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，
∴ad＝bc＝2.
答案：2
7．已知函数y＝xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是__________．
解析：
题号
正误
原因分析
①
?
由图象知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增
②
?
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数
③
?
f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点
④
?
f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值
答案：①④
三、解答题
8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，
所以(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得
解得b＝－3，c＝12.
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(
)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
解得a∈[1,9]．
即a的取值范围是[1,9]．第三章　§3.1　课时作业23
一、选择题
1．若A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解析：∵0,3m－7<0.
∴复数z＝(2m－2)＋(3m－7)i在复平面上对应的点位于第四象限．
答案：D
2．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.
由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1.
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
答案：A
3．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
解析：∵表示复数1＋i，
∴点A(1,1)，
将向右平移一个单位，
将对应1＋i，A′(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i.
故选C.
答案：C
4．已知0A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
解析：∵|z|＝，a∈(0,2)，
∴|z|∈(1，)．故选B.
答案：B
二、填空题
5．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，如果点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
解析：∵点B的坐标为(3，－4)，
∴点A的坐标为(－3,4)．
∴点C的坐标为(3,4)．
∴向量对应的复数为3＋4i.
答案：3＋4i
6．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
7．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.
解析：|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
答案：180°
三、解答题
8．实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y＝x上．
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
9．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解：解题时，应先判断a2－2a＋4与－(a2－2a＋2)的符号，设出z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等的充要条件转化为动点(x，y)关于a的参数方程．
由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数．
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y＝－x＋2(x≥3)．第一章　§1.3　课时作业9
一、选择题
1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为(　　)
A.
0
B.
C.
D.
解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，
sinx＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值．故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.
答案：A
3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是(　　)
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
答案：C
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)
A.
－37
B.
－29
C.
－5
D.
以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案：A
二、填空题
5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．
解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
答案：2＋2a－2ln2
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是__________．
解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：(－∞，－]
7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋
ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．
答案：[，e(sin1＋cos1)]
三、解答题
8．设x>0，求lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3的最小值．
解：设f(x)＝lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3，
则f′(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)[－1＋2(x－1)]
＝(x－1)[＋2(x－1)]
＝(x－1)2(2－)＝(x－1)3.
令f′(x)＝0，由x>0，解得x＝1.列表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由题可知，当x＝1时，f(x)有最小值1.
9．[2014·江西高考]已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．
(1)当b＝4时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围．
解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0,
f(x)单调递减；当x∈(－2,0)时，f′(x)>0,
f(x)单调递增；当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2取极小值f(－2)＝0，在x＝0取极大值f(0)＝4.
(2)f′(x)＝，因为当x∈(0，)时，<0,
依题意当x∈(0，)时，有5x＋(3b－2)≤0,
从而＋(3b－2)≤0.
所以b的取值范围为(－∞，]．第二章　§2.1　课时作业16
一、选择题
1．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是(　　)
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近．
答案：C
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是(　　)
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．
答案：C
3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是(　　)
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交．
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直．
C．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行．
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C还有可能异面，对于D，还有可能异面．
答案：B
4．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若ΔBCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间，
＝2类比＝3，故选C.
答案：C
二、填空题
5．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O－xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O－xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面A－BCD的棱长为a，可得其内切球的半径为a，外接球的半径为a，则＝.
答案：
7．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tanx是三角函数，所以y＝tanx是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是__________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
三、解答题
8．在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为300.类比上述结论，相应的在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是bn的前n项积，试得出类似结论并证明．
解：类比等差数列可得等比数列对应性质：
在公比为4的等比数列{bn}中，Tn表示bn的前n项积，则，，也成等比数列且公比为4100.
证明如下：Tn＝b1b2…bn＝b1·b1q·b1q2…b1qn－1
＝bq0＋1＋2＋…＋(n－1)＝bq＝b·4，
∴T10＝b·445，T20＝b4190，T30＝b4435，T40＝b4780.
∴＝b·4145，＝b4245，＝b4345.
而＝4100，＝4100，
∴，，是以4100为公比的等比数列．
9．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，
则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知的双曲线上，
所以n2＝m2－b2，同理，y2＝x2－b2.
则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．第二章　§2.2　课时作业19
一、选择题
1．[2014·山东高考]用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
2．设a，b，c为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：首先若P，Q，R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设P<0，Q<0，∴a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b为正实数矛盾，故P，Q，R都大于0.故选C.
答案：C
3．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：
①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；
③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)④若f(a)＋f(b)其中真命题的个数为(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)答案：D
4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)
A.
△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.
△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.
△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D.
△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．
假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，
所以∠A1＝90°－∠A2.
同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.
又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，
∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.
这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立．故选D.
答案：D
二、填空题
5．用反证法证明“f(x)＝x2＋px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时的假设为________．
解析：“至少有一个”的反设词为“一个也没有”．
答案：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个钝角．
③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°.
上述步骤的正确顺序为__________．
解析：根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.
答案：③①②
7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．
解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得{a|－2答案：{a|a≤－2或a≥－1}
三、解答题
8．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立．
假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．
①
∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，∴a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(＋)，
即2＝＋.
②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，∴＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
9．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．
由y＝ax2＋2bx＋c，
y＝bx2＋2cx＋a，
y＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，
且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.
∴a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．选修2-2模块综合测试(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题
1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是(　　)
A.
完全归纳推理
B.
归纳推理
C.
类比推理
D.
演绎推理
解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.
答案：B
2．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于(　　)
A.
10
B.
10ln10＋lge
C.
＋ln10
D.
11ln10
解析：∵f′(x)＝10xln10＋，
∴f′(1)＝10ln10＋lg
e，故选B.
答案：B
3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)
A.
A
B.
B
C.
C
D.
D
解析：设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它对应点的坐标为(－a，－b)，是第三象限的点．故选B.
答案：B
4．[2014·江西高考]是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.
答案：D
5．a＋b>2c成立的一个充分条件是(　　)
A．a>c或b>c
B．a>c且b>c
C．a>c且bD．a>c或b解析： a＋b>2c，a＋b>2cD /
答案：B
6．[2014·杭州高二检测]函数y＝lnx(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于(　　)
A.
ln2－1
B.
ln2＋1
C.
ln2
D.
2ln2
解析：因为函数y＝lnx的导数y′＝，又函数y＝lnx(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，所以＝，即x＝2，所以切点P(2，ln2)，所以ln2＝1＋a，即a＝ln2－1.
答案：A
7．∫|sinx|dx＝(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：∫|sinx|dx＝∫sinxdx＋∫(－sinx)dx＝－cosx＋cosx＝1＋1＋1＋1＝4.
答案：D
8．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝9上任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与O2相切．
其中假命题的个数是(　　)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：①中，∵a≥b>－1，
∴a＋1≥b＋1>0.
∴要证原式成立，只要证
a(1＋b)≥b(1＋a)，这显然成立．
∴①正确；
②中≤＝也成立；
③中⊙O1的圆心为O(0,0)，半径r1＝3.
⊙O2的圆心为Q(a，b)，半径r2＝1，
∴|OQ|＝.
∵|OP|＋|PQ|＝r1＋r2＝4或|OP|－|PQ|＝r1－r2＝2与|OQ|的大小关系都是不确定的，∴不一定相切，故③为假命题．故选B.
答案：B
9．在区间(0，＋∞)内，函数f(x)＝ex－x是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：f′(x)＝ex－1，因为x>0，所以ex>1，所以ex－1>0，即y′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．
答案：A
10．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：因为(x－1)f′(x)≥0，
所以或
(1)函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，
f(0)>f(1)；
在[1，＋∞)上单调递增，f(2)>f(1)，
所以f(0)＋f(2)>2f(1)．
(2)函数y＝f(x)为常数函数时，
f(0)＋f(2)＝2f(1)，
故f(0)＋f(2)≥2f(1)，故选C.
答案：C
11．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于(　　)
A.
f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
　　B.
f()
C.
n(n＋1)
　　D.
f(1)
解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，∴f(2)＝2f(1)．
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)．

f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)
＝f(1)．
∴A、D正确；
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)
＝f()．
∴B也正确．故选C.
答案：C
12．已知y＝f(x)是R上的可导函数，对于任意的正实数t，都有函数g(x)＝f(x＋t)－f(x)在其定义域内为减函数，则函数y＝f(x)的图象可能为下图中的(　　)
解析：因为函数g(x)＝f(x＋t)－f(x)在其定义域内为减函数，所以g′(x)＝f′(x＋t)－f′(x)<0恒成立，即f′(x)为减函数(切线斜率减小)．
答案：A
二、填空题
13．[2013·重庆高考]已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝＝＝＝2＋i，∴|z|＝＝.
答案：
14．函数y＝的导数是__________．
解析：y′＝
＝.
答案：y′＝
15．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析：由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋　(1)．又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－　(2)．由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.
答案：－3
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)．点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a、b、c、p为非零常数．设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F，某同学已正确求得直线OE的方程：(－)x＋(－)y＝0.请你完成直线OF的方程：
(________)x＋(－)y＝0.
解析：由对称性可猜想填－.事实上，由截距式可得直线AB：＋＝1.
直线CP：＋＝1，两式相减得
(－)x＋(－)y＝0.显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．
答案：－
三、解答题
17．(10分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝1＋5i，z2＝1－(a－2)i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|<|z1|，求实数a的取值范围．
解：由题意，得z1＝＝3＋2i，于是|z1－|＝|2－(a－4)i|＝，|z1|＝.
因为|z1－|<|z1|，所以<，即a2－8a＋7<0，解得a的取值范围为(1,7)．
18．(12分)已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
证明：假设a、b、c、d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾．
所以a、b、c、d中至少有一个是负数．
19．(12分)已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，求a的值．
解：f(x)＝ax(x－2)2＝a(x3－4x2＋4x)．
∴f′(x)＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝或x＝2.
当a>0时，f(x)在x＝时，取极大值，
由f()＝32，得a＝27；
当a<0时，f(x)在x＝2时，取极大值，
由f(2)＝32，得a不存在，
∴a＝27.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，f(x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)f(x)的单调递增区间．
解：(1)由f(x)＝ax3＋bx＋1的图象过点(1，－3)，得a＋b＋1＝－3.
