2017_2018学年高中数学全一册练习（打包23套）新人教A版选修1.1

2.3
抛物线（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为(　D　)
A．直线　
B．椭圆　
C．线段　
D．抛物线
[解析]　因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．
2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为(　B　)
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(－1,0)
[解析]　因为准线方程为x＝－2＝－，所以焦点为(，0)，即(2,0)．
3．(2016·贵州贵阳高二检测)抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为(　C　)
A．
B．1
C．2
D．4
[解析]　抛物线x2＝4y中，P＝2，∴焦点到准线的距离为2.
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　C　)
A．(1,0)
B．
C．
D．
[解析]　抛物线的标准方程为x2＝y，∴p＝，且焦点在y轴的正半轴上，故选C．
5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　A　)
A．0
B．
C．
D．
[解析]　设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.
6．从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为(　A　)
A．10
B．8
C．6
D．4
[解析]　设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，
∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.
二、填空题
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__2__，准线方程为__x＝－1__.
[解析]　本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.
由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
8．以双曲线－＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__y2＝－20x__.
[解析]　∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
三、解答题
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1、P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.
[证明]　设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.
∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，
∴|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于(　B　)
A．
B．
C．2
D．2
[解析]　∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，
又＝，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝，故选B．
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是(　D　)
A．2
B．2
C．
D．1
[解析]　本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　D　)
A．－2
B．2
C．－4
D．4
[解析]　抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，
∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　C　)
A．2
B．2
C．2
D．4
[解析]　设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选A，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．
5．(2015·绵阳二诊)若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意知，抛物线准线方程为x＝－.
设M(a，b)，由抛物线的定义可知，
点M到准线的距离为，
所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，
解得b＝±，
所以S△MFO＝××＝.
二、填空题
6．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是__x2＝12y__.
[解析]　抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－，
由题意得3－(－)＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.
7．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是__y2＝16x__.
[解析]　依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x.
三、解答题
8．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.求抛物线方程和m的值.
[解析]　解法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，
由题意知，
解得，或
.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
解法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标F(－，0)，准线方程x＝.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，
即点M到准线的距离等于5，
则3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2，
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
C级　能力提高
1．一抛物线拱桥跨度为52
m，拱顶离水面6.5
m，一竹排上载有一宽4
m，高6
m的大木箱，则竹排__能__(填“能”或“不能”)安全通过.
[解析]　如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，
设B(2，y)，
由262＝－2p×(－6.5)，得p＝52，
所以抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，所以y＝－，
因为6.5－>6，所以能安全通过．
2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要0.5
m．若行驶车道总宽度AB为6
m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到0.1
m)
[解析]　取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C(4，－4)，
设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，
∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6
m，
∴将x＝3代入抛物线方程，y＝－2.25
m，
∴限度为6－2.25－0.5＝3.25
m
则车辆通过隧道的限制高度是3.25米．1.2
充分条件与必要条件（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　A　)
A．x>1　
B．x<1　
C．x>3　
D．x<3
[解析]　首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x>2”)，p是q的必要不充分条件，即p不能推出q且q p，显然只有A满足．
2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　A　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x[解析]　B项中，x2＝1 x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．
3．(2016·福建厦门高二检测)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为(　B　)
①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin
x；
②若x>5，则x>2；
③若x2－9＝0，则x＝3.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　①中，周期函数还有很多，如y＝cos
x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题个数为1，故选B．
4．(2016·广西南宁高二检测)“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝，故x(2x－1)
x＝0一定成立，而x＝0 x(2x－1)＝0成立，
∴“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
5．“a＝－2”是“直线l1：(a＋1)x＋y－2＝0与直线l2：ax＋(2a＋2)y＋1＝0互直垂直”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由l1⊥l2，得a(a＋1)＋2a＋2＝0，
解得a＝－1或a＝－2，故选A．
6．(2016·天津文)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　C　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
二、填空题
7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
[解析]　x＝3 x2＝9，x2＝9x＝3，
故p是q的充分不必要条件．
8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的__充要__条件.
[解析]　a>0且b>0 a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0 a>0且b>0，故填充要．
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：x＝1；　q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5；　q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形；
q：三角形是等腰三角形．
[解析]　(1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2015·北京理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β”是“α∥β”的(　B　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由面面平行的判定定理可知，由m∥βα∥β，故充分性不成立；而α∥β m∥β，必要性成立．
2．(2016·重庆八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p是q的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　x＋y＝－2x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1 x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．
3．(2016·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的(　C　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，
则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3 命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3 x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5 命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．
4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　B　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．
5．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0，则p是q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，
q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，
∵A?B，
∴p是q的充分不必要条件．故选A．
二、填空题
6．下列不等式：①
x<1；②
0[解析]　由于x2<1，即－17．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
[解析]　当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．
由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0，
∵b<5，∴k>4.故填“充要”．
8．命题p：sin
α＝sin
β，命题q：α＝β，则p是q的__必要不充分__条件.
[解析]　sin
α＝sin
βα＝β，α＝β sin
α＝sin
β，故填必要不充分．
C级　能力提高
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件.
(用“充分条件”或“必要条件”作答)
(1)向量a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，p：＝，q：a∥b；
(2)p：|x|＝|y|，q：x＝－y；
(3)p：直线l与平面α内两条平行直线垂直，q：直线l与平面α垂直；
(4)f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，p：f(x)、g(x)均为偶函数，q：h(x)为偶函数．
[解析]　(1)由向量平行公式可知：p q，
但当b＝0时，a∥b不能推出＝，即q不能推出p，
∴p是q的充分条件．
(2)∵|x|＝|y| x＝±y，∴p不能推出q，但q p，
∴p是q的必要条件．
(3)由线面垂直的判定定理可知：p不能推出q，但由线面垂直的定义可知：q p，∴p是q的必要条件．
(4)若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p q，但q不能推出p，∴p是q的充分条件．
2．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
[解析]　(1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，
设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，
由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，
又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．
(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，
需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.
综上可知，命题成立．2.3
抛物线（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小(　C　)
A．小于90°　　　
　
B．等于90°
C．大于90°
D．不能确定
[解析]　过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.
2．若AB为抛物线y2＝4x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|＝(　B　)
A．13　　
B．　　
C．6　　
D．4
[解析]　代入点A，B可得x1＝4，x2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝.
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　B　)
A．(，±)
B．(，±)
C．(，)
D．(，)
[解析]　设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(，0)，∴x0＝，
∴y＝，∴y0＝±，故选B．
4．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　B　)
A．2
B．4
C．8
D．16
[解析]　根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　C　)
A．
B．1
C．
D．
[解析]　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，
∴x1＋x2＝，
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
6．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　C　)
A．
B．2
C．2
D．3
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．
二、填空题
7．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有__1__条.
[解析]　∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M平行于x轴的直线y＝2与抛物线y2＝8x只有一个交点．
8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为__(－9，－6)或(－9,6)__.
[解析]　由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
三、解答题
9．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.
[解析]　如图，依题意可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，
由，消去y得x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.
∴所求的抛物线标准方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x.
B级　素养提升
一、选择题
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　C　)
A．2或－2
B．－1
C．2
D．3
[解析]　由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
则＝4，即k＝2.
2．(2016·山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝6，则MN中点的横坐标为(　B　)
A．
B．2
C．
D．3
[解析]　F是抛物线y2＝4x的焦点，F(1,0)，准线方程x＝－1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，∴|MF|＋|NF|＝xM＋1＋xN＋1＝6，解得xM＋xN＝4，∴MN中点的横坐标为＝2.
3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　B　)
A．8p2
B．4p2
C．2p2
D．p2
[解析]　设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.
由，得A(2p,2p)．
则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.
所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.
4．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是(　D　)
A．12
B．－12
C．3
D．－3
[解析]　设A(，y1)、B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，
又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，
∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．
5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　B　)
A．
B．2
C．
D．3
[解析]　由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.故选B．
二、填空题
6．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__a≥1__.
[解析]　本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，
＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.
∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.
∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.
∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.
∴x＝a－1，又x≥0.∴a≥1.
7．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为　　.
[解析]　设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.∴当x0＝时，dmin＝.
三、解答题
8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长.
[解析]　设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，
∴x1＝2，∴A点坐标为(2,2)，
则直线AB的斜率为k＝＝2.
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由，消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解得x1＝2，x2＝.
∴|BF|＝x2＋1＝.
C级　能力提高
1．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则＝　3＋2　.
[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，
消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，
故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.
2．(2017·全国Ⅰ文，20)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
[解析]　(1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)解：由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.1.1
命题及其关系（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　D　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[解析]　将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[解析]　－1x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D．
3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则(　C　)
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[解析]　如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中(　B　)
A．真命题个数一定是奇数
B．真命题个数一定是偶数
C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数
D．以上判断都不对
[解析]　因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B．
5．对于实数a、b、c，下列命题中是真命题的是(　B　)
A．若a>b，则ac>bc
B．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b，则ac2>bc2
D．若a>b，则<
[解析]　∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b.
6．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“对顶角相等”的逆命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．
其中真命题的个数是(　B　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[解析]　(1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．
(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．
(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．
二、填空题
7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5__；否命题是__否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8__，逆否命题是__逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5__.
8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b__，为__真__(填“真”或“假”)命题.
[解析]　指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[解析]　(1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
B级　素养提升
一、选择题
1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是(　B　)
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
[解析]　命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的(　C　)
A．逆否命题
B．逆命题
C．否命题
D．原命题
[解析]　解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
p：若∠A＝∠B，则a＝b，
r：若∠A≠∠B，则a≠b，
s：若a≠b，则∠A≠∠B，
t：若a＝b，则∠A＝∠B．故s是t的否命题．
解法二：如图可知，s与t互否．
3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)
A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0
[解析]　命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”．
4．(2016·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是(　C　)
A．原命题是真命题
B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题
D．逆否命题是真命题
[解析]　原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　C　)
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析]　由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．
逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”．若f(x)＝3x2，假命题．则否命题也为假命题．
二、填空题
6．(2016·山东枣庄高二检测)有下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中所有真命题的序号为__②__.
[解析]　命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题．
7．已知命题“若m－1[解析]　由已知得，若1∴，∴1≤m≤2.
8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为__[3,8)__.
[解析]　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．
C级　能力提高
1．(2016·山东菏泽高二检测)设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.
