第2章 一元二次方程单元过关检测B卷

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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一元二次方程单元检测B卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题）
一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（ 　）
A．2，5，﹣4 B．2，5，4 C．2，﹣5，﹣4 D．2，﹣5，4
若25x2=16，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（　　）
A．﹣13 B．12 C．14 D．15
一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为（　　）
A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20
已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）
A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定
已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜5
已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程－12x+35=0的根，则该三角形的周长是（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx﹣k的大致图象是（　 ）
A． B． C． D．
若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． k＜1 B． k≤1 C． k＜1且k≠0 D． k≤1且k≠0
我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　 ）
A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10
若ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（　　）
A． a＞﹣2 B． a＞﹣2且a≠0 C． a D． a＜﹣2
、填空题（本大题共8小题）
已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　　　　　　．
方程（3x+1）=x2+2 化为一般形式为____________________________
关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=　　　　　　．
一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是　 　．
设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=　 　．
已知，则的值是__________
在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 　．
对于函数y=xn+xm，我们定义y'=nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为　 　；
（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为　 　．
、解答题（本大题共8小题分）
解方程：
（1）x2﹣2x﹣8=0；
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
对于实数m，n，定义一种运算“※”为：m※n=mn+n．
（1）求2※5与2※（﹣5）的值；
（2）如果关于x的方程x※（a※x）=﹣有两个相等的实数根，求实数a的值．
已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
已知关于x的方程a2x2+（2a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
【解析】
（1）根据题意，得△=（2a-1）2-4a2＞0，解得a＜．
∴当a＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在，如果方程的两个实数根x1，x2互为相反数，则x1+x2=-=0 ①，
解得a=，经检验，a=是方程①的根．
∴当a=时，方程的两个实数根x1与x2互为相反数．
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．
已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（先化简再求值）．
已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，求m的值及这个方程的另一根．
某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2．
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；
②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
答案解析
、选择题
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣5，﹣4．
故选C．
【分析】首先把x2的系数化为1，再求出的平方根即可．
解：25x2=16，
x2=，
x=±，
故选A．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=﹣，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵α为2x2﹣5x﹣1=0的实数根，
∴2α2﹣5α﹣1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，
∴α+β=，αβ=﹣，
∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（﹣）+1=12．
故选B．
【分析】将一元二次方程式x2﹣8x=48配方，可求a、b，再代入代数式即可求解．
解：x2﹣8x=48，
x2﹣8x+16=48+16，
（x﹣4）2=48+16，
a=4，b=16，
a+b=20．
故选：A．
【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．
解：∵M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），
∴，
∴N＞M，即M＜N．
故选A
【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可．
解：一元二次方程x2﹣3x﹣5=0，
∵a=1，b=﹣3，c=﹣5，
∴△=9+20=29，
∴x=，
则较小的根a=，即﹣2＜a＜﹣1，
故选A
【分析】先解方程-12x+35=0得x=5或x=7.因为3+4=7，所以长度为3，4，7的线段不能组成三角形，故x=7不合题意，所以三角形的周长=3+4+5=12.