∵f′(x)＝3ax2＋b，又f′(1)＝3a＋b＝0，
∴由得
∴f(x)＝2x3－6x＋1.
(2)∵f′(x)＝6x2－6，∴由f′(x)>0得x>1或x<－1.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
21．(12分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N
)，并用数学归纳法加以证明．
解：推测Sn＝(n∈N
)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，
即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N
，等式均成立．
22．(12分)[2014·辽宁高考]已知函数f(x)＝(cosx－x)(π＋2x)－(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)cosx－4(1＋sinx)ln(3－)．
证明：
(1)存在唯一x0∈(0，)，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈(，π)，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
证明：(1)当x∈(0，)时，f′(x)＝－(1＋sinx)(π＋2x)－2x－cosx<0，
函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(0)＝π－>0，f()＝－π2－<0，
所以存在唯一x0∈(0，),
使f(x0)＝0.
(2)考虑函数h(x)＝－4ln(3－)，x∈[，π]．
令t＝π－x，则x∈[，π]时，t∈[0，]．
设u(t)＝h(π－t)＝－4ln(1＋)，
则u′(t)＝.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，当t∈(x0，)时，u′(t)<0.
在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而当t∈(0，x0]时，u(t)>0，
所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在(x0，)上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u()＝－4ln2<0，知存在唯一t1∈(x0，)，使u(t1)＝0.
所以存在唯一的t1∈(0，)，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈(，π)，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈(，π)时，1＋sinx>0，故g(x)＝(1＋sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈(，π)，使g(x1)＝0.
因x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.第三章　§3.1　课时作业22
一、选择题
1．下列各数中，纯虚数的个数是(　　)
3＋，i,0i,8＋3i，(2＋)i,0.618
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：根据纯虚数的定义知，i，(2＋)i是纯虚数．
答案：C
2．复数(1＋)i的虚部是(　　)
A．1
B.
C．0
D．1＋
解析：(1＋)i为纯虚数，故虚部为1＋.
答案：D
3．下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①由于x，y∈C，
所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
答案：A
4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为(　　)
A．2kπ－
B．2kπ＋
C．2kπ±
D.＋(以上k∈Z)
解析：由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
答案：B
二、填空题
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有
即∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知解得x＝－2.
答案：－2
7．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，则实数x、y的值分别为________、________.
解析：由复数相等的充要条件知
解得
答案：3　－2
三、解答题
8．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，∴M P.
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
9．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是：

m＝－2.
∴当m＝－2时复数z为实数．
(2)复数z是虚数的充要条件是：
即m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．
(3)复数z是纯虚数的充要条件是：

m＝3.
∴当m＝3时复数z为纯虚数．第一章　§1.4　课时作业14
一、选择题
1．如图，阴影部分面积为(　　)
A.
[f(x)－g(x)]dx
B.
[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
C.
[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx
D.
[g(x)－f(x)]dx
解析：∵在区间(a，c)上g(x)>f(x)，而在区间(c，b)上g(x)∴S＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx，故选B.
答案：B
2．由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为(　　)
A.
　　　　　　　　　　
B.
C.
2
D.
1
解析：因为曲线所围成的图形关于y轴对称，如图所示，面积S满足
S＝x2dx＋1dx－dx
＝＋x－＝，
所以S＝，故选A.
答案：A
3．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为(　　)
A.[(1－y)－y]dy
B．[(－x＋1)－x]dx
C．
[(1－y)－y]dy
D.[x－(－1)]dx
解析：如下图，由图可知，S＝
[(1－y)－y]dy.
答案：C
4．[2013·北京高考]直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A.
B.
2
C.
D.
解析：由题知，抛物线C的焦点为F(0,1)，又l过F且与y轴垂直，∴l为y＝1，∴l与C所围成的图形面积S＝4×1－
dx＝4－＝4－(＋)＝4－＝.
答案：C
二、填空题
5．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
解析：根据题意得：S阴＝3x2dx＝x3＝1，
则点M取自阴影部分的概率为
＝＝.
答案：
6．曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为________．
解析：由于曲线y＝sinx(0≤x≤π)与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为＝－.
答案：－
7．[2012·山东高考]设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析：由已知得S＝dx＝x＝a＝a2，所以a＝，所以a＝.
答案：
三、解答题
8．求由曲线y＝－x2＋2x与y＝2x2－4x所围成的平面图形的面积．
解：y＝－x2＋2x与y＝2x2－4x交点的横坐标为x1＝0，x2＝2.
所以所求图形的面积为S＝(－x2＋2x)dx－
(2x2－4x)dx＝(x2－－＝4.
9．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．
解：由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为(，0)．画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如下图所示．
故S＝S1＋S2
＝x2dx＋[x2dx－
(2x0x－x)dx]
＝＝，
解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，
所求切线方程为y＝2x－1.第一章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题
1．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为(　　)
(1)
；
(2)
；
(3)f′(t0)；
(4)f′(t)．
A.
(1)(2)
B.
(1)(3)
C.
(2)(3)
D.
(2)(4)
解析：根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)(3)正确，故选B.
答案：B
2．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为(　　)
A．y＝－4x－1
B．y＝4x－1
C．y＝4x－11
D．y＝－4x＋7
解析：∵曲线过点(，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1.
∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，
∴该点处切线斜率为k＝4.
∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.
答案：B
3．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是(　　)
A．0
B．3
C．－2
D．3－2t
解析：物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．
s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.
答案：B
4．下列求导正确的是(　　)
A．()′＝
B．(xe－x2)′＝e－x2·(1＋2x2)
C．(6cosx)′＝6sinx
D．(＋lnx)′＝
解析：按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答案为D.
答案：D
5．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：S阴影＝sinxdx＝(－cosx)＝2，S矩＝π×2＝2π.故事件发生概率P＝＝＝，故选A.
答案：A
6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A.
0≤a≤21
B.
a＝0或a＝7
C.
a<0或a>21
D.
a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．
答案：A
7．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是
f(－x)dx＝(x2－x)dx
＝(x3－x2)＝.故选A.
答案：A
8．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.
答案：B
9．下列等式成立的是(　　)
A.0dx＝b－a
B.xdx＝
C.－1|x|dx＝2|x|dx
D.(x＋1)dx＝xdx
解析：由积分的几何意义及性质得0dx＝0，
y＝|x|是偶函数，故C显然正确．
答案：C
10．[2014·辽宁高考]当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.
[－5，－3]
B.
[－6，－]
C.
[－6，－2]
D.
[－4，－3]
解析：当x∈(0,1]时，得a≥－3()3－4()2＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，t∈[1，＋∞)，则g′(t)＝－9t2－8t＋1＝－(t＋1)(9t－1)，显然在[1，＋∞)上，g′(t)<0，g(t)单调递减，所以g(t)max＝g(1)＝－6，因此a≥－6；同理，当x∈[－2,0)时，得a≤－2.
由以上两种情况得－6≤a≤－2，显然当x＝0时也成立．故实数a的取值范围为[－6，－2]．
答案：C
11．已知函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.
aB.
cC.
cD.
b解析：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)图象关于x＝1对称．
当x<1时，由(x－1)f′(x)<0知f′(x)>0，
即x<1时，f(x)单调递增．
a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)＝f(－1)，
∵－1<0<，∴c答案：B
12．[2014·课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝sin.
若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2A.
(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B.
(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C.
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D.
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±，则＝＋kπ(k∈Z)，从而得x0＝(k＋)m(k∈Z).
所以不等式x＋[f(x0)]23,
其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2[1－(k＋)2]>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有(k＋)2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.
答案：C
二、填空题
13．若f(x)＝，则－1f(x)dx＝__________.
解析：f(x)dx＝
(－x)dx＋(x2＋3)dx＝＋＝＋(＋3)＝.
答案：
14．如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0,1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．
解析：存在与x轴平行的切线，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解．
又∵x∈(0,1)，∴b＝∈(0，)．
答案：(0，)
15．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．
解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，根据条件4R＋2h＝4，得h＝2－2R,0∴V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，
由V′＝4πR－6πR2＝0得R＝，且当R∈(0，]时，函数V递增；R∈[，1)时，函数V递减，
故R＝时，V取最大值π.
答案：π
16．幂指数函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny＝g(x)lnf(x)，两边求导数得＝g′(x)lnf(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)＋g(x)]．运用此方法可以探求得知y＝x(x>0)的一个单调递增区间为__________．
解析：由题意得y′＝x(－lnx＋)＝x－2(1－lnx)，由y′>0，得0答案：(0，e)
三、解答题
17．(10分)设函数f(x)＝x3－(a＋1)x2－ax，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(－，)处的切线方程．
解：(1)f′(x)＝3x2－2(a＋1)x－a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝3×9－2(a＋1)×3－a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝x3－4x2－3x.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝3x2－8x－3，
f′(－)＝＋－3＝0，∴切线方程为y＝.
18．(12分)若函数f(x)＝ax2＋2x－lnx在x＝1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)单调区间及极值．
解：(1)f′(x)＝2ax＋2－，
由f′(1)＝2a＋＝0，得a＝－.
(2)f(x)＝－x2＋2x－lnx(x>0)．
f′(x)＝－x＋2－＝.
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
①当f′(x)>0时1②当f′(x)<0时02.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
?
－ln2
?
因此f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为f(1)＝，极大值为f(2)＝－ln2.
19．(12分)[2012·安徽高考]设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：(1)f′(x)＝aex－，
当f′(x)>0，即x>－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；
当f′(x)<0，即x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．
①当00，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－lna)＝2＋b；
②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，
解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.
20．(12分)设铁路AB长为50，BC⊥AB，且BC＝10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.
(1)将总运费y表示为x的函数；
(2)如何选点M才使总运费最小？
解：(1)依题意，铁路AM上的运费为2(50－x)，
公路MC上的运费为4，
则由A到C的总运费为
y＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
(2)y′＝－2＋(0≤x≤50)．
令y′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍)．
当0≤x<时，y′<0，
当50≥x>时，y′>0.
