2.2.1
用样本的频率分布估计总体的分布
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列命题正确的是( )
A.频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数
B.频率分布直方图的面积为对应数据的频率
C.频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边长)表示频率与组距的比
D.用茎叶图统计某运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39时，茎是指中位数26
【解析】 在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示，由于小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.
【答案】 C
2.将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
第3组的频率和累积频率为( )
A.0.14和0.37
B.和
C.0.03和0.06
D.和
【解析】 由表可知，第三小组的频率为＝0.14，累积频率为＝0.37.
【答案】 A
3.如图2 2 8所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据可知样本落在[15,20)内的频数为( )
图2 2 8
A.20
B.30
C.40 D.50
【解析】 样本数据落在[15,20)内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.
【答案】 B
4.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图2 2 9所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
图2 2 9
A.46,45,56
B.46,45,53
C.47,45,56
D.45,47,53
【解析】 由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,
34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.
【答案】 A
5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2 2 10，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
【导学号：00732055】
图2 2 10
A.45
B.50
C.55 D.60
【解析】 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是＝50.
【答案】 B
二、填空题
6.200辆汽车通过某一段公路时时速的频率分布直方图如图2 2 11所示，时速在[50,60)的汽车大约有______辆.
【导学号：00732056】
图2 2 11
【解析】 在[50,60)的频率为0.03×10＝0.3，
∴汽车大约有200×0.3＝60(辆).
【答案】 60
7.从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图2 2 12所示，则甲、乙两组的最高成绩分别是________，________，从图中看，________班的平均成绩较高.
图2 2 12
【解析】 由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在60～80之间，乙班成绩集中在70～90之间，故乙班的平均成绩较高.
【答案】 96 92 乙
8.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图2 2 13所示：
图2 2 13
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
【解析】 由于(0.002
4＋0.003
6＋0.006
0＋x＋0.002
4＋0.001
2)×50＝1，解得x＝0.004
4；数据落在[100,250)内的频率是(0.003
6＋0.006
0＋0.004
4)×50＝0.7，所以月用电量在[100,250)内的用户数为100×0.7＝70.
【答案】 (1)0.004
4 (2)70
三、解答题
9.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
【导学号：00732057】
图2 2 14
【解】 (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得
＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好.
10.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图2 2 15)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
图2 2 15
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解】 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为：
×100%＝88%.
[能力提升]
1.如图2 2 16是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )
图2 2 16
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为0分
【解析】 由茎叶图可以看出甲运动员的成绩主要集中在30至40之间，比较稳定，而乙运动员均匀地分布在10至40之间，所以甲运动员成绩较好.故选A.
【答案】 A
2.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图2 2 17所示.以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )
图2 2 17
【解析】 借助已知茎叶图得出各小组的频数，再由频率＝求出各小组的频率，进一步求出并得出答案.
法一 由题意知样本容量为20，组距为5.
列表如下：
分组
频数
频率
[0,5)
1
0.01
[5,10)
1
0.01
[10,15)
4
0.04
[15,20)
2
0.02
[20,25)
4
0.04
[25,30)
3
0.03
[30,35)
3
0.03
[35,40]
2
0.02
合计
20
1
观察各选择项的频率分布直方图知选A.
法二 由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，故频率、也分别相等，比较四个选项知A正确，故选A.
【答案】 A
3.某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________.
图2 2 18
【解析】 当x≤4时，
＝91，
解之得x＝1.当x＞4时，易证不合题意.
【答案】 1
4.某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：(如图2 2 19所示)
分组
频数
频率
一组
0≤t<5
0
0
二组
5≤t<10
10
0.10
三组
10≤t<15
10
②
四组
15≤t<20
①
0.50
五组
20≤t≤25
30
0.30
合计
100
1.00
图2 2 19
解答下列问题：
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
【解】 (1)样本容量是100.
(2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分：
(3)设旅客平均购票用时为t
min，则有
≤t
<，
即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组.
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11.3
中国古代数学中的算法案例
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.以下是利用更相减损之术求114和36的最大公约数的操作步骤：
(114,36)→(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，那么114和36的最大公约数为( )
A.1
B.12 C.6 D.36
【解析】 由条件知最大公约数为6.
【答案】 C
2.自然数8
251和6
105的最大公约数为( )
A.37
B.23
C.47
D.111
【解析】 利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37.
【答案】 A
3.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )
A.6,6
B.5,6
C.5,5
D.6,5
【解析】 秦九韶算法中需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A.
【答案】 A
4.五次多项式f(x)＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－，用秦九韶算法求f(－2)等于( )
【导学号：00732031】
A.－
B.
C.
D.－
【解析】 ∵f(x)＝((((4x＋3)x＋2)x－1)x－1)x－，
∴f(－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－
＝－.
【答案】 A
5.已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为( )
A.27
B.11
C.109
D.36
【解析】 将函数式化成如下形式，
f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，
由内向外依次计算：
v0＝1，
v1＝1×3＋0＝3，
v2＝3×3＋2＝11，
v3＝11×3＋3＝36，
v4＝36×3＋1＝109，
v5＝109×3＋1＝328.
【答案】 D
二、填空题
6.用更相减损之术求36和134的最大公约数，第一步应为________.
【导学号：00732032】
【解析】 第一步为较大的数减去较小的数.
【答案】 134－36＝98
7.用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时值的算法：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x).
②第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x).
③需要计算5次乘法，5次加法.
④需要计算9次乘法，5次加法.
以上说法中正确的是________(填序号).
【解析】 ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错.对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确.
【解析】 ②③
8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5在x＝－2的值时，v3的值为________.
【解析】 f(x)＝1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5
＝x＋1，
∴在x＝－2时，v1＝－2＋5＝3，v2＝－2×3＋10＝4，
v3＝4×(－2)＋10＝2.
【答案】 2
三、解答题
9.用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6＋2x5＋3x4＋4x3＋5x2＋6x当x＝2时的值.
【解】 f(x)＝x6＋2x5＋3x4＋4x3＋5x2＋6x
＝(((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6)x
所以有
v0＝1；
v1＝1×2＋2＝4；
v2＝4×2＋3＝11；
v3＝11×2＋4＝26；
v4＝26×2＋5＝57；
v5＝57×2＋6＝120；
v6＝120×2＝240.
故当x＝2时，多项式f(x)＝x6＋2x5＋3x4＋4x3＋5x2＋6x的值为240.
10.求三个数168,54,264的最大公约数.
【解】 ∵(168,54)→(114,54)→(60,54)→(6,54)→(6,48)→(6,42)→
(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)
→(6,6)，
∴168和54的最大公约数为6.
∵(54,264)→(210,54)→(156,54)→(102,54)→(48,54)→(48,6)→(42,6)→…→(6,6)，
∴54和264的最大公约数为6.
故168,54,264的最大公约数为6.
[能力提升]
1.下列哪组的最大公约数与1
855,1
120的最大公约数不同( )
A.1
120,735
B.385,350
C.385,735
D.1
855,325
【解析】 ∵(1
855,1
120)→(735,1
120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)→
(315,35)→…→(35,35)，∴1
855与1
120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选D.
【答案】 D
2.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值为( )
A.－10
B.40
C.0
D.32
【解析】 将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0.
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
【答案】 C
3用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是________.
【解析】 此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，
由秦九韶算法的递推关系式(k＝1,2，…，n)，
得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.
【答案】 6
4.有甲、乙、丙三种溶液分别重147
g,343
g,133
g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？
【导学号：00732033】
【解】 每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.
所以147和343的最大公约数为49.
同理可求得49与133的最大公约数为7.
所以每瓶最多装7克.2.1.2
系统抽样
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在10
000个号码(编号为0000～9999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后2位数字是68的号码为中奖号码.这种确定中奖号码的方法是( )
A.抽签法
B.系统抽样法
C.随机数表法
D.其他抽样法
【解析】 根据系统抽样的概念知应选B.
【答案】 B
2.中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众.现采用系统抽样的方法抽取，每段容量为( )
A.10
B.100
C.1
000
D.10
000
【解析】 将10000个个体平均分成10段，每段取一个，故每段容量为1000.
【答案】 C
二、填空题
3.已知某商场新进3
000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第61组抽出的号码为________.
【解析】 分段间隔是＝20，由于第一组抽出号码为11，则第61组抽出号码为11＋(61－1)×20＝1
211.
【答案】 1
211
4.一个总体中有100个个体，随机编号为00,01,02，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同.若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________.
【解析】 由题意知第7组中的数为“60～69”10个数.由题意知m＝6，k＝7，故m＋k＝13，其个位数字为3，即第7组中抽取的号码的个位数为3，综上知第7组中抽取的号码为63.
【答案】 63
三、解答题
5.某校有2
008名学生，从中抽取20人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.
【解】 (1)将每个人随机编一个号由0
001至2
008；
(2)利用随机数表法找到8个号将这8名学生剔除；
(3)将剩余的2
000名学生重新随机编号0
001至2
000；
(4)分段，取间隔k＝＝100，将总体平均分为20段，每段含100个学生；
(5)从第一段即为0
001号到0
100号中随机抽取一个号l；
(6)按编号将l,100＋l,200＋l，…，1900＋l共20个号码选出，这20个号码所对应的学生组成样本.
[能力提升]
1.从2
015名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2
015人中剔除15人，剩下的2
000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2
015人中，每个人入选的机会( )
A.都相等，且为
B.不全相等
C.均不相等
D.都相等，且为
【解析】 因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除15人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以，每个人入选的机会都相等，且为.
【答案】 A
2.一个总体中的1
000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0,1,2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数.
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围.
