13.3.2 等边三角形培优提高试题
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八上数学第十三章培优提高 等边三角形
一.选择题（共9小题）
1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
2.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点C与点P关于OB对称，点D与点P关于OA对称，则△OCD是（ ）21世纪教育网版权所有
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于（ ）www.21-cn-jy.com
A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD=2，则BC等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
5.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）2·1·c·n·j·y
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△ADB≌△CEA D.△DCG≌△ECF
第3题图 第4题图 第5题图
6.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
7.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm
8.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（ ）
A.50° B.60° C.45° D.∠BCD
9.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第6题图 第8题图 第9题图
二.填空题（共6小题）
10.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°.那么∠CBD的大小为 .
11.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD= °.21·世纪*教育网
12.如图，△ABC、△ADE均为等边三角形，AD平分∠BAC交BC于D，DE交AB于F，则下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD； ③BE=BD，其中正确的有 （填序号）.
第10题图 第11题图 第12题图
13.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=3，则EF的长为 .
14.如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，CE是∠ACB的平分线，且交AD于P点.如果AP=2，则AB的长为 .2-1-c-n-j-y
15.如图是屋顶的“人字形“钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD为中柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF= m.
第13题图 第14题图 第15题图
三.解答题（共7小题）
16.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE交于点F.www-2-1-cnjy-com
（1）证明：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠CAD=30°.
（1）求证：BD=2CD；
（2）取BD的中点E，连接AE，求证：△ADE为等边三角形.
18.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村和B村供水.
（1）求作点P，使P到A、B两村的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求作点Q，使Q到A、B两村的水管最省料.（不写作法，保留作图痕迹）
19.如图，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上.在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船不改变方向仍继续向前航行，问：有无触礁的危险？并说明你的理由.
20.如图，在△ABC，∠ACB=90°，CD、CE三等分∠ACB，CD⊥AB，
求证：（1）AB=2BC；（2）CE=AE=EB.
21.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；
（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由.21教育网
22.如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形.21cnjy.com
（1）试说明△AEF≌△CDE；
（2）△ABC是等边三角形吗？请说明你的理由.
参考答案与试题解析
一.选择题（共9小题）
1D.【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确.所以都正确.故选D.
2B.【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为D、C，
∴OP=OD=OC且∠DOC=2∠AOB=60°，∴△OCD是等边三角形.故选B.
3D.【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，∴∠BAC=90°﹣15°=75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，∴BE=AE=6cm，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠EAC=75°﹣15°=60°，∵∠C=90°，∴∠AEC=30°，∴AC=AE=6cm=3cm，
故选D.
4C.【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，∵∠DAC=120°﹣90°=30°，
∴∠DAC=∠C，∴AD=DC=2，∴BC=BD+DC=4+2=6，故选C.
5C.【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中 ，∴△BCD≌△ACE（SAS），故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，∵∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中，∴△BGC≌△AFC，故B成立，
∵△BCD≌△ACE，∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中，∴△DCG≌△ECF，故D成立，故选：C.
6A.【解答】解：由折叠可得AD=A′D；AE=A′E，∴阴影部分图形的周长为AB+BC+AC=3cm.
7C.【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°
∴∠DCA=∠B=30°∴AC=2AD=4，∴AB=2AC=8cm.故选C.
8B.【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°
9C.【解答】解：连接BE，与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.
取CE中点F，连接DF.∵等边△ABC的边长为6，AE=2，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，
∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，∴BE=BM.
在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，∴BM==，∴BE=.
∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值为2.故选C.
二.填空题（共6小题）
10. 40° .
【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形∴∠ABC=∠EBD=60°
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD∴∠ABE=∠CBD=40°即∠CBD=40°，故答案为：40°.
11. 15 °.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠EFD=15°.故答案为：15.
12. ①②③.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=DC，
∴∠ADC=90°，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△CAD中，
，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠DAC=∠BAE，BE=DC，∵BD=DC，
∴BE=BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=30°，∴∠BAE=30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠BAD=30°=∠BAE，
∵AE=AD，∴EF=DF.故答案为：①②③.
13. 6 .
【解答】解：作EG⊥OA于G，∵∠AOE=∠BOE，EC⊥OB，EG⊥OA，∴EG=EC=3，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠BOE=15°，∴∠EFG=30°，∴EF=2EC=6，故答案为：6.
14. 6 .
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°.
又∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=30°，∴∠AEC=∠B+∠ECB=60°，∠B=∠ECB
∴∠AEP=60°，BE=EC.又AD⊥BC，∴∠BAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，
∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEC中，∠ACE=30°，则EC=2AE=4，
∴BE=EC=4，∴AB=BE+AE=6.故答案是：6.