故当x＝时，y取得最小值，即当在距离点B为时的点M处修筑公路至C时总运费最小．
21．(12分)[2014·重庆高考]已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.
(1)确定a，b的值；
(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；
(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.
又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么
f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，
故f(x)在R上为增函数．
(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论．
当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；
当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1.2＝>0，
即f′(x)＝0有两个根x1＝lnt1或x2＝lnt2.
当x1x2时，f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．
综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．
22．(12分)[2013·天津高考]已知函数f(x)＝x2lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)；
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)，证明：当t>e2时，有<<.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xlnx＋x＝x(2lnx＋1)，令f′(x)＝0，得x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)证明：当00，
令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．h(1)＝－t<0，h(et)＝e2tlnet－t＝t(e2t－1)>0.故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s>1，从而＝＝＝＝，
其中u＝lns.要使<<成立，只需0当t>e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．所以s>e，
即u>1，从而lnu>0成立．
另一方面，令F(u)＝lnu－，u>1.
F′(u)＝－，
令F′(u)＝0，得u＝2.当1F′(u)>0；
当u>2时，F′(u)<0.
故对u>1，F(u)≤F(2)<0.
因此lnu<成立．
综上，当t>e2时，有<<.第一章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．下列各式正确的是(　　)
A.
(sina)′＝cosa(a为常数)
B.
(cosx)′＝sinx
C.
(sinx)′＝cosx
D.
(x－5)′＝－x－6
解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6，只有C正确．
答案：C
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A.
y＝2x＋1
B.
y＝2x－1
C.
y＝－2x－3
D.
y＝－2x－2
解析：∵y′＝＝，
∴k＝y′x＝－1＝＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间是(　　)
A.
B.
C.，
D.，
解析：∵f′(x)＝2x－＝，当0答案：A
4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)
A.
f′(x)>0，g′(x)>0
B.
f′(x)>0，g′(x)<0
C.
f′(x)<0，g′(x)>0
D.
f′(x)<0，g′(x)<0
解析：f(x)为奇函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递增，f′(x)>0；g(x)为偶函数且x>0时单调递增，所以x<0时单调递减，g′(x)<0.
答案：B
5．[2013·福建高考]设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)为f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)
A.
x∈R，f(x)≤f(x0)
B.
－x0是f(－x)的极小值点
C.
－x0是－f(x)的极小值点
D.
－x0是－f(－x)的极小值点
解析：函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错；f(x)与－f(－x)关于原点对称，故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时，－x0是－f(－x)的极小值点，故选D.
答案：D
6.xsinαdx等于(　　)
A．2sinα(b2－a2)
B．x·sinxdx
C．sinαxdx
D．sinα(b2－a2)
解析：xsinαdx＝sinαxdx.
答案：C
7．[2014·大庆高二检测]设f(x)＝，则∫f(x)dx等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：f(x)dx＝x2dx＋dx
＝＝.
答案：A
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0
B．2
C．1
D．－1
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，
所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.
答案：A
9．[2014·湖南高考]已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是(　　)
A.
x＝
B.
x＝
C.
x＝
D.
x＝
解析：由定积分sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)＝cosφ－sinφ＋cosφ＝0,
得tanφ＝，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin(x－－kπ)(k∈Z)，由正弦函数的性质知y＝sin(x－－kπ)与y＝sin(x－)的图象的对称轴相同，令x－＝kπ＋，则x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝kπ＋π(k∈Z)，当k＝0,
得x＝，选A.
答案：A
10．若函数f(x)在R上可导，且f(x)>f′(x)，则当a>b时，下列不等式成立的是(　　)
A.
eaf(a)>ebf(b)
B.
ebf(a)>eaf(b)
C.
ebf(b)>eaf(a)
D.
eaf(b)>ebf(a)
解析：∵()′＝
＝<0，
∴y＝单调递减，又a>b，
∴<，∴eaf(b)>ebf(a)．
答案：D
11．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)
A.
(2，＋∞)
B.
(－∞，－2)
C.
(1，＋∞)
D.
(－∞，－1)
解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.
f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由题意得a<0且f()>0,
解得a<－2，选B.
答案：B
12．函数f(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
解析：f(x)＝t(t－4)dt＝(t2－4t)dt
＝＝x3－2x2，
∴f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．
令f′(x)＝0，∴x＝0或x＝4.
∴f(x)在[－1,5]的变化情况如下表，
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∵f(－1)＝－－2＝－，f(0)＝0，
f(4)＝×43－2×42＝－32＝－，
f(5)＝×53－2×52＝－50＝－.
∴f(x)在[－1,5]上的最大值为0，最小值为－.
答案：B
二、填空题
13．已知y＝ln，则y′＝__________.
解析：先将函数式化简后再求导数．
答案：－
14．若函数f(x)在x＝a处的导数为A(aA≠0)，函数F(x)＝f(x)－A2x2满足F′(a)＝0，则A＝__________.
解析：f′(x)|x＝a＝A，即f′(a)＝A.
又F′(x)＝f′(x)－2A2x，且F′(a)＝f′(a)－2aA2＝A－2aA2＝0.
∵aA≠0，∴A＝.
答案：
15．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v(t)＝2－t(速度的正方向与x轴的正方向一致)，则t＝3时，动点P移动的路程为________．
解析：由v(t)＝2－t≥0，得0≤t≤2.
∴t＝3时，点P移动的路程为
s＝(2－t)dt－(2－t)dt＝(2t－t2)－(2t－t2)＝.
答案：
16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1答案：(－1,0]
三、解答题
17．(10分)求函数y＝的单调区间．
解：∵y＝，y′＝＝，
解y′<0，即<0，得x<0或x>.
∴函数y＝.在(0，)上递增，在(－∞，0)，(，＋∞)内单调递减．
18．(12分)已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在x＝2处的切线方程；
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
解：(1)∵y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线斜率k＝y′x＝2＝4.
又x＝2时y＝4，
∴在点P(2,4)处的切线方程：4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x＋)，
则切线斜率k＝y′x＝x0＝x，
∴切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，∴x－3x＋4＝0.
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，x0＝2.
故所求的切线方程为y＝x－2或y＝4x－4，
即4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
19．(12分)[2013·课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
解：(1)f′(x)＝ex－.
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－.
函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.
当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增．
又f′(－1)<0，f′(0)>0，
故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，
且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0，得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0.故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝>0.
综上，当m≤2时，f(x)>0.
20．(12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入1.9万元，设R(x)(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R(x)＝
其中x是年产量(单位：千件)．
(1)写出年利润W关于年产量x的函数关系式；
(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
解：(1)依题意有：
W＝
即W＝
(2)设f(x)＝－x3＋8.1x－10(0≤x≤10)，f′(x)＝－x2＋8.1，由f′(x)＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0≤x≤9时，f′(x)≥0；当9≤x≤10时，f′(x)≤0，所以当x＝9时，f(x)取得最大值38.6.
当x>10时，－1.9x<<38.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
21．(12分)曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P(，0)，求过P的切线l与C围成的图形的面积．
解：设切点P0(x0，y0)，y′＝6x2－6x－2，则
切线l：y－(2x－3x－2x0＋1)＝(6x－6x0－2)(x－x0)过P(，0)．
∴－(2x－3x－2x0＋1)
＝(6x－6x0－2)·(－x0)．
∴x0(4x－6x0＋3)＝0.
∴x0＝0，y0＝1，P0(0,1)．
∴l：y－1＝－2(x－0)．
∴2x＋y－1＝0.
∴
设B(，－2)．
∴S＝
[(1－2x)－(2x3－3x2－2x＋1)]
＝
(3x2－2x3)dx＝.
22．(12分)[2014·四川高考]已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围．
解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1,
有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b,
所以g′(x)＝ex－2a.
因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增．
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，
f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.
所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．
当a≥时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．
所以此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有
g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0.
解得e－2当e－2若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，
从而f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.
又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)內各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)故f(x)在(x1，x2)内有零点．
综上可知，a的取值范围是(e－2,1)．第一章　§1.1　课时作业1
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)
A.
0.40
B.
0.41
C.
0.43
D.
0.44
解析：∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　)
A.＝＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以＝＝，故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝2x2＋3的图象上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)
A．4＋2Δx
B．4＋(2Δx)2
C．4x
D．4
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2＋3－(2×12＋3)＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx，故选A.
答案：A
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2
B．k1C．k1＝k2
D．不确定
解析：由定义可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，因为Δx可正、可负但不可为0，所以k1与k2大小不确定．故选D.
答案：D
二、填空题
5．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________(g＝10
m/s2)．
解析：Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
答案：30＋5Δt
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如右图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为______．
解析：由平均速度的定义结合图象知>>.
答案：>>
7．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．
解析：ΔV＝a3－1，∴＝＝a2＋a＋1＝21.
∴a2＋a－20＝0.
∴a＝4或a＝－5(舍)．
答案：4
三、解答题
8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．
解：Δx＝2－1＝1，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)，
＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.
∴＝0.
∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.
9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月的时间变化量Δt＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率＝＝1.
从第6个月到第12个月的时间变化量Δt＝12－6＝6，
从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW＝11－8.6＝2.4，
则从第6个月到第12个月的体重平均变化率
＝＝0.4.第二章　§2.1　课时作业15
一、选择题
1．下列关于归纳推理的说法错误的是(　　)
A．归纳推理是由一般到一般的推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析：由归纳推理的定义与特征可知选项A错误，选项B，C，D均正确，故选A.
答案：A
2．定义A
B，B
C，C
D，D
B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A
D，A
C的分别是(　　)
A.
1,2
B.
1,3
C.
2,4
D.
1,4
解析：由①②③④可归纳得出：符号“
”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A
D是图2，A
C是图4.
答案：C
3．观察下列数表规律
则数2014的箭头方向是(　　)
解析：因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2014在上行，则2014＝2＋(n－1)·4 n＝504∈N
.故2014在上行，又因为在上行偶数的箭头为an，故选A.
