2018
届江苏省侯集高级中学高三数学第二次调研试卷
数学参考答案（理）
一、填空题
1．
；
2． -1,1 ；
3．
-1；
4．
(0,
1)
2；
5．
；
2
3
9
1
1
6．
2
；
7．
(
,
)
；
8．①②；
9．8；
10．
-
2；
2
4
2
5
11．
；
12．3
；
13．
2
；
14．[0,3]
.
5
二、解答题
15.
（本题满分
14分）解：（1）∵a∥b，∴
sin
2cos
0，即
tan
2．……4分
∴
tan(
π)
1
tan
1
2
3．
…………7分
4
1
tan
1
2
2
π
2
5
5（
）由（1）知
tan
2，又
(0,
)
，∴
sin
,
cos
，
…………9分2
5
5
∴5cos(
)
3
5
cos
，
∴5(cos
cos
sin
sin )
3
5
cos
，即
5
cos
2
5
sin
3
5
cos
，
∴
cos
sin
，即
tan
1，
…………12分
又0
，∴
．
…………14分
2
4
16.
（本题满分
14分）证明（1）：连接
BC1，设
BC1
B1C
F
，连接OF
，
……2
分
因为
O，F分别是
B1D与
B1C的中点，所以OF
//DC
OF
1
，且
DC
，又
E
为
AB
中点，
2
D1
C1
所以
EB
//DC，且
EB
1
DC，
2
A1
B1
从而OF
//
EB,OF
EB，即四边形
OEBF
是平行四边形，
所以OE
//
BF
，
……………6分
又OE
面
BCC1B1，
BF
面
BCC
D1B1，
C
所以OE
//
面
BCC1B1
.
……………8分
A
E
B
1
第
16
题
（2）因为DC
面BCC1B1
，
BC1
面
BCC1B1，
D1
C1
所以
BC1
DC，
…………
10
分
A
B11
又BC1
B1C
，且DC,B1C
面
B1DC
，DC
B1C
C，
O
F
所以
BC1
面
B1DC
，…………12
分
D
而BC1
//OE
，所以OE
面
B1DC
，又OE
面
B1DE
C
，
所以面B1DC
面
B1DE
.
………14
分
A
E
B
15
1
ac
sin
B
a
2
1
c
sin
B
a17.
（本题满分
分）（1）由题设得
，即
，由正
2
3sin
A
2
3sin
A
1
sinC
sin
B
sin
A
2弦定理得
，故
sin
B
sinC
.
2
3sin
A
3
（
2
）
由
题
意
6cos
B
cosC
1
即
（
1
）
得
cosB
cosC
sin
B
sinC
1
，
即
2
cos(B
C)
1
2π
π
所以
B
C
，故
A
.
2
3
3
1
bc
sin
A
a
2
由题设得
，即bc
8
.[]
2
3sin
A
2
2
由余弦定理得3
b
c
bc，即
(b
c)2
3bc
9，得b
c
33
.
故△ABC的周长为3
33
.
18.