15. 5 m.
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，
∴DE=BD，DF=DC，∴DE+DF=BD+DC=（BD+DC）BC.∴DE+DF=BC=×10=5cm.
三.解答题（共7小题）
16.【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC.
在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°.
答：∠BFD的度数为60°.
17.【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠CAD=30°，AD⊥AB，∴∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=∠CAD=30°，∴AD=CD，∴BD=2AD=2CD；
（2）解：如图，∵点E是BD的中点，∠BAD=90°，∴AE=BE=DE，
∵∠B=30°，∴∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形.
18【解答】解：（1）如图1所示，连接AB，作AB的垂直平分线与EF的交点P，即是自来水厂的位置；
（2）如图2所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与EF的交点Q到A、B两点的距离和最小，此处厂部到A，B村的水管最省料.21·cn·jy·com
19.【解答】解：有危险，理由如下：
过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，如图所示：
∵由题意可知：∠A=15°，∠PBD=30°，∴∠BPA=∠PBD﹣∠A=15°，即∠BPA=∠A，
∴PB=AB=15×2=30（海里），在Rt△BPD中，∠PBD=30°，PB=30海里，
∴PD=PB=15海里＜18海里，则轮船不改变方向仍继续向前航行有触礁的危险.
20.【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，∠ECB=60°，∵CD⊥AB，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB，
即：AB=2BC；
（2）由（1）可知：∠A=∠ACE=30°，∠ECB=∠B=60°，
∴AE=CE，CE=BE，∴AE=CE=BE.
21【解答】解：（1）AF=BE.证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°，
在△AFC与△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF=BE.
（2）成立.理由：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60度，∴∠ACB﹣∠FCB=∠FCE﹣∠FCB，
即∠ACF=∠BCE，
在△AFC与△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF=BE.
22.【解答】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）.
∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）.
又∵AE=CD（已知），在△AEF与△CDE中，∴△AEF≌△CDE（SSS）.
（2）是等边三角形，理由如下：
由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）.∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）.
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八上数学第十三章培优提高 等边三角形
一.选择题（共9小题）
1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
2.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点C与点P关于OB对称，点D与点P关于OA对称，则△OCD是（ ）21世纪教育网版权所有
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于（ ）www.21-cn-jy.com
A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD=2，则BC等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
5.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）2·1·c·n·j·y
A.△ACE≌△BCD B.△BGC≌△AFC C.△ADB≌△CEA D.△DCG≌△ECF
第3题图 第4题图 第5题图
6.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm
7.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A.2cm B.4cm C.8cm D.16cm
8.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（ ）
A.50° B.60° C.45° D.∠BCD
9.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第6题图 第8题图 第9题图
二.填空题（共6小题）
10.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°.那么∠CBD的大小为 .
11.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD= °.21·世纪*教育网
12.如图，△ABC、△ADE均为等边三角形，AD平分∠BAC交BC于D，DE交AB于F，则下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD； ③BE=BD，其中正确的有 （填序号）.
第10题图 第11题图 第12题图
13.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=3，则EF的长为 .
14.如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，CE是∠ACB的平分线，且交AD于P点.如果AP=2，则AB的长为 .2-1-c-n-j-y
15.如图是屋顶的“人字形“钢架，其中斜梁AB=AC，顶角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD为中柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF= m.
第13题图 第14题图 第15题图
三.解答题（共7小题）
16.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE交于点F.www-2-1-cnjy-com
（1）证明：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数.
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠CAD=30°.
（1）求证：BD=2CD；
（2）取BD的中点E，连接AE，求证：△ADE为等边三角形.
18.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村和B村供水.
（1）求作点P，使P到A、B两村的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求作点Q，使Q到A、B两村的水管最省料.（不写作法，保留作图痕迹）
19.如图，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上.在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船不改变方向仍继续向前航行，问：有无触礁的危险？并说明你的理由.
20.如图，在△ABC，∠ACB=90°，CD、CE三等分∠ACB，CD⊥AB，
求证：（1）AB=2BC；（2）CE=AE=EB.
21.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE
（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；
（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由.21教育网
22.如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形.21cnjy.com
（1）试说明△AEF≌△CDE；
（2）△ABC是等边三角形吗？请说明你的理由.
参考答案与试题解析
一.选择题（共9小题）
1D.【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确.所以都正确.故选D.
2B.【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为D、C，
∴OP=OD=OC且∠DOC=2∠AOB=60°，∴△OCD是等边三角形.故选B.