[解析]　逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．
如a＝，b＝－，a＋b＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，b＝，则a＋b＝2＋是无理数，故逆否命题为假．
2．(2016·山西太原高二检测)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．
[解析]　(1)这个命题的逆命题是在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列，则am，am＋2，am＋1不成等差数列．
逆否命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1不成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
(2)设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下：
易知am＝am＋2＝am＋1＝a1≠0，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm＋2－Sm＝2a1，Sm＋1－Sm＋2＝－a1，显然Sm＋2－Sm≠Sm＋1－Sm＋2.
当q≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下：
因为am＝a1qm－1，am＋2＝a1qm＋1，am＋1＝a1qm，
若am，am＋2，am＋1成等差数列，则a1qm－1＋a1qm＝2a1qm＋1，
即1＋q＝2q2，也就是1－q2＝q2－q，
又Sm＋2－Sm＝－＝，
Sm＋1－Sm＋2＝－
＝＝，
即Sm＋2－Sm＝Sm＋1－Sm＋2.2.2
双曲线（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　C　)
A．双曲线　　　　　
B．双曲线左支
C．一条射线
D．双曲线右支
[解析]　∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，∴动点P的轨迹是一条射线．
2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为(　D　)
A．(±5,0)
B．(0，±)
C．(±，0)
D．(0，±)
[解析]　双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝，
又∵焦点在y轴上，故选D．
3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　A　)
A．－1B．k>0
C．k≥0
D．k>1或k<－1
[解析]　由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－14．(2016·山东济宁高二检测)已知双曲线2mx2－my＝4的一个焦点为(0，)，则m的值为(　B　)
A．1　　
B．－1　
C．　　
D．－
[解析]　将双曲线方程化为－＝1.因为一个焦点是(0，)，所以焦点在y轴上，所以c＝，a2＝－，b2＝－，所以a2＋b2＝－－＝－＝c2＝6.所以m＝－1.
5．双曲线－＝1的焦距为(　D　)
A．3
B．4
C．3
D．4
[解析]　由双曲线的标准方程，知a2＝10，b2＝2，则c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，因此2c＝4，故选D．
6．(2015·福建理)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　B　)
A．11
B．9
C．5
D．3
[解析]　由题，＝2a＝6，
即＝2a＝6，解得|PF2|＝9.
二、填空题
7．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于__48__.
[解析]　依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16.
∴S△PF1F2＝×16×＝48.
8．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为__2或22__.
[解析]　设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；
当点P在双曲线右支上时，
|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.
三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，c＝且经过点(－5,2)；
(2)过P(3，)和Q(－，5)两点．
[解析]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意得，
解之得a2＝5，b2＝1，
故所求双曲线方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，由题意得
，解之得.
∴所求双曲线方程为－＝1.
B级　素养提升
一、选择题
1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是(　B　)
A．－y2＝1
B．x2－＝1
C．－＝1
D．－＝1
[解析]　由条件知P(，4)在双曲线－＝1上，
∴－＝1，
又a2＋b2＝5，∴，故选B．
2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.
故选D．
3．已知m、n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是(　C　)
[解析]　把直线方程和曲线方程分别化为y＝mx＋n，＋＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m和截距n的正负，从而断定曲线的形状．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是(　D　)
A．16
B．18
C．21
D．26
[解析]　|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，
∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，
∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.
5．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　C　)
A．(－∞，1)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2,1)
[解析]　由题意，方程可化为－＝3，
∴，解得m<－2.故选C．
二、填空题
6．(2016·浙江丽水高二检测)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为　－＝1　.
[解析]　解法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.
解法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9，－＝1，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的方程为－＝1.
解法三：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1.
7．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于__4__.
[解析]　在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
三、解答题
8．已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值.
[解析]　由题意知c＝3，若焦点在x轴上，
则方程可化为－＝1，∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1.
∴－k＋(－)＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
C级　能力提高
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值为__－1__.
[解析]　将双曲线的方程化为－＝1，
因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，
所以焦点在y轴上，且c＝3.
所以a2＝－，b2＝－.
所以－－＝9，
解得k＝－1.
2．当0°≤α≤180°时，方程x2cos
α＋y2sin
α＝1表示的曲线如何变化？
[解析]　(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.
(2)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝.
③当45<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.
(4)当90°<α<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．3.3
导数在研究函数中的应用（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递减区间是(　B　)
A．(－∞，0)　　　　　
B．(0,2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
[解析]　f
′(x)＝3x2－6x，令f
′(x)＝3x2－6x<0，解得02．函数f(x)＝2x－sin
x在(－∞，＋∞)上(　A　)
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[解析]　f
′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
3．(2016·江西抚州高二检测)函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．[，＋∞)
D．(－∞，)
[解析]　y′＝3x2＋2x＋m，由题意知3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．设f
′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f
′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　C　)
[思路分析]　由导函数f
′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析]　由f
′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f
′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f
′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f
′(x)>0，f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C．
5．(2016·贵州贵阳一中月考)函数y＝xln
x在(0,5)上的单调性是(　C　)
A．单调递增
B．单调递减
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
[解析]　函数的定义域为(0，＋∞)．
∵y′＝ln
x＋1，令y′>0，得x>.
令y′<0，得0∴函数y＝xln
x在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增．
6．若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析]　由条件知f
′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
二、填空题
7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为　(－∞，－)，(1，＋∞)　.
[解析]　∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
∴由y′>0得，x>1或x<－.
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝__－3__，c＝__－9__.
[解析]　f
′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知，
即，
解得b＝－3，c＝－9.
三、解答题
9．(2016·北京昌平区高二检测)设函数f(x)＝x3＋mx2＋1的导函数f′(x)，且f′(1)＝3.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解析]　(1)f′(x)＝x2＋2mx，
∴f′(x)＝1＋2m＝3，∴m＝1.
∴f(x)＝x3＋x2＋1，∴f(1)＝.
∴切线方程为y－＝3(x－1)，
即3x－3y＋4＝0.
(2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
令f′(x)>0，得x>0或x<－2，
令f′(x)<0，得－2∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，递减区间为(－2,0)．
B级　素养提升
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f
′(x)的图象可能是(　D　)
[解析]　由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f
′(x)≤0，在(－∞，0)上f
′(x)≥0，故选D．
2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是(　C　)
A．y＝2－3x2
B．y＝ln
x
C．y＝
D．y＝sin
x
[解析]　A中，y′＝－6x，当－10，当0x在x＝0处无意义；C中，y′＝－<0对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝在区间(－1,1)上是减函数；D中，y′＝cos
x>0对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sin
x在(－1,1)上是增函数．
3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f
′(x)<0，则下列各项正确的是(　C　)
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)＝2f(1)
C．f(0)＋f(2)<2f(1)
D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定
[解析]　当x>1时，f
′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(1)>f(2)．
当x<1时，f
′(x)>0，f(x)是增函数，
∴f(0)4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f
′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有(　B　)
A．f
′(x)>0，g′(x)>0
B．f
′(x)>0，g′(x)<0
C．f
′(x)<0′，g′(x)>0
D．f
′(x)<0，g′(x)<0
[解析]　由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f
′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时f
′(x)>0，g′(x)<0.
5．(2016·湛江一模)若函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是(　D　)
A．(－2,0)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－2)
[解析]　由题意知，f′(x)＝1－，
∵函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，
∴当1－＝0时，b＝x2，
又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，
令f′(x)>0，解得x<－或x>，
即f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，
∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选D．
二、填空题
6．(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为　(，π)　.
[解析]　由f′(x)＝1－2cos
x>0得cos
x<，又x∈(0，π)，所以7．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是　(－∞，)　.
[解析]　f
′(x)＝＝，
由题意得x<－2时，f
′(x)≤0恒成立，
∴2a－1≤0，∴a≤.
又当a＝时，f(x)＝＝，
此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a≠.
综上可知，a的取值范围为(－∞，)．
三、解答题
8．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)f
′(x)＝3x2－6ax＋3b.
因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f
′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f
′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f
′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f
′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
C级　能力提高
1．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__(－∞，0]__.
[解析]　∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f
′(x)＝3x2－2ax－3，
又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，
f
′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，
∴，解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
2．(2016·广东汕头高二质检)函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线.
(1)求实数a、b、c的值；
(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间．
[解析]　(1)∵函数f(x)、g(x)的图象都过点P(2,0)，
∴f(2)＝16＋2a＝0，解得a＝－8，g(2)＝4b＋c＝0.
又f(x)、g(x)的图象在点P处有相同的切线，且f′(x)＝6x2－8,
g′(x)＝2bx，
∴f′(2)＝g′(2)，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16.
∴a＝－8，b＝4，c＝－16.
(2)由(1)知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16，
∴F(x)＝2x3＋4x2－8x－16，
∴F′(x)＝6x2＋8x－8＝6(x＋2)(x－)．
令F′(x)＝6(x＋2)(x－)>0，得x<－2或x>，
∴函数F(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(，＋∞)．
令F′(x)＝6(x＋2)(x－)<0，得－2∴函数F(x)的单调递减区间为(－2，)．
综上，F(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(，＋∞)，单调递减区间为(－2，)．1.4
全称量词与存在量词（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　B　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
[解析]　量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　C　)
A． x∈R，|x|>0　
B． x0∈R，|x0|>0
C． x∈R，|x|≤0
D． x0∈R，|x0|≤0
[解析]　由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．
3．(2016·江西抚州高二检测)已知命题p： x∈R，x2＋2x＋2>0，则 p是(　C　)
A． x0∈R，x＋2x0＋2<0
B． x∈R，x2＋2x＋2<0
C． x0∈R，x＋2x0＋2≤0
D． x∈R，x2＋2x＋2≤0
[解析]　∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C正确．
4．已知命题p： x∈(0，)，sin
x＝，则 p为(　B　)
A． x∈(0，)，sin
x＝
B． x∈(0，)，sin
x≠
C． x∈(0，)，sin
x≠
D． x∈(0，)，sin
x>
[解析]　 p表示命题p的否定，即否定命题p的结论，由“ x∈M，p(x)”的否定为“ x∈M， p(x)”知选B．
5.
下列说法正确的是(　A　)
A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件
B．命题“ x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋3>0”
C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件
D．命题p：“ x∈R，sin
x＋cos
x≤”，则 p是真命题
[解析]　a>1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sin
x＋cos
x＝sin
(x＋)≤恒成立，∴p为真命题，从而 p为假命题，∴D错误．
6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是(　C　)
A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
[解析]　 p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C．
二、填空题
7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是　任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0　.