【解】 (1)由题意此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第二组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第三组抽取的号码是290，…
故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×3＝187得x＝88…，
依次求得x值可能为21,22,23,54,55,56,87,88,89,90.第一章
算法初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面对程序框图中的图形符号的说法错误的是( )
A．起、止框是任何流程不可少的，表明程序开始和结束
B．输入、输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置
C．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的注释框内
D．当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内
【解析】 算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．
【答案】 C
2．阅读如图1的程序框图：若输出结果为0，则①处的执行框内应填的是( )
图1
A．x＝－1
B．b＝0
C．x＝1
D．a＝
【解析】 先确定执行框内是给x赋值然后倒着推，b＝0时，2a－3＝0，解得a＝，a＝时，2x＋1＝，解得x＝－1.
【答案】 A
3．如图2是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是( )
图2
A. B. C. D.
【解析】 运行第一次的结果为n＝0＋＝；第二次n＝＋＝；
第三次n＝＋＝.此时i＝4，程序终止，即输出n＝.
【答案】 C
4．用更相减损术之求得420和84的最大公约数为( )
【导学号：00732036】
A．84
B．12
C．168
D．252
【解析】
(420,84)→(336,84)→(252,84)→(168,84)→(84,84)，所以420和84的最大公约数为84.
【答案】 A
5．下面的程序语句输出的结果S为( )
A．17
B．19
C．21
D．23
【解析】 当i为7的时候i<8，执行循环体后i＝9，S＝21.
【答案】 C
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图3是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )
图3
A．7
B．12
C．17
D．34
【解析】 因为输入的x＝2，n＝2，所以k＝3时循环终止，输出s.根据程序框图可得循环体中a，s，k的值依次为2,2,1(第一次循环)；2,6,2(第二次循环)；5,17,3(第三次循环)．所以输出的s＝17.
【答案】 C
7．阅读如图4所示的程序框图，则循环体执行的次数为( )
图4
A．50
B．49
C．100
D．99
【解析】 ∵i＝i＋2，∴当2＋2n≥100时循环结束，此时n≥49，故选B.
【答案】 B
8．下面的程序运行后，输出的结果是( )
【导学号：00732037】
A．1,3
B．4,1
C．0,0
D．6,0
【解析】 该程序运行过程中a，b的值变化如下：a＝1；b＝3；a＝4，b＝4－3＝1，故选B.
【答案】 B
9．阅读如图5所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出S的值为( )
图5
A．64
B．73
C．512
D．585
【解析】 第1次运行：S＝0＋13＝1<50，第2次运行：x＝2，S＝1＋23＝9<50，
第3次运行：x＝4，S＝9＋43＝73>50，∴输出S＝73，选B.
【答案】 B
10．运行如下的程序，输出的结果为( )
(提示：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2)
A．32
B．33
C．61
D．63
【解析】 本程序实现的是：求满足1＋3＋5＋…＋n>1
000的最小的整数n.
当n＝31时，1＋3＋…＋61＝312＝961<1
000，
当n＝32时，1＋3＋…＋63＝322＝1
024>1
000，此时i＝63＋2＝65，
结束循环，i＝65－2＝63.
【答案】 D
11．阅读下边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写( )
图6
A．i<3
B．i<4
C．i<5
D．i<6
【解析】 i＝1，s＝2，s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；s＝－2－5＝－7，
i＝5＋2＝7.
因输出s的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i<6”．
【答案】 D
12．以下给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有( )
图7
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 程序框图所表示的算法是求分段函数
y＝的函数值．当x≤2时，令x2＝x，得x＝0或1；当2
5时，令＝x，得x＝±1(舍去)，故只有3个值符合题意，选C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．读如图8所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.
图8
【解析】 按算法框图循环到n＝3时输出结果．
当n＝1时，s＝1，a＝3；当n＝2时，s＝1＋3＝4，a＝5；
当n＝3时，s＝4＋5＝9，a＝7，所以输出s＝9.
【答案】 9
14．给出一个算法：
根据以上算法，可求得f(－1)＋f(2)＝________.
【解析】 f(x)＝∴f(－1)＋f(2)＝－4＋22＝0.
【答案】 0
15．如图9是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n＝________.
图9
【解析】 因为第一次判断执行后，s＝12，i＝2，第二次判断执行后，s＝12＋22，i＝3，而题目要求计算12＋22＋32＋…＋1002，故n＝100.
【答案】 100
16．执行如图10所示的程序框图，若输入x＝4，则输出y的值为________.
【导学号：00732038】
图10
【解析】 当输入x＝4时，计算y＝x－1，得y＝1.不满足|y－x|<1，于是得x＝1，此时y＝－1＝－，
不满足|y－x|<1，此时x＝－，得y＝－.这样|y－x|＝＝<1，执行“是”，所以输出的是－.
【答案】 －
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用更相减损之术求282与470的最大公约数．
【解】 ∵(470,282)→(188,282)→(188,94)→(94,94)，
∴470与282的最大公约数为94.
18．(本小题满分12分)某公司为激励广大员工的积极性，规定：若推销产品价值在10
000元之内的年终提成5%；
若推销产品价值在10
000元以上(包括10
000元)，则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f(x)的算法的程序框图．
【解】 程序框图如下图所示：
19．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．
【解】 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2
369，
v6＝2
369×3＋1＝7
108，
v7＝7
108×3＝21
324，
∴f(3)＝21
324.
20．(本小题满分12分)画出求函数y＝的值的程序框图，并写出程序．
【解】 程序框图为
程序为
21．(本小题满分12分)下列是某个问题的算法程序，将其改为程序语言，并画出框图．
算法：
S1 令i＝1，S＝0.
S2 若i≤999成立，则执行S3.
否则，输出S，结束算法．
S3 S＝S＋.
S4 i＝i＋2，返回S2.
【解】 程序和框图如下：
22．(本小题满分12分)如果我国工业年产值每年以9%的增长率增长，那么几年后我国工业年产值翻一番？画出程序框图，并写出算法程序．
【解】 程序框图如图所示：
程序如下所示：3.1.3
频率与概率
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是( )
A.概率为
B.频率为
C.概率接近
D.每抽10台电视机，必有1台次品
【解析】 事件C发生的频率为，由于只做了一次试验，故不能得出概率接近的结论.
【答案】 B
2.高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话( )
A.正确
B.错误
C.不一定
D.无法解释
【解析】 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是说明了对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定答对3道题，也可能都选错，或有2,3,4，…甚至12个题都选择正确.
【答案】 B
3.某篮球运动员投篮命中率为98%，估算该运动员投篮1
000次命中的次数为( )
【导学号：00732079】
A.98
B.980
C.20 D.998
【解析】 1
000次命中的次数为98%×1
000＝980.
【答案】 B
4.从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )
A.抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B.抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C.抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D.抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
【解析】 从12件产品中抽到正品的概率为＝，抽到次品的概率为＝，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品.
【答案】 B
5.一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】 因为这是一个必然事件，所以其概率为1.
【答案】 D
二、填空题
6.在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________.
【解析】 由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”，
故有100－49＝51(次)“正面朝下”.
【答案】 51
7.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：
调查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品.
【解析】 由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则＝0.95，所以n≈1
000.
【答案】 1
000
8.下列说法正确的有________.(填序号)
(1)频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性的大小.
(2)做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率.
(3)频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是确定性的不依赖于试验次数的理论值.
(4)在大量实验中频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
【解析】 由频率、概率的意义及二者的关系可知(1)、(3)、(4)正确.
【答案】 (1)(3)(4)
三、解答题
9.在一次试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个有圆形细胞的豚鼠被感染，50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染，有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果，估计下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率有：(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率.
【导学号：00732080】
【解】 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，由题意知，A为不可能事件，
所以P(A)＝0.
(2)记：“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，
由题意知P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，由题意知事件C为必然事件，所以P(C)＝1.
10.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数
81
95
123
82
119
129
121
击中飞碟的频率
(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
【解】 (1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得之后的频率依次是0.792,0.820,0.820,0.793,0.806,0.807.
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
[能力提升]
1.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是
( )
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】 对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.
【答案】 B
2.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________.
【导学号：00732081】
【解析】 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：
(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).
至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1.
【答案】 3∶1
3.鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条.
【解析】 由题意得≈，∴N≈.
【答案】
4.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10
000个鱼卵能孵化8
513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30
000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5
000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)
【解】 (1)这种鱼卵的孵化概率P＝＝0.851
3.
(2)30
000个鱼卵大约能孵化
30
000×＝25
539(尾)鱼苗.
(3)设大概需备x个鱼卵，由题意知＝，
所以x＝≈5
900(个)，
所以大概需备5
900个鱼卵.1.2.1
赋值、输入和输出语句
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列赋值语句中错误的是( )
A.N＝N＋1
B.K＝K
K
C.C＝A(B＋D)
D.C＝A/B
【解析】 C项中赋值号“＝”右边的乘号不能与数学运算中的乘号混淆，不能省略，应为“C＝A
(B＋D)”.
【答案】 C
2.下列给变量赋值的语句正确的是( )
A.5＝a
B.a＋2＝a
C.a＝b＝4
D.a＝2
a
【解析】 A错，因为赋值语句的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边表达式的值赋给赋值号左边的变量；C错，因为赋值语句不能把一个值同时赋给两个变量；B错，赋值语句左边是一个变量，而不是代数式；D项正确.
【答案】 D
3.下列程序语言中表达式的值正确的是( )
【解析】 C中，[5＋3×(12－7)]÷4＝(5＋15)÷4＝5；
A中，6＋32×2＝12＋18＝30；
B中，3×9＋()2＝36；
D中，5×5－4＋2×3×4＝45.
【答案】 C
二、填空题
4.下面程序的运行结果为________.
【解析】 ∵a＝1，b＝a＋3，∴b＝4.又∵b＝b＋1，∴b＝5.
