等比数列

2.3.1　等比数列
1.等比数列的概念
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋).
2.等比中项
(1)前提：三个数x，G，y成等比数列.
(2)结论：G叫做x，y的等比中项.
(3)满足的关系式：G2＝xy.
3.等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)常数列一定是等比数列.(　　)
(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列.(　　)
(3)等比数列中的项可以为零.(　　)
(4)若a，b，c三个数满足b2＝ac，则a，b，c一定能构成等比数列.(　　)
【解析】　(1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列.
(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列.
(3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.
(4)×.因为等比数列各项不能为0；若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，但是反之不成立，比如：a＝0，b＝0，c＝1，则a，b，c就不是等比数列.
类型1等比数列的判断与证明
例1(1)下列数列是等比数列的是(　　)
A.2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B.－1,1，－1,1，－1，…
C.0,2,4,6,8,10，…
D.a1，a2，a3，a4，…
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列.
【解】(1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.
B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列.D.当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列.
(2)证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝，∴{an}是等比数列.
判断一个数列{an}是等比数列的方法：
1 定义法：若数列{an}满足＝q q为常数且不为零 或＝q n≥2，q为常数且不为零 ，则数列{an}是等比数列.
2 等比中项法：对于数列{an}，若a,＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列.
3 通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1 a1≠0，q≠0 ，则数列{an}是等比数列.
[再练一题]1.已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
【证明】由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，故＝＝＝＝2，∴数列{bn}是等比数列.∵b1＝＝，∴bn＝×2n－1＝2n－3.
类型2等比中项
　等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A.±4　　　B.4　　　C.±　　　D.
【解】由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.
A
等比中项应用的三点注意：
1 由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
2 在一个等比数列中，从第二项起，每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项和后一项的等比中项.
3 a，G，b成等比数列等价于G2＝ab ab>0 .
[再练一题]2.设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】　∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得
k＝－2(舍去)，k＝4.【答案】　B
类型3等比数列的通项公式
探究1　类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？
【提示】　由等比数列的定义可知：a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，
a5＝a4q＝a1q4…由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
探究2　由等比数列的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？
【提示】　由＝q，知＝q，＝q，＝q，＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相乘可得＝qn－1，则an＝a1qn－1；由两式相比得＝qn－m，则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广.
探究3　在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？
【提示】　若a1＝2，q＝，则a3＝2·＝；若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，
所以q＝±2，由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”.
　(1)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n；
(2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求数列{an}的通项公式an.
【解】(1)法一　因为由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6.
法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1 2q2－5q＋2＝0 q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0 a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.
a＝a10>0 (a1q4)2＝a1q9 a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
1.等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
[再练一题]3.在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；（2）.在等比数列{an}中，已知a2＝3，a5＝24，则a8＝________.
【解】　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.
　（2）由得所以a8＝·27＝192.
1.在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　
A.
B.
C.－
D.或－
【解析】　由解得或又a1＜0，因此q＝－.【答案】　C
2.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A.b＝3，ac＝9
B.b＝－3，ac＝9
C.b＝3，ac＝－9
D.b＝－3，ac＝－9
【解析】　因为b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同号.所以ac＝b2＝9.【答案】　B
3.在等比数列{an}中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an＝________.
【解析】　an＝a1qn－1＝4·3n－1.
4.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
【解析】　∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝②∴②÷①得：q3＝，∴q＝.
5.在等比数列{an}中，若a3＝3，a4＝6，则a5＝________.
【解析】　法一：由q＝＝＝2，所以a5＝a4q＝12.
法二：由等比数列的定义知，a3，a4，a5成等比数列，＝，∴a＝a3·a5，∴a5＝＝12.
4.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
【解析】　由已知可知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，所以an＝4×.
6.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8，(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
【解】　(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.所以q＝±.当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n；当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×.所以an＝28－n或an＝32×.(2)当an＝时，28－n＝或32×
＝，解得n＝9.