[解析]　特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．
8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__.
[解析]　原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
三、解答题
9．写出下列命题的否定并判断真假：
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)被8整除的数能被4整除．
[解析]　(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是 p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此 p是真命题．
(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．
(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．
(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2015·浙江理)命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”的否定形式是(　D　)
A． n∈N
,
f(n) N
且f(n)>n
B． n∈N
,
f(n) N
或f(n)>n
C． n0∈N
,
f(n0) N
且f(n0)>n0
D． n0∈N
,
f(n0) N
或f(n0)>n0
[解析]　命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”
其否定为：“ n0∈N
，f(n0) N
或f(n0)>n0”．
2．命题“ x∈R，ex>x2”的否定是(　C　)
A．不存在x∈R，使ex>x2
B． x∈R，使exC． x∈R，使ex≤x2
D． x∈R，使ex≤x2
[解析]　原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C．
3．已知命题“ a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是(　B　)
A． a、b∈R，如果ab<0，则a<0
B． a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C． a、b∈R，如果ab<0，则a<0
D． a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
[解析]　条件ab>0的否定为ab≤0；
结论a>0的否定为a≤0，故选B．
4．(2016·江西抚州高二检测)已知命题“ x∈R,2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1)
B．(－1,3)
C．(3，＋∞)
D．(－3,1)
[解析]　由题意知， x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，恒成立，
∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－3<0，∴－15．已知命题p： x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q： x∈R.sin
x－cos
x＝.则下列判断正确的是(　D　)
A．p是真命题
B．q是假命题
C． p是假命题
D． q是假命题
[解析]　p中：∵Δ＝4－4＝0，∴p是假命题，q中，当x＝π时，cosx＝，cosx＝－时，是真命题，故 q是假命题．
二、填空题
6．已知命题p： x∈R，x2－x＋<0，命题q： x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝，则p∨q，p∧q， p， q中是真命题的有__p∨q__ p__.
[解析]　∵x2－x＋＝(x－)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝，使sin
x0＋cos
x0＝，故q是真命题，因此p∨q是真命题， p是真命题．
7．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是__m≤－2或－1[解析]　p：m≤－1，q：－28．命题“ x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是__a>2或a<－2__.
[解析]　由于 x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.
C级　能力提高
1．(2016·山东临沂高二检测)已知命题p： a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin
(＋)的周期不大于4π.
(1)写出 p；
(2)当 p是假命题时，求实数b的最大值．
[解析]　(1) p： a0∈(0，b](b∈R，且b>0)，
函数f(x)＝
sin(＋)的周期大于4π.
(2)∵ p是假命题，∴p是真命题，
∴ a∈(0，b]，≤4恒成立，
∴a≤2，∴b≤2.
故实数b的最大值是2.
2．(2016·安徽安庆高二检测)已知命题p： x0∈[－1,2]，4x0>m.
(1)写出 p；
(2)当 p是真命题时，求实数m的取值范围．
[解析]　(1) p： x∈[－1,2]，4x≤m.
(2) p是真命题，即当－1≤x≤2时，m≥(4x)max
，
∴m≥42＝16，
∴实数m的取值范围是[16，＋∞)．2.2
双曲线（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(　C　)
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1或－＝1
D．以上都不对
[解析]　当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝4，双曲线方程为－＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3，双曲线方程为－＝1.
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　C　)
A．2　　
B．2　
C．4　　
D．4
[解析]　双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为－＝1，∴a＝2，∴实轴长为2a＝4.
3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　C　)
A．(，＋∞)
B．(，2
)
C．(1，)
D．(1,2)
[解析]　由题意得双曲线的离心率e＝.
∴c2＝＝1＋.
∵a>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，
∴14．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有共同的焦点，则实数n的值是(　B　)
A．±5
B．±3
C．25
D．9
[解析]　依题意，34－n2＝n2＋16，解得n＝±3，故答案为B．
5．若实数k满足0A．实半轴长相等
B．虚半轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
[解析]　∵06．以双曲线y2－＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是(　D　)
A．(x－2)2＋y2＝4
B．x2＋(y－2)2＝2
C．(x－2)2＋y2＝2
D．x2＋(y－2)2＝4
[解析]　双曲线y2－＝1的焦点为(0，±2)，e＝2，故选D．
二、填空题
7．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝__5__.
[解析]　∵双曲线的标准方程－＝1(a>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
∴a＝5.
8．(2016·北京文)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝__1__；b＝__2__.
[解析]　由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程；
(2)求虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程．
[解析]　(1)设双曲线的方程为－＝1(4<λ<9)，则a2＝9－λ，b2＝λ－4，
∴c2＝a2＋b2＝5，
∵e＝，∴e2＝＝＝，解得λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－y2＝1.
(2)由于无法确定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，所以可设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)．
由题设知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
B级　素养提升
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且a、b异号，则方程表示(　D　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
[解析]　方程变形为－＝1，由a、b异号知<0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故答案为D．
2．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　C　)
A．m>
B．m≥1
C．m>1
D．m>2
[解析]　本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解．
双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C．
3．(2015·全国卷Ⅰ理)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1、F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　A　)
A．(－，)
B．(－，)
C．(－，)
D．(－，)
[解析]　由双曲线方程可知F1(－，0)、F2(，0)，
∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋(－y0)(－y0)<0，
即x＋y－3<0，∴2＋2y＋y－3<0，y<，
∴－4．(2016·重庆八中高二检测)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－)2＋(y－1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为(　B　)
A．
B．2
C．
D．
[解析]　双曲线的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝1，∴b＝a.
∴离心率e＝＝＝＝＝2.
5．(2016·吉林实验中学)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
二、填空题
6．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－4x－5＝0上，则双曲线的渐近线方程为　y＝±x　.
[解析]　∵方程表示双曲线，∴m>0，∵a2＝9，b2＝m，
∴c2＝a2＋b2＝9＋m，∴c＝，
∵双曲线的一个焦点在圆上，∴是方程x2－4x－5＝0的根，∴＝5，∴m＝16，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则椭圆＋＝1的离心率e＝　　.
[解析]　由条件知＝，即a＝2b，
∴c2＝a2－b2＝3b2，c＝b，∴e＝＝＝.
三、解答题
8．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程.
[解析]　因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)、F2(c,0)．
因为双曲线过点P(4，－3)，
所以－＝1.①
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，
所以·＝0，即－c2＋25＝0.
所以c2＝25.②
又c2＝a2＋b2，③
所以由①②③可解得a2＝16或a2＝50(舍去)．
所以b2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
C级　能力提高
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为　－＝1　.
[解析]　椭圆中，a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝7，
∴离心率e1＝，焦点(±，0)，
∴双曲线的离心率e2＝＝，焦点坐标为(±，0)，
∴c＝，a＝2，从而b2＝c2－a2＝3，
∴双曲线方程为－＝1.
2．设双曲线－＝1(0[解析]　由l过两点(a,0)、(0，b)，得
l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
162－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
由e＝有e＝.故e＝或e＝2.
因0，
所以应舍去e＝，故所求离心率e＝2.2.1
椭圆（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　D　)
A．4　　
B．5　　
C．7　　
D．8
[解析]　由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，
∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意，得a＝2c，∴e＝＝.
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(　B　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[解析]　椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，)，(0，－)，
∵b＝2，∴a2＝25，故选B．
4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　设椭圆的焦距为2c，短轴长为2b，长轴长为2a，由题意得(2b)2＝4ac，即b2＝ac.
又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac，
∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
∵e∈(0,1)，∴e＝.
5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　A　)
A．
B．
C．2
D．4
[解析]　由题意＋x2＝1，且＝2，
∴m＝.故选A．
6．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为　＋＝1或＋＝1　.
[解析]　∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.
又两个焦点将长轴三等分，
∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72.
∵焦点位置不确定，
∴方程为＋＝1或＋＝1.
8．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝　3或　.
[解析]　当焦点在x轴上时，e＝＝，
∴m＝3.
当焦点在y轴上时，e＝＝，∴m＝.
三、解答题
9．(2016·江苏苏州高二检测)已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直.
(1)求椭圆的离心率；
(2)求△PF1F2的面积．
[解析]　(1)由题意可知a2＝49，b2＝24，
∴a＝7，b＝2，c2＝a2－b2＝25，∴c＝5，e＝.
(2)由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由题意可知在Rt△PF1F2中有：|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100，
∴2|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝142－100＝96，
∴|PF1||PF2|＝48.
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.
B级　素养提升
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　C　)
A．＋＝1或＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1或＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
[解析]　由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　C　)
A．＋＝1
B．＋y2＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[解析]　根据条件可知＝，且4a＝4，
∴a＝，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为＋＝1.
3．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为(　D　)
A．1
B．
C．2
D．2
[解析]　由，得
(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0，
由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5，
∴椭圆的长轴长为2.
4．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　C　)
A．1
B．1或2
C．2
D．0
[解析]　因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
5．(2015·江西八校联考)已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(　B　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，
∴只需 0<≤.
即椭圆离心率的取值范围是.
二、填空题
6．若椭圆的一个焦点将其长轴分成︰两段，则椭圆的离心率为　5－2　.
[解析]　椭圆的一个焦点将其长轴分成a＋c与a－c两段，
∴＝，
∴(－)a＝(＋)c，
∴e＝＝5－2.
7．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是__(0,1]∪[9，＋∞)__.
[解析]　方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．
过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，
则N(x,0)．
故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)
＝＝.
又tan∠AMB＝tan
120°＝－，
且由＋＝1可得x2＝3－，
则＝＝－.
解得|y|＝.
又0<|y|≤，即0<≤，结合0对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.
则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．
方法2：当0要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan
60°＝，即≥，
解得0当m>3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan
60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
三、解答题
8．(2017·北京文，19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4︰5.
[解析]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得c＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)，
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，
故直线DE的斜率kDE＝－，
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，
直线BN的方程为y＝(x－2)．
联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，
S△BDN＝|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4︰5.
C级　能力提高
1．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为　　.
[解析]　如图，由已知得b＝c＝a，
∴e＝＝.
