高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4
文档属性
| 名称 | 高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 587.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-10-13 12:43:38 | ||
图片预览
文档简介
3.3
三角函数的积化和差与和差化积
教学分析
本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
在推导了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．
三维目标
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．
重点难点
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？
推进新课
活动：考察公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
从公式结构上看，把cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
从上面这四个公式，又可以得出
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ；
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ；
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ；
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.
这样，上面得出的四个式子可以写成
sinx＋siny＝2sincos；
sinx－siny＝2cossin；
cosx＋cosy＝2coscos；
cosx－cosy＝－2sinsin.
利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．
教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式．
如图1所示．作单位圆，并任作两个向量
图1
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)．
取的中点M，则M(cos，sin)．
连接PQ，OM，设它们相交于点N，则点N为线段PQ的中点且ON⊥PQ.
∠xOM和∠MOQ分别为，.
探索三个向量，，之间的关系，并用两种形式表达点N的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2coscos；sinα＋sinβ＝2sincos.
讨论结果：略
例
1已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.
此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，即1－2sinxcosx＝，
∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝(1＋)＝.
变式训练 把cos3θ＋cosθ化成积的形式．解：cos3θ＋cosθ＝2coscos＝2cos2θcosθ.
例
2已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证法一：∵＋＝1，∴cos4A·sin2B＋sin4A·cos2B＝sin2B·cos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4A·cos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证法二：令＝cosα，＝sinα，则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
变式训练 已知A＋B＋C＝180°，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos.解：因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－(A＋B)，＝90°－.因此，sinA＋sinB＋sinC＝2sincos＋sin(A＋B)＝2sincos＋2sincos＝2sin(cos＋cos)＝2sin·2coscos＝2cos·2coscos＝4coscoscos.
例3
证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋).
变式训练 求证：＝.分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于＝tan2θ.而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．
课本本节习题3—3A组1～4，B组1～4.
1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．
一、一道给值求角类问题错解点击．
解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．
例题：若sinα＝，sinβ＝，α、β均为锐角，求α＋β的值．
错解：∵α为锐角，
∴cosα＝＝.
又β为锐角，
∴cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.
∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝45°或135°.
点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．
二、如何进行三角恒等变式的证明．
三角恒等式证明的基本方法：
(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．
(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．
(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．
(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．
(6)可采用比较法，即“＝1”或“左边－右边＝0”．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：
(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；
(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
二、备用习题
1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.
2．已知tanα＝2，则cos2α等于( )
A．－
B．±
C．－
D．±
3．下列各式化成和差的形式分别是：
(1)sin(＋2x)cos(－2x)；
(2)cossin.
4．设α、β≠kπ＋(k∈Z)，且cos2α＋sin2β＝0.求证：tan2α＝2tan2β＋1.
5．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B，且＋＝－，试求cos的值．
6．不查表求值：
tan6°tan42°tan66°tan78°.
参考答案：
1．－ － 2.C
3．(1)＋sin4x；(2)(sinα－sinβ).
4．证明：∵cos2α＋sin2β＝0,
∴＋＝0，
即＋＝0.
化简得tan2α＝2tan2β＋1.
5．由题设条件，知B＝60°，A＋C＝120°，设＝α，则A＝60°＋α，C＝60°－α.
代入＋＝－，
可得＋＝－2，
即＋＝－，
可化为4cos2α＋cosα－3＝0，
解得cosα＝或－(舍去)．
∴cos＝.
6．原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
三角函数的积化和差与和差化积
教学分析
本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
在推导了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．
三维目标
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．
重点难点
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？
推进新课
活动：考察公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
从公式结构上看，把cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
从上面这四个公式，又可以得出
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ；
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ；
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ；
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.
设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.
这样，上面得出的四个式子可以写成
sinx＋siny＝2sincos；
sinx－siny＝2cossin；
cosx＋cosy＝2coscos；
cosx－cosy＝－2sinsin.
利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．
教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式．
如图1所示．作单位圆，并任作两个向量
图1
＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)．
取的中点M，则M(cos，sin)．
连接PQ，OM，设它们相交于点N，则点N为线段PQ的中点且ON⊥PQ.
∠xOM和∠MOQ分别为，.
探索三个向量，，之间的关系，并用两种形式表达点N的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2coscos；sinα＋sinβ＝2sincos.
讨论结果：略
例
1已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.
此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题之中．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，即1－2sinxcosx＝，
∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝(1＋)＝.
变式训练 把cos3θ＋cosθ化成积的形式．解：cos3θ＋cosθ＝2coscos＝2cos2θcosθ.
例
2已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证法一：∵＋＝1，∴cos4A·sin2B＋sin4A·cos2B＝sin2B·cos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4A·cos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证法二：令＝cosα，＝sinα，则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
变式训练 已知A＋B＋C＝180°，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos.解：因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－(A＋B)，＝90°－.因此，sinA＋sinB＋sinC＝2sincos＋sin(A＋B)＝2sincos＋2sincos＝2sin(cos＋cos)＝2sin·2coscos＝2cos·2coscos＝4coscoscos.
例3
证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋).
变式训练 求证：＝.分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于＝tan2θ.而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．
课本本节习题3—3A组1～4，B组1～4.
1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．
一、一道给值求角类问题错解点击．
解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．
例题：若sinα＝，sinβ＝，α、β均为锐角，求α＋β的值．
错解：∵α为锐角，
∴cosα＝＝.
又β为锐角，
∴cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.
∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝45°或135°.
点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．
二、如何进行三角恒等变式的证明．
三角恒等式证明的基本方法：
(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．
(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．
(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．
(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．
(6)可采用比较法，即“＝1”或“左边－右边＝0”．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：
(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；
(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
二、备用习题
1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.
2．已知tanα＝2，则cos2α等于( )
A．－
B．±
C．－
D．±
3．下列各式化成和差的形式分别是：
(1)sin(＋2x)cos(－2x)；
(2)cossin.
4．设α、β≠kπ＋(k∈Z)，且cos2α＋sin2β＝0.求证：tan2α＝2tan2β＋1.
5．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B，且＋＝－，试求cos的值．
6．不查表求值：
tan6°tan42°tan66°tan78°.
参考答案：
1．－ － 2.C
3．(1)＋sin4x；(2)(sinα－sinβ).
4．证明：∵cos2α＋sin2β＝0,
∴＋＝0，
即＋＝0.
化简得tan2α＝2tan2β＋1.
5．由题设条件，知B＝60°，A＋C＝120°，设＝α，则A＝60°＋α，C＝60°－α.
代入＋＝－，
可得＋＝－2，
即＋＝－，
可化为4cos2α＋cosα－3＝0，
解得cosα＝或－(舍去)．
∴cos＝.
6．原式＝
＝
＝
＝＝＝1.