第3章 图形的相似单元检测B卷

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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图形的相似单元检测B卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题 ）
已知p，q，r，s是互不相同的正整数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1：9，则△ABC与△DEF的高的比为（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1：18 D．1：81
如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A． = B． C． D．
已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，则下列结论正确的是（　　）
A．AB是A′B′的3倍 B．A′B′是AB的3倍
C．∠A是∠A′的3倍 D．∠A′是∠A的3倍
如图，路灯AB的高度为8米，树CD与路灯的水平距离为4米，则得树在灯光下的影长DE为3米，则树高（ ）
A．4米 B．6米 C．米 D．米
如图，△ABC中，A．B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）
A． B． C． D．
我们称顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”．如图所示，现有一等腰△ABC，其中AB=AC，且∠ACB=2∠A，∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE交于点O，则图中的“黄金三角形”共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论不正确的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．CD AB=AC BD C．CD2=BD AD D．CB2=BD AB
如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AF．已知AB=12m，∠ADE=60°，则DE等于( )
A．3m B．2m C．1m D．4m
CD是△ABC中AB边上的高，已知CD=6，DA=3，DB=12，则（ ）
A．CA2+BC2=AB2 B．∠CAB=∠CBD C．∠CAB＞∠ACB D．∠ACD=∠BCD
如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．
其中正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
、填空题（本大题共7小题 ）
如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则=　　　　　　．
如果，，那么= ．
如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）
A． B． C． D．1
如图，E为线段AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△EBC=1，S△ADE=3，则=　　．
已知，那么直线f（x）=tx+t一定通过第 象限．
一井深AH为9米，一人用一根长10米的竹竿AB一头B插入井底，另一头A正好到井口，抽起竹竿量得浸入水中的长度CB为6米，则井中水的深度DH= 米．
如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是　 　．
　
三、解答题（本大题共7小题 ）
已知四边形ABCD，作出一个四边形A′B′C′D′，使新四边形A′B′C′D与原四边形ABCD对应线段的比为1：2．（请以O点作为位似中心）
一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．
求证：．
如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200cm、300cm，CD=300cm．现有一男生站在斜杆AB下方的点E处，设CE=x（cm），从E处跳起的摸高EF=y（cm）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若245（cm）≤y＜255（cm）时，求该男生跳起时站的位置x（cm）的范围．
已知关于x的方程x2-2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．
如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
答案解析
、选择题
【分析】根据比例的性质来解答．
解：∵，∴ps=qr；
A．由原式得，pq=rs，故本选项错误；
B、由原式得，pq=rs，故本选项错误；
C、由原式得，ps=qr，正确；
D、由原式得，ps≠qr，故本选项错误；
故选C．
【分析】利用相似三角形对应的高线的比等于相似比即可得到答案．
解：∵△ABC与△DEF的周长之比为1：9，
∴两三角形的相似比为1：9，
∴△ABC与△DEF对应的高的比1：9，
故选B．　
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2： =1：：，
A．三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解；A．∵DE∥BC，
∴，故正确；
B、∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故错误；
C、∵DE∥BC，
∴，故错误；
D、∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故错误；
故选：A．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比以及对应角相等即可求解．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3，
∴=3，∠A=∠A′，故C与D都错误；
∴AB=3A′B′，故A正确，B错误．
故选A．
【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．
解：因为CD∥AB，
∴△AEB∽△CED，
∴AB：CD=BE：ED，
即8：CD=7：3
解得：AB=m．
故选D．
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），进而得出点B的横坐标．
解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=（a+1），
∴点B的横坐标是：﹣（a+1）﹣1=﹣（a+3）．
故选D．
【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，角平分线BD与CE相交于点O，利用等边对等角与角平分线的性质，易求得图中各角的度数，然后利用“黄金三角形”的定义，即可判定△ABC，△BDC，△BCE，△OBE，△OCD都是“黄金三角形”．
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）÷2=72°，
∵△ABC的角平分线BD与CE相交于点O，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∠ACE=∠BCE=∠ACB=36°，
∴∠BEC=∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴∠A=∠EBO=∠DBC=∠DCO=36°，∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠BDC=72°，
∴∠EOB=∠DOC=180°-72°-36°=72°，
∴BE=OB=OC=CD，CE=BC=BD，
∴“黄金三角形”有：△ABC，△BDC，△BCE，△OBE，△OCD共5个．
故选C．
【分析】在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以证明各个选项．