2．(2017·全国Ⅱ文，20)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝
.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[解析]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝
，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.3.3
导数在研究函数中的应用（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f
′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　A　)
A．1个　
B．2个　
C．3个　
D．4个
[解析]　极小值点应有先减后增的特点，即f
′(x)<0→f
′(x)＝0→f
′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点．
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　A　)
A．－2或2
B．－9或3
C．－1或1
D．－3或1
[解析]　∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，
则x，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
－
＋
y
?
c＋2
?
c－2
?
因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.
3．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　D　)
A．－4
B．－2
C．4
D．2
[解析]　f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x<－2或x>2，令f′(x)<0得－2∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
∴当x＝2时，
f(x)取极小值，即2是函数f(x)的极小值点，故a＝2.
4．设函数f(x)＝xex，则(　D　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
[解析]　f
′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
令f
′(x)>0，得x>－1，
令f
′(x)<0，得x<－1，
∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．
5．设函数f(x)＝＋ln
x，则(　D　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
[解析]　本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．
f
′(x)＝－＋＝(1－)，
由f
′(x)＝0可得x＝2.
当0′(x)<0，f(x)递减，当x>2时，
f
′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．
对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　D　)
A．2
B．3
C．6
D．9
[解析]　f
′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f
′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤()2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．
二、填空题
7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是__－1__.
[解析]　f
′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，
令f
′(x)>0得－1′(x)<0，得x<－1或x>2，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
8．(2015·陕西文)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为　y＝－　.
[解析]　∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有极小值，此时y|x＝－1＝－，而y′|x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－.
三、解答题
9．设函数y＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1)求a、b、c的值；
(2)求函数的递减区间.
[解析]　(1)因为函数的图象经过点(0,0)，
易得c＝0.
又图象与x轴相切于点(0,0)，且y′＝3x2＋2ax＋b，
故0＝3×02＋2a×0＋b，解得b＝0.
所以y＝x3＋ax2，则y′＝3x2＋2ax.
令y′＝0，解得x＝0或x＝－a，
即x＝0和x＝－a是极值点．
由图象知函数在x＝0处取极大值，
故在x＝－a时取极小值．
当x＝－a时，函数有极小值－4，
所以(－a)3＋a(－)2＝－4，
整理得a3＝－27，解得a＝－3.故a＝－3、b＝0、c＝0.
(2)由(1)得y＝x3－3x2，则y′＝3x2－6x，
令y′<0，即y′＝3x2－6x<0，解得0所以，函数的递减区间是(0,2)．
B级　素养提升
一、选择题
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
[解析]　y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，
∵－2∴令y′>0得－2∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，
∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．
2．(2016·广西南宁高二检测)已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　B　)
A．(2,3)
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
[解析]　y′＝6x2＋2ax＋36，
由已知得24＋4a＋36＝0，
∴a＝－15.
∴y′＝6x2－30x＋36
＝6(x2－5x＋6)＝6(x－2)(x－3)，
令y′>0，得x<2或x>3，故选B．
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　A　)
A．，0
B．0，
C．－，0
D．0，－
[解析]　f
′(x)＝3x2－2px－q，
由f
′(1)＝0，f(1)＝0得，
，解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f
′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
4．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　D　)
A．[－3,6]
B．(－3,6)
C．(－∞，－3]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
[解析]　函数的导数为f
′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，要使函数f(x)既存在极大值又存在极小值，则f
′(x)＝0有两个不同的根，所以判别式Δ>0，即Δ＝4m2－12(m＋6)>0，所以m2－3m－18>0，解得m>6或m<－3.
5．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　C　)
A．[－5,0)
B．(－5,0)
C．[－3,0)
D．(－3,0)
[解析]　由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3,0)，故选C．
二、填空题
6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝　－　.
[解析]　f
′(x)＝＋2bx＋1，
由题意得，∴a＝－.
7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是__(－2,2)__.
[解析]　f
′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，
当x<－1，或x>1时，f
′(x)>0，f(x)单调增；
当－1′(x)<0，f(x)单调减．
∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2三、解答题
8．(2016·广西南宁高二检测)设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点.
(1)求常数a、b的值；
(2)判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意得，
解得.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x－24
＝3(x2－2x－8)
＝3(x－4)(x＋2)，
令f′(x)>0，得x<－2或x>4，
令f′(x)<0，得－2∴f(x)在(－∞，－2)，(4，＋∞)上单调递增，在(－2,4)上单调递减，
∴当x＝－2时，
f(x)取极大值，当x＝4时，
f(x)取极小值，故x＝－2是极大值点，x＝4是极小值点．
C级　能力提高
1．(2016·河南郑州高二检测)已知函数f(x)＝2f′(1)ln
x－x，则f(x)的极大值为__2ln_2－2__.
[解析]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由于函数f(x)＝2f′(1)ln
x－x.
则f′(x)＝2f′(1)×－1(x>0)，
f′(1)＝2f′(x)－1，
故f′(1)＝1，得到f′(x)＝2×－1＝，
令f′(x)>0，解得x<2，令f′(x)<0，解得x>2，
则函数在(0,2)上为增函数，在[2，＋∞)上为减函数，故f(x)的极大值为f(2)＝2ln
2－2.
2．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
[解析]　∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f
′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，∴f
′(x)＝3x2－3，
由f
′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f
′(x)>0；当－1′(x)<0；
当x>1时，f
′(x)>0.
∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．3.4
生活中的优化问题
A级　基础巩固
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　A　)
[解析]　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A．
2．(2016·广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　C　)
A．1百万件　　　
　
B．2百万件
C．3百万件
D．4百万件
[解析]　依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．
3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·()(0A．30　　
B．40　　
C．50　　
D．35
[解析]　V′(x)＝(30x2－)′＝60x－x2，x∈(0,60)．令V′(x)＝0，得x＝40.
∴当x＝40时，箱子的容积有最大值．
4．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48
m3，高为3
m，如果箱底每1
m2的造价为15元，箱壁每1
m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　D　)
A．900元
B．840元
C．818元
D．816元
[解析]　设箱底一边的长度为x
m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为＝16(m2)，箱底另一边的长度为m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×)×12＝240＋72，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4
m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．
5．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产(　A　)
A．6千台
B．7千台
C．8千台
D．9千台
[解析]　设利润为y(万元)，则
y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得06，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
6．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(　C　)
A．
B．
C．
D．2
[解析]　如图，设底面边长为x(x>0)，
则底面积S＝x2，∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2，
S′表＝x－，令S′表＝0得x＝，
因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
二、填空题
7．(2016·山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__20__吨.
[解析]　设该公司一年内总共购买n次货物，
则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故x＝20时，
f(x)最小．
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为__3__.
[解析]　设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋，
∴S′(R)＝2πR－＝0，令S′＝0得R＝3，
∴当R＝3时，S表最小．
三、解答题
9．用边长为120
cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
[解析]　设水箱底边长为x
cm，
则水箱高为h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝60x2－(0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.
当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：
x
(0,80)
80
(80,120)
V′(x)
＋
0
－
因此在x＝80处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．
将x＝80代入V(x)，得最大容积
V＝802×60－＝128
000(cm3)．
答：水箱底边长取80
cm时，容积最大，最大容积为128
000
cm3.
B级　素养提升
一、选择题
1．某公司生产一种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　D　)
A．150
B．200
C．250
D．300
[解析]　由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20
000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.
当0≤x≤300时，p′(x)>0；当3002．三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为(　C　)
A．4
B．8
C．
D．
[解析]　V＝×·y＝＝＝(0V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
∴x＝2时，V最大为.
3．某工厂需要建一个面积为512
m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为(　B　)
A．16
m,16
m
B．32
m,16
m
C．32
m,8
m
D．16
m,8
m
[解析]　如图所示，设场地一边长为x
m，
则另一边长为
m.
因此新墙总长度L＝2x＋(x>0)，L′＝2－.
令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴x＝16必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.
故当堆料场的宽为16
m，长为32
m时，可使砌墙所用的材料最省．
4．(2016·山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是(　C　)
A．6时
B．7时
C．8时
D．9时
[解析]　y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8.当6≤t<8时，y′>0；当85．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　C　)
A．R
B．2R
C．R
D．R
[解析]　设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝r2h＝h(2Rh－h2)＝Rh2－h3，
V′＝Rh－πh2.令V′＝0得h＝或h＝0(舍去)．
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．故选C．
二、填空题
6．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为__4__时最省料.
[解析]　设底面边长为x，则高为h＝，其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，则当高h＝＝4时S取得最小值．
7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为__85__元.
[解析]　设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
三、解答题
8．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2
500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
[解析]　设该厂生产x件这种产品利润为L(x)
则L(x)＝500x－2
500－C(x)
＝500x－2
500－
＝300x－x3－2
500(x∈N)
令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)
又当0≤x<60时，L′(x)>0
x>60时，L′(x)<0
所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝60时，L(x)＝9
500元．
答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9
500元．
C级　能力提高
1．用长为18
m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2︰1，该长方体的最大体积是__3_m3__.
[解析]　设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x　(0V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，
∵0∴该长方体的长、宽、高各为2
m、1
m、1.5
m时，体积最大，最大体积Vmax＝3
m3.
2．(2016·广东佛山检测)如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值.
[解析]　(1)依题意，建立以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x2＋＝1，且x>0，y>0，
∴y＝2(0∴S＝(2x＋2)·2＝2(x＋1)(0(2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0则f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)．
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－1(舍去)．
当0f′(x)>0,
f(x)为增函数；
当f(x)为减函数．
∴f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f()＝，此时S＝.
故当x＝时，S取得最大值.3.1
变化率与导数（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx的取值为(　D　)
A．Δx>0　　　　　
B．Δx<0
C．Δx＝0
D．Δx≠0
[解析]　Δx可正也可负，但是不可以为0，故选D．
2．对于函数y＝，当Δx＝1时，Δy的值是(　D　)
A．1
B．－1
C．0
D．不能确定
[解析]　函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy必须指明在哪一点处．
3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(　A　)
A．f
′(x0)＝
B．f
′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f
′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
D．f
′(x0)＝
[解析]　B中[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函数值的变化量；D中表示函数的平均变化率．
4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　D　)
A．－3　　
B．3　　
C．6　　
D．－6
[解析]　当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度是－6.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f
′(0)＝(　C　)
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
[解析]　f
′(0)＝
＝
＝
(Δx－3)＝－3.故选C．
6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　C　)
A．f
′(x)＝a
B．f
′(x)＝b
C．f
′(x0)＝a
D．f
′(x0)＝b
[解析]　∵f
′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a.
∴f
′(x0)＝a.