答案：A
4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
解析：由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．
答案：D
二、填空题
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．
解析：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…，
所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
6．设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N
)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．
解析：由首项为1，得a1＝1；
当n＝1时，由2a－1＋a2＝0，得a2＝；
当n＝2时，由3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，解得a3＝；
…
归纳猜想该数列的通项公式为an＝(n∈N
)．
答案：an＝(n∈N
)
7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　N(n,3)＝n2＋n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝n2－n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n，
………………
可推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
解析：首先将三、四、五、六边形数中第n个数的表达式分别通分，化成分母统一为2的形式如下：
三角形数：N(n,3)＝n2＋n＝
＝；
正方形数：N(n,4)＝n2＝；
五边形数：N(n,5)＝－n＝；
六边形数：N(n,6)＝2n2－n＝
＝；
……
根据以上规律总结，推测：N(n，k)＝.
故N(10,24)＝＝1000.
答案：1000
三、解答题
8．已知数列{an}满足条件(n－1)an＋1＝(n＋1)·an－n－1，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N
)，猜想数列{bn}的通项公式．
解：a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，
b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.
可以通过求数列{an}的通项公式来求数列{bn}的通项公式．
我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；
a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；
…，猜想an＝n×(2n－1)，
进而猜想bn＝2n2－n＋n＝2n2.
9．观察下列各式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝；
sin240°＋cos270°＋sin40°cos70°＝；
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，
分析以上各式的共同特点，根据其特点写出能反映一般规律的等式，并对等式是否正确加以证明．
解：反映一般规律的等式是：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
(表达形式不唯一)
该等式是正确的，证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)
＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝sin2α＋2＋sinα·cosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcosα＋sinαcosα－
sin2α
＝(sin2α＋cos2α)＝.第二章　§2.3　课时作业20
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋)，由n＝k(k∈N
)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(　　)
A.
2k
B.
2k－1
C.
2k＋1
D.
2k－1
解析：当n＝k时，左边有2k项，当n＝k＋1时，左边有2k＋1项，故增加的项数为2k＋1－2k＝2k.
答案：A
2．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中(　　)
A．必须运用假设
B．n可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A、B、C均可
解析：由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
答案：A
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A.
B.
C.＋
D.－
解析：f(n＋1)－f(n)＝
－＝＋.
答案：C
4．某同学回答用数学归纳法证明)的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；(2)假设n＝k时有命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)
A．当n＝1时，验证过程不具体
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
解析：n＝1时证明正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩直接证明，不符合数学归纳法证题的要求．应选D.
答案：D
二、填空题
5．若存在常数a，b，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an＋b)对n∈N
都成立，则a、b的值分别为________、________.
解析：因为存在常数a、b，使等式对所有的正整数都成立，所以当n＝1,2时等式都成立，所以得a＋b＝8,2a＋b＝11，解得a＝3，b＝5.
答案：3　5
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为__________．
解析：S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
答案：Sn＝
7．[2013·吉林长春一模]用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是________；从k→k＋1需增添的项是________．
解析：因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．
答案：1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))
三、解答题
8．用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝.
解：(1)当n＝1时＝成立．
(2)假设当n＝k时等式成立即有＋＋…＋＝，
则＋＋…＋＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可得对于任意的n∈N
等式都成立．
9．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N
)，
求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N
)．
证明：(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，
即当n＝2时命题成立．
(2)设当n＝k(k≥2)时命题成立，即
S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋
>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)可知，当n∈N
，n≥2时，不等式S2n>1＋都成立．第三章　§3.2　课时作业24
一、选择题
1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)
A．1＋i
B．1＋3i
C．－1－i
D．－1－3i
解析：z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.
答案：B
2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则对应的复数为(　　)
A.
－8＋6i
B.
8－6i
C.
8＋6i
D.
－2－2i
解析：∵＝－，
∴对应的复数为：
z1－z2＝3－4i－(－5＋2i)
＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i.
答案：B
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　)
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等边三角形
D.
等腰直角三角形
解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．
答案：B
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在(　　)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解析：∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
∴复数对应的点在第三象限．
答案：C
二、填空题
5．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝__________.(x，y∈R)
解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i
＝(y－x)＋5(y－x)i.
答案：(y－x)＋5(y－x)i
6．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝__________.
解析：由于＝，
∴2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i).
∴z＝3－6i.
答案：3－6i
7．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是__________．
解析：复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离．
即最大值为圆心到(－2，－1)的距离加上半径，
∴|z＋2＋i|的最大值是4.
答案：4
三、解答题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
9．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)由于＝＋＝＋，
所以＝－.
故对应的复数为
z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于＝－＝－，
所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，
＝＝(－1,2)，＝＝(4,3)，
∴cos∠DAB＝＝＝.
因此sin∠DAB＝＝.
于是平行四边形ABCD的面积
S＝||||sin∠DAB＝×5×＝11.第一章　§1.4　课时作业13
一、选择题
1.|sinx|dx等于(　　)
A.
0
B.
2
C.
4
D.
－4
解析：|sinx|dx＝sinxdx＋(－sinx)dx
＝(－cosx)＋cosx＝1－(－1)＋1－(－1)＝4.故选C.
答案：C
2.
(1－2sin2)dθ的值为(　　)
A.
－
B.
－
C.
D.
解析：
(1－2sin2)dθ
＝cosθdθ＝sinθ＝，故选D.
答案：D
3.
下列各式中错误的是(　　)
A.
sinφdφ＝1
B.
cosφdφ＝1
C.
exdx＝－1
D.
dx＝1
解析：sinφdφ＝(－cosφ)＝－0－(－1)＝1，
cosφdφ＝sinφ＝1－0＝1，
exdx＝ex＝ee－e，
dx＝lnx＝lne－0＝1.
故选C.
答案：C
4.
已知f(x)是一次函数且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为(　　)
A.
4x＋3
B.
3x＋4
C.
－4x＋3
D.
－3x＋4
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则xf(x)＝ax2＋bx，
f(x)dx＝(x2＋bx)＝＋b＝5，
①
xf(x)dx＝(x3＋x2)＝＋＝，
②
联立①②得
∴f(x)＝4x＋3.
故选A.
答案：A
二、填空题
5．[2013·湖南高考]若x2dx＝9，则常数T的值为________．
解析：∵x2dx＝T3＝9，T>0，∴T＝3.
答案：3
6.|x2－x|dx＝__________.
解析：|x2－x|dx＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＋(x2－x)dx
＝＋＋＝.
答案：
7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为__________．
解析：(ax2＋c)dx＝＝a＋c
＝ax＋c x0＝.
答案：
三、解答题
8．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)2dx；
(3)
(sinx－sin2x)dx.
解：(1)∵′＝2x2－，
∴dx＝
＝－
＝－ln2.
(2)∵2＝x＋＋2，
且′＝x＋＋2，
∴2dx＝
＝－
＝＋ln.
(3)∵(－cosx＋cos2x)′＝sinx－sin2x，
∴
(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋
＝－
＝－－＋1－＝－.
9．设f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)若直线x＝－t(0解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
由已知f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意知：(x2＋2x＋1)dx＝
(x2＋2x＋1)dx，
所以＝.
－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t，所以2t3－6t2＋6t－1＝0，
即2(t－1)3＋1＝0.于是t＝1－.选修2-2模块综合测试(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题
1．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
解析：∵y＝－＝－x－1，∴y′＝x－2＝，∴y′x＝1＝1＝k.
由点斜式得切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0，故选A.
答案：A
2．[2013·广东高考]若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)
A.
(2,4)
B.
(2，－4)
C.
(4，－2)
D.
(4,2)
解析：由已知条件得z＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.
答案：C
3．函数y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
解析：当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.
当x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.
故选D.
答案：D
4．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x，则y′|x＝1＝3
解析：y′＝′＝(x－)′＝－x－，
故B选项不正确．
答案：B
5．[2014·课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
6．如图，阴影部分的面积为(　　)
A．2
B．2－
C.
D.
解析：由图形分析阴影部分的面积为
－3(3－x2－2x)dx＝＝.
答案：C
7．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是(　　)
A．m<2或m>4
B．－4C．2D．2≤m≤4
解析：由题意f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋(15m2－2m－7)，由于f′(x)≥0在R上恒成立，故Δ≤0，解之得2≤m≤4，故应选D.
答案：D
8．设x，y，z都是正数，则三个数x＋，y＋，z＋的值(　　)
A.
都小于2
B.
至少有一个不大于2
C.
至少有一个不小于2
D.
都大于2
解析：假设这三个数都小于2，
即x＋<2，y＋<2，z＋<2，
则(x＋)＋(y＋)＋(z＋)<6，
又由基本不等式x>0，y>0，z>0时，(x＋)＋(y＋)＋(z＋)≥2
＋2
＋2
＝6，与假设矛盾．故选C.
答案：C
9．已知函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2)
D．[2，＋∞)
解析：根据函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)·(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1答案：C
10．给出下列命题：(　　)
①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a②－1x2dx＝x2dx；
③曲线y＝sinx，x∈[0,2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，
其中正确命题的个数为(　　)
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：dt＝b－a≠dx＝a－b，故①错．y＝x2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S＝2sinxdx＝4.故③错．故选B.
答案：B
11．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(|x|)|的图象可能是(　　)
解析：显然从f(x)→f(|x|)的图象是保留原函数y轴右侧的图象，再根据偶函数的性质处理即可；从f(x)→|f(x)|的图象是保留原函数在x轴上方的图象，把下方的图象翻折到x轴上方去，结合原函数的特征．
答案：A
12．若0A．2x>3sinx
B．2x<3sinx
C．2x＝3sinx
D．与x的取值有关
解析：令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.
当cosx<时，f′(x)>0，
当cosx＝时，f′(x)＝0，
当cosx>时，f′(x)<0.
即当0而f(0)＝0，f＝π－3>0.
故f(x)的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关．故选D.