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D
∴△ACD∽△CBD∽△ABC
∴A．∠ACD=∠B，正确；
B、应为CD AB=AC BC，错误；
C、D是射影定理，正确；
故选B．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB=BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE=AD：BD，从而有AE=CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE=BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴AE：CE=AD：BD，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
在Rt△ABC中，
∵∠ADE=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=AB=6m，
∴DE=3m．
故选A．
【分析】画出图形，根据CD、DA计算AC，根据DB、DA计算AB，解直角△ACD、直角△CBD则可得A选项正确．
解：CA2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=144+36+36+9=225，
AB=DA+DB=15，AB2=225，
∴CA2+BC2=AB2=225，（A选项正确）
且AD=3，CD=6，BD=12，CD⊥AB，
∴△BCD∽△CAD，
∠ACD=∠CBD，∠BCD=∠CAD，（故B、D选项错误），
在△ABC中，AB＞BC，
∠CAB＜∠ACB，（故C选项错误）．
故选A．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误．
解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有．
∵tan∠CAD=，
∴tan∠CAD=，故④错误，
故选C．
、填空题
【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质求出两个相似三角形的面积比，进而求出的值．
解：DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=（）2，
∵AD=1，DB=2，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由，，可得a：b：c=21：15：10，可设a=21k、b=15k，c=10k，代入分式求值即可．
解：∵，，
∴a：b：c=21：15：10，
设a=21k、b=15k，c=10k，
则原式==．
故答案为：．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
【分析】证得△ADE∽△ECB，又由S△BEC=1，S△ADE=3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
解：∵EC∥AD，DE∥BC，
∴∠A=∠BEC，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ECB，
∵S△BEC=1，S△ADE=3，
∴==．
故答案为：．
【分析】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求得t可能的值，进而根据一次函数图象的性质得到一定经过的象限．
解：①当a+b+c=0时，
b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，
∴t为其中任何一个比值，即t==-1，此时直线f（x）=tx+t通过二、三、四象限；
②a+b+c≠0时，
t==2，此时直线f（x）=tx+t通过一、二、三象限；
∴直线f（x）=tx+t一定通过第 二、三象限，
故答案为：二、三．
【分析】根据相似三角形的判定求出△ACD∽△ABH，再利用相似三角形的性质得出进而表示出各边长度，求出即可．
解：∵根据已知可以得出：CD∥BH，
∴△ACD∽△ABH，
∴，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=4，
∵AH=9，假设DH=x，
∴AD=9-x，
∴=，
解得：x=5.4米．
故答案为：5.4．
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．
解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）；
故答案为：（﹣2，）．
三、解答题
【分析】以O为位似中心的四边形可以画2个，延长AO，BO，CO，DO根据相似比，在线段或其延长线上分别截取AO，BO，CO，DO的一半，②确定所作的位似图形的关键点A'，B'，C'，D'，再顺次连接所作各点，即可得到位似比为1：2的位似图形四边形A'B'C'D'．
解：以O为位似中心的四边形可以画2个，所画图形如下所示：
【分析】过B引BG∥EF，交AC于G，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC上进行证明．
证明：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知
=，=，
∴××=××=1．
【分析】（1）根据题意，构造直角△ABH与△AFG，利用相似三角形对应边的比相等得到结论即可；
（2）将a的值代入函数关系式从而得到函数的关系式，然后根据函数值的取值范围得到不等式组解得自变量的取值范围即可．
解：（1）如图，根据题意得△ABH与△AFG，
得：=，
即：=，
整理得：y=x+200；
（2）当245（cm）≤y＜255（cm）得：
，
解得：135≤x＜165．
故该男生弹跳时站的位置x的范围是：135（cm）≤x＜165（cm）．
【分析】（1）根据判别式等于0可得出三边的关系，继而可判断出三角形的形状；
（2）结合（1）的结论，利用射影定理即可直接解答．
解：（1）∵两根相等，
∴可得：4（a+b）2-4（c2+2ab）=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可得：AC2=AD×AB，
∵AC=2，AD=1，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=3．
【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．
（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．
（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
【分析】四边形AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2：3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．
解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，
从而，在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，
∴S△DFC：S△DFE=3：1．
设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．
由于AD：DC=2：3，
∴S△EAD：S△ECD=2：3，
∴S△EAD=S△DEC=x，
S△ACE=x+4x=x，
又因为E是AB中点，
所以S△ACE=S△ABC=20，
∴x=20，
解得x=3，即S△DEF=3，
∴S△ADE=x=8，
∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11．
点评： 本题主要考查了一元二次方程的解法、点的坐标、点在图象上、相似三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想方法的综合运用，第3小题是难点，通过相似三角形的性质分类讨论列出比例式是解决问题的关键．
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