二、填空题
7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝__(Δx)2＋6Δx＋12__.
[解析]　∵Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴＝(Δx)2＋6Δx＋12.
8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s＝gt2(g＝9.8
m/s2)，试估计t＝3s时物体下落的瞬时速度是__29.4_m/s__.
[解析]　从3s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量：
Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32
＝29.4Δt＋4.9(Δt)2，
从而，＝29.4＋4.9Δt.当Δt趋于0时，趋于29.4
m/s.
三、解答题
9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度.
[解析]　由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，
∴＝＝－1－Δt.
∴v＝
＝
(－1－Δt)＝－1.
∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
B级　素养提升
一、选择题
1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于(　C　)
A．6＋Δt
B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt
D．12
[解析]　＝
＝12＋2Δt.
2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是(　B　)
A．0
B．3
C．－2
D．3－2t
[解析]　初速度即为t＝0时的瞬时速度，
＝＝＝3－Δt2.
当Δt趋近于0时，趋近于3，故它的初速度为3.
3．(2016·浙江台州检测)若f(x)在x＝x0处存在导数，则
(　B　)
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h都无关
[解析]　由导数的定义可知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故选B．
4．(2016·安徽淮北高二检测)设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝(　C　)
A．－1
B．
C．1
D．
[解析]　∵f′(－1)＝
＝
＝3a，∴3a＝3，解得a＝1.故选C．
5．若
＝1，则
＝(　D　)
A．1
B．－1
C．
D．－
[解析]　
＝
＝－＝－
＝－.故选D．
二、填空题
6．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为__0_m/s__.
[解析]　ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2，
∴＝＝－4Δt，
∴v＝
＝
(－4Δt)＝0.
∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0
m/s.
7．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为　　.
[解析]　∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
三、解答题
8．求函数f(x)＝3x－在x＝1处的导数.
[解析]　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1
＝2＋3Δx－＝3Δx＋，
＝＝3＋，
∴
＝
(3＋)＝5，∴f
′(1)＝5.
C级　能力提高
1．(北京高考)已知f(x)＝x3＋2x＋1，则f′(－1)的值是__3__.
[解析]　f′(－1)＝
＝
＝3.
2．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)
s＝.
求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
[解析]　(1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]时的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为
＝
(3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
＝
(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速率为－12
m/s.第三章　导数及其应用
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设正弦函数y＝sin
x在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为(　A　)
A．k1>k2　　　　　　　
B．k1C．k1＝k2
D．不确定
[解析]　y＝sin
x，y′＝cos
x，∴k1＝cos
0＝1，k2＝cos＝0，k1>k2.
2．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为(　B　)
A．4　　
B．－4　
C．1　　
D．－1
[解析]　y′＝(xα)′＝αxα－1，
由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.
3．函数y＝x2cos
x的导数为(　A　)
A．y′＝2xcos
x－x2sin
x
B．y′＝2xcos
x＋x2sin
x
C．y′＝x2cosx－2xsin
x
D．y′＝xcosx－x2sin
x
[解析]　y′＝(x2cos
x)′＝(x2)′cos
x＋x2·(cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x.
4．函数y＝12x－x3的单调递增区间为(　C　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－2,2)
D．(2，＋∞)
[解析]　y′＝12－3x2＝3(4－x2)＝3(2＋x)(2－x)，令y′>0，得－25．(2016·福建宁德市高二检测)曲线f(x)＝在x＝e处的切线方程为(　A　)
A．y＝
B．y＝e
C．y＝x
D．y＝x－e＋
[解析]　f′(x)＝，∴f′(e)＝＝0，
∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.
又切点坐标为(e，)，∴切线方程为y＝.
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝(　D　)
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析]　f
′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f
′(x)＝0的实数根，∴a＝5.
7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是(　C　)
A．m<0
B．m<1
C．m≤0
D．m≤1
[解析]　f
′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m≤0.
8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为(　C　)
A．20
B．9
C．－2
D．2
[解析]　由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，
∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，
又点(2，－1)在抛物线上，
∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C．
9．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　B　)
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
[解析]　设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图象过原点，∴d＝0.f
′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，，即，解得，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B．
10．(2016·山西大同高二月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　D　)
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
[解析]　设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8
300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11
700P－166
000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11
700.令L′(P)＝0，解得P＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23
000，因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0.所以L(30)是极大值也是最大值．
11．(2016·山东滕州市高二检测)已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　C　)
[解析]　∵x＝－2时，
f(x)取得极小值，∴在点(－2,0)左侧，f′(x)<0，∴xf′(x)>0，在点(－2,0)右侧f′(x)>0，∴xf′(x)<0，故选C．
12．(2016·山西晋城月考)已知f(x)＝x3－3x，过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围是(　D　)
A．(－1,1)
B．(－2,3)
C．(－1,2)
D．(－3，－2)
[解析]　设切点为(t，t3－3t)，f′(x)＝3x2－3，则切线方程为y＝(3t2－3)(x－t)＋t3－3t，整理得y＝(3t2－3)x－2t3.把A(1，m)代入整理，得2t3－3t2＋m＋3＝0　①.因为过点A可作三条切线，所以①有三个解．记g(t)＝2t3－3t2＋m＋3，则g′(t)＝6t2－6t＝6t(t－1)，所以当t＝0时，极大值g(0)＝m＋3，当t＝1时，极小值g(1)＝m＋2.要使g(t)有三个零点，只需m＋3>0且m＋2<0，即－3二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x－5，则f′(2)＝　　.
[解析]　∵f′(x)＝3x2－2f′(1)x＋2，
∴f′(1)＝3－2f′(1)＋2，∴f′(1)＝.
因此f′(2)＝12－4f′(1)＋2＝.
14．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为　c<　.
[解析]　∵f
′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f
′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0.
解得c<.
15．已知函数f(x)＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值为，则实数m的值为__2__.
[解析]　f′(x)＝x2－2x－1，
令f′(x)<0，得1－∴f(x)在(1－，1＋)上单调递减，即f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－1－1＋m＝，解得m＝2.
16．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__a<－1__.
[解析]　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0.
由ex＋a＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．
∴x＝ln(－a)即为函数的极值点．
∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.
∴a<－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f
′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)．
[解析]　由f(2x＋1)＝4g(x)，
得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
由f
′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c，③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
由①③可得a＝c＝2，由④得b＝－5，
再由②得d＝－，∴g(x)＝x2＋2x－.
故g(4)＝16＋8－＝.
18．(本题满分12分)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值.
[解析]　设直线与曲线y＝x3的切点坐标为(x0，y0)，
由题意得，
解得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线的斜率k＝0，
∴切线方程为y＝0.
由，得ax2＋x－9＝0.
Δ＝()2＋36a＝0，
解得a＝－.
当x0＝时，k＝，
其切线方程为y＝(x－1)．
由，得ax2－3x－＝0.
Δ＝(－3)2＋9a＝0，解得a＝－1.
综上可知a＝－1或a＝－.
19．(本题满分12分)(2016·安徽合肥高二检测)已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值.
[解析]　∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)
＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
(1)当a>0时，<，则随着x的变化，
f′(x)、
f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
∴当a＝时，函数取得极大值f()＝；
当x＝时，函数取得极小值f()＝0.
(2)当a<0时，<，则随着x的变化，
f′(x)、
f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
∴当x＝时，函数取得极大值f()＝0；
当x＝时，函数取得极小值f()＝.
综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f()＝，在x＝处取得极小值f()＝0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f()＝0在x＝处取得极小值f()＝.
20．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，21)已知函数f(x)＝ln
x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.
[解析]　(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a<0，则当x∈(0，－)时，f′(x)>0.
当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0.
故f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f(－)＝ln(－)－1－.
所以f(x)≤－－2等价于ln(－)－1－≤－－2，
即ln(－)＋＋1≤0.
设g(x)＝ln
x－x＋1，
则g′(x)＝－1.
当x∈(0,1)时，g′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x>0时，g(x)≤0.
从而当a<0时，ln(－)＋＋1≤0，
即f(x)≤－－2.
21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅰ文，21)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，lna)上单调递减．
在(lna，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln(－)．
当x∈(－∞，ln(－))时，f′(x)<0；
当x∈(ln(－)，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln(－))上单调递减，
在(ln(－)，＋∞)上单调递增．
(2)解：①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.
②若a>0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna，
从而当且仅当－a2lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0.
③若a<0，则由(1)得，当x＝ln(－)时，f(x)取得最小值，
最小值为f(ln(－))＝a2[－ln(－)]，从而当且仅当a2[－ln(－)]≥0，即a≥－2e时，f(x)≥0.
综上，a的取值范围是[－2e，1]．
22．(本题满分12分)某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
[解析]　(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N＋，且1≤x≤20)；
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N＋，且1≤x≤19)．
(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，
∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，
∴当00，当x>12时，P′(x)<0，
∴x＝12时，P(x)有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为[1,19]，且x∈N＋.
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少．1.3
简单的逻辑联词（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(　B　)
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
[解析]　“非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B．
2．如果命题“ (p∨q)”为假命题，则(　C　)
A．p、q均为真命题
B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个为真命题
D．p、q中至多有一个为假命题
[解析]　“ (p∨q)”为假命题，则“p∨q”为真命题，即p，q中至少有一个为真命题．
3．(2016·辽宁大连高二检测)已知U＝R，A U，B U，命题p：∈A∪B，则 p是(　D　)
A． A　　　　　
B．∈ UB
C． A∩B
D．∈( UA)∩( UB)
[解析]　 p： A∪B，即∈( UA)∩( UB)，故选D．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧( q)；④( p)∨q中，真命题是(　C　)
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
[解析]　当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x25．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题为真命题的是(　B　)
A．p∧q
B．p∨q
C． p
D．( p)∧( q)
[解析]　∵p为真，q为假，∴ p为假， q为真．
∴p∧q为假，p∨q为真， p为假，
( p)∧( q)为假．故选B项．
6．已知条件p：a≤1，条件q：|a|≤1，则 p是 q的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由|a|≤1得－1≤a≤1，
∴ p：a>1， q：a<－1或a>1，
∴ p q，但 q p，故选A．
二、填空题
7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，m?α，
n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
下面的命题中：①p∨q；②p∧q；③p∨( q)；④( p)∧q.真命题的序号是__①④__(写出所有真命题的符号).