【答案】 5
5.下面程序的运行结果为________.
【解析】 a＝b＝3，b＝c＋2＝4＋2＝6，c＝b＋4＝6＋4＝10，
∴d＝(a＋b＋c)＝(3＋6＋10)＝.
【答案】
三、解答题
6.对于平面直角坐标系中给定的两点A(a，b)，B(c，d)，编写一个程序，要求输入两点的坐标，输出这两点间的距离.
【解】 程序如下：
7.给出如图1 2 1所示程序框图，写出相应的算法语句.
图1 2 1
【解】
[能力提升]
1.当a＝3，b＝5，c＝b＋2时，print(%io(2)，a，b，c)在屏幕上的输出结果自上而下依次是( )
A.3,5,7
B.3,5,5
C.7,3,5
D.7,5,3
【解析】 print(%io(2)，a，b，c)在屏幕上的输出是从右往左开始，即最上面是c的值，中间是b的值，最下面是a的值.
【答案】 D
2.新中国成立以后，我国共进行了六次人口普查，各次普查得到的人口数据都呈增长趋势.假设我国现有人口数为P，人口的自然增长率为R，试设计一个程序，预测T年之后我国的人口总数.
【解】 1.2.3
循环语句
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列问题可以设计成循环语句计算的有( )
①求1＋3＋32＋…＋39的和；②比较a，b两个数的大小；
③对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值；④求平方值小于100的最大整数.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】 ①④用到循环语句；②③用不到.故选C.
【答案】 C
2.下列给出的四个框图，其中满足while语句格式的是( )
图1 2 3
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)
【解析】 while语句的特点是“前测试”.
【答案】 B
3.
下面的程序：
执行完毕后a的值为( )
A.99
B.100
C.101
D.102
【解析】 a＝99＋1＝100.
【答案】 B
4.下列程序的运行结果为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】 S＝0＋1＋2＋…，由于0＋1＋2＋3＋4＋5＝15,0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，
∴i＝6.
【答案】 B
5.下列的程序执行后输出的结果是( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
【解析】 当S＝5＋4＋3＋2＝14时，n＝2－1＝1，此时S<15继续执行循环体，则S＝5＋4＋3＋2＋1＝15，n＝1－1＝0，此时S＝15，循环结束，输出0.
【答案】 B
二、填空题
6.下面的程序运行后第3次输出的数是________.
【解析】 该程序中关键是循环语句，第一次输出的数是1，
第二次输出的数是x＝1＋＝，第三次输出的数是x＝1＋＋＝2.
【答案】 2
7.求1＋2＋22＋…＋2100的程序如下，请补全.
【解析】 由于进行1＋2＋22＋…＋2100为有规律的累加运算，其中底数为2，指数i的步长为1.
【答案】 S＝S＋2^i
8.
下列程序运行的结果为________.
【解析】 第一次循环：S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2；第二次循环：S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3；第三次循环：S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4；第四次循环：S＝6＋4＝10，i＝4＋1＝5；第五次循环：S＝10＋5＝15，i＝5＋1＝6；第六次循环：S＝15＋6＝21＞20，i＝6＋1＝7，故输出i的值为7.
【答案】 7
三、解答题
9.写出计算102＋202＋…＋1
0002的算法程序，并画出相应的程序框图.
【解】 程序如下：
或
程序框图如图所示：
10.设计一个计算1×3×5×7×…×999的算法.
【解】 程序框图如图所示：
程序：
[能力提升]
1.在下面的程序中，输出的结果应为( )
A.7,25
B.8,25
C.3,4,5,6,7,25
D.4,5,6,7,8,25
【解析】 第一循环：输出4；第二次循环：输出5；第三次循环：输出6；
第四次循环：输出7；第五次循环：输出8；此时终止循环，输出3＋4＋5＋6＋7＝25.
【答案】 D
2.执行下列程序，计算机能输出结果仅是15的是( )
A.S＝0；for
x＝1∶5，S＝S＋x，disp(S)；end
B.S＝0；for
x＝1∶5，S＝S＋x，end；disp(S)
C.S＝0；for
x＝1∶5，S＝S＋x；disp(S)；end
D.S＝0；for
x＝1∶5，S＝S＋x；end；disp(S)
【解析】 由disp(S)在end前，知A，C输出的为S＝1,3,6,10,15，而B中循环体“S＝S＋x”后应用“；”而不是“，”.
【答案】 D
3.下面程序表示的算法是________.
【解析】 由程序可知，终止循环的条件是S＞5
000，并且输出的值为n－1，所以该程序的算法是求使1×2×3×…×n>5
000的n的最小正整数
【答案】 求使1×2×3×…×n>5
000的n的最小正整数
4.在某电视台举行的青年歌手大赛中，有10名选手参加，并邀请了12名评委，在给每位选手计算平均分数时，为避免个别评委所给的极端分数的影响，必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均数.(分数采用10分制，即每位选手的分数最高为10分，最低为0分)
试用循环语句来解决上述问题.
【解】 程序如下：3.2
古典概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列试验中，属于古典概型的是( )
A.种下一粒种子，观察它是否发芽
B.从规格直径为250
mm±0.6
mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C.抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
【解析】 依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同.
【答案】 C
2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.
B. C. D.
【解析】 从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为＝.故选C.
【答案】 C
3.四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
【导学号：00732089】
A.
B.
C.
D.
【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝.
【答案】 A
4.已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.
【答案】 C
5.把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 点(a，b)取值的集合共有36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
【答案】 B
二、填空题
6.一只蚂蚁在如图3 2 1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________.
图3 2 1
【解析】 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
【答案】
7.在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).
【导学号：00732090】
【解析】 从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n＝10；
而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.
设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A，则A所包含的基本事件数为m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)＝＝＝.
【答案】
8.现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________.
【解析】 基本事件共有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5，2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7，2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)10种情况.相差0.3
m的共有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)两种情况，
所以P＝＝.
【答案】
三、解答题
9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率.
【解】 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2).
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3).
则中奖概率为P(B)＝＝.
10.某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
【解】 (1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.
又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－－＝.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个；
而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，
所以所求概率为.
[能力提升]
1.从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数字为0的概率是( )
A.
B. C. D.
【解析】 个位数字与十位数字之和为奇数，则个位数字与十位数字中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：
(1)当个位数字为奇数时，有5×4＝20(个)，符合条件的两位数.
(2)当个位数字为偶数时，有5×5＝25(个)，符合条件的两位数.
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数字为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.
【答案】 D
2.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.1
【解析】 记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素.
记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素.
故其概率为P(A)＝＝0.6.
【答案】 B
3.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16上或其内部的概率是________.
【解析】 连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共有36种情况，其中点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16上或其内部的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种情况，所以P＝＝.
【答案】
4.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.3.3.1
几何概型
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列关于几何概型的说法中，错误的是( )
A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个
D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性
【解析】 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.
【答案】 A
2.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为( )
A.
B. C. D.
【解析】 记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.
当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝＝.
【答案】 A
3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
【导学号：00732093】
A.0.008
B.0.004
C.0.002
D.0.005
【解析】 设问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为＝0.005.
【答案】 D
4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，
所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“＞”.
即P＝＝.
【答案】 C
5.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB＞AB).设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，∴＝.
【答案】 D
二、填空题
6.如图3 3 4，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________.
图3 3 4
【解析】 记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
【答案】
7.如图3 3 5，长方体ABCD A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A A1BD内的概率为________.
图3 3 5
【解析】 设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A A1BD内运动的概率P＝＝.
【答案】
8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.
【导学号：00732094】
【解析】 记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝.
记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)＝－＝.
故P()＝1－P(B)＝1－＝.
【答案】
三、解答题
9.(1)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；
(2)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率.
【解】 (1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在∠BAC内是等可能出现的，又当AB＝BM时，∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝＝＝.
(2)设AB＝AC＝1，则BC＝，设“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，
则P(Ω)＝＝＝.
10.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30
m，宽20
m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2
m的概率.
【解】 如图，四边形ABCD是长30
m、宽20
m的长方形.图中的阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2
m”.
问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率.
∵S长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，
S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(20－4)＝416(m2)，
∴S阴影部分＝S长方形ABCD－S长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，
根据几何概型的概率公式，得P(A)＝＝≈0.31.
[能力提升]
1.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型.设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
【答案】 B
2.已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( )
A.1－
B.1－
C.
D.
【解析】 设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在△ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为4－3×××1＝4－，故所求概率P＝＝1－.
【答案】 B
3.假设你在如图3 3 6所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分(等腰三角形)的概率是________.
图3 3 6
【解析】 设A＝{黄豆落在阴影内}，因为黄豆落在图中每一个位置是等可能的，因此P(A)＝，又△ABC为等腰直角三角形，设⊙O的半径为r，则AC＝BC＝r，所以S△ABC＝AC·BC＝r2，S⊙O＝πr2，所以P(A)＝＝.
【答案】
4.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图3 3 7所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖.
图3 3 7
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
【解】 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为＝.
∴在甲商场中奖的概率为P1＝＝.
如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种.
摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种.
∴在乙商场中奖的概率为P2＝＝.
∵P1∴顾客在乙商场中奖的可能性大.3.1.4
概率的加法公式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若A，B是互斥事件，则( )
A.P(A∪B)＜1
B.P(A∪B)＝1
C.P(A∪B)＞1
D.P(A∪B)≤1
【解析】 ∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A，B对立时，P(A∪B)＝1).
【答案】 D
2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}，D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A.A D
B.B∩D＝
C.A∪C＝D
D.A∪B＝B∪D
【解析】 “恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
【答案】 D
3.从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述事件中，是对立事件的是( )
A.①
B.②④
C.③
D.①③
【解析】 从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.