答案：D
二、填空题
13．若三次函数f(x)＝ax3－x(a≠0)在R上单调递减，则a的取值范围为________．
解析：f(x)在R上单调递减 f′(x)≤0恒成立，
即3ax2－1≤0恒成立．又∵a≠0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
14．[2013·陕西高考]观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为____________________．
解析：设等式右边的数的绝对值构成数列{an}，∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，以上所有等式相加可得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝，再观察各式的符号可知第n个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
15．若a>b>c，n∈N
，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析：要使＋≥恒成立．
∵a>b>c，∴a－c>0.
∴只需＋≥n恒成立．
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
要使不等式恒成立只需n≤4.
∴n的最大值为4.
答案：4
16．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为______万元．
解析：解法一：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15－m)辆车，则总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30，
所以y′＝－0.3m＋3.06.
令y′＝0，得m＝10.2.
当0≤m<10.2时，y′>0；
当10.2故当m＝10.2时，y取得极大值，也就是最大值．
又由于m为正整数，且当m＝10时，y＝45.6；
当m＝11时，y＝45.51.
故该公司获得的最大利润为45.6万元．
解法二：设在甲地销售m辆车，乙地销售15m辆车.
则总利润y＝－0.15m2＋3.06m＋30＝0.15(m－10.2)2＋45.51
∵m∈Z且m∈(0.15]，∴当m＝10时，ymax＝45.6，故该公司获得的最大利润为45.6万元．
答案：45.6
三、解答题
17．(10分)已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y>2，求证：和中至少有一个小于2.
证明：反证法．
假设≥2，≥2，即1＋y≥2x,1＋x≥2y.
∴2＋x＋y≥2x＋2y.即x＋y≤2.
这与x＋y>2矛盾．
∴和中至少有一个小于2.
18．(12分)设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，已知A＝{z||z－z1|≤}，B＝{z||z－z2|≤2}，A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：∵集合A、B在复平面内对应的点是两个圆面，又A∩B＝ ，∴这两个圆外离．
所以|z1－z2|>3，
即|(1＋2ai)－(a－i)|>3.
解之得a∈(－∞，－2)∪.
19．(12分)[2013·广西高考]已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.
(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋>ln2.
解：(1)由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.
若λ<，则当00，
所以f(x)>0.
若λ≥，则当x>0时，f′(x)<0，
所以当x>0时，f(x)<0.
综上，λ的最小值是.
(2)令λ＝.
由(1)知，当x>0时，f(x)<0.
即>ln(1＋x)．
取x＝，则>ln.
于是a2n－an＋＝(＋)＝>n＝ln2n－lnn＝ln2.
所以a2n－an＋>ln2.
20．(12分)已知f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，
(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；
(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．
解：(1)∵f(x)＝x3－2ax2－3x，
∴f′(x)＝2x2－4ax－3.
∵f(x)在区间(－1,1)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
∴得－≤a≤.
(2)当a>时，∵，
∴存在x0∈(－1,1)，使f′(x0)＝0.
∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，
∴在(－1，x0)内，f′(x)>0，
在(x0,1)内，f′(x)<0，
即f(x)在(－1，x0)内单调递增，
在(x0,1)内单调递减．
∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．
当a<时，∵
∴存在x0∈(－1,1)使f′(x0)＝0.
∵f′(x)＝2x2－4ax－3开口向上，
∴在(－1，x0)内f′(x)<0，在(x0,1)内f′(x)>0即f(x)在(－1，x0)内单调递减，在(x0,1)内单调递增．
∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－≤a≤时，由(1)知f(x)在(－1,1)内递减，没有极值点．
21．(12分)由下列各式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋＋＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．
解：观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，，，，…，猜想第n个不等式左边的最后一项为，又由各不等式的右边可分别写成，1＝，，2＝，所以第n个不等式应为.
猜想：第n个不等式为
1＋＋＋…＋>(n∈N
)．
用数学归纳法证明如下
(1)当n＝1时，1>，猜想正确．
(2)假设当n＝k时猜想正确，即1＋＋＋…＋>(k∈N
)，
那么，当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋
＝＋＝＋＝.
∴当n＝k＋1时，猜想也正确．
综上可知，对于任意n∈N
，不等式成立．
22．(12分)[2013·北京高考]已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈[0，]．
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<解：(1)证明：由f(x)＝xcosx－sinx得
f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
因为在区间(0，)上f′(x)＝－xsinx<0，所以f(x)在区间[0，]上单调递减．
从而f(x)≤f(0)＝0.
(2)当x>0时，“>a”等价于“sinx－ax>0”；“令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c.
当c≤0时，g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈(0，)，g′(x)＝cosx－c<0，所以g(x)在区间[0，]上单调递减．
从而g(x)当0g(x)在g′(x)在区间(0，)上的情况如下：
x
(0，x0)
x0
(x0，)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
?
因为g(x)在区间[0，x0]上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立”当且仅当g()＝1－c≥0，即0综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0，)恒成立．
所以，若a<一、选择题
1．函数y＝f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)
A.
f′(2)B.
f′(2)>f′(3)
C.
f′(2)＝f′(3)
D.
大小关系不确定
解析：∵()′＝－，∴y′x＝2＝－＝－，
即f′(2)＝－，y′x＝3＝－＝－，
即f′(3)＝－.
∵－<－，∴f′(2)答案：A
2．过曲线y＝上的点(4,2)的切线方程是(　　)
A.
x＋4y＋4＝0
B.
x－4y－4＝0
C.
x－4y＋4＝0
D.
x＋4y－4＝0
解析：∵y′＝()′＝，
∴y′x＝4＝＝.
∴切线的斜率k＝.
∴所求的切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.故选C.
答案：C
3．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于(　　)
A．45°
B．60°
C．135°
D．120°
解析：y′＝－，∴f′(3)＝－＝－1，∴切线的倾斜角为135°，故选C.
答案：C
4．[2014·大纲全国卷]曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)
A.
2e
B.
e
C.
2
D.
1
解析：由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C.
答案：C
5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：y′＝＝≥－1，
即－1≤tanα<0，所以≤α<π.
答案：D
6．已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足＝[f(x)＋2f′(1)]－ln(x＋1)，则f′(1)值为(　　)
A．0
B．ln2
C.
D．2
解析：由于A、B、C三点共线，于是有f(x)＋2f′(1)－ln(x＋1)＝1，
即f(x)＝ln(x＋1)－2f′(1)＋1，则f′(x)＝.于是f′(1)＝，选C.
答案：C
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案：1
8．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.
解析：f′(x)＝(a·ex＋blnx)′＝aex＋，
∴f′(1)＝ae＋b＝e，f′(－1)＝－b＝.
∴a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
答案：1
9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N
，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2011＝__________.
解析：∵f1′(x)＝cosx－sinx，
∴f2(x)＝cosx－sinx，f2′(x)＝－sinx－cosx.
∴f3(x)＝－sinx－cosx，f3′(x)＝－cosx＋sinx.
∴f4(x)＝－cosx＋sinx，f4′(x)＝sinx＋cosx.
∴f5(x)＝sinx＋cosx.∴f5(x)＝f1(x)．
不难得出fn(x)＝fn＋4(x)，
∴f1＋f2＋…＋f2011
＝f1＋f2＋…＋f2011＋f2012－f2012
＝503－f2012
＝503
－f4
＝－＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．(1)求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程；
(2)运动曲线方程为s＝＋2t2，求t＝3时的瞬时速度．
解：(1)y′＝＝，
y′|x＝1＝＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0，因此曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y＝1.
(2)s′＝′＋(2t2)′＝＋4t＝－＋＋4t，
s′|t＝3＝－＋＋12＝11.
11．路灯距地平面为8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
解：设路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB.
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t秒，AB为人影长度，设为y，
则∵BE∥CD，∴＝.∴＝.
又84
m/min＝1.4
m/s，∴y＝x＝t(x＝1.4t)．
∴y′t＝.∴v＝
m/s.
∴人影长度的变化速率为
m/s.
12．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．
(1)若a＝1，求b的值；
(2)试写出b关于a的函数关系式．
解：(1)y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．
∴
由x0＋2＝，得x0＝1或x0＝－3(舍去)．
所以b＝.
(2)y＝f(x)(x>0)，y＝g(x)(x>0)
在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即
解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
∴b＝a2－3a2lna(a>0)．第一章　§1.1　课时作业2
一、选择题
1．在f′(x0)＝
中，Δx不可能(　　)
A.
大于0
B.
小于0
C.
等于0
D.
大于0或小于0
解析：由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.
答案：C
2．设f(x)在x＝x0处可导，则
等于(　　)
A．－f′(x0)
B．f′(－x0)
C．f′(x0)
D．2f′(x0)
解析：
＝－
＝－
＝－f′(x0)．
答案：A
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A.
f′(x0)＝－a
B.
f′(x0)＝－b
C.
f′(x0)＝a
D.
f′(x0)＝b
解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，
∴＝a＋bΔx.
∴
＝
(a＋bΔx)．
∴f′(x0)＝a.
故选C.
答案：C
4．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(　　)
A．at0
B．－at0
C.at0
D．2at0
解析：∵＝＝aΔt＋at0，
∴
＝at0.
答案：A
二、填空题
5．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．
解析：由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝，则
＝________.
解析：令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，
＝
＝
＝
＝－.
答案：－
7．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________.
解析：∵f(x)＝，
∴f′(m)＝
＝
＝
＝－.
又f′(m)＝－，∴－＝－.
∴m＝±4.∴f(m)＝＝±.
答案：±
三、解答题
8．已知函数f(x)＝，求f′(1)·f′(－1)的值．
解：当x＝1时，＝
＝＝.
由导数的定义，得f′(1)＝
＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解：令t0＝，Δt为增量．
则
＝
＝
＝－4.9(＋Δt)＋6.5.
∴
＝[－4.9(＋Δt)＋6.5]＝0，
即运动员在t0＝
s时的瞬时速度为0
m/s.
说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．第三章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题
1．[2013·辽宁高考]复数z＝的模为(　　)
A.
B.
C.
D.
2
解析：z＝＝＝＝－－i，|z|＝＝，故选B.
答案：B
2．[2014·课标全国卷Ⅰ]＝(　　)
A.
1＋i
B.
－1＋i
C.
1－i
D.