[解析]　易知p是假命题，q是真命题．
∴ p为真， q为假，∴p∨q为真，p∧q为假，p∨( q)为假，( p)∧q为真．
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”，“ q”都是假命题，则x的值组成的集合为__{－1,0,1,2}__.
[解析]　因为“p∧q”为假，“ q”为假，
所以q为真，p为假．
故，即，
因此x的值可以是－1,0,1,2.
三、解答题
9．写出下列命题的否定和否命题：
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)若a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0；
(3)若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角都是锐角.
[解析]　(1)原命题的否定：菱形的对角线不互相垂直．原命题的否命题：不是菱形的四边形的对角线不互相垂直．
(2)原命题的否定：若a2＋b2＝0，则a和b中至少有一个不为0.
原命题的否命题：若a2＋b2≠0，则a和b中至少有一个不为0.
(3)原命题的否定：若一个三角形是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
原命题的否命题：若一个三角形不是锐角三角形，则它的三个内角不都是锐角．
B级　素养提升
一、选择题
1．(2017·湖北武汉高二检测)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次，设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题( p)∨( q)表示(　D　)
A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
C．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
[解析]　 p表示“甲的试跳成绩不超过2米”， q表示“乙的试跳成绩不超过2米”，故( p)∨( q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”．
2．(2017·山东文，5)已知命题p： x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q
B．p∧ q
C． p∧q
D． p∧ q
[解析]　∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题， p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题， q为真命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题， q为真命题．
根据真值表可知p∧ q为真命题，p∧q， p∧q， p∧ q为假命题．
故选B．
3．(2017·辽宁锦州高二检测)已知命题
p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，
在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：( p1)∨p2和q4：p1∨( p2)中，真命题是(　C　)
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
[解析]　函数y＝2x－2－x是一个增函数与一个减函数的差，故函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p1是真命题；
由于2x＋2－x≥2＝2，故函数y＝2x＋2－x在R上存在最小值，故这个函数一定不是R上的单调函数，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．
4．已知命题p：对任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题 p是真命题，那么实数a的取值范围是(　C　)
A．a<
B．0C．a≤
D．a≥
[解析]　∵命题 p是真命题，∴命题p是假命题．
∵对任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，∴，
∴a>.
∴当a>时，命题p为真命题，
∴命题p是假命题时，a≤.
5．下列各组命题中满足：“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“ p”为真命题的是(　C　)
A．p：0＝ ；q：0∈
B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin
x在第一象限内是增函数
C．p：若a>b，则<；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：若a·b<0，则a与b的夹角不一定是钝角
[解析]　选项A中，命题p假，q假，所以不满足题意；选项B中，命题p真，q假， p为假命题，也不满足题意；选项C中，命题p假，q真，p∨q为真命题．p∧q为假命题， p为真命题，满足题意；选项D中，p，q都是真命题，不符合题目要求．
二、填空题
6．(2016·湖北孝感高二检测)在一次射击训练中，某战士连续射击了两次．设命题p是“第一次射击击中目标”，q是“第二次射击击中目标”．则命题“两次都没有击中目标”用p、q及逻辑联结词可以表示为__( p)∧( q)__.
[解析]　p是第一次射击击中目标，则 p是第一次没有击中目标，q是第二次射击击中目标，则 q是第二次没有击中目标，两次都没有击中目标用p，q及逻辑联结词可以表示为( p)∧( q)．
7．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1[解析]　∵ x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假， p为真；
∵≤0 1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假， q为假．
8．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“ q且p”为真，则x的取值范围是__(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)__.
[解析]　由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，
∴p：x<－3或x>1.
由>1,
得<0，∴2∴q：2若“ q且p”为真，则有，
∴x<－3或1C级　能力提高
1．已知命题p：不等式x2＋kx＋1≥0对于一切x∈R恒成立，命题q：已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根，若p且q为假，p或q为真．求实数k的取值范围.
[解析]　当p为真命题时，Δ＝k2－4≤0，所以－2≤k≤2.
当q为真命题时，令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根
∴，
即，　所以k<－2.
要使p且q为假，p或q为真，则p真q假，或者是p假q真．当p真q假时，－2≤k≤2，当p假q真时，k<－2.综上：k≤2.
2．(2017·江西抚州市高二检测)命题p：实数x满足<0，其中m<0；命题q：实数x满足x2－x－6<0或x2＋2x－8<0，且 p是 q的必要不充分条件，求m的取值范围.
[解析]　由<0，得(x＋m)(x＋3m)<0，
又∵m<0，∴－3m>－m.
∴－m由x2－x－6<0或x2＋2x－8<0得－4∵ p是 q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，
∴　∴－1≤m<0.命题及其关系（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列语句中，是命题的是(　A　)
A．π是无限不循环小数
B．3x≤5
C．什么是“绩效工资”
D．今天的天气真好呀！
[解析]　由命题的定义可知，选项A正确．
2．下列命题为真命题的是(　A　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x[解析]　B中，若x2＝1，则x＝±1；C中，若x＝y<0，则与无意义；D中，若x＝－2，y＝－1，满足xy2，故选A．
3．下列语句中，不能成为命题的是(　B　)
A．5>12
B．x>0
C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[解析]　A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．
4．下列命题正确的是(　D　)
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．不共面的四点可以确定四个平面
[解析]　因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．
5．下列四个命题中，真命题是(　D　)
A．a>b，c>d ac>bd
B．aC．< a>b
D．a>b，cb－d
[解析]　∵c－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．
6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(　B　)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
[解析]　①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．
二、填空题
7．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；
③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.
[解析]　c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．
对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．
8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.
[解析]　①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．
三、解答题
9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>；
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)请把窗户关上；
(5)8>7；
(6)这是一棵大树．
[解析]　(1)是疑问句，所以不是命题．
(2)(6)不能判断真假，不是命题．
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．
(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
B级　素养提升
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　A　)
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
[解析]　A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．
2．下列命题中的真命题是(　A　)
A．二次函数的图象是一条抛物线
B．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形
C．已知m、n∈R，若m2＋n2≠0，则mn≠0
D．平行于同一直线的两个平面平行
[解析]　A是真命题；B中四边形可以是菱形，故B是假命题；C中当m＝0，n＝1时，m2＋n2≠0，而mn＝0，故C是假命题；D中两平面可以相交，故D是假命题．
3．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，c≠0，则ac>bc；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有(　A　)
A．0个　
B．1个　
C．2个　
D．3个
[解析]　①中，当x＝1，y＝0时，xy＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a＝2，b＝1，c＝－1，则ac＝－2，bc＝－1，ac4．下列命题中的假命题是(　B　)
A．若log2x<2，则0B．若a与b共线，则a与b的夹角为0°
C．已知非零数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列
D．点(π，0)是函数y＝sin
x图象上一点
[解析]　B中当a与b共线，但方向相反时，a与b的夹角为180°，所以B是假命题．
5．(2017·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为(　C　)
①函数y＝x2－3x＋1的图象关于x＝对称；②若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最大值为；③若△ABC为锐角三角形，则sin
A>cos
B．
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
[解析]　①由y＝2－知①正确，②表示平面直角坐标系中(x，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C．
二、填空题
6．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是__0__.
[解析]　∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，
∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．
综上所述，真命题的个数为0.
7．下列语句中是命题的有__①③④⑤__，其中是真命题的有__①④__(填序号).
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”
③“一个数不是正数就是负数”；
④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”；
⑤“若x＋y为有理数，则x、y都是有理数”；
⑥作一个三角形．
[解析]　①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．
②疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
③是假命题，数0既不是正数也不是负数．
④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边．
⑤是假命题，如x＝，y＝－.
⑥祈使句，不是命题．
8．在△ABC中，若·>0，则△ABC是__钝角__三角形.
[解析]　∵·>0，∴·<0，∴∠B为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
C级　能力提高
1．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(3)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1；
(5)正三角形的重心、内心、外心、垂心重合．
[解析]　(1)若ac>bc，则a>b.假命题．
(2)若m>，则方程mx2－x＋1＝0无实根．真命题．
(3)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0.真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.真命题．
(5)若一个三角形为正三角形，则这个三角形的重心、内心、外心、垂心重合．真命题．
2．将命题“已知a、b为正数，当a>b时，有>”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论.
[解析]　根据题意，“若p，则q”的形式为：
已知a、b为正数，若a>b，则>.
其中条件p：a>b，结论q：>.1.3
简单的逻辑联词（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．那么(　D　)
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p为真命题，q为假命题
D．命题q和命题p的真假不同
[解析]　“p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D．
2．若命题p：1不是质数，命题q：2是合数，则下列结论中正确的是(　B　)
A．“p∨q”为假　　　　
B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真
D．以上都不对
[解析]　命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．
3．(2016·山东青岛高二检测)下列命题是真命题的是(　B　)
A．5>2且7>8
B．3>4或3<4
C．9≤7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
[解析]　3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．
4．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B．
5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若>，则a>b，则(　A　)
A．p∨q为真
B．p∧q为真
C．p真q假
D．p、q均为假
[解析]　x>2 x2>4，x2>4x>2，故p为假命题；由> a>b，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，故选A．
6．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q： ＝{0}，则下列判断正确的是(　B　)
A．p假q假
B．“p或q”为真
C．“p且q”为真
D．p假q真
[解析]　∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．
∵ ≠{0}，∴q假．
故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．
二、填空题
7．“3≥3”是__p∨q__形式的命题.
[解析]　3≥3等价于3>3或3＝3，故“3≥3”是“p∨q”形式的命题．
8．p：ax＋b>0的解集为x>－；
q：(x－a)(x－b)<0的解为a则p∧q是__假__命题(填“真”或“假”).
[解析]　p中a的符号未知，q中a与b的大小关系未知，因此命题p与q都是假命题．
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假.
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos
x是周期函数，
q：函数y＝cos
x是奇函数．
[解析]　(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．
B级　素养提升
一、选择题
1．设P、Q是简单命题，则“P∧Q为假”是“P∨Q为假”的(　A　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若P∧Q为假，则P与Q至少一假，得不出P∨Q为假；反之若P∨Q为假，则P与Q均为假，从而P∧Q必为假，∴选A．
2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为(　A　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[解析]　①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A．
3．由命题p：“函数y＝是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是(　B　)
A．p∨q为真，p∧q为假
B．p∨q为假，p∧q为假
C．p∨q为真，p∧q为假
D．p∨q为假，p∧q为真
[解析]　∵p为假，q为假，
∴p∨q为假，p∧q为假．
4．已知命题p：m<0，命题q：x2＋mx＋1>0对一切实数x恒成立，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　D　)
A．m<－2
B．m>2
C．m<－2或m>2
D．－2[解析]　q：x2＋mx＋1>0对一切实数恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，∴－2p：m<0，∵p∧q为真命题，
∴p、q均为真命题，∴，∴－2二、填空题
5．(2016·安徽宿州高二检测)有以下四个命题：
(1)直线a平行于直线b；
(2)直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；
(3)直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；
(4)a2＋1≥1.