【答案】 C
4.某城市2015年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染.该城市2015年空气质量达到良或优的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 所求概率为＋＋＝.故选A.
【答案】 A
5.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图3 1 2为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )
图3 1 2
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
【解析】 由题图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
【答案】 D
二、填空题
6.在掷骰子的游戏中，向上的数字为5或6的概率为________.
【导学号：00732084】
【解析】 记事件A为“向上的数字为5”，事件B为“向上的数字为6”，则A与B互斥.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝×2＝.
【答案】
7.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.
【解析】 连续射击两次有以下四种情况：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，两次都中和两次都不中.故“至少一次中靶”的互斥事件为“两次都不中靶”.
【答案】 “两次都不中靶”
8.同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是________.
【解析】 记既没有5点也没有6点的事件为A，则P(A)＝，5点或6点至少出现一个的事件为B.
因为A∩B＝ ，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故5点或6点至少出现一个的概率为.
【答案】
三、解答题
9.掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B).
【解】 记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
10.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率.
【导学号：00732085】
【解】 记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥.
(1)小明成绩在80分以上的概率是：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)小明及格的概率是：
P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
∴小明及格的概率为0.93.
[能力提升]
1.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
【解析】 A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以B项不符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意.
【答案】 D
2.如图3 1 3所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
图3 1 3
A.
B. C. D.
【解析】 记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)，令90＞(442＋x)，解得x＜8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.
【答案】 C
3.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________.
【导学号：00732086】
【解析】 由题意知A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，又P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”也是对立事件，∵P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38.设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.
【答案】 0.2
4.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【解】 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有：
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，
解得P(B)＝，
P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.3.4
概率的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.一个路口的信号灯，红灯的时间间隔为30秒，绿灯的时间间隔为40秒，如果你到达路口时，遇到红灯的概率为，那么黄灯亮的时间间隔为( )
A.5秒
B.10秒 C.15秒 D.20秒
【解析】 设黄灯亮的时间间隔为t秒，P(遇见红灯)＝＝，解得t＝5.
【答案】 A
2.某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝.
【答案】 D
3.调查运动员服用兴奋剂的时候，应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，得到80个“是”的回答，由此，我们估计服用过兴奋剂的人占这群人的( )
A.3.33%
B.53%
C.5%
D.26%
【解析】 应用Warner随机化应答方法调查300名运动员，我们期望有150人回答了第一个问题，而在这150人中又有大约一半的人即75人回答了“是”.其余5个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用过兴奋剂的大约占≈3.33%.
【答案】 A
4.若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每名学生被抽到的概率为，其中解释正确的是
( )
A.4名学生中，必有1名被抽到
B.每名学生被抽到的可能性为
C.由于抽到与不被抽到有两种情况，所以不被抽到的概率为
D.以上说法都不正确
【解析】 根据概率的意义可以知道选B.
【答案】 B
5.某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.
则对甲、乙公平的规则是( )
A.规则一和规则二
B.规则一和规则三
C.规则二和规则三
D.规则二
【解析】 规则一每人发球的机率都是，是公平的.规则二所有情况有(红1，红2)，(红1，黑1)，(红1，黑2)，(红2，黑1)，(红2，黑2)，(黑1，黑2)6种，同色的有2种，所以甲发球的可能性为，不公平.
规则三所有情况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(红1，黑)，(红2，黑)，(红3，黑)，同色球有3种，所以两人发球的可能性都是公平的.
【答案】 B
二、填空题
6.通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.
【导学号：00732102】
【解析】 由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有三个数字在1,2,3,4,5,6中，这样的随机数有3013,2604,5725,6576,6754，共5个，所求的概率约为＝.
【答案】
7.某汽车站，每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生准备在该汽车站乘车前往南京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为________.
【解析】 上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，6种情况，若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况符合条件.所以袁先生乘上上等车的概率P＝＝.
【答案】
8.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是______________________元.
【解析】 应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数.设可获收益为x元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%.
一年后公司成功的概率约为，失败的概率为，
∴估计一年后公司收益的平均数×10
000＝4
760(元).
【答案】 4
760
三、解答题
9.在两根相距8
m的木杆间系一根绳子，并在绳子上挂一个警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3
m的概率.
【解】 设事件A为“警示灯与两杆的距离都大于3
m”，则A的长度为8－3－3＝2
(m)，
整个事件的长度为8
m，则P(A)＝＝.
10.为调查某森林内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它们放回森林.经过半年后，再从森林中捕捉50只，假设尾巴上有记号的松鼠共有5只.试根据上述数据，估计此森林内松鼠的数量.
【解】 设森林内的松鼠总数为n.假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，从森林中任捕一只，设事件A＝{带有记号的松鼠}，则由古典概型可知，P(A)＝
①，
第二次从森林中捕捉50只，有记号的松鼠共有5只，即事件A发生的频数m＝5，由概率的统计定义可知，P(A)≈＝
②，
由①②可得：≈，所以n≈1
000，所以，此森林内约有松鼠1
000只.
[能力提升]
1.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A.0.50
B.0.45
C.0.40
D.0.35
【解析】 两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一，它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10个，因此所求的概率为＝0.50.
【答案】 A
2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别都涂上颜色，再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，所得正方体恰有一面涂有颜色的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 棱长为3的正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，一共有27块.
∵小正方体的一面涂色，分别位于大正方体的各个面的中心，有6种，
∴正方体的六个面均恰有一面涂有颜色的概率是＝.
【答案】 A
3.对一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷号恰为1,2,3,4顺序的概率为________.
【解析】 S基本事件如下：
①②③④ ②①③④ ③①②④ ④①②③
①②④③ ②①④③ ③①④② ④①③②
①③②④ ②③①④ ③②①④ ④②③①
①③④② ②③④① ③②④① ④②①③
①④②③ ②④①③ ③④①② ④③①②
①④③② ②④③① ③④②① ④③②①
总共有24种基本事件，故其概率为P＝＝.
【答案】
4.如图3 4 1所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
图3 4 1
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
【导学号：00732103】
【解】 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.
由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，
∴估计P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则P(A1)＞P(A2)，
因此，甲应该选择路径L1，
同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分布为48÷60＝0.8,36÷40＝0.9，
∴估计P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，
因此乙应该选择路径L2.第三章
概率
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4℃时结冰.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 ①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军.②李凯不一定被抽到.③任取一张不一定为1号签.④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰，故①②③是随机事件，④是不可能事件.
【答案】 C
2.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【解析】 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.故选D.
【答案】 D
3.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
【导学号：00732109】
A.
B.
C.
D.
【解析】 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的有2种，故所求概率为P＝＝.故选B.
【答案】 B
4.在区间[－2,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为( )
【导学号：00732110】
A.
B.
C.
D.
【解析】 由几何概型的概率计算公式可知x∈[0,1]的概率P＝＝.故选A.
【答案】 A
5.1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
【解析】 本题考查的是体积型几何概型.
【答案】 A
6.从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个均互斥
D.任何两个均不互斥
【解析】 互斥事件是不可能同时发生的事件，所以事件B与C互斥.
【答案】 B
7.某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为( )
A.100
m
B.80
m
C.50
m
D.40
m
【解析】 设河宽为x
m，则1－＝，所以x＝100.
【答案】 A
8.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率是0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )
A.0.62
B.0.38
C.0.70
D.0.68
【解析】 记“取到质量小于4.8
g”为事件A，“取到质量不小于4.85
g”为事件B，“取到质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件.所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.
【答案】 B
9.如图1，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
图1
A.
B.
C. D.
【解析】 点E为边CD的中点，故所求的概率P＝＝.
【答案】 C
10.将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2,2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( )
A.x＝x1
2
B.x＝x1
4
C.
x＝x1
2-2
D.x＝x1
4-2
【解析】 由题意可知x＝x1
(2+2)-2=
x1
4-2.
【答案】 D
11.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A.P1＝P2＜P3
B.P1＜P2＜P3
C.P1＜P2＝P3
D.P3＝P2＜P1
【解析】 先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个基本事件都是等可能发生的.而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1＜P2＜P3.
【答案】 B
12.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以为概率的事件是( )
A.恰有1件一等品
B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品
D.都不是一等品
【解析】 将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3).故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13.一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.
【解析】 由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
【答案】
14.在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为________.
【解析】 方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0,1)，所以【答案】
15.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图2所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.
图2
【解析】 由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝.
【答案】
16.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________.
【解析】 此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法.若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
【导学号：00732111】
【解】 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等).这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
18.(本小题满分12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
概率
0.02
0.04
0.17
0.36
0.25
0.15
(1)求该班成绩在[80,100]内的概率；
(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.
【解】 记该班的测试成绩在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内依次为事件A，B，C，D，由题意知事件A，B，C，D是彼此互斥的.
(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.25＋0.15＝0.4.
(2)该班成绩在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
19.(本小题满分12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗？请说明理由.
【解】 (1)由于x，y取值为1,2,3,4,5,6，
则以(x，y)为坐标的点有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个，即以(x，y)为坐标的点共有36个.
(2)满足x＋y≥10的点有：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，所以小王赢的概率是＝，
满足x＋y≤4的点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，所以小李赢的概率是＝，
则小王赢的概率等于小李赢的概率，
所以这个游戏规则公平.
20.(本小题满分12分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.
【解】 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
21.(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.
【导学号：00732112】
【解】 (1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种.
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
22.(本小题满分12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25,6.15)，[6.15,7.05)，[7.05,7.95)，[7.95,8.85)，[8.85,9.75)，[9.75,10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格.
图3
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；
(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a，b两位同学的成绩均为优秀，求a，b两位同学中至少有1人被选到的概率.
【解】 (1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.
∴参加这次铅球投掷的总人数为＝50.
根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为
(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.