－1－i
解析：＝＝＝－1－i，选D.
答案：D
3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．以上都不对
解析：因为(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
所以x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，解得x＝1.
答案：A
4．[2013·湖北高考]在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解析：z＝＝1＋i，故＝1－i，其对应的点位于第四象限．
答案：D
5．[2013·课标全国卷Ⅰ]若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
A.
－4
B.
－
C.
4
D.
解析：∵|4＋3i|＝＝5，∴z＝＝＝＋i，虚部为，故选D.
答案：D
6．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于(　　)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，因为m，n∈R，所以所以即m＋ni＝2＋i.
答案：C
7．若z＝x＋yi(x，y∈R)是方程z2＝－3＋4i的一个根，则z＝(　　)
A．1－2i
B．－1＋2i
C．－1－2i
D．2＋i
解析：利用完全平方公式，代入验证：(－1－2i)2＝(1＋2i)2＝1－4＋4i＝－3＋4i.
答案：C
8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，所以n2＝m2，故m＝n，则可以取1,2，…，6，共6种可能.
所以P＝＝.
答案：C
9．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于(　　)
A.
B.
C.
－
D.
－
解析：z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，
因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝，因此选A.
答案：A
10．设复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z等于(　　)
A．－＋i
B.－i
C．－－i
D.＋i
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
法二：∵|z|∈R，由复数相等的充要条件可知：若等式z＋|z|＝2＋i成立，则必有虚部为1，
故可设z＝x＋i(x∈R)，代入原等式有：x＋＝2，解得x＝，所以z＝＋i.
答案：D
11．[2013·陕西高考]设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A.
若|z1－z2|＝0，则1＝2
B.
若z1＝2，则1＝z2
C.
若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D.
若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2成立．
B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，
则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
答案：D
12．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则|2x＋4y|的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得x＋2y＝3.
则2x＋4y≥2＝2＝4.
答案：C
二、填空题
13．[2013·天津高考]已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：∵(a＋i)(1＋i)＝a＋ai＋i＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，
又由已知(a＋i)(1＋i)＝bi，得解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝__________.
解析：∵＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i，
∴||＝2.
答案：2
15．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
解析：－＝－
＝－＝，
其虚部为.
答案：
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且满足＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第__________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点在第四象限．
答案：四
三、解答题
17．(10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
解：因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i.
根据复数相等的定义，得
　　　
方程①的解为x＝－3或x＝2，
方程②的解为x＝－3或x＝6.
∴x＝－3.
18．(12分)计算：(1)；
(2).
解：(1)＝＝＝2.
(2)＝＝＝＝＝－＋i.
19．(12分)已知z＝1＋i，若＝1－i，求实数a，b的值．
解：∵z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b
＝a＋b＋(2＋a)i，
z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，
∴＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i.
∴解得
20．(12分)[2014·临沂检测]数列{an}满足a1＝2i，(1＋i)an＋1＝(1－i)an，求a10的值．
解：由于(1＋i)an＋1＝(1－i)an，则＝＝－i.
∴数列{an}是以2i为首项，以－i为公比的等比数列
∴a10＝a1·(－i)9＝2i(－i)9＝2.
21．(12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2，求|z|的值及实部的取值范围．
解：∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝(x＋)＋(y－)i.
∵ω是实数且y≠0，∴y－＝0，
即x2＋y2＝1，∴|z|＝1，此时ω＝2x.
由－1<ω<2，得－1<2x<2.
∴－22．(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数．
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝.
∵为纯虚数，
∴
即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，
由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.第二章　§2.3　课时作业21
1．证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N
)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N
都成立．
2．[2014·吉安检测]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N
)．
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝.
(2)由(1)的计算猜想：an＝.
下面用数学归纳法进行证明
①当n＝1时，a1＝1，等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可知，对任意n∈N
都有an＝.
3．证明凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
证明：(1)当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥4且k∈N
)时命题成立．即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)，当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.
∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1
＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)
＝(k＋1)[(k＋1)－3]．
故当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n≥4，n∈N
，命题成立．
4．[2014·安徽高考]设实数c>0，整数p>1，n∈N
.
(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px；
(2)数列{an}满足a1>c，
an＋1＝an＋a.
证明：an>an＋1>c.
解：(1)证明：用数学归纳法证明：
①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设p＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．
当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以p＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)证法一：先用数学归纳法证明an>c.
①当n＝1时，由题设a1>c知an>c成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，不等式ak>c成立．
由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N
.
当n＝k＋1时，＝＋a＝1＋(－1)．
由ak>c>0得－1<－<(－1)<0.
由(1)中的结论得()p＝[1＋(－1)]p>1＋p·(－1)＝.
因此a>c，即ak＋1>c.
所以n＝k＋1时，不等式an>c也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．
再由＝1＋(－1)可得<1，即an＋1综上所述，an>an＋1>c，n∈N
.
证法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，并且f′(x)＝＋(1－p)x－p＝(1－)>0，x>c.
由此可得，f(x)在[c，＋∞)上单调递增，
因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.
①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知
a2＝a1＋a＝a1[1＋(－1)]c，从而a1>a2>c.
故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，不等式ak>ak＋1>c成立，则
当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c)，即有ak＋1>ak＋2>c.
所以n＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．第三章　单元综合检测(二)
(时间120分钟　　满分150分)
一、选择题
1．复数z是实数的充分而不必要条件是(　　)
A．|z|＝z
B．z＝
C.
z2是实数
D．z＋是实数
解析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件，即当满足条件时z为实数，但复数z为实数时，条件不一定成立．
当z＝i时，z2＝－1，故C不成立．
当z为虚数且非纯虚数时，z＋是实数，故D不成立．
若z＝，设z＝a＋bi，则＝a－bi，由复数相等，得b＝0，∴复数z为实数；反之，若复数z为实数，则必有z＝，故B是充要条件．
当|z|＝z，设z＝a＋bi，由复数相等，得b＝0，∴复数z为实数；反之，若复数z为实数且a<0时得不出|z|＝z.
答案：A
2．[2013·北京高考]在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解析：(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D.
答案：D
3．[2013·山东高考]复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)
A.
2＋i
B.
2－i
C.
5＋i
D.
5－i
解析：由题意得z＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i，故选D.
答案：D
4．[2014·课标全国卷Ⅱ]设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)
A.
－5
B.
5
C.
－4＋i
D.
－4－i
解析：由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
答案：A
5．对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数．
②如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆．
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0.
④x轴是复平面的实轴，y轴是虚轴．
其中正确的有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：①正确．因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则|z|＝>0.②正确．因为|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上．③错误．因为|cosθ＋isinθ|＝＝1为定值，最大、最小值相等都是1.④正确．故应选D.
答案：D
6．复数z＝＋(3－i)，若z为实数，则实数m的值为(　　)
A．0
B．－4
C．－6
D．－8
解析：z＝＋(3－i)＝＋(3－i)
＝(＋i)＋(3－i)＝－i.
z为实数，则＝0，得m＝0.
答案：A
7．[2014·浙江高考]已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.
答案：A
8．已知z1＝，z2＝，则|z2|的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：|z2|＝，|z1|＝＝，
所以|z2|＝，故选C.
答案：C
9．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A.
2－2i
B.
2＋2i
C.
－2＋2i
D.
－2－2i
解析：∵b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，∴b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，∴∴∴z＝2－2i.故选A.
答案：A
10．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(　　)
A.
一个圆
B.
线段
C.
两个点
D.
两个圆
解析：由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|＋1)＝0.
∵|z|＋1>0，
∴|z|－3＝0，即|z|＝3.
∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.
答案：A
11．[2012·上海高考]若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A.
b＝2，c＝3
B.
b＝－2，c＝3
C.
b＝－2，c＝－1
D.
b＝2，c＝－1
解析：∵1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，整理得(b＋c－1)＋(2＋b)i＝0，则解得故选B.
答案：B
12．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|－3的最小值是(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：方法一：(几何法)
|z＋2－2i|＝1表示圆心为点(－2,2)，半径为1的圆，而|z－2－2i|表示圆上的点到点(2,2)的距离，其最小值为3，
∴|z－2－2i|－3的最小值为0.故选B.
方法二：(代数法)设z＝x＋yi(x，y∈R)，因此有|x＋2＋(y－2)i|＝1，即(x＋2)2＋(y－2)2＝1.
又|z－2－2i|
＝
＝
＝.
又∵|x＋2|≤1，∴－3≤x≤－1，∴在x＝－1时，|z－2－2i|取得最小值，最小值为3.
∴|z－2－2i|－3的最小值为0.故选B.
答案：B
二、填空题
13．[2013·江苏高考]设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析：∵z＝(2－i)2＝3－4i，
∴|z|＝＝5.
答案：5
14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝
＝.
若为纯虚数，则 a＝.
答案：
15．设z1是复数，z2＝z1－i(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部是__________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，∴z2＝a＋bi－i(a－bi)
＝(a－b)－(a－b)i.
由已知得a－b＝1.
∴z2的虚部为－1.
答案：－1
16．计算(2＋i15)－()22＝__________.
解析：原式＝(2＋i12·i3)－[()2]11＝(2－i)－i11＝2－i＋i＝2.
答案：2
三、解答题
17．(10分)6＋
解法一：原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
解法二：原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
18．(12分)已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
解：设z＝a＋bi，则＝a－bi(a，b∈R)，
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i.
∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.
∴∴a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝2－i.
∴＝＝＝＋i.
19．(12分)已知复数z1＝，z2＝a－3i(a∈R)．
(1)若a＝2，求z1·；
(2)若z＝是纯虚数，求a的值．
解：由于z1＝＝＝
＝＝1－3i.
(1)当a＝2时，z2＝2－3i，
∴z1·＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i－6i＋9＝11－3i.
(2)若z＝＝＝＝为纯虚数，则应满足
解得a＝－9.即a的值为－9.
20．(12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值．
(2)若x∈C，求x的值．
解：(1)x∈R时，由方程得
(x2－3x)＋(2x－6)i＝0.
则得x＝3.