3D.【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，∴∠BAC=90°﹣15°=75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，∴BE=AE=6cm，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠EAC=75°﹣15°=60°，∵∠C=90°，∴∠AEC=30°，∴AC=AE=6cm=3cm，
故选D.
4C.【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，∵∠DAC=120°﹣90°=30°，
∴∠DAC=∠C，∴AD=DC=2，∴BC=BD+DC=4+2=6，故选C.
5C.【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中 ，∴△BCD≌△ACE（SAS），故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，∵∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中，∴△BGC≌△AFC，故B成立，
∵△BCD≌△ACE，∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中，∴△DCG≌△ECF，故D成立，故选：C.
6A.【解答】解：由折叠可得AD=A′D；AE=A′E，∴阴影部分图形的周长为AB+BC+AC=3cm.
7C.【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°
∴∠DCA=∠B=30°∴AC=2AD=4，∴AB=2AC=8cm.故选C.
8B.【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，
设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°
9C.【解答】解：连接BE，与AD交于点M.则BE就是EM+CM的最小值.
取CE中点F，连接DF.∵等边△ABC的边长为6，AE=2，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，
∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，∴BE=BM.
在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，∴BM==，∴BE=.
∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值为2.故选C.
二.填空题（共6小题）
10. 40° .
【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形∴∠ABC=∠EBD=60°
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBD∴∠ABE=∠CBD=40°即∠CBD=40°，故答案为：40°.
11. 15 °.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠EFD=15°.故答案为：15.
12. ①②③.
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=DC，
∴∠ADC=90°，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△CAD中，
，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠DAC=∠BAE，BE=DC，∵BD=DC，
∴BE=BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=30°，∴∠BAE=30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠BAD=30°=∠BAE，
∵AE=AD，∴EF=DF.故答案为：①②③.
13. 6 .
【解答】解：作EG⊥OA于G，∵∠AOE=∠BOE，EC⊥OB，EG⊥OA，∴EG=EC=3，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠BOE=15°，∴∠EFG=30°，∴EF=2EC=6，故答案为：6.
14. 6 .
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°.
又∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=30°，∴∠AEC=∠B+∠ECB=60°，∠B=∠ECB
∴∠AEP=60°，BE=EC.又AD⊥BC，∴∠BAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，
∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEC中，∠ACE=30°，则EC=2AE=4，
∴BE=EC=4，∴AB=BE+AE=6.故答案是：6.
15. 5 m.
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，
∴DE=BD，DF=DC，∴DE+DF=BD+DC=（BD+DC）BC.∴DE+DF=BC=×10=5cm.
三.解答题（共7小题）
16.【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC.
在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°.
答：∠BFD的度数为60°.
17.【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠CAD=30°，AD⊥AB，∴∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=∠CAD=30°，∴AD=CD，∴BD=2AD=2CD；
（2）解：如图，∵点E是BD的中点，∠BAD=90°，∴AE=BE=DE，
∵∠B=30°，∴∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形.
18【解答】解：（1）如图1所示，连接AB，作AB的垂直平分线与EF的交点P，即是自来水厂的位置；
（2）如图2所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与EF的交点Q到A、B两点的距离和最小，此处厂部到A，B村的水管最省料.21·cn·jy·com
19.【解答】解：有危险，理由如下：
过点P作PD⊥AB，交AB的延长线于点D，如图所示：
∵由题意可知：∠A=15°，∠PBD=30°，∴∠BPA=∠PBD﹣∠A=15°，即∠BPA=∠A，
∴PB=AB=15×2=30（海里），在Rt△BPD中，∠PBD=30°，PB=30海里，
∴PD=PB=15海里＜18海里，则轮船不改变方向仍继续向前航行有触礁的危险.
20.【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，∠ECB=60°，∵CD⊥AB，∴∠B=60°，∴∠A=30°，∴BC=AB，
即：AB=2BC；
（2）由（1）可知：∠A=∠ACE=30°，∠ECB=∠B=60°，
∴AE=CE，CE=BE，∴AE=CE=BE.
21【解答】解：（1）AF=BE.证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°，
在△AFC与△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF=BE.
（2）成立.理由：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60度，∴∠ACB﹣∠FCB=∠FCE﹣∠FCB，
即∠ACF=∠BCE，
在△AFC与△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF=BE.
22.【解答】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）.
∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）.
又∵AE=CD（已知），在△AEF与△CDE中，∴△AEF≌△CDE（SSS）.
（2）是等边三角形，理由如下：
由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）.∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）.
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