(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，
∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95,8.85)内，即第4组.
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a，b，c，d，e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，
∴a、b
两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝.3.1.1
随机现象
3.1.2
事件与基本事件空间
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆.
②若a为整数，则a＋1为整数.
③发射一颗炮弹，命中目标.
A.1个
B.2个 C.3个 D.0个
【解析】 当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余2个均为随机现象.
【答案】 B
2.有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1
℃结冰；④买了一注彩票就得了特等奖.
其中是随机事件的有( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②④
【解析】 ①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.
【答案】 B
3.下列事件是必然事件的是( )
A.明天太阳从西边升起
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.实心铁球会沉入水底
D.抛一枚硬币，正面朝上
【解析】 A是不可能事件，B是随机事件，C是必然事件，D是随机事件.
【答案】 C
4.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个.
【答案】 C
5.“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有
( )
A.6种
B.12种
C.24种
D.36种
【解析】 试验的全部结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种.
【答案】 D
二、填空题
6.写出下列试验的基本事件空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)__________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________.
【导学号：00732075】
【解析】 (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)可能有三种：胜，平，负，所以Ω＝{胜，平，负}.
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数可能为0,1,2,3,4，
所以Ω＝{0,1,2,3,4}.
【答案】 (1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
7.投掷两枚骰子，点数之和为8所含的基本事件有________种.
【解析】 基本事件为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2).
【答案】 5
8.从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的基本事件空间为________，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为________.
【解析】 从1,2,3，…，10中任意选一个数，所得到的数可能是从1到10中的任意一个数，所以这个试验的基本事件空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，“它是偶数”这一事件包含的基本事件有5个，分别为2,4,6,8,10.
【答案】 Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5
三、解答题
9.一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为(x，y)，试写出“所得两球的和为6”所包含的基本事件.
【解】
由图可直观地看出，“所得两球的和为6”包含以下5个基本事件：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1).
10.指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.
【解】 (1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球.
(2)结果：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,3－6＝－3，
1－10＝－9,3－10＝－7，
6－1＝5,10－1＝9，
6－3＝3,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的结果为：－2,2，－5，－3，－9，－7,5,9,3,7，－4,4.
[能力提升]
1.抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是( )
A.“出现奇数点”
B.“出现偶数点”
C.“点数大于3”
D.“点数是3的倍数”
【解析】 “出现2点”这个事件发生，由2为偶数，故“出现偶数点”这一事件发生.
【答案】 B
2.下列现象是必然现象的是( )
A.某路口单位时间内通过的车辆数
B.n边形的内角和为(n－2)·180°
C.某同学竞选学生会主席成功
D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数
【解析】 A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象.
【答案】 B
3.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________.
【导学号：00732076】
【解析】 至少需摸完黑球和白球共15个.
【答案】 16
4.同时转动如图3 1 1所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
图3 1 1
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
【解】 (1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}.
(2)基本事件的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4).
(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).1.1.2-1.1.3
第1课时
程序框图、顺序结构
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.算法的三种基本结构是( )
A.顺序结构、流程结构、循环结构
B.顺序结构、条件分枝结构、循环结构
C.顺序结构、条件分枝结构、嵌套结构
D.顺序结构、嵌套结构、流程结构
【解析】 由算法的特征及结构知B正确.
【答案】 B
2.如图1 1 6程序框图的运行结果是( )
图1 1 6
A.
B. C.－ D.－1
【解析】 因为a＝2，b＝4，所以S＝－＝－＝－，故选C.
【答案】 C
3.程序框图符号“”可用于( )
A.输出a＝10
B.赋值a＝10
C.判断a＝10
D.输入a＝1
【解析】 图形符号“”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是输出、判断和输入的，故选B.
【答案】 B
二、填空题
4.如图1 1 7程序框图中，若R＝8，运行结果也是8，则程序框图中应填入的内容是________.
图1 1 7
【解析】 因为R＝8，所以b＝＝2.又a＝8，因此a＝4b.
【答案】 a＝4b
5.阅读程序框图如图1 1 8所示，若输入x＝3，则输出y的值为________.
【导学号：00732006】
图1 1 8
【解析】 输入x＝3，则a＝2×32－1＝17，b＝a－15＝17－15＝2，y＝a×b＝17×2＝34，则输出y的值为34.
【答案】 34
6.如图1 1 9所示的程序框图，若输出的结果是2，则输入的m＝________.
图1 1 9
【解析】 根据程序框图知，lg
m＝2，故m＝100.
【答案】 100
三、解答题
7.如图1 1 10所示的程序框图，要使输出的y的值最小，则输入的x的值应为多少？此时输出的y的值为多少？
【导学号：00732007】
图1 1 10
【解】 将y＝x2＋2x＋3配方，得y＝(x＋1)2＋2，要使y的值最小，需x＝－1，此时ymin＝2.
故输入的x的值为－1时，输出的y的值最小为2.
[能力提升]
1.如图1 1 11所示的是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的b＝7，则a2等于( )
图1 1 11
A.9
B.10
C.11
D.12
【解析】 由题意知该算法是计算的值，
所以＝7，得a2＝11.故选C.
【答案】 C
2.给出如图1 1 12程序框图：
图1 1 12
若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是( )
A.x＝2
B.b＝2
C.x＝1
D.a＝5
【解析】 因结果是b＝2，所以2＝a－3，
即a＝5.
当2x＋3＝5时，得x＝1.
故选C.
【答案】 C
3.写出图1 1 13中算法的功能.
图1 1 13
【解】 求过横坐标不相同的两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线的斜率k.3.3.2
随机数的含义与应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.与均匀随机数特点不符的是( )
A.它是[0,1]内的任何一个实数
B.它是一个随机数
C.出现的每一个实数都是等可能的
D.是随机数的平均数
【解析】 A，B，C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.
【答案】 D
2.要产生[－3,3]上的均匀随机数y，现有[0,1]上的均匀随机数x，则y可取为( )
A.－3x
B.3x C.6x－3 D.－6x－3
【解析】 法一：利用伸缩和平移变换进行判断；
法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.
【答案】 C
3.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5
cm的圆，中间有边长为0.5
cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意知所求的概率为P＝＝.
【答案】 A
4.一次试验：向如图3 3 14所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N粒，其中有m(m图3 3 14
A.
B.
C.
D.
【解析】 设正方形的边长为2a，依题意，P＝＝，得π＝，故选D.
【答案】 D
5.若将一个质点随机投入如图3 3 15所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
图3 3 15
A.
B.
C.
D.
【解析】 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6.如图3 3 16，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________.
图3 3 16
【解析】 ∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，
∴＝＝，∴S阴＝.
【答案】
7.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________.
【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>，即所求概率为.
【答案】
8.如图3 3 17，在一个两边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________.
【导学号：00732097】
图3 3 17
【解析】 ∵图中梯形的面积为s＝××b＝ab，矩形的面积为S＝ab，
∴落在梯形内部的概率为：P＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9.箱子里装有5个黄球，5个白球，现在有放回地取球，求取出的是黄球的概率，如果用计算机模拟该试验，请写出算法.
【导学号：00732098】
【解】 P＝＝，用计算机模拟法时可认为0～1之间的随机数x与事件的对应是：当x在0～0.5时，确定为摸到黄球；当x在0.5～1之间时，确定为摸到白球.具体算法如下：
S1，用计数器n记录做了多少次摸球的试验，用计算器m记录其中有多少次显示的黄球，置n＝0，m＝0；
S2，用函数rand产生一个0～1的随机数x；
S3，如果这个随机数在0～0.5之间，我们认为是摸到黄球，判断x是不是在0～0.5之间，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；
S4，表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回S2继续执行；否则，执行S5；
S5，摸到黄球发生的频率作为概率的近似值.
10.对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的.单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率.
【解】 设某人两项的分数分别为x分、y分，
则0≤x≤100,0≤y≤100，
某人合格的条件是80＜x≤100，
80＜y≤100，x＋y＞170，
在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图阴影部分所示).
由图可知：0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10
000，
合格条件构成的区域面积为
S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－×10×10＝350，
所以所求概率为P＝＝.
该人合格的概率为.
[能力提升]
1.P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A.
B. C. D.
【解析】 设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得＋＝，故M轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，所以在C2内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
【答案】 B
2.如图3 3 18，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为( )
图3 3 18
A.
B.
C.
D.
【解析】 由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)
那么S△ABC＝×10×10sin
75°＝×10×10×＝25(3＋).
于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.
【答案】 B
3.在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________.
【解析】 如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝×π×13＝.
事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，
根据几何概型概率公式得，点P与点O的距离大于1的概率P＝＝1－.
【答案】 1－
4.如图3 3 19所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法).
图3 3 19
【解】 法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据≈
，即可求区域A面积的近似值.例如，假设撒1
000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
S1 产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标.如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内；
S2 统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.1.1.2-1.1.3
第2课时
条件分支结构
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列算法中含有条件分支结构的是( )
A.求点到直线的距离
B.已知三角形三边长求面积
C.解一元二次方程x2＋bx＋4＝0(b∈R)
D.求两个数的平方和
【解析】 A，B，D均为顺序结构，由于解一元二次方程时需判断判别式值的符号，故C选项要用条件分支结构来描述.
【答案】 C
2.下列关于条件分支结构的描述，不正确的是( )
A.条件分支结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的
B.条件分支结构的判断条件要写在判断框内
C.条件分支结构只有一个出口
D.条件分支结构根据条件是否成立，选择不同的分支执行
【答案】 C
3.若f(x)＝x2，g(x)＝log2x，则如图1 1 21所示的程序框图中，输入x＝0.25，输出h(x)＝( )
图1 1 21
A.0.25
B.2
C.－2
D.－0.25
【解析】 h(x)取f(x)和g(x)中的较小者.
g(0.25)＝log20.25＝－2，
f(0.25)＝0.252＝.