（本题满分
15分）解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为
200
，T
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小
4
km/h，即
v
4
，
所以
200T
v
4
，即T
200
，(
v
4
)；（4分）
v
4
2
（2）(ⅰ)
当能量次级数为
2时，由（1）知
E
200c
v
，
v
4，v
4
(v
4)
4
2
200c
v
4
200c
(v
4)
16
v
8
4
≥200c
2
(v
4)
16
v
8
4
2
=3200c（当且仅当
v
4
16
即
v
8
km/h时，取等号）（9分）v
4
3
(ⅱ)
当能量次级数为
3时，由（1）知
E
200c
v
，
v
4，v
4
2v2
所以
E
200c
(v
6)
0
得
v
6，(11
分）
(v
4)2
当
v
6时，
E
0，
E(v)单调递减；当
v
6时，
E
0，
E(v)单调递增，（13
分）
所以当
v
6时，
Emin
=21600c．（14分）
答：(ⅰ)
该探测器消耗的最少能量为
3200c；
(ⅱ)
v
6km/h时，该探测器消耗的能量最少．（15分）
19．（本题满分
16分）解：（1）若
f
(x)
为奇函数，则
f
( x)
f
(x)
，
令
x
0
得，
f
(0)
f
(0)
，即
f
(0)
0，
所以
a
0，此时
f
(x)
x
x
为奇函数．
……
4分
（2）因为对任意的
x [2，
3]，
f
(x)≥0
恒成立，所以
f
(x)min≥0
．
当
a≤0
时，对任意的
x [2，
3]，
f
(x)
x
x
a
a≥0
恒成立，所以
a≤0
；
……
6分
x2
ax
a，
x
a，
当
a
0时，易得
f
(x)
在
，
a
上是单调增函数，在
a，
a 上是单
x
2
ax
a，
x
a
≥
2
2
调减函数，在
a，
上是单调增函数，
……
8分
当
0
a
2
时，
f
(x)min
f
(2)
2(2
a)
a≥0
，解得
a≤
4
，所以
a≤
4
；
……
10分
3
3
当
2≤a≤3时，
f
(x)min
f
(a)
a≥0
，解得
a≤0
，所以
a不存在；
……
12分
当
a
3
时，f
(x)min
min
f
(2)，f
(3) =min
2(a
2)
a，3(a
3)
a
≥0
，解得
a≥9
，
所2
以
a≥9
；
……
15分
2
综上得，
a≤
4
或
a≥9
．
……
16分
3
2
3
20.
（本题满分
16分）
解：（1）因为
a＝b＝1，所以
f(x)＝x
2－x＋lnx，
从而
f
′(x)＝2x
1－1＋
．
x
因为
f(1)＝0，f
′(1)＝2，故曲线
y＝f(x)在
x＝1处的切线方程为
y－0＝2(x－1)，
即
2x－y－2＝0．
……
3分
（2）因为
b＝2a＋1，所以
f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，
2
f
′(x)
2ax
(2a
1)
1
2ax
－(2a＋1)x＋1
(2ax－1)(x－1)从而
＝
－
＋
＋
＝
＝
，x＞0．
……
5
x
x
x
分
当
a≤0时，x∈(0，1)时，f
′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f
′(x)＜0，
所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
……
7分
当
0＜a
1
1＜
时，由
f
′(x)＞0得
0＜x＜1或
x＞
，由
f
′(x)＜0得
1
x
1＜
＜
，
2
2a
2a
所以
f(x)在区间(0，1)和区间(
1
1，＋∞)上单调递增，在区间(1，
)上单调递减．
2a
2a
1
当
a＝
时，因为
f
′(x)≥0（当且仅当
x＝1时取等号），所以
f(x)在区间(0，＋∞)上单调
2
递增．
1
当
a＞
时，由
f
′(x)＞0得
0
x
1＜
＜
或
x＞1，由
f
′(x)＜0
1得
＜x＜1，
2
2a
2a
所以
f(x)
1
1在区间(0，
)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(
，1)上单调递减．
2a
2a
……
10分
4
2
（3）方法一：因为
a＝1，所以
f(x)＝x2－bx＋lnx
2x
－bx＋1，从而
f
′(x)＝
(x＞0)．
x
1
由题意知，x1，x
是方程
2x22
－bx＋1＝0的两个根，故
x1x2＝
．
2
记
g(x)
＝2x2－bx＋1
1
3－b，因为
b＞3，所以
g(
)＝
＜0，g(1)＝3－b＜0，
2
2
1
所以
x1∈(0，
)，x2∈(1，＋∞)，且
bxi＝2xi2＋1
(i＝1，2)．
……
122
分
f(x
2
2
x1
2
2
x11)－f(x2)＝(x1－x2)－(bx1－bx2)＋ln
＝－(x1－xx
2
)＋ln
．
2
x2
1
因为
x1x
1
2＝
，所以
f(x1)－f(x2)＝x22－
2－ln(2x
22)，x2∈(1，＋∞)．
……
142
4x2
分
令
t＝2x22∈(2
t
1
，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝
－
－lnt．
2
2t
2
因为φ′(t)
(t－1)＝
≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，
2t2
所以φ(t)＞φ(2)
3＝
－ln2
3，即
f(x1)－f(x2)＞
－ln2．
……
16
4
4
分
方法二：
2
因为
a＝1，所以
f(x)＝x2－bx＋lnx，从而
f
′(x)
2x
－bx＋1＝
(x＞0)．
x
由题意知，x1，x2是方程
2x2－bx＋1＝0的两个根．
5
记
g(x)
＝2x2－bx＋1，因为
b＞3，所以
g(1)
3－b＝
＜0，g(1)＝3－b＜0，
2
2
所以
x1∈(0
1
，
)，x2∈(1，＋∞)，且
f(x)在[x1，x2]上为减函数．
……
12
2
分
1
1
b
1
3
b
所以
f(x1)－f(x2)＞f(
)－f(1)＝(
－
＋ln
)－(1－b)＝－
＋
－ln2．
2
4
2
2
4
2
因为
b＞3，故
f(x1)－f(x
3
b
3
2)＞－
＋
－ln2＞
－ln2．
……
16
4
2
4
分
6
2018
届江苏省侯集高级中学高三数学第二次月考试卷
附加题参考答案（理）
B
2
21.
