第4章 锐角三角函数单元检测A卷

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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锐角三角函数单元检测A卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
、选择题（本大题共12小题）
如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与上A的函数值无关
sin60°的值为（　　）
A． B． C． D．
在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．tanA=cotB B．sin2A+cos2A=1 C．sin2A+sin2B=1 D．tanA cotB=1
已知△ABC中，∠C=90°，tanA tan50°=1，那么∠A的度数是（ ）
A．50° B．40° C．（）° D．（）°
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6m的A处引拉线AB，使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°，则拉线AB的长度约为（　　）
（结果精确到0.1m，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A．6.7m B．7.2m C．8.1m D．9.0m
如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（　　）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
已知Rt△ABC中，∠C为直角，设x=sinA+cosA，y=sinB+cosB，则x，y的大小关系为（ ）
A．x＞y B．x=y C．x＜y D．以上情况都有可能
如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）
A．160m B．120m C．300m D．160m
、填空题（本大题共8小题）
若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=　 　．
已知：sin15° cos15°=sin30°，sin20° cos20°=sin40°，sin30° cos30°=sin60°，请你根据上式写出你发现的规律 ．
在△ABC中，∠C=90°，若cosA=sin32°10ˊ，则∠A= ；若tan50° tanA=1，则∠A= ．
水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为　　　　　　．
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（　　）
A．2 B． 8 C． 2 D． 4
如图 ，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是_________m．(结果保留根号)
小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图，出发时，在B点他观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为　　　　　　千米．（参考数据：≈1.732，结果保留两位有效数字）
、解答题（本大题共8小题）
求值：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°．
在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosA，sinB，cosB．
先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=2sin60°﹣tan45°．
如图 ，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
(1)sin2A1＋sin2B1＝__ _；sin2A2＋sin2B2＝_ __；sin2A3＋sin2B3＝_ _；
(2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝__ __；
(
④
)(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
如图 ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°．
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）
一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数）
答案解析
、选择题
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
解：sin∠A=，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故选B．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解：sin60°=．
故选B．
【分析】可根据三角函数的定义解答；亦可运用互为余角的锐角三角函数关系式：tanA=cotB；sin2A+sin2B=1（∠A+∠B=90°）解答．
解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．
根据锐角三角函数的定义，得
A．tanA==cotB．正确；
B、sin2A+cos2A=+==1．正确；
C、sin2A+sin2B=+==1．正确；
D、tanA cotB= ，只有当∠A=∠B=45°时，tanA cotB=1．错误．
故选D．
【分析】根据互为余角的两个角的正切值互为倒数可得出答案．
解：∵tanA tan50°=1，
∴∠A=90°-50°=40°．
故选B．
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】在直角△ABC中，利用正弦函数即可求解．
解：在直角△ABC中，sin∠ABC=，
∴AB=AC÷sin∠ABC=6÷sin48°=≈8.1（米）．
故选：C．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα==，
∴AB=12，
∴BC==132﹣122=5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故选D．
【分析】根据cosA=，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
解：∵cosA=知，设b=3x，则c=5x，
根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA==．
故选D．
【分析】先根据互为余角的三角函数之间的关系得出sinA=cosB，sinB=cosA，再由等式的性质可知sinA+cosA=cosB+sinB，从而得出正确选项．
解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB，sinB=cosA，
∴sinA+cosA=cosB+sinB，
又∵x=sinA+cosA，y=sinB+cosB，
∴x=y．
故选B
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，BD=ADtan30°=120×=40（m），
在Rt△ACD中，CD=ADtan60°=120×=120（m），
∴BC=BD+CD=160（m）．
故选A．
、填空题
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得cosα的取值范围，再根据锐角三角函数的特殊值以及其变化规律进行分析．
解：根据二次根式有意义的条件，得-cosα≥0，
即cosα≤．
∵cos60°=，余弦函数随角增大而减小，
∴锐角α的取值范围是60°≤α＜90°．
【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．
解：∵sinA==，
∴∠A=60°，
∴sin=sin30°=．
故答案为：．
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：观察sin15° cos15°=sin30°，
sin20° cos20°=sin40°，
sin30° cos30°=sin60°，
发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
∴规律是：sinα cosα=sin2α．
故答案为：sinα cosα=sin2α．
【分析】（1）根据一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）可得出∠A的值；
（2）根据互为余角的两个角的正切值互为倒数可得出答案；
解：（1）∵cosA=sin（90°-∠A），
∴∠A=90°-32°10ˊ=57°50′；
（2）互为余角的两个角的正切值互为倒数，
又∵tan50° tanA=1，
∴∠A=40°．
故答案为：57°50′、40°．
【分析】本题使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2π．
解：其展开图如图所示．
∵AC∥BF，
∴∠CAE=∠ABE=α，
∵水管直径为2，
∴水管的周长为2π，
∴cos∠α=．
故答案为：
【分析】直接根据锐角三角函数定义得出,代入求出即可
解：∵tanA==，AC=4，
∴BC=2，
故选A．
【分析】根据在Rt△ACD中，，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案。
解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD＝，
∴tan30°＝，
∴AD＝3 m，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9 m，
∴AB＝AD＋BD＝3＋9(m)．
【分析】 过点A作AD⊥BC于点D，运用三角函数定义求AD的长．
解：过点A作AD⊥BC于点D．
设AD=x，则BD=x．
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD=x．
∵小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，骑行20分钟后到达C点，
∴15×=5，
∴BC=5．
∴x+x=5．
∴x=≈1.8（千米）．
即仓库到公路的距离为1.8千米．
、解答题
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
解：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°
=×+2×﹣﹣1
=﹣．
【分析】先根据sin2α+cos2α=1计算出cosA=，然后根据互余两角三角函数的关系求解．
解：∵∠C=90°，sinA=，
∴cosA==，
∵∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=，cosB=sinA=．
【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
解：原式=[﹣] （a﹣1）
= （a﹣1）
=
当a=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1时，
原式==．
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
【分析】首先在Rt△ABC中，利用三角函数的定义求出；然后利用勾股定理求出AC．最后求出AD
解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=,
∴=.
∴AB=10.
∴AC==8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【分析】通过诱导公式sin89°=cos1°，得出sin21°+cos21°=1，依此类推，得出原式=44×1+sin245°，得出答案．
解：sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°
=（sin2l°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin244°+sin246°）+sin245°
=1+1+…+1+0.5
=44.5．
【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55° x知CE=CH﹣EH=tan55° x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．
解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55° x，
∴CE=CH﹣EH=tan55° x﹣10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55° x﹣10+35，
解得：x≈45，
∴CH=tan55° x=1.4×45=63，
答：塔杆CH的高为63米．
【分析】辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，
再根据路程÷时间=速度求解即可．
解：辅助线如图所示：
BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，
有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°，
∴∠BAD=30°，
∵AB=20海里，
∴BD=10海里，
在Rt△ABD中，AD==10≈17.32海里，
在Rt△BCE中，sin37°=，
∴CE=BC sin37°≈0.6×10=6海里，
∵cos37°=，
∴EB=BC cos37°≈0.8×10=8海里，
EF=AD=17.32海里，
∴FC=EF﹣CE=11.32海里，
AF=ED=EB+BD=18海里，
在Rt△AFC中，
AC==≈21.26海里，
21.26×3≈64海里/小时．
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
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