【答案】 C
4.若输入－5，按图1 1 22中所示程序框图运行后，输出的结果是( )
图1 1 22
A.－5
B.0
C.－1
D.1
【解析】 因为x＝－5，不满足x＞0，所以在第一个判断框中执行“否”，在第2个判断框中，由于－5＜0，执行“是”，所以得y＝1.
【答案】 D
5.对任意非零实数a，b，若a b的运算原理如图1 1 23所示，则log24 的值为( )
图1 1 23
A.
B.1
C.
D.2
【解析】 log24＝2<3＝，由题意知所求值为＝1.
【答案】 B
二、填空题
6.如图1 1 24所示，是求函数y＝|x－3|的函数值的程序框图，则①处应填________，②处应填________.
【导学号：00732010】
图1 1 24
【解析】 ∵y＝|x－3|＝
∴①中应填x＜3.
又∵若x≥3，则y＝x－3.
∴②中应填y＝x－3.
【答案】 x＜3 y＝x－3
7.如图1 1 25所示的算法功能是________.
图1 1 25
【解析】 根据条件分支结构的定义，
当a≥b时，输出a－b；
当a＜b时，输出b－a.
故输出|b－a|的值.
【答案】 计算|b－a|
8.如图1 1 26是求某个函数的函数值的程序框图，则满足该程序的函数的解析式为________.
图1 1 26
【解析】 由框图可知f(x)＝
【答案】 f(x)＝
三、解答题
9.写出输入一个数x，求分段函数y＝的函数值的程序框图.
【导学号：00732011】
【解】 程序框图如图所示：
10.设计一个程序框图，使之能判断任意输入的数x是奇数还是偶数.
【解】 程序框图如下：
[能力提升]
1.根据图1 1 27中的流程图操作，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( )
图1 1 27
A.①框中填“是”，②框中填“否”
B.①框中填“否”，②框中填“是”
C.①框中填“是”，②框中可填可不填
D.①框中填“否”，②框中可填可不填
【解析】 当x≥60时，应输出“及格”；当x＜60时，应输出“不及格”.故①中应填“是”，②中应填“否”.
【答案】 A
2.执行如图1 1 28所示的程序框图，如果输入t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
图1 1 28
A.[－3,4]
B.[－5,2]
C.[－4,3]
D.[－2,5]
【解析】 因为t∈[－1,3]，当t∈[－1,1)时，s＝3t∈[－3,3)；当t∈[1,3]时，s＝4t－t2＝－(t2－4t)＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，所以s∈[－3,4].
【答案】 A
3.某程序框图如图1 1 29所示，若输出的结果是8，则输入的数是________.
【导学号：00732012】
图1 1 29
【解析】 由程序框图知，或，
解得x＝－2或x＝2.
【答案】 －2或2
4.如图1 1 30所示是某函数f(x)给入x的值，求相应函数值y的程序框图.
图1 1 30
(1)写出函数f(x)的解析式；
(2)若输入的x取x1和x2(|x1|<|x2|)时，输出的y值相同，试简要分析x1与x2的取值范围.
【解】 (1)f(x)＝
(2)画出y＝f(x)的图象：
由图象及y＝f(x)为偶函数，且|x1|<|x2|时，f(x1)＝f(x2)知x1∈(－1,1)，x2∈[－，－1)∪(1，].1.1.2-1.1.3
第3课时
循环结构
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.用二分法求方程x2－2＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构( )
A.顺序结构
B.条件结构
C.循环结构
D.以上都用
【解析】 任何一个算法都有顺序结构，循环结构一定包含条件结构，二分法用到循环结构，故选D.
【答案】 D
2.执行如图1 1 40所示的程序框图，如果输出的a值大于2
015，那么判断框内应填( )
图1 1 40
A.k≤6
B.k<5
C.k≤5
D.k>6
【解析】 第一次循环，a＝4×1＋3＝7，k＝1＋1＝2；第二次循环，a＝7<2
015，故继续循环，所以a＝4×7＋3＝31，k＝2＋1＝3；第三次循环，a＝31<2
015，故继续循环，所以a＝4×31＋3＝127，k＝3＋1＝4；第四次循环，a＝127<2
015，故继续循环，所以a＝4×127＋3＝511，k＝4＋1＝5；第五次循环，a＝511<2
015，故继续循环，所以a＝4×511＋3＝2
047，k＝5＋1＝6；第六次循环，a＝2
047>2
015，故不符合条件，终止循环，输出a值.所以判断框内应填的条件是k≤5.
【答案】 C
3.如图1 1 41所示的程序框图表示的算法功能是( )
图1 1 41
A.计算小于100的奇数的连乘积
B.计算从1开始的连续奇数的连乘积
C.从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于或等于100时，计算奇数的个数
D.计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n的值
【解析】 循环一次时S＝1×3，循环2次时，S＝1×3×5，且S大于或等于100时输出i，故算法功能为D.
【答案】 D
4.阅读如图1 1 42框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
图1 1 42
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】 i＝1时，a＝1×1＋1＝2，
i＝2时，a＝2×2＋1＝5，
i＝3时，a＝3×5＋1＝16，
i＝4时，a＝4×16＋1＝65>50，
所以输出i＝4.
【答案】 B
5.如图1 1 43所示，是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )
图1 1 43
A.①是循环变量初始化，循环就要开始
B.②是循环体
C.③是判断是否继续循环的终止条件
D.①可以省略不写
【解析】 ①是循环变量初始化，表示循环就要开始，不可以省略不写，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.如图1 1 44所示的程序框图，输出的结果为________.
图1 1 44
【解析】 S＝1×5×4＝20.
【答案】 20
7.如图1 1 45所示的程序框图，当输入x的值为5时，则其输出的结果是________.
图1 1 45
【解析】 ∵x＝5，x>0，∴x＝5－3＝2，x>0.
∴x＝2－3＝－1.∴y＝0.5－1＝2.
【答案】 2
8.若执行如图1 1 46所示的程序框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于________.
图1 1 46
【解析】 i＝1，s＝0＋(x1－)2＝(1－2)2＝1，
i＝2，s＝1＋(x2－)2＝1＋(2－2)2＝1，
i＝3，s＝1＋(x3－)2＝1＋(3－2)2＝2，
s＝×s＝×2＝.
【答案】
三、解答题
9.用循环结构书写求1＋＋＋＋…＋的算法，并画出相应的程序框图.
【解】 相应的算法如下：
S1 S＝0，i＝1.
S2 S＝S＋.
S3 i＝i＋1.
S4 i>1
000是否成立，若成立执行S5；否则重复执行S2.
S5 输出S.
相应的算法框图如图所示：
10.2015年某地森林面积为1
000
km2，且每年增长5%.到哪一年该地森林面积超过2
000
km2？(只画出程序框图)
【解】 程序框图如下：
[能力提升]
1.执行如图1 1 47所示的程序框图，若m＝5，则输出的结果为( )
图1 1 47
A.4
B.5 C.6 D.8
【解析】 由程序框图可知，k＝0，P＝1.
第一次循环：因为k＝0＜5，所以P＝1×30＝1，k＝0＋1＝1.
第二次循环：因为k＝1＜5，所以P＝1×31＝3，k＝1＋1＝2.
第三次循环：因为k＝2＜5，所以P＝3×32＝33，k＝2＋1＝3.
第四次循环：因为k＝3＜5，所以P＝33×33＝36，k＝3＋1＝4.
第五次循环：因为k＝4＜5，所以P＝36×34＝310，k＝4＋1＝5.
此时满足判断框内的条件，输出结果为z＝log9310＝5.
【答案】 B
2.某程序框图如图1 1 48所示，若输出的s＝57，则判断框内为( )
图1 1 48
A.k>4
B.k>5
C.k>6
D.k>7
【解析】 由题意k＝1时，s＝1；
当k＝2时，s＝2×1＋2＝4；
当k＝3时，s＝2×4＋3＝11；
当k＝4时，s＝2×11＋4＝26；
当k＝5时，s＝2×26＋5＝57，
此时输出结果一致，故k>4时循环终止.
【答案】 A
3.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851).阅读如图1 1 49所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.
图1 1 49
【解析】 取a1＝815 b1＝851－158＝693≠815 a2＝693；
由a2＝693 b2＝963－369＝594≠693 a3＝594；
由a3＝594 b3＝954－459＝495≠594 a4＝495；
由a4＝495 b4＝954－459＝495＝a4 b＝495.
【答案】 495
4.如图1 1 50所示的程序的输出结果为sum＝132，求判断框中的条件.
图1 1 50
【解】 ∵i初始值为12，sum初始值为1，第一次循环sum＝1×12＝12，第二次sum＝12×11＝132，只循环2次，∴i≥11.
∴判断框中应填的条件为“i≥11”或“i>10”.2.3
变量的相关性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.有几组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③立方体的棱长和体积.
其中两个变量成正相关的是( )
A.①③
B.②③
C.②
D.③
【解析】 ①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系.
【答案】 C
2.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )
A.都可以分析出两个变量的关系
B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C.都可以作出散点图
D.都可以用确定的表达式表示两者的关系
【解析】 由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B，D错.
【答案】 C
3.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝a＋bx中，回归系数( )
【导学号：00732064】
A.不能小于0
B.不能大于0
C.不能等于0
D.只能小于0
【解析】 当＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但能大于0，也能小于0.
【答案】 C
4.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确.
【答案】 D
5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
【导学号：00732107】
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归直线方程＝bx＋a中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
【解析】 ＝(4＋2＋3＋5)＝3.5，
＝(49＋26＋39＋54)＝42，
所以＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归直线方程为＝9.4x＋9.1，
令x＝6，得＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元).故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归直线方程为＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右.