其中是p∨q形式的命题的序号__(2)(4)__，p∧q形式的命题的序号为__(3)__．
[解析]　(1)是简单命题；(2)是p∨q形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(3)是p∧q的形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(4)是p∨q形式，其中p：a2＋1>1，q：a2＋1＝1.
6．设命题P：a20，命题P∧Q为假，P∨Q为真，则实数a的取值范围是　－[解析]　由a20恒成立知Δ＝16a2－4<0，∴－C级　能力提高
1．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：a2＋8a－20<0，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
[解析]　ax2＋ax＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式恒成立，满足题意．
当a≠0时，由题意得，解得0q：a2＋8a－20<0，∴－10∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p、q一真一假．
当p真q假时，，
∴2≤a<4.
当p假q真时，，
∴－10综上可知，实数a的取值范围是(－10,0)∪[2,4)．
2．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题，并指出其真假.
[解析]　“p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有两个相等的实根，故p真，q假．
∴p或q真，p且q假．2.1
椭圆（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·浙江宁波高二检测)已知椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为(　D　)
A．8　　
B．12　　
C．2　
D．4
[解析]　把点(－2，)代入＋＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2，∴2c＝4.
2．(2015·广东文)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　B　)
A．2
B．3
C．4
D．9
[解析]　∵椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝，∴m2＝9，∴m＝3，选B．
3．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝(　A　)
A．11
B．10
C．9
D．16
[解析]　由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．
4．(2016·山东济宁高二检测)设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　B　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
[解析]　由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴△PF1F2为直角三角形．
5．对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　B　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则m>0，n>0，从而mn>0，但当mn>0时，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，这时方程mx2＋ny2＝1不表示椭圆，故选B．
6．(2016·贵州贵阳高二检测)已知两点F1(－1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是(　C　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[解析]　∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|，动点P的轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆，∴2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，方程为＋＝1.
二、填空题
7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为　＋＝1　.
[解析]　由题意可得，∴，
∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴椭圆方程为＋＝1.
8．过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是　＋＝1　.
[解析]　因为焦点坐标为(±，0)，设方程为＋＝1，将(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程为＋＝1.
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程.
[解析]　当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
B级　素养提升
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是(　C　)
A．5
B．3或8
C．3或5
D．20
[解析]　2c＝2，∴c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故答案为C．
2．设椭圆的标准方程为＋＝1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是(　C　)
A．k>3
B．3C．4D．3[解析]　由题意得k－3>5－k>0，∴43．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a、b满足(　C　)
A．a2>b2
B．<
C．0D．0[解析]　将方程变为标准方程为＋＝1，由已知得，>>0，则04．(2016·安徽师大附中高二检测)F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　C　)
A．7
B．
C．
D．
[解析]　由已知得a＝3，c＝.
设|AF1|＝m，则|AF2|＝6－m，
∴(6－m)2＝m2＋(2)2－2m·2
cos
45°，
解得m＝.
∴6－m＝.
∴S△AF1F2＝××2sin
45°＝，故选C．
5．(2016·长沙模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　C　)
A．3
B．3或
C．
D．6或3
[解析]　由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为×2c×＝.
二、填空题
6．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__6__.
[解析]　由题意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2__；∠F1PF2的大小为__120°__.
[解析]　由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2，
cos
∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
8．(2016·广西南宁高二检测)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是__8__.
[解析]　如图所示，F为椭圆的左焦点，A为其右焦点，△ABC的周长＝|AB|＋|BC|＋|AC|＝|AB|＋|BF|＋|AC|＋|CF|＝4a＝8.
C级　能力提高
1．根据下列条件，求椭圆的标准方程.
(1)经过两点A(0,2)、B(，)；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
[解析]　(1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵椭圆过A(0,2)、B.
∴，　解得.
即所求椭圆方程为x2＋＝1.
(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)，
又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
即所求椭圆的方程为＋＝1.
2．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积.
[解析]　设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根据椭圆定义有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos
＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin
∠F1PF2
＝××＝.第二章　圆锥曲线与方程
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线x2－5y2＝5的焦距为(　B　)
A．　　
B．2　
C．2　
D．4
[解析]　双曲线方程化为标准方程为－y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2＋b2＝6，∴c＝.∴焦距为2c＝2.
2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是(　C　)
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
[解析]　∵抛物线过点(－4,4)，
∴设其方程为：y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，将(－4,4)代入可得p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x或x2＝4y.
3．若椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为(　D　)
A．5
B．3
C．2
D．2
[解析]　由题意得9－m2＝1，∴m2＝8，又m>0，∴m＝2.
4．3A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
[解析]　当30，
∴方程＋＝1表示双曲线．
若方程＋＝1表示双曲线，则
(m－5)(m2－m－6)<0，
∴m<－2或35．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　C　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝＝.
6．如果点P(2，y0)在以点F为焦点的抛物线y2＝4x上，则|PF|＝(　C　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　根据抛物线的定义点P到点F的距离等于点P到其准线x＝－1的距离d＝|2－(－1)|＝3，故C正确．
7．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是(　B　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
[解析]　双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由·＝1得a2＋b2＝m2，故为直角三角形．
8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　B　)
A．3
B．6
C．9
D．12
[解析]　如图：
∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆E的右焦点为(2,0)，∴c＝2，
∵＝，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝12.
∵抛物线的准线为x＝－2，
∴|AB|＝＝＝6.
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　C　)
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
[解析]　∵2x2＝x1＋x3，
∴2(x2＋)＝(x1＋)＋(x2＋)，
∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C．
10．(2016·山东济宁高二检测)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　A　)
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析]　由椭圆方程可知，a2＝16，∴a＝4.
在△
AF1B中，由椭圆定义可知周长为4a＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.
11．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是(　D　)
A．线段
B．直线
C．圆
D．椭圆
[解析]　如下图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A(－3,0)和定圆的圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故选D．
12．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　B　)
A．至多一个
B．2
C．1
D．0
[解析]　∵直线与圆无交点，∴>2，
∴m2＋n2<4，∴点P在⊙O内部，
又⊙O在椭圆内部，∴点P在椭圆内部，
∴过点P的直线与椭圆有两个交点．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为__2__.
[解析]　如图所示，F为抛物线x2＝4y的焦点，直线y＝－1为其准线，过点P作准线的垂线，垂足为A且交x轴于点B．
∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2.
14．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为　　.
[解析]　∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.
∴椭圆离心率为＝.
15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为　y＝±x　.
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，
即y1＋y2＝p，
∴＝p，
即＝，
∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C：y2＝2x的焦点为F，直线l过F与C交于A、B两点，若|AF|＝3|BF|，则l的方程为　y＝±(x－)　.
[解析]　由题意得，抛物线y2＝2x的焦点F(，0)．设l：y＝k(x－)，A(x1，y2)、B(x2，y2)，则由|AF|＝3|BF|得x1＋＝3(x2＋)，即x1＝3x2＋1；联立，
得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，则x1x2＝x2(3x2＋1)＝，解得x2＝，又x1＋x2＝4x2＋1＝1＋，即k2＝3，k＝±，即直线l的方程为y＝±(x－)．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线；
(2)以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线.
[解析]　(1)∵双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：－＝1(20－a2>0)
又点(3，2)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝12或30(舍去)，
∴所求双曲线方程为－＝1.
(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为＋＝1，
其焦点坐标为(±，0)，
∴所求双曲线的焦点为(±，0)，
设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴＝，∴＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2，
即所求的双曲线方程为：－＝1.
18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.
[解析]　(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且－＝－2，所以p＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x2＝－8y.
(2)由焦点到准线的距离为5，知p＝5，又焦点在x轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y2＝－10x.
19．(本题满分12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
[解析]　(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1、x2＝4，y1＝－2、y2＝4，
从而A(1，－2)、B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
20．(本题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，离心率e＝，直线l与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)时，求直线l的斜率k.
[解析]　(1)由条件知，解之得.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
(2)依题意，设l的方程为y＝kx＋，
由，消去y得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0，
显然Δ>0，
x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得，
a2x1x2＋b2y1y2＝4x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(4＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)(－)＋k·＋3＝0，解得k＝±.
21．(本题满分12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
[解析]　(1)依题意，
解得a2＝3，b2＝1.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由，消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知：1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)>0 m2＋1>3k2①
设C(x1，y1)、D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1②
联立①②得m2－4m>0，
所以m<0或m>4，又3k2＝4m＋1>0，
所以m>－，因此－4.
22．(本题满分12分)(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
[解析]　(1)由椭圆的离心率为，
得a2＝2(a2－b2)，
又当y＝1时，x2＝a2－，
得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2.
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程，得
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
由Δ>0得m2<4k2＋2，(
)
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，
所以D(－，)．
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝(－)2＋(＋m)2，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3，
故2k2＋1＝.
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，
由函数单调性可知y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4.
由(
)得－故≥.
设∠EDF＝2θ，则sin
θ＝≥，
所以θ的最小值为，
从而∠EDF的最小值为，
此时直线l的斜率是0.
综上所述，当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.1.4
全称量词与存在量词（1）
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为(　C　)
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[解析]　①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是(　D　)
① x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③ x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]　①②③都是真命题．
3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有(　C　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
[解析]　“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．
4．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有(　B　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
[解析]　②③含有全称量词，所以是全称命题．
5．(2016·山东菏泽高二月考)下列命题中为特称命题的是(　C　)
A．所有的整数都是有理数
B．三角形的内角和都是180°
C．有些三角形是等腰三角形
D．正方形都是菱形
[解析]　A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．
6．(2016·山东济南高二月考)下列四个命题中，假命题为(　B　)
A． x∈R,2x>0
B． x∈R，x2＋3x＋1>0
C． x∈R，lg
x>0
D． x∈R，x＝2
[解析]　当x＝－1时，x2＋3x＋1＝－1<0，故命题“ x∈R，x2＋3x＋1>0”为假命题．
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“ ”写成特称命题为__ x0<0，(1＋x0)(1－9x0)2>0__.