(2)x∈C时，设x＝a＋bi(a、b∈R)代入方程整理得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则
得或.
故x＝3或x＝－2i.
21．(12分)[2014·盐城高二检测]已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，
∵(1＋3i)·z是纯虚数，
∴3－3b＝0，且9＋b≠0.
∴b＝1，∴z＝3＋i.
(2)w＝＝＝＝－i.
∴|w|＝＝.
22．(12分)已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，求|z1·z2|的最大值和最小值．
解：|z1·z2|＝|1＋sinθcosθ＋(cosθ－sinθ)i|
＝
＝＝.
∵0≤sin22θ≤1，
∴2≤2＋sin22θ≤.
∴≤≤.
∴|z1·z2|的最大值为，最小值为.第二章　§2.1　课时作业17
一、选择题
1．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a证明：
∴a画框格部分是演绎推理的(　　)
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
解析：本题应用了三段论．大前提是大角对大边，小前提是∠A<∠B.故选B.
答案：B
2．下面几种推理是演绎推理的是(　　)
A.
全等三角形的对应角相等，如果△ABC≌△A′B′C′，则A＝A′
B.
某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人
C.
由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质
D.
在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此猜想出{an}的通项公式
解析：B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
答案：A
3．指数函数都是增函数，
大前提
函数y＝()x是指数函数，
小前提
所以函数y＝()x是增函数．
结论
上述推理错误的原因是(　　)
A.
大前提不正确
B.
小前提不正确
C.
推理形式不正确
D.
大、小前提都不正确
解析：大前提错误．因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)．
在a>1时是增函数，而在0答案：A
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)，若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)
A.
－1B.
0C.
－D.
－解析：(x－a) (x＋a)<1对任意x恒成立
(x－a)[1－(x＋a)]<1对任意x恒成立
x2－x－a2＋a＋1>0对任意x恒成立
Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0 －答案：C
二、填空题
5．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52；结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
6．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2<0，显然此不等式解集为 .
②a≠0时须有
∴0答案：[0,2]
7．有些导演留大胡子，因此，有些留大胡子的人是大嗓门，为使上述推理成立，请补充大前提________________．
解析：利用“三段论”推理．
大前提：所有导演是大嗓门，
小前提：有些导演留大胡子，
结论：有些留大胡子的人是大嗓门．
答案：所有导演是大嗓门
三、解答题
8．如图所示，在梯形ABCD中，AB＝DC＝AD，AC和BD是对角线．求证：CA平分∠BCD.
证明：等腰三角形两底角相等(大前提)，
△DAC是等腰三角形，DA，DC是两腰(小前提)，
∴∠1＝∠2(结论)．
两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提)，
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截出的内错角(小前提)，
∴∠1＝∠3(结论)．
等于同一个量的两个量相等(大前提)，
∠2和∠3都等于∠1(小前提)，
∴∠2＝∠3(结论)，
即CA平分∠BCD.
9．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；
(2)判断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5，－2]上的单调性，并加以证明．
解：(1)证法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)，
∵x1∴x2＋x1－2<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)于是，根据“三段论”可知，
f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
证法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，x－1<0，
∴－2(x－1)>0.
∴f′(x)>0在x∈(－∞，1)上恒成立．
故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
(2)f(x)在区间[－5，－2]上单调递增，证明如下：
∵由(1)可知f(x)在(－∞，1]上是增函数，
而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，
∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．习题课(3)
一、选择题
1．由三条直线x＝1，x＝3，y＝2x＋5和一条曲线y＝x2所围成的图形的面积可表示为(　　)
A.(x2＋2x＋5)dx
B.(2x＋5－x2)dx
C.(x2－2x－5)dx
D．不能确定
解析：由定积分的几何意义．∵x∈[1,3]时，2x＋5≥x2，∴S＝(2x＋5－x2)dx.
即两部分曲边梯形面积之差(2x＋5)dx－x2dx
∴应选B.
答案：B
2.
写成定积分的形式，可记为(　　)
A.sinxdx
B.sinxdx
C.sinxdx
D.dx
解析：由定积分的定义，函数f(x)在[a，b]上的定积分是一个和式(ξi)的极限．
即f(x)dx＝(ξi).
而
＝
，
即函数sinx在区间[0，π]上的定积分，∴选择A.
答案：A
3．[2013·江西高考]若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A.
S1B.
S2C.
S2D.
S3解析：S1＝x2dx＝x3＝×(23－1)＝，
∴1S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)>3.
所以S2答案：B
4.(2x－3x2)dx＝0，则k＝(　　)
A．0
B．1
C．0或1
D．以上均不对
解析：(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝k2(1－k)＝0
∴k＝0或k＝1.
答案：C
5．汽车以32
m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－8
m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为(　　)
A.
128
m
B.
64
m
C.
32
m
D.
80
m
解析：由匀减速运动可得v(t)＝v0＋at，
其中v0＝32
m/s，a＝－8
m/s2，
故v(t)＝32－8t，令v(t)＝0，得t＝4，即刹车时间为4
s，可得刹车距离为
s＝(32－8t)dt＝(32t－4t2)＝64(m)．
答案：B
6．[2014·江西高考]若f(x)＝x2＋2f(x)dx,
则＝(　　)
A.
－1
B.
－
C.
D.
1
解析：因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，所以x2＋c＝x2＋2(x3＋cx)，解得c＝－，
f(x)dx＝(x2＋c)dx＝(x2－)dx＝(x3－x)＝－.
答案：B
二、填空题
7．[2012·江西高考]计算定积分
(x2＋sinx)dx＝________.
解析：
(x2＋sinx)dx＝(－cosx)＝.
答案：
8.
(|x－1|＋3)dx＝__________.
解析：利用分段函数求定积分的方法求．
[(1－x)＋3]dx＋(x－1＋3)dx＝－2(4－x)dx＋(x＋2)dx＝＋＝4×1－－4×(－2)＋＋＋2×4－－2＝27.
答案：27
9．一物体以v(t)＝(m/s)的速度沿直线运动，该物体开始运动后10
s内所经过的路程__________．
解析：本题为定积分在物理上的应用，求变速直线运动的位移．()dt＝(1＋t)＝(1＋10)－(1＋0)＝(11－1)．
答案：(11－1)
三、解答题
10．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.
①
∵f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(0)＝b＝2.
②
∵f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx＝(ax3＋bx2＋cx)＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得
∴f(x)＝－x2＋2x－.
11．已知A、B相距400
m，甲、乙两物体都沿直线从A运动到B，甲物体的速度为v(t)＝2t
m/s，乙物体的速度为v(t)＝(t＋5)2
m/s，若甲比乙先出发5
s，问从A到B的过程中，甲、乙两物体能否相遇．
解：假设甲出发后t0秒相遇，则s甲＝∫t002tdt＝t，
s乙＝(t＋5)2dt＝＝－，
若t＝－，化简得t－18t－125＝0.
含f(t)＝t3－18t2－125，则f(15)<0，f(20)>0，
故f(t)＝0在(15,20)内必有根，记为t0.
因此s甲＝s乙＝t<202＝400.
∴从A到B的过程中，甲、乙两物体可以相遇．
12．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝1，
求证：[f(x)]2dx>1.
证明：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则由
f(x)dx＝(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)＝k＋b＝1，得b＝1－k.
∴f(x)＝kx＋1－k.
∴[f(x)]2＝(kx＋1－k)2＝k2x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2.
∴[f(x)]2dx
＝[k2x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2]dx
＝[k2x3＋k(1－k)x2＋(1－k)2x]
＝k2＋k(1－k)＋(1－k)2
＝k2＋1>1(k≠0)．
∴[f(x)]2dx>1.习题课(2)
一、选择题
1．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是(　　)
A．y＝2－3x2
B．y＝lnx
C．y＝
D．y＝sinx
解析：对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项均不符合要求，故选C.
答案：C
2．函数y＝f(x)的定义域为R，导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A.
无极大值点，有四个极小值点
B.
无极小值点，有四个极大值点
C.
有两个极大值点，两个极小值点
D.
有三个极大值点，一个极小值点
解析：f′(x)＝0的根分别如题图a、c、e、g.
x0，a∴a为极大值点．
又c0知c为极小值点，
eg0知g为极小值点．故选C.
答案：C
3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有(　　)
A．a＝－2，b＝4
B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3
D．a＝2，b＝－4
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.
答案：B
4．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
解析：设F(x)＝f(x)－g(x)，
F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上为减函数，
∴当x＝a时，F(x)取最大值f(a)－g(a)．
答案：A
5．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥3
B．a＝3
C．a≤3
D．0解析：f′(x)＝3x2－2ax，
∵f(x)在(0,2)内递减，
∴∴
∴a≥3，故选A.
答案：A
6．[2013·湖北高考]已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1A.
f(x1)>0，f(x2)>－
B.
f(x1)<0，f(x2)<－
C.
f(x1)>0，f(x2)<－
D.
f(x1)<0，f(x2)>－
解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
即曲线y1＝1＋lnx与y2＝2ax有两个不同交点，如图．
由直线y＝x是曲线y＝1＋lnx的切线，
可知：0<2a<1，且0∴a∈(0，)．
由0当x10，当x>x2时，f′(x)<0，
∴f(x2)>f(1)＝－a>－，故选D.
答案：D
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案：2
8．设p：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是递增的，q：m≥－4，则p是q的________条件．
解析：f(x)＝lnx＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是递增的，可知在(0，＋∞)上f′(x)＝＋4x＋m≥0恒成立，而＋4x≥4，当且仅当x＝时等号成立，(＋4x)min＝4，故只需要4＋m≥0，即m≥－4即可．故p是q的充要条件．
答案：充要
9．方程－＋3＝0的解有________个(填数字)．
解析：设f(x)＝－＋3，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝－－<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(9)＝>0，f(100)＝－10＋3<0，所以曲线f(x)在(0，＋∞)上与x轴只有1个交点，即原方程只有1个解．
答案：1
三、解答题
10．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x4－2x2；
(2)f(x)＝x2e－x.
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1.
列表：
x
(－∞－1)，
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
极小值
?
