《三角形的边》同步练习
1.三角形的三条高相交于一点，这个交点的位置在（ ）。
A.三角形内 B.三角形外C.三角形的边上 D.要根据三角形的形状才能确定
2.如图，画△ABC一边上的高，下列画法正确的是（ ）。
3.三角形的三条中线都在（ ）。
A.三角形内 B.三角形外
C.三角形的边上 D.根据三角形的形状而确定
4.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、
角平分线、中线，则下列各式中错误的是 （ ）。
A. BA＝2BF B. ∠ACE＝∠ACB
C. AE＝BE D. CD⊥BE
1.如图，△ABC正好可以放在长方形内，要测出△ABC的面积，现有一把刻度尺，你能做到吗?说出你是怎样做的。21教育网
2.如图，AD、CE是△ABC的两条高，AB＝3cm，BC＝6cm，CE＝8cm，求AD的长。
3.如图，已知AD、AE分别是△ABC的中线和高，AB＝13cm，AC＝5cm，（1）△ABD和△ACD的周长相差多少？（2）△ABD和△ACD的面积有什么样的关系？说出你的理由。
4.如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角
形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？
5.如图，在下面三个三角形中，∠C分别小于90°、等于90°、大于90°，分别作出三角形的三条高，观察三条高或三条高的延长线交点的位置，你能得出什么结论？
答案与解析
1、 D
2、 C
3、 A
4、 C
1.量出长方形的长和宽，三角形的面积正好是长方形面积的一半
2.4cm
3. 8cm、面积相等
4.
5. 第一个三角形三条高交点在三角形内，第二个三角形三条高交点在直角顶点，第三个三角形三条高延长线交点在三角形外 。 21世纪教育网版权所有
《三角形的高、中线与角平分线》
学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔.本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别。另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础.故学好本节内容是十分必要的。【来源：21·世纪·教育·网】
【知识与能力目标】
1.掌握三角形的高、中线与角平分线定义.。
2.会画三角形的高、中线与角平分线。
3.掌握三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线的有关性质。
【过程与方法目标】
对学生进行操作训练，边训练边讲解，然后学以致用。
【情感态度价值观目标】
训练同学们动手操作的能力，提高学习兴趣。
【教学重点】
1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念。?
2.能利用三角形的高、中线和角平分线的性质进行简单计算。
【教学难点】
1.能用自己的语言说出三角形高、中线与角平分线的概念。
2.熟练运用三角形的高、中线和角平分线的性质进行有关计算。
相应课件;三角板等教具。
回顾旧知
A
E
B D C
（设计说明：通过对已学知识的回忆来巩固基础知识的运用，并借此引入新课.）
问题1：数一数，图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来。
学生回答：图中共有5个三角形。
它们分别是：△ABC、△ABD、△ACD、△ADE、△CDE。
问题2：利用长为3、5、6、9的四条线段可以组成几个三角形?为什么?
学生回答：可以组成2个三角形。
从四条线段中任选三条组成三角形，共有四种选法：①3、5、6，②3、5、9，③3、6、9，④5、6、9，其中，满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①、④这两组。
问题3：利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24 cm2这两个条件，你能求出什么结论?
学生回答：能够求出的△ABC高是3 cm.
（教学说明：教师利用问题让学生回顾所学知识，特别是问题3内容的变化，可以引起学生注意和疑问，将学生的思路引入与三角形有关的线段中。）21cnjy.com
二、自主探究
1.通过作图探索三角形的高
（设计说明：通过经历画三角形的高的过程，使学生在头脑中留下清晰形象，并能结合这些具体形象叙述高的定义。）www.21-cn-jy.com
问题1：你能画出下列三角形的所有的高吗?
A A A
B C B C B C21·世纪*教育网
学生画出三角形所有的高，观察这些高的特点。
问题2：根据画高的过程说明什么叫三角形的高?
学生讨论回答，师完善并归纳：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，连接顶点和垂足之间的线段称为三角形的高。www-2-1-cnjy-com
问题3：在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点?