.
解：设
是矩阵
M
属于特征值
的一个特征向量，
3
a
2
2
2
则
，
……
5分
3
2
3
3
2a
6
2 ，
=4，
故
解得
……
10分
12
3 ，
a
1.
21.C解：依题意，
A
3，
，
B
3，
的直角坐标方程为
A
3，
，
B2
3，
，
从而直线
l的普通方程为
x
3y
3
0
，（4分）
2
2
曲线C：
a
cos
(a
0)
的普通方程为
x
a
y
2
a
(a
0)
，（8分）2
4
因为直线
l与曲线C有且只有一个公共点，
a
2
3
所以
a
(a
0)
，解得
a
2
(负值已舍)．（10分）
2
2
7
22.因为平面
ABCD
平面
ACEF
，又平面
ABCD 平面
ACEF
AC
，CE
平面
ACEF
，EC
AC
，所以
EC
平面
ABCD
82018届江苏省侯集高级中学高三数学第二次调研试卷
数
学（理）
(满分
200
分，考试时间
150
分钟)
一、
填空题：本大题共
14小题，每小题
5分，共
70分．
1.函数
y
2sin(4x
)
的最小正周期为
.
4
2.已知全集
U=Z，
A
1 ,0 ,1 ,2
2，
B
x
x
2x ，则
A CUB
_____________.
3.设复数
Z
满足
i(z
1)
3
2i
(i为虚数单位)，则
z的实部是________．
1
4.函数
y
3ln
x的单调递减区间为____________．
x
5.将甲、乙两个球随机放入编号为
1、2、3的
3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，
则在
1、2号盒子中各有
1个球的概率为____________．
6.已知向量
a和向量b的夹角为
300，
a
2,
b
3
，则
a
2b
_________
．
1
7.
如图，矩形
ABCD的三个顶点
A,B,C分别在函数
y
log
2
x,
y
2
x
2
,
y
(
)
x
2
2
的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点
A的纵坐标为
2，则点
D的坐标为
__________．
(第
7题)
8.设α、β为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①
若
m⊥n，m⊥α，
n
，则
n∥α；
②
若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则
n⊥β；
③
若
m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；
④
若
n α，m β，α与β相交且不垂直，则
n与
m不垂直．
其中，所有真命题的序号是____________．
9.
2函数
y
x
(x
0)
的图像在点
(a
2k
,ak
)
处的切线与
x轴交点的横坐
标为
ak 1
，
k为正整数，
a1
8，则
a1a3a5
.
10.设
f
(x)
是定义在
R
上且周期为
2
的函数，在区间[－1,1]上，
ax
1, 1
x
0f
(x)
2
bx
,0
x
1
，其中
a,b R；若
f
(
5)
f
(3)，则
a
b
x
1
2
2
的值为
.
学校
班级
姓名
考号
……………………………………装………………………………………订………………………………………线……………………………………………
11.若函数
f
(x)
[x]
，（
x R
，其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数），则函数
g(x)
f
(x)
log
1
(x
1)的零点个数为
.
2
12.在
ABC中， C
90
，
AC
BC
,M
是
BC中点，若
sin BAM
10
,则
10
sin BAC
.
(第
12题)
(第
13题）
2
13.
如
图
，
已
知
O
为
ABC
的
外
心
，
AB
m,
AC
, CAB
120
,
若
m
AO
xAB
yAC
,则
x
y的最小值为
.