【解析】 当x＝80时，＝400＋250＝650.
【答案】 650
7.已知一个回归直线方程为＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则＝________.
【导学号：00732065】
【解析】 因为＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且回归直线过样本中心点(，)，
所以＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】 58.5
8.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.
【解析】 由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元.
【答案】 0.254
三、解答题
9.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
(1)画出散点图；
(2)求成本y与产量x之间的线性回归直线方程.(结果保留两位小数)
【解】 (1)散点图如图所示.
(2)设y与产量x的线性回归直线方程为＝bx＋a，
＝＝4，＝＝9，
＝
＝＝＝1.10，
＝－＝9－1.10×4＝4.60.
∴回归直线方程为：＝1.10x＋4.60.
10.假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的年平均维修费用y(万元)(即维修费用之和除以使用年限)，有如下的统计资料：
【导学号：00732066】
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律；
(3)求回归直线方程；
(4)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少？
【解】 (1)画出散点图如图所示.
(2)由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，使用年限与所支出的年平均维修费用之间成正相关，即使用年限越长，所支出的年平均维修费用越多.
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系.
由题表数据可得，＝4，＝5，xiyi＝112.3，x＝90，由公式可得＝＝1.23，＝－＝5－1.23×4＝0.08.即回归直线方程是＝1.23x＋0.08.
(4)由(3)知，当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元).
故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元.
[能力提升]
1.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归直线方程为＝bx＋a，则( )
A.a＞0，b＞0
B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0
D.a＜0，b＜0
【解析】 作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线方程＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】 B
2.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A.劳动生产率为1
000元时，工人工资为130元
B.劳动生产率提高1
000元时，工人工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1
000元时，工人工资平均提高130元
D.当月工资为250元时，劳动生产率为2
000元
【解析】 因为回归方程斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1
000元时，工人工资平均提高80元.
【答案】 B
3.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______________________分.
【解析】 令两人的总成绩分别为x1，x2.
则对应的数学成绩估计为
1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，
所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
【答案】 20
4.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程＝bx＋a中，＝，＝－b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为＝x＋.
【解】
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关.
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
PAGE
12.1.1
简单随机抽样
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( )
①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】 ①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．
【答案】 D
2．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
【解析】 根据简单随机抽样的定义知选A.
【答案】 A
3．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是( )
【导学号：00732041】
A.
B.
C.
D.
【解析】 简单随机抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的机率都是＝.故选C.
【答案】 C
4．从10个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数法抽取样本，则应编号为( )
A．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
B．－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4
C．10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
D．0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
【解析】 利用随机数表法抽样时，必须保证所编号码的位数一致．
【答案】 D
5．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…，100；
③00,01,02，…，99.其中正确的序号是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．③
【解析】 根据随机数表的要求，只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．
【答案】 C
二、填空题
6．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：①制签；②抽签；③将签摇匀；④编号；⑤将抽取的号码对应的个体取出，组成样本．这些步骤的正确顺序为________．
【解析】 由抽签法的步骤知，正确顺序为④①③②⑤.
【答案】 ④①③②⑤
7．为了了解参加运动会的2
000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．
①2
000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；
⑥每个运动员被抽到的机会相等．
【解析】 ①2
000名运动员不是总体，2
000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本．
【答案】 ④⑤⑥
8．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为25%，则N＝_________________________.
【导学号：00732042】
【解析】 ＝25%，因此N＝120.
【答案】 120
三、解答题
9．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？
【解】 第一步，将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600.
第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数3.
第三步，从数3开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到321,273,279,600,552,254.
第四步，与以上这6个号码对应的6个元件就是所要抽取的对象．
10．天津某大学为了支持东亚运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
【导学号：00732043】
【解】 抽签法：
第一步：将60名大学生编号，编号为1,2,3，…，60；
第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．
随机数表法：
第一步：将60名学生编号，编号为01,02,03，…，60；
第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数；
第三步：凡不在01～60中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数；
第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．
[能力提升]
1．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该产品的合格率约为( )
A．36%
B．72%
C．90%
D．25%
【解析】 ×100%＝90%，由样本估计总体，故该产品的合格率为90%.
【答案】 C
2．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，每人被抽取的可能性均为0.2，从该中学抽取一个容量为n的样本，则n＝________.
【解析】 ∵＝0.2，
∴n＝200.
【答案】 200
3．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
【解】 第一步：先确定艺人
(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中不放回的抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步：确定演出顺序
确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.2.1.3
分层抽样
2.1.4
数据的收集
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
【导学号：00732050】
A.12,24,15,9
B.9,12,12,7
C.8,15,12,5
D.8,16,10,6
【解析】 抽样比例为＝，故各层中依次抽取的人数为160×＝8(人)，320×＝16(人)，200×＝10(人)，120×＝6(人).故选D.
【答案】 D
2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
图2 1 1
A.200,20
B.100,20
C.200,10
D.100,10
【解析】 该地区中小学生总人数为
3
500＋2
000＋4
500＝10
000，
则样本容量为10
000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2
000×2%×50%＝20.
【答案】 A
二、填空题
3.指出下面的哪些调查适用于全面调查________.(填序号)
【导学号：00732051】
①了解红星中学七年级学生双休日的生活情况；
②了解青少年学生对文艺明星、体育明星的态度；
③了解税费改革后对农民负担的影响；
④了解2016年春节晚会的收视率；
⑤了解“一次性木筷”的使用对绿化的影响.
【解析】 ①中总体容量不是太大，适合全面调查，②③④⑤中总体容量较大，不适合全面调查.
【答案】 ①
4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取___________________________名学生.
【解析】 高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则50×＝15.
【答案】 15
三、解答题
5.请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生做弊情况.
【解】 调查问卷设计如下：
姓名：________ 所在班级：________
为了防止您回答的问题被别人知道，请您先从袋子里摸出一个棋子.若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二.每个问题仅有两个答案：是或否.如您回答的是“是”，请在问题后面的方框内划“√”；如您回答的是“否”，不用做任何标记.
问题一：您在这次考试中作弊了吗？□
问题二：您的生日中的日期是偶数吗？□
注意：如您回答的是“是”，请在方框内划“√”.
[能力提升]
1.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3
500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )
A.8
B.11
C.16
D.10
【解析】 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3
500，解得x＝1
600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为
＝8.
【答案】 A
2.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为________.
【导学号：00732052】
【解析】 总体容量N＝36.
当样本容量为n时，系统抽样间隔为∈N
，所以n是36的约数；
分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为、、，所以n应是6的倍数，
所以n＝6或12或18或36.
当样本容量为n＋1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为∈N
，所以n只能是6.
【答案】 6
3.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3
000名初中生、4
000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3
000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
(3)为了从4
000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？
【解】 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量＝120，总体个数＝500＋3
000＋4
000＝7
500，则抽样比：＝，
所以有500×＝8,3
000×＝48，
4
000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8、48、64.
分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层.
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8、48,64.
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本.
④综合每层抽样，组成样本.
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论.
(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数表法.如果用抽签法，要作3
000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：将3
000份答卷都编上号码：0001,0002,0003，…，3000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置.
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3
000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止.
(3)由于4
000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4
000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3
968个个体进行编号：1,2，…，3
968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，…，62.从中随机抽取一个号码，若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23,85,147,209,217,333,395,457，…，3
929.1.1.1
算法的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是( )
A.在家里一般是妈妈做饭
B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C.在野外做饭叫野炊
D.做饭必须要有米
【解析】
算法是做一件事情或解决一类问题的程序或步骤，故选B.
【答案】 B
2.下列问题中，不可以设计一个算法求解的是( )
A.二分法求方程x2－3＝0的近似解
B.解方程组
C.求半径为3的圆的面积
D.判断函数y＝x2在R上的单调性
【解析】 A，B，C选项中的问题都可以设计算法解决，D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解.
【答案】 D
二、填空题
3.已知直角三角形两条直角边长分别为a，b，写出斜边c的算法如下：
S1 输入两直角边长a，b的值，
S2 计算________的值，
S3 输出斜边c的值.
将算法补充完整，横线外应填________.
【解析】 由题设可知c＝.
【答案】 c＝
4.给出下列算法：
S1 输入x的值.
S2 当x＞4时，计算y＝x＋2；否则执行S3.
S3 计算y＝.
S4 输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________.
【解析】 因为0＜4，执行S3，所以y＝＝2.
【答案】 2
三、解答题
5.已知某梯形的底边长AB＝a，CD＝b，高为h，写出一个求这个梯形面积S的算法.
【解】 算法如下：
S1 输入梯形的底边长a和b，以及高h.
S2 计算a＋b的值.
S3 计算(a＋b)×h的值.
S4 计算S＝的值.
S5 输出结果S.
[能力提升]
1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟.以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序.小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( )
A.13
B.14 C.15 D.23
【解析】 ①洗锅盛水2分钟，②用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟，③准备面条及佐料2分钟)，⑤煮面条3分钟，共为15分钟.
【答案】 C
2.一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？
【解】 法一 算法如下：
S1 任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行S2.
S2 取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元.
法二 算法如下：
S1 把9枚银元平均分成3组，每组3枚.
S2 先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组.
S3 取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元.1.2.2
条件语句
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.求下列函数的函数值的算法中需要用到条件语句的函数为( )
A.f(x)＝3x－1
B.f(x)＝log2x
C.f(x)＝
D.f(x)＝ex
【解析】 A，B，D只用顺序结构就能描述算法，C需要逻辑判断要用条件语句，故选C.
【答案】 C
2.给出以下四个问题，其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
①输入一个数x，输出它的绝对值；
②求函数f(x)＝的函数值；
③求面积为6的正方形的周长；
④求三个数a，b，c中的最大数.