解：解方程x2-12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
【分析】首先根据一元二次方程有两个不相等的实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数的性质确定其图象的位置．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2）2﹣4（﹣k+1）＞0，
即k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y=kx﹣k的图象位于一、三、四象限，
故选B．
【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则△=b2﹣4ac≥0．
解：∵a=k，b=﹣2，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×1=4﹣4k≥0，k≤1，
∵k是二次项系数不能为0，k≠0，
即k≤1且k≠0．
故选D．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；
依题意，可列方程为： =10；
故选B．
【分析】 由于ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，故a≠0；再解不等式即可求得a的取值范围；这样即可求得不等式的解集．
解：不等式移项，得
3a＞﹣6，
系数化1，得
a＞﹣2；
又∵ax2﹣5x+3=0是一元二次方程，
∴且a≠0；
所以，a＞﹣2且a≠0；
故选：B
、填空题
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0），特别要注意 a≠0 的条 件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其 中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解；（3x+1）=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1=x2+2，
6x2+2x﹣3x﹣1﹣x2﹣2=0，
5x2﹣x﹣3=0，
故答案为：5x2﹣x﹣3=0，
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2﹣x﹣2=0，将它的根分别代入方程，去掉不符合题意的根，求出a的值．
解：解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2或﹣1；
把x=2或﹣1分别代入方程，
当x=2时x﹣2=0，方程不成立；
当x=﹣1时，得到，
解得a=﹣5．
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
解：x2﹣7x+10=0
（x﹣2）（x﹣5）=0，
解得：x1=2（不合题意舍去），x2=5，
故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，
则其周长为：5+5+2=12．
故答案为：12．
【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α4+β4=47，于是得到结论．
解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，
∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，
∴α+β=3，αβ=1，
∴（α+β）2=α2+β2=7，（α2+β2）2=α4+β4=47，
∴==47，
故答案为：47．
【分析】把配方 后整体代值求解
解：因为所以， =
故答案为：7
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2；
故答案为：2．
【分析】根据新定义得到y′=x3+（m﹣1）x2+m2=x2﹣2（m﹣1）x+m2，
（1）由判别式等于0，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．
解：根据题意得y′=x2﹣2（m﹣1）x+m2，
（1）∵方程x2﹣2（m﹣1）x+m2=0有两个相等实数根，
∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0，
解得：m=，
故答案为：；
（2）y′=m﹣，即x2+2（m﹣1）x+m2=m﹣，
化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+=0，
∵方程有两个正数根，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
、解答题
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）（x﹣4）（x+2）=0，
x﹣4=0或x+2=0，
所以x1=4，x2=﹣2；
（2）（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=﹣1．
【分析】（1）根据新运算定义式，代入数据计算即可；
（2）根据新运算定义式，找出关于x的一元二次方程，再根据二次项系数非零以及根的判别式△=0，即可得出关于a的一元一次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）2※5=2×5+5=15；
2※（﹣5）=2×（﹣5）+（﹣5）=﹣15．
（2）x※（a※x）=x※[（a+1）x]=x（x+1）（a+1）=﹣，
整理，得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0，
∵关于x的方程x※（a※x）=﹣有两个相等的实数根，
∴，
解得：a=0．
【分析】先根据根与系数的关系，用k表示出两边之积与两边之和的值；再利用勾股定理求出k的值，然后将k值代入后解方程，最后还要验根．
解：设边AB=a，AC=b．
∵a、b是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3，ab=k2+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴a2+b2=25即（a+b）2-2ab=25
∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25
∴k2+3k-10=0
∴k1=-5或k2=2．
当k=-5时，方程为x2+7x+12=0解得：x1=-3，x2=-4（舍去）．
当k=2时，方程为x2-7x+12=0，解得：x1=3，x2=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【分析】（1）根据题意，应满足两个条件：△＞0，二次项系数不等于0，显然此解答漏掉了一个条件；
（2）利用根与系数的关系求得字母的值后，还要注意检验原方程是否有实数根．
解：上述解答有错误．
（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，
∴a2≠0且满足△=（2a-1）2-4a2＞0，
∴a＜且a≠0；
（2）不存在这样的a．
∵方程的两个实数根x1，x2互为相反数，
则x1+x2=-=0，
解得a=，
经检验a=是方程的根．
∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，
a的取值范围是a＜且a≠0，
而a=＞（不符合题意）．
【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
可得：（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不等的实数根，得出4﹣4k≥0，即可求出k的取值范围；
（2）先求出k的值，再代入方程x2﹣2x+k=0，求出x的值，再把x的值的相反数代入（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0，即可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围是k≤1；
（2）当k≤1时的最大整数值是1，
则关于x的方程x2﹣2x+k=0是x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，
∴当x=1时，（m﹣1）﹣3m﹣7=0，
解得：m=﹣4．
答：m的值是﹣4．
【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案．
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．
（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．
解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）；
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，21教育网
根据题意，得：，
解得：，
∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；
（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，
设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，
由题意，得：20（1﹣y）2=5，
解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）
答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．
【分析】（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．
解：（1）设该市这两年（从2013年度到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：
2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，
由题意得：t+4t+3=200，
解得：t=25．
答：t的值是25．
②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，
由题意得：y=t+4t+3=﹣4t+300（10≤t≤30），
∵k=﹣4＜0，
∴y随t的增大而减小．
当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），
当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）．
答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个
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