学生回答：每个三角形都能画出三条高。
相同点是：三角形的三条高交于同一点。
不同点是：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点。2-1-c-n-j-y
问题4：如图所示，如果AD是△ABC的高，你能得到哪些结论?
A
B D C
学生回答：如果AD是△ABC的高，则有：
AD⊥BC于D，∠ADB=∠ADC=90°。
（教学说明：三角形的高的概念在书中并没有具体给出，所以学生在归纳定义的时候会有一定的困难.那么在授课时就要留给学生充足的时间进行思考和讨论，教师可以引导学生先利用具体图形进行定义，再由具体图形中抽出准确、简明的语言，同时要强调：三角形的高是一条线段.在问题3中，有些学生会认为直角三角形只能画出斜边上的一条高，这时教师要给予讲解，说明另外两条直角边也是这个直角三角形的高.而问题4是要将三角形的高用符号语言表示出来，这是为以后学习证明打基础。）【来源：21cnj*y.co*m】
2.类比探索三角形的高的过程探索三角形的中线
（设计说明：利用类比的方法进行探索，可以留给学生更多思考与探究的空间，有得于拓展学生的思维，培养学生自主探究的学习习惯。）【版权所有：21教育】
问题1：如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论?
A C B
学生回答：
问题2：如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC 的中线.类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线?由三角形的中线能得到什么结论?
A
B D C
学生回答：三角形中连结一个顶点和它对边中点的线段称为三角形的中线.
如果线段AD是△ABC的中线，那么
问题3：画出下列三角形的所有的中线，并讨论说明三角形的中线有什么特点?
A A A
B C B C B C21*cnjy*com
学生回答：无论哪种三角形，它们都有三条中线，并且这三条中线都会交于一点，这一点都在三角形的内部.
问题4：如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?21教育名师原创作品
A
B D E C
学生回答：△ABD和△ACD的面积相等.理由：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∵AE既是△ABD的高，也是△ACD的高
∴△ABD和△ACD的面积相等.
问题5：通过问题4你能发现什么规律?
学生回答：三角形的中线将三角形的面积平均分成两份。
（教学说明：让学生利用对三角形的高的探究过程，利用类比的方法进行对三角形的中线的探究.“类比思想”是数学学习中常用的一种思想，所以在授课过程中要让学生体会运用这种思想进行探究的好处，培养自主探究的能力。问题4和问题5的设立是对三角形中线的知识进行扩展，并不是教科书中的内容，但能够使学生更深刻地体会三角形中线的特点，同时，根据课堂时间的需要，对于这两个问题的讲授，教师可以自行调节。）
3.通过类比的方法探究三角形的角平分线
（设计说明：再次使用类比的方法进行探究，让学生经历动脑思考探索的过程，对知识有进一步的理解。）
问题1：如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论?
A
C
O B
学生回答：
问题2：如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线.类比探索三角形的高和中线的过程，你能得到哪些结论?三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?为什么?21*cnjy*com
A
B D C
学生回答：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段称为三角形的角平分线。
三角形有三条角平分线，并且这三条角平分线在三角形内交于一点。
如果AD是△ABC的角平分线，那么就有
三角形的角平分线与一个角的角平分线不一样，三角形的角平分线是一条线段，有长度，而角的平分线是一条射线，没有长度。2·1·c·n·j·y
（教学说明：对于三角形的角平分线的探究，教师要给学生足够的空间和时间，如果漏下了哪一点没有探究到，教师可以给予提示。）【出处：21教育名师】
三、尝试应用
（设计说明：通过比较练习，帮助学生掌握三角形的高、中线和角平分线的基本性质，熟练基本技能。）
练习1：如图，在△ABC中画出这个三角形的高BD，中线CE和角平分线BF。
A
B C
练习2：如图，已知AD，BE，CF都是△ABC的三条中线。
A
F E
B D C
则AE= ？= *？，BC=2*？ ，AF= ？。
学生：CE，AC，BD或CD，BF。
练习3：如图，已知AD，BE，CF都是△ABC的三条角平分线。
A
F E
B D C
则∠BAD=*？ ，∠ACF=？=*？ ，
∠ABC=2*? 。
学生：∠BAC，∠FCB，∠ACB，∠CBE或∠ABE。
练习4：如图，△ABC中，AC=12 cm，BC=18 cm，△ABC的高AD与BE的比是多少?