从表中可以看出：
当x＝0时，函数有极大值，且f(0)＝0；
当x＝－1或x＝1时，函数有极小值，
且f(－1)＝f(1)＝－1.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝()′＝
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－x·x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
列表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
由上表可以看出：
当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
11．[2014·课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.
故a＝1，b＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝exlnx＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.
设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.
所以当x∈(0，)时，g′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g()＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，
h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x),
即f(x)>1.
12．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，求b的取值范围；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)解：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，
∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝x－3x2.
当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.
(2)由题意知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.
x∈[－1,2]时，f(x)∵f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0,
得x＝1或x＝－.
∵f(1)＝－＋c,
f(－)＝＋c，
f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c.
∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c解得c>2或c<－1，
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．第一章　§1.1　课时作业3
一、选择题
1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝(　　)
A.
0
B.
－3x
C.
3
D.
－3
解析：f′(x)＝
＝
＝
(－3)＝－3.
答案：D
2．已知函数y＝f(x)的图象如右图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图象易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA答案：B
3．已知曲线y＝－x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为(　　)
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
解析：∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，则过点P的切线斜率为f′(1)＝k＝－1.
∴点P的切线的倾斜角为135°.
答案：C
4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图象可能是(　　)
解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B符合．
答案：B
二、填空题
5．曲线f(x)＝x2在x＝0处的切线方程为__________．
解析：f′(0)＝
＝Δx＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y＝0.
答案：y＝0
6．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝_______________________________.
解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7．曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝__________.
解析：因为f′(a)＝
＝3a2，所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．令y＝0，得切线与x轴的交点为(a,0)，由题设知三角形面积为|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
答案：±1
三、解答题
8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．
解：由导数的定义，得
f′(x)＝
＝
＝
[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，
∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.
9．已知曲线y＝上点P(2，－1)．
求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝
＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
y′|x＝2＝＝1；
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.第二章　单元综合检测(一)
(时间120分钟　　满分150分)　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是(　　)
A.
归纳推理
B.
类比推理
C.
演绎推理
D.
非以上答案
解析：由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，∵f(x)＝x2时，f(－x)＝f(x)，∴“f(x)＝x2在R上是偶函数”是利用演绎推理．
答案：C
2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)
A.
使用了归纳推理
B.
使用了类比推理
C.
使用了“三段论”，但大前提错误
D.
使用了“三段论”，但小前提错误
解析：大前提错误，小前提正确．
答案：C
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设(　　)
A.
三角形的三个内角都不大于60°
B.
三角形的三个内角都大于60°
C.
三角形的三个内角至多有一个大于60°
D.
三角形的三个内角至少有两个大于60°
解析：其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．
答案：B
4．分析法是要从证明的结论出发逐步寻求使结论成立的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．等价条件
解析：由分析法定义知选A.
答案：A
5．[2012·江西高考]观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A.
28
B.
76
C.
123
D.
199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N
，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
解析：n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4.
答案：D
7．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：由题设f(x)满足：“当f(x)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，对于A不一定有k＝1,2时成立．
对于B、C显然错误．
对于D，∵f(4)＝25>42，因此对于任意的k≥4，
有f(k)≥k2成立．
答案：D
8．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是(　　)
A.
(0,6]
B.
[6，＋∞)
C.
[1＋，＋∞)
D.
(0,1＋]
解析：x＋y＋3＝xy≤()2 (x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，当且仅当x＝y＝3时等号成立．
答案：B
9．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是零
D．正、负不能确定
解析：∵(a＋b＋c)2＝0，
∴ab＋bc＋ac＝－(a2＋b2＋c2)<0.
又abc>0，∴＋＋＝<0.
答案：B
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：∵Sn＝n2·an(a≥2)，a1＝1，
∴S2＝4·a2＝a1＋a2 a2＝＝.
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3 a3＝＝＝.
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4 a4＝＝.
∴猜想an＝.
答案：B
11．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A.
(0,1)
B.
[0,1)
C.
(0,1]
D.
[0,1]
解析：∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，
∴4－4m>0，∴m<1.
由f(1－x)≥－1，得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，
即x2＋m≥0，∴m≥－x2.
∵－x2的最大值为0，∴0≤m<1.
答案：B
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法，……则他从平地上到第n(n≥3)级台阶时的走法f(n)等于(　　)
A．f(n－1)＋1
B．f(n－2)＋2
C．f(n－2)＋1
D．f(n－1)＋f(n－2)
解析：到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法，从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2)种走法．
答案：D
二、填空题
13．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝__________.
解析：f(n＋1)－f(n)＝(＋＋…＋＋＋)－(＋＋…＋)＝＋－＝－.
答案：－
14．[2014·课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
15．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是____________________________________________．
解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．
答案：正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
16．[2012·陕西高考]观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
解析：观察得出规律，第n(n∈N
)个不等式的左边为1＋＋＋…＋，右边为，因此可得第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案：1＋＋＋＋＋<
三、解答题
17．(10分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明：＋是无理数．
证明：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数且＋为有理数，
∴即－为有理数．
∴(＋)＋(－)，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
18．(12分)已知a、b、c是不等正数，且abc＝1，
求证：＋＋<＋＋.
证明：∵a、b、c是不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋
<＋＋
＝＋＋.
故＋＋<＋＋.
19．(12分)函数列{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]．
(1)求f2(x)、f3(x)；
(2)猜想fn(x)的表达式，并证明．
解：(1)f1(x)＝(x>0)，
f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝
＝.
(2)猜想fn(x)＝，
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，命题显然成立．
②假设当n＝k时，fk(x)＝，
那么fk＋1(x)＝
＝＝.
这就是说，当n＝k＋1时命题成立．
由①②，可知fn(x)＝对所有n∈N
均成立．
20．(12分)[2012·福建高考]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
21．(12分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R且f(x＋1)＝，试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)证明：tan＝
＝；
(2)f(x)是以4为一个周期的周期函数．
证明如下：
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)．
∴f(x)是周期函数．
22．(12分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N
)且点P1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N
，点Pn都在(1)中的直线l上．
解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.
∴点P2的坐标为.
∴直线l的方程为2x＋y＝1.
(2)证明：①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．
②假设n＝k(k∈N
，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立．
则2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1
＝(2ak＋1)＝＝＝1.
∴n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N
，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．第一章　§1.4　课时作业11
一、选择题
1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于(　　)
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
解析：作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一点f(ξi)．
答案：C
2．在求由直线x＝a，x＝b(aA．n个小曲边梯形的面积和等于S
B．n个小曲边梯形的面积和小于S
C．n个小曲边梯形的面积和大于S
D．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
解析：由题意内容知A选项正确．
答案：A
3．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)
A.
B.
C．1
D.
解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
答案：B
4．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则()2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．
依题意得
(1＋)(1＋)＝9，∴＝9，解得a＝3.
答案：C
二、填空题
5．和式(xi－5)＝________.
解析：(xi－5)＝(x1－5)＋(x2－5)＋…＋(x10－5)＝(x1＋x2＋…＋x10)－50
答案：(x1＋x2＋…＋x10)－50
6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
答案：55
7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为__________、__________.
解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
答案：3.92　5.52
三、解答题
8．已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
解：将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为[1＋，1＋]，
在第i个时间段的路程近似为Δsi＝v(1＋)Δt＝[－(1＋)2＋2(1＋)]·，i＝1,2，…，n.
所以sn＝si＝－(1＋)2＋2(1＋)]·＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
＝－[－]＋·
＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋，
s＝sn＝[－(2＋)(4＋)＋(1＋)·(2＋)＋3＋]＝，
所以这段时间行驶的路程为
km.
9．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．
解：(1)分割：
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，1]，
记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
根据题意可得第i个小曲边梯形的面积
ΔSi＝|f()·Δx|＝|[·(－1)]·|＝·(1－)(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和
Sn＝f()·Δx|＝·(1－)＝·(1－)，
从而得到所求图形面积的近似值S≈·(1－)．
(4)取极限
S＝
·(1－)＝，
即直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为.第一章　§1.2　课时作业5
一、选择题
1．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是(　　)
A.
甲大
B.
乙大
C.
相等
D.
无法比较
解析：v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．
答案：B
2．下列求导数运算正确的是(　　)
A．(x＋)′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
解析：对于A，(x＋)′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.
答案：B
3．[2014·湖南模拟]曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)
A.
－
B.
C.
－
D.
解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.
答案：B
4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析：依据题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．
根据导数的运算法则可以求得y′＝－2x，所以曲线在P点处的切线的斜率k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1，得x0＝－.
故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.
答案：B
二、填空题
5．[2013·江西高考]设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝1＋1＝2.
答案：2
6．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝__________.
解析：f(x)＝(x2－4)(x－a)
＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4，又f′(－1)＝0，
即3×(－1)2－2a×(－1)－4＝0，
∴a＝.
答案：
7．[2014·广东高考]曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．
解析：由y＝e－5x＋2 y′＝－5e－5x 切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，于是切线方程为y－3＝－5(x－0) 5x＋y－3＝0.
答案：5x＋y－3＝0
三、解答题
8．求下列函数的导数．
(1)y＝sinx－2x2；
(2)y＝cosx·lnx；
(3)y＝.
解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′
＝cosx－4x.
(2)y′＝(cosx·lnx)′
＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′
＝－sinx·lnx＋.
(3)y′＝()′
＝
＝
＝.
9．求下列复合函数的导数．
(1)y＝(2x＋1)5；
(2)y＝；
(3)y＝e3x＋1；
(4)y＝5log2(2x＋1)．
解：(1)设u＝2x＋1，则y＝u5，
∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′
＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2
＝10(2x＋1)4.
(2)设u＝1－3x，则y＝u，
∴y′x＝y′u·u′x＝·u－·(1－3x)′
＝··(－3)
＝－.
(3)设u＝3x＋1，则y＝eu，
∴y′x＝(eu)′·(3x＋1)′
＝eu·3＝3e3x＋1.
(4)设u＝2x＋1，则y＝5log2u，
∴y′x＝5·(log2u)′·(2x＋1)′
＝＝.