第3章 图形的相似单元检测A卷

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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图形的相似单元检测A卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题）
若≠0，则=（ ）
A． B． C． D．无法确定
如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A．AB：AC=AC：BC B．AC= C．AB= D．BC≈0.618AB
如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
如图，路灯AB的高度为8米，树CD与路灯的水平距离为4米，则得树在灯光下的影长DE为3米，则树高（ ）
A．4米 B．6米 C．米 D．米
如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9
下列各组图形不一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形， B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个矩形 D．各有一个角是50°的两个直角三角形
如图所示，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF︰FC等于（ ）
A．3︰2 B．3︰1 C．1︰1 D．1︰2
如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米
CD是△ABC中AB边上的高，已知CD=6，DA=3，DB=12，则（ ）
A．CA2+BC2=AB2 B．∠CAB=∠CBD C．∠CAB＞∠ACB D．∠ACD=∠BCD
如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① =；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
、填空题（本大题共7小题）
已知=，则=________.
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC= cm，DC= cm．
已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO=　 　．
若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是　 　．
如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=　 　时，以A．D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　 　．
、解答题（本大题共8小题）
已知：，求代数式的值．
实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m）
已知任意三角形ABC，其面积为S．作BC的平行线与AB、AC分别交于D、E．设三角形BDE的面积为M，求证：M≤．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
如图，在9×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；
（2）求△DFB和△DCE的面积比．
以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）求证：AM2=AD DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
答案解析
、选择题
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入算式进行计算即可求解．
解：设=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∴==．
故选B．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=AB，AB=，AC≈0.618AB．
故选D．
【分析】 已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴=．
故选D．
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
【分析】根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可．
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AB，AE=AC，DE=BC，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．
故选B．
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．
解：因为CD∥AB，
∴△AEB∽△CED，
∴AB：CD=BE：ED，
即8：CD=7：3
解得：AB=m．
故选D．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∴=
故选：A．
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断。
解：A．两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故正确；
B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故正确；
C、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故错误；
D、各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故正确。
故选C
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质求解
解： ∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC=EF：FC，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴EF：FC=1：2．
故选D．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
解： 设树高为x米，
因为，
所以
解得：x=3.2．
故选C．
【分析】画出图形，根据CD、DA计算AC，根据DB、DA计算AB，解直角△ACD、直角△CBD则可得A选项正确．
解：CA2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=144+36+36+9=225，
AB=DA+DB=15，AB2=225，
∴CA2+BC2=AB2=225，（A选项正确）
且AD=3，CD=6，BD=12，CD⊥AB，
∴△BCD∽△CAD，
∠ACD=∠CBD，∠BCD=∠CAD，（故B、D选项错误），
在△ABC中，AB＞BC，
∠CAB＜∠ACB，（故C选项错误）．
故选A．
【分析】根据平行四边形的性质得到AE=CE，根据相似三角形的性质得到==，等量代换得到AF=AD，于是得到=；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE=36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE=12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．
解：∵在 ABCD中，AO=AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴==，
∵AD=BC，
∴AF=AD，
∴=；故①正确；
∵S△AEF=4， =（）2=，
∴S△BCE=36；故②正确；
∵==，
∴=，
∴S△ABE=12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选D．
、填空题
解：=
+1=
=
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
解：由题意得：则AC=BD=AB=80×=40-40；
AD=AB-BD=80-（40-40）=120-40；
DC=AB-2AD=80-160．
故本题答案为：40-40，80-160．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：∵AB∥CD，
∴==，即=，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等于相似比得到答案．
解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴这两个相似三角形的相似比为1：2，
∴这两个相似三角形的周长比是1：2，
故答案为：1：2．
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．
解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）；
故答案为：（﹣2，）．
、解答题
【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积），可设=t，然后用t分别表示a、b、c，并将其代入所求的代数式，消去未知数t．
解：设=t，
∴，
解得，，
∴==．
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比即可得出C点所处位置．
解：距点A至少是1-≈0.4或距点B至少是1-≈0.4，
故最佳位置C在距A点或B点AB处，
如图所示：
【分析】由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．
解：在△ABC中，因为EF∥AB，
所以EF：AB=CF：CB①，
同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，
①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
x：6+x：9=1，
解得x=．
故EF=厘米．
【分析】由AM⊥EC,CD⊥EC,EA=MA,可得EC=CD，再由BN⊥EC,可得BN∥CD,进而可得△ABN∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解.
解：设CD的长为 m.
∵ AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,
∴ MA∥CD,BN∥CD.
又EA＝MA，
∴ EC=CD=.
由BN∥CD可得△ABN∽△ACD，
∴ ，即，解得=6.125≈6.1.
∴ 路灯高CD约为6.1 m.
【分析】由于△ADE与△BDE是等高的三角形，可得=，同理亦可得，，再由平行线分线段成比例的性质可得M与S的关系，进而即可求解．
证明：由于△ADE与△BDE是等高的三角形，
故
又△ADE与△ABE也是等高三角形，
故（2）
同理，（3）
又DE∥BC，故，设此比值为x
将（1），（2），（3）式相乘，
得
即
法一：展开得Sx2-Sx+M=0有实根，
故△=S2-4SM≥0
解之得
法二：由．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又∠C=90°，
∴∠BED=∠C．
又∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴=，
∴DE===4
【分析】 （1）从图中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，故有，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ACB∽△DCE；
（2）先由相似三角形的对应角相等得出∠ABC=∠DEC，又∠BDF=∠EDC，得出△DFB∽△DCE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
（1）证明：∵AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，
∴，，
∴，
又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ACB∽△DCE；
（2）解：在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2=22+42=20．
∵△ACB∽△DCE，
∴∠ABC=∠DEC，
又∵∠BDF=∠EDC，
∴△DFB∽△DCE．
∴S△DFB：S△DCE=DB2：DE2=16：20=4：5．
【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）计算的数据进行证明；
（3）根据（2）的结论得：=，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
解：（1）在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，
∴PD==，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=-1，
DM=AD-AM=2-（-1）=3-；
（2）证明：∵AM2=（-1）2=6-2，AD DM=2（3-）=6-2，
∴AM2=AD DM；
（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：
∵AM2=AD DM，
∴═=，
∴点M是AD的黄金分割点．
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