A
E
B D C
学生：解：由三角形的面积公式得
所以有
解得
（教学说明：练习的设计以基础知识为主，要让学生独立完成.而练习3是所学知识的一个应用，要让学生有利用面积求高的意识，开阔思路。）21世纪教育网版权所有
四、成果展示
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题1：本节课你学习了什么?
问题2：本节课你有哪些收获?
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构。）21教育网
五、课堂小结
1.本节主要学习三角形的高、中线和角平分的概念与性质。
2.本节涉及到的思想方法是类比思想。
3.注意的问题：
（1）每个三角形都有三条高，三条中线和三条角平分线。
（2）三角形的三条高交于一点，但锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点.三角形的三条中线交于三角形内一点，三角形的三条角平分线也交于三角形内的一点。21·cn·jy·com
（3）三角形的高、中线和角平分线都是线段。
（4）能将三角形的面积平均分成两部分的线是三角形的中线。
略。
课件16张PPT。温故知新数一数，图中共有多少个三角形?请将它们全部用符号表示出来。ACBDE图中共有5个三角形:
△ABC、△ABD、△ACD、△ADE、
△CDE。温故知新利用长为3、5、6、9的四条线段可以组成几个三角形?为什么?可以组成2个三角形。
从四条线段中任选三条组成三角形，共有四种选法：
①3、5、6，②3、5、9，③3、6、9，④5、6、9，
其中，满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①、④这两组。利用△ABC的一条边长为4cm，面积是24 cm2这两个条件，你能求出什么结论?△ABC高是3 cm。知识点讲解三角形的高如右图，从△ABC的顶点向它所对的边
BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线
段AD叫做△ABC的边BC上的高。从三角形一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。ABCD⑴ 什么是三角形的高？（定义）三角形的高(2)怎样画三角形的高线？（画法）EFGDEDFC知识点讲解三角形的高①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有高线，三角形的三条高线所在直线相交与一点。
②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角形高线交于三角形外部一点。
③三角形的高是线段，而垂线是直线。
知识点讲解三角形的中线什么是三角形的中线？如左图，连接△ABC的顶点和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。D知识点讲解三角形的角平分线画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，线段AD叫做ΔABC的角平分线。
ACBDF画出ΔABC的另外两条角平分线；
观察三条角平分线，说说你的发现。
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点。知识点讲解例题讲解如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高。试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?解：∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∵AE既是△ABD的高，也是△ACD的高
∴△ABD和△ACD的面积相等。如图，已知:△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O。(1)当∠ABC=60°，∠ACB=80°时，求∠BOC的度数。解： ∵BD、CE分别是△ABC的角平分线
例题讲解如图，已知:△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O。(2)当∠A=40°时，求∠BOC的度数。例题讲解如图，已知:△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O。(3)当∠A= x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示)。解：∵BD、CE分别是△ABC的角平分线例题讲解练习题1.如图，已知AD，BE，CF都是△ABC的三条中线，则AE= ？=1/2 x？，BC=2x？ ，AF= ？CE，AC，BD或CD，BF。2.如图，已知AD，BE，CF都是△ABC的三条角平分线。
则∠BAD=1/2x？ ，∠ACF=？=1/2x？，∠ABC=2x? 。
∠BAC，∠FCB，∠ACB，∠CBE或∠ABE。练习题3.如图，△ABC中，AC=12 cm，BC=18 cm，△ABC的高AD与BE的比是多少?练习题结论总结三角形的角平分线、中线、高线的比较相同点：(1)都是线段
(2)都从顶点画出
(3)所在直线都相交于一点不同点：角平分线反映的是角的相等关系
中线反映的是线段的相等关系
高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系