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 在算法中需要逻辑判断的都要用到条件语句，其中①②④都需要进行逻辑判断，故都要用到条件语句，③只要顺序结构就能描述其算法.
【答案】 A
二、填空题
3.若下面程序执行的结果是5，则输入的x值是________________.
【解析】 由程序语句知，该程序的功能是输入一个x，输出函数y＝的值，故输出5时，应输入5或－5.
【答案】 5或－5
4.若下面程序是求函数y＝|x－4|＋1的函数值的程序，则①为________.
【导学号：00732023】
【解析】 由题意可知，当x<4时，函数的解析式y＝5－x，故①处应为“y＝5－x”.
【答案】 y＝5－x
三、解答题
5.已知y＝编写程序，输入自变量x的值，输出相应的函数值.
【解】 程序为：
[能力提升]
1.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝9，x输入的值应该是( )
【导学号：00732024】
A.－4
B.－2
C.4或－4
D.2或－2
【解析】 若x<0，则由(x＋1)2＝9得x＝－4；若x≥0，则由(x－1)2＝9得x＝4.
【答案】 C
2.阅读下面的程序，当分别输入x＝2，x＝1，x＝0时，求输出的y值.
【解】 由程序可知分段函数是y＝
故输入x＝2，输出1；输入x＝1，输出1；
输入x＝0，输出－1.2.2.2
用样本的数字特征估计总体的数字特征
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2 2 26所示，则( )
图2 2 26
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错.
【答案】 C
2.十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象.已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N
)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【解析】 插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大.
【答案】 B
3.如图2 2 27是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为甲，乙；标准差分别是s甲，s乙，则有( )
图2 2 27
A.甲＞乙，s甲＞s乙
B.甲＞乙，s甲＜s乙
C.甲＜乙，s甲＞s乙
D.甲＜乙，s甲＜s乙
【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较.
【答案】 C
4.已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是＝2，方差是，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别为( )
A.2，
B.2,1
C.4，
D.4,3
【解析】 平均数为＝3－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×＝3.
【答案】 D
5.设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
( )
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次的总体平均数与标准值接近程度不能确定
【解析】 甲＝＝0.617，
乙＝＝0.613，
∴甲与0.618更接近.
【答案】 A
二、填空题
6.一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x＝________.
【解析】 由题意知＝22，则x＝21.
【答案】 21
7.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2 2 28所示，则平均分数较高的是__________________________，成绩较为稳定的是________.
图2 2 28
【解析】 甲＝70，乙＝68，s＝×(22＋12＋12＋22)＝2，s＝×(52＋12＋12＋32)＝7.2.
【答案】 甲 甲
8.已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为，则xy＝________.
【解析】 由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.
又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.
【答案】 96
三、解答题
9.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图2 2 29的频率分布直方图.
图2 2 29
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩.
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求.
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应约位于第四个小矩形内.
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应约为70＋6.7＝76.7.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.
10.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？
【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数.
从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些.乙发挥比较稳定，总体情况比甲好.
(2)甲＝＝33.
乙＝＝33.
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.
甲的极差为11，乙的极差为10.
综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适.
[能力提升]
1.有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A.6
B.
C.66 D.6.5
【解析】 ∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差为：
s2＝＝＝6.
【答案】 A
2.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2 2 31中以x表示：
图2 2 31
则7个剩余分数的方差为( )
A.
B.
C.36
D.
【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，
则[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，
∴x＝4.
∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝.
【答案】 B
3.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________.
【解析】 设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝[x＋x＋…＋x＋40－2(x1＋x2＋…＋x40)]
＝
＝×
＝0.9.
∴s＝＝＝.
【答案】 0.9
4.某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2，2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
【解】 (1)频率分布表
分组
频数
频率
[0,0.5)
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5]
2
0.02
合计
100
1
(2)频率分布直方图如图：
众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的.
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1第二章
统计
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查.则这两种抽样的方法依次是( )
A.分层抽样，简单随机抽样
B.简单随机抽样，分层抽样
C.分层抽样，系统抽样
D.简单随机抽样，系统抽样
【解析】 由抽样方法的概念知，第一种是简单随机抽样，第二种是系统抽样.
【答案】 D
2.小波一星期的总开支分布如图1①所示，一星期的食品开支如图1②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
图1
A.1%
B.2% C.3% D.5%
【解析】 由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.
【答案】 C
3.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A.3.5
B.－3
C.3
D.－0.5
【解析】 少输入90，＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.
【答案】 B
4.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )
A.10
B.9
C.8
D.7
【解析】 由题意知抽取的比例为＝，
故从高三中抽取的人数为300×＝10.
【答案】 A
5.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据在[10,40)上的频率为( )
A.0.13
B.0.39
C.0.52
D.0.64
【解析】 频率为＝0.52.
【答案】 C
6.如图2是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )
【导学号：00732070】
图2
A.11
B.11.5
C.12
D.12.5
【解析】 由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋×5＝12，故选C.
【答案】 C
7.甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为
( )
①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确.
【答案】 D
8.在某次测量中得到的A样本数据如下：52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数
B.平均数
C.中位数
D.标准差
【解析】 由题意可知B样本的数据为58,60,60,62,62,62,61,61,61,61，将A样本中的数据由小到大依次排列为52,54,54,55,55,55,55,56,56,56，将B样本中的数据由小到大依次排列为58,60,60,61,61,61,61,62,62,62，因此A样本的众数为55，B样本的众数为61，A选项错误；A样本的平均数为54.8，B样本的平均数为60.8，B选项错误；A样本的中位数为55，B样本的中位数为61，C选项错误；事实上，在A样本的每个数据上加上6后形成B样本，样本的稳定性不变，因此两个样本的标准差相等，故选D.
【答案】 D
9.如图3茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩.(单位：分)
图3
已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为( )
A.2,6
B.2,7
C.3,6
D.3,7
【解析】 依题意得9＋10×2＋2＋x＋20×2＋7＋4＝17×5，即x＝3，y＝7，故选D.
【答案】 D
10.在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )
A.32
B.0.2
C.40
D.0.25
【解析】 由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，
所以x＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A.
【答案】 A
11.如图4所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
图4
A.A＞B，sA＞sB
B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB
D.A＜B，sA＜sB
【解析】 A中的数据都不大于B中的数据，所以A＜B，但A中的数据比B中的数据波动幅度大，所以sA＞sB.
【答案】 B
12.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.
，s2＋1002
B.
＋100，s2＋1002
C.
，s2
D.
＋100，s2
【解析】 ＝，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为＋100，方差不变，故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
【导学号：00732071】
【解析】 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.
【答案】 60
14.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测试分析，得到如图5所示的时速的频率分布直方图，根据下图，时速在70
km/h以下的汽车有________辆.
图5
【解析】 由频率分布直方图可得时速在70
km/h以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以频数是0.4×50＝20.
【答案】 20
15.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得回归直线方程＝bx＋a中的＝－2，预测当气温为－4
℃，用电量为________.
【解析】 回归直线方程过(，)，根据题意得＝＝10，＝＝40，将(10,40)代入＝－2x＋，解得＝60，＝－2x＋60，当x＝－4时，＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4
℃时用电量约为68度.
【答案】 68度
16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图6).由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________.
图6
【解析】 ∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
∴a＝0.030.
设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，
则＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.
故从[140,150]的学生中选取的人数为×18＝3.
【答案】 0.030 3
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样和分层抽样的方法，从这批产品中抽取一个容量为20的样本.
【解】 (1)系统抽样的方法：
先将200个产品随机编号：001,002，…，200，再将200个产品按001～010,011～020，…，191～200，分成20组，每组10个产品，在第一组内用简单随机抽样确定起始的个体编号，按事先确定的规则，从每组中分别抽取样本，这样就得到一个容量为20的样本.
(2)分层抽样的方法：
先将总体按其级别分为三层，一级品有100个，产品按00,01，…，99编号；二级品有60个，产品按00,01，…，59编号；三级品有40个，产品按00,01，…，39编号.因总体个数：样本容量为10∶1，故用简单随机抽样的方法：在一级品中抽10个，二级品中抽6个，三级品中抽4个.这样就得到一个容量为20的样本.
18.(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
天数
1
1
1
2
2
1
2
用水量/吨
22
38
40
41
44
50
95
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？
(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？并说明理由.
【解】 (1)＝(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨).
(2)中位数为＝42.5(吨).
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适.
19.(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：
甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.
乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.
(1)哪台机床次品数的平均数较小？
(2)哪台机床的生产状况比较稳定？
【解】 (1)
甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×＝1.5，
乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×＝1.2.
∵甲>乙，
∴乙车床次品数的平均数较小.
(2)s＝[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，
同理s＝0.76，∵s>s，
∴乙车床的生产状况比较稳定.
20.(本小题满分12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)
甲：9,10,11,12,10,20
乙：8,14,13,10,12,21.
图7
(1)在如图7给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.
【解】 (1)茎叶图如图所示：
(2)甲＝＝12，
乙＝＝13，
s≈13.67，s≈16.67.
因为甲＜乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s＜s，所以甲种麦苗长得较为整齐.
21.(本小题满分12分)某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数如下表：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
134
205
285
360
(1)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
(2)估计尿汞含量为9
mg/L时的消光系数.
【导学号：00732072】
【解】 (1)设回归直线方程为＝bx＋a.
∵＝6，＝209.6，
∴＝＝＝37.15.
∴＝209.6－37.15×6＝－13.3.
∴回归方程为＝37.15x－13.3.
(2)∵当x＝9时，＝37.15×9－13.3≈321，
∴估计尿汞含量为9
mg/L时消光系数为321.
22.(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图8所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].
图8
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
【解】 (1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分).
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.
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