3x
3y
14.
2
2已知实数
x,
y满足
x
(y
2)
1，则
z
的取值范围为
.
x2
y2
二、
解答题：本大题共
6小题，共
90分.
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15.
(本小题满分
14分)
已知向量a
(sin
,
2),b
(cos
,1)
，且
a,b共线，其中
(0,
)
.
2
（1）求
tan(
)
的值；
4
（2）若5cos(
)
3
5
cos ,0
，求
的值.
2
16.(本小题满分
14分)
如图，在正方体
ABCD
A1B1C1D1
中，O,E分别为B1D,
AB的中点.
（1）求证：OE
//
平面
BCC1B1；
D1
C1
（2）求证：平面
B1DC
平面
B1DE
.
A1
B1
D
C
A
E
B
第
16
题图
2
17. ABC的内角
A,B,C的对边分别为
a,b,c
a，已知 ABC的面积为
3sin
A
（1）求
sin
B
sinC
（2）若6cos
B
cosC
1，
a
3，求 ABC的周长.
18.
(本小题满分
15分)
中国“蛟龙号”系列某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为
E
cvnT
，其
中
v为行进时相对于水的速度，T
为行进时的时间（单位：小时），
c为常数，
n为能量次
级数．如果水的速度为
4
km/h，该生物探测器在水中逆流行进
200
km．
（1）求T关于
v的函数关系式；
（2）(i)当能量次级数为
2时，求该探测器消耗的最少能量；
(ii)当能量次级数为
3时，试确定
v的大小，使该探测器消耗的能量最少
19.（本小题满分
16分）
设
a R
，函数
f
(x)
x
x
a
a．
（1）若
f
(x)
为奇函数，求
a的值；
（2）若对任意的
x [2，
3]，
f
(x)≥0
恒成立，求
a的取值范围；
20.（本小题满分
16分）
已知函数
f
(x)
ax2
bx
ln
x,
(a,b R)
（1）当
a
b
1时，求曲线
y
f
(x)
在
x
1处的切线方程；
（2）当b
2a
1时，讨论函数
f
(x)
的单调性；
（3）当
a
1,b
3时，记函数
f
(x)
的导函数
f
(x)
f的两个零点是
x1,
x2
(x1
x2
)
．
求证：
f
(x1)
f
(x
)
3
2
ln
2
．4
2018届江苏省侯集高级中学高三数学第二次月考试卷（理）
数
学
(满分
40
分，考试时间
30
分钟)
试题Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括
A、B、C、D四小题，请选．定．其．中．两．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．
答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
D
C
如图，已知凸四边形
ABCD的顶点在一个圆周上，
另一个圆的圆心O在
AB上，且与四边形
ABCD
的其余三边相切．点
E在边
AB上，且
AE
AD．
求证：
O，
E，C，
D
A四点共圆．
O
E
B
（第
21—A题）
B．[选修
4-2：矩阵与变换]（本小题满分
10分）
2
a
2
设
是矩阵M
3
3
2
的一个特征向量，求实数
a的值．
C．（极坐标与参数方程）
在极坐标系中，设直线
l过点
A
3，
，B
3，
，且直线
l与曲线C：
a
cos
(a
0)
有且只有一个公共点，求实数
a的值．
D．（不等式选讲）
设正数
a，
b，
c满足
a
b
c≤3，求证：
1
1a
1
≥3
．
1
b
1
c
1
2
【必做题】第
22题、第
23题，每题
10分，共计
20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分
10
分）
如图，已知正方形
ABCD和矩形
ACEF
所在的平面互相垂直，
AB
2
,
AF
1.
（1）求二面角
A DF
B的大小；
（2）试在线段
AC上确定一点
P，使
PF
与
BC所成角为
60
.
23、（10分）某公司有
10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一
1
1
1
年后可能获利
10%，可能损失
10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为
,
,
；
2
4
4
如果投资乙项目，一年后可能获利
20%，可能损失
20%，这两种情况发生的概率分别为
和
（
1）.
（1）如果把
10
万元投资甲项目，用
X
表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求
X
的概率分布列及数学期望
E(X
)
.
（2）若
10
万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求
的取
值范围.