[解析]　根据特称命题的定义改写．
8．四个命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.
[解析]　x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对 x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．
三、解答题
9．(2016·江苏南京高二检测)用符号表示下列全称命题：
(1)对任意a>1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数；
(2)对所有实数m，都有<0；
(3)对每一个实数x，都有cos
x<1.
[解析]　(1) a>1，函数f(x)＝ax在R上是增函数．
(2) m∈R，<0.
(3) x∈R，cos
x<1.
B级　素养提升
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是(　D　)
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在大于等于3的实数
[解析]　选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．
2．下列命题是真命题的是(　D　)
A． x∈R，(x－)2>0
B． x∈Q，x2>0
C． x0∈Z,3x0＝812
D． x0∈R,3x－4＝6x0
[解析]　A中当x＝时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．
3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　B　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
[解析]　A，C为全称命题；对于B，当x＝0时，x2＝0≤0，正确；对于D，显然错误．
4．(2016·浙江杭州高二检测)已知命题p： x∈R，mx2＋1≤0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(－∞，－2)
B．[－2,0)
C．(－2,0)
D．(0,2)
[解析]　p真：m<0.
q真：Δ＝m2－4<0，∴－2∵p∧q为真命题，∴p、q均为真命题，∴－25．(2016·唐山一模)已知命题p： x0∈N，xA．p假q真
B．p真q假
C．p假q假
D．p真q真
[解析]　由x二、填空题
6．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x0，使x＋x0＋1<0；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身.
[解析]　①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在实数x0，使x＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
7．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x－1|<2；④对任意的实数x>5，都有x>3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)
[解析]　②是特称命题；③不是命题．
三、解答题
8．判断下列命题的真假：
(1)任给x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
(2)存在α、β∈R，sin
(α＋β)＝sin
α＋sin
β；
(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；
(4)任给a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
[解析]　(1)∵x∈Q，∴x2与x均为有理数，从而x2＋x＋1是有理数，∴(1)真；
(2)当α＝0，β＝时，sin
(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立，
∴(2)真；
(3)当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，∴(3)真；
(4)当a＝0，b＝1时，0x＋1＝0无解，∴(4)假．
C级　能力提高
1．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“ x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是__(－∞，－2)__.
[解析]　由条件知，∴m<－2.
2．已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
[解析]　由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．
所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.常用逻辑用语
学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列语句中，命题的个数是(　C　)
①|x＋2|；②－5∈Z；③π R；④{0}∈N.
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
[解析]　①不能判断真假，故不是命题，其他都是命题．
2．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
[解析]　“－13．有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A B”的逆否命题．
其中真命题的个数是(　A　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；
“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；
若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；
“若A∪B＝A，则A B”为假，故其逆否命题为假．
4．(2017·北京文，7)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　A　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　方法1：由题意知|m|≠0，|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m＝λn，
则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cos
θ＝－|m||n|<0.
当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．
方法2：∵m＝λn，
∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0 cos〈m，n〉<0 〈m，n〉∈(，π]，
当〈m，n〉∈(，π)时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．
5．(2017·天津文，2)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　B　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵2－x≥0，∴x≤2.∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.
∵当x≤2时，不一定有x≥0，当0≤x≤2时，一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
故选B．
6．(2016·江西抚州高二检测)以下说法正确的个数是(　C　)
(1)“b2＝ac”是“b为a，c的等比中项”的充分不必要条件；
(2)“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；
(3)“A＝B”是“tan
A＝tan
B”的充分不必要条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析]　(1)中，a＝b＝0时，b2＝ac，但b不是a，c的等比中项，若b为a，c的等比中项，则b2＝ac，故“b2＝ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件；(2)中，|a|>|b| a2>b2，故“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；(3)中，A＝B＝时，tan
A、tan
B无意义，当A＝，B＝时，tan
A＝tan
B，而A≠B，故“A＝B”是“tan
A＝tan
B”的既不充分也不必要条件，故选C．
7．已知命题p： x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则 p是(　C　)
A． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D． x1、x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[解析]　根据全称命题的否定是存在性命题求解．
p： x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
8．(2016·重庆巴蜀中学高二检测)设a、b∈R，那么“>1”是“a>b>0”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　由>1 －1>0 >0 b(a－b)>0 a>b>0或a1”是“a>b>0”的必要不充分条件．
9．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　当a<0时，Δ＝4－4a>0，
∴方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，
不妨设两根分别为x1、x2.
则x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，
故方程ax2＋2x＋1＝0有一正根一负根.
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0有一负根为－，
∴a<0 方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，
方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根a<0，故选A．
10．下列命题中是假命题的是(　D　)
A． m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B． a>0，函数f(x)＝ln2
x＋ln
x－a有零点
C． α、β∈R，使cos
(α＋β)＝cos
α＋sin
β
D． φ∈R，函数f(x)＝sin
(2x＋φ)都不是偶函数
[解析]　∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y＝ln2
x＋ln
x的值域为[－，＋∞)，∴对 a>0，方程ln2
x＋ln
x－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当α＝，β＝2π时，cos
(α＋β)＝cos
α＋sin
β成立，故C真；当φ＝时，
f(x)＝sin
(2x＋φ)＝cos
2x为偶函数，故D为假命题．
11．下列命题中的真命题是(　D　)
A． x∈[0，]，sin
x＋cos
x≥2
B． x∈，tan
x>sin
x
C． x∈R，x2＋x＝－1
D． x∈R，x2＋2x>4x－3
[解析]　∵对任意x∈R，有sin
x＋cos
x＝sin
(x＋)≤，∴A假；∵x∈(，π)时，tan
x<0，sin
x>0，∴B假；∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－(4x－3)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－(4x－3)>0恒成立，故D真．
12．命题p：关于x的方程x2＋ax＋2＝0无实根，命题q：函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－2，1]∪[2，＋∞)
B．(－2，2)
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，2)
[解析]　∵方程x2＋ax＋2＝0无实根，
∴△＝a2－8<0，∴－2∴p：－2∵函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴a>1.
∴q：a>1.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假．
当p真q假时，－2当p假q真时，a≥2.
综上可知，实数a的取值范围为(－2，1]∪[2，＋∞)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·北京昌平区高二检测)若命题p： x∈R，x2－x＋≤0，则 p：　 x∈R，x2－x＋>0　.
[解析]　根据全称命题的否定是特称命题，故 p： x∈R，x2－x＋>0.
14．给出命题：“若函数y＝f(x)是指数函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__1__.
[解析]　因为命题：“若函数y＝f(x)是指数函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是指数函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.
15．已知命题“ x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是　　.
[解析]　由题意可知，命题“ x∈R，x2－5x＋a>0”为真命题，
∴(－5)2－4×a<0，即a>.
∴实数a的取值范围为.
16．(2016·贵州安顺高二检测)已知命题p： x0∈R，使tan
x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1[解析]　命题p： x0∈R，使tan
x0＝1正确，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断是全称命题还是特称命题，并判断真假.
(1)有一个实数α，tan
α无意义；
(2)任何一条直线都有斜率吗？
(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径；
(4)圆内接四边形的对角互补；
(5)对数函数都是单调函数．
[解析]　(1)特称命题．α＝时，tan
α不存在，所以，特称命题“有一个实数α，tan
α无意义”是真命题．
(2)不是命题．
(3)虽然不含有全称量词，但该命题是全称命题．它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径，所以，全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题．
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．
(5)虽然不含全称量词，但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．
18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”
[解析]　逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.
逆命题为真．
否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.
否命题为真．
逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.
逆否命题为真．
19．(本题满分12分)已知P＝{x|a－4[解析]　P＝{x|a－4∵x∈P是x∈Q的必要条件，
∴x∈Q x∈P，即Q P.
∴，解得，∴－1≤a≤5.
20．(本题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：任意m∈R，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析]　(1) p：存在m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则Δ＝1＋4m<0，则m<－，所以 p为真．
(2) q：所有x∈R，x2＋x＋1>0.
因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以 q为真．
21．(本题满分12分)(2016·广东汕头高二检测)已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点；命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围.
[解析]　p真：(1－2＋a)(4－4＋a)<0，
∴a(a－1)<0，∴0∴p假：a≤0或a≥1.
q真：(2a－3)2－4>0
∴4a2－12a＋5>0，∴a>或a<.
q假：≤a≤.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p、q一真一假．
当p真q假时，∴≤a<1.
当p假q真时，∴a≤0或a>.
综上可知，a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.
22．(本题满分12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若 p是 q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
[解析]　由(4x－3)2≤1，得≤x≤1，
令A＝{x|≤x≤1}．
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
令B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由 p是 q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A?B，
∴，∴0≤a≤.
∴实数a的取值范围是[0，]．1.2
充分条件与必要条件（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p：11，则p是q成立的(　A　)
A．充分不必要条件　　
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵11，
而
2x>112．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　B　)
A．m>1，n<－1
B．mn<0
C．m>0，n<0
D．m<0，n<0
[解析]　先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以 从而A，B，C，D中只有B满足题意．
3．“x>1”是“log(x＋2)<0”的(　B　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　log(x＋2)<0＝log1，∴x＋2>1
即x>－1，而x>1 x>－1，反之不然．故选B．
4．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的(　C　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若a＝2，则ax＋2y＝0即为x＋y＝0与直线x＋y＝1平行，反之若ax＋2y＝0与x＋y＝1平行，则－＝－1，a＝2，故选C．
5．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的(　C　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a (a－mb)·a＝0 |a|2－ma·b＝0 m＝1，故选C．
6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　A　)
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
[解析]　∵a>b＋1 a－b>1 a－b>0 a>b，
∴a>b＋1是a>b的充分条件．
又∵a>b a－b>0a>b＋1，
∴a>b＋1不是a>b的必要条件，
∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．
二、填空题
7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要__条件.
[解析]　因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以28．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的__充分不必要__条件.
[解析]　点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，
但是{an}是等差数列却不一定就是an＝2n＋1.
三、解答题
9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[解析]　(1)因为x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似两个三角形全等，
而两个三角形全等 两个三角形相似，
所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为m<－2 方程x2－x－m＝0无实根，
而方程x2－x－m＝0无实根m<－2，
所以p是q的充分不必要条件．
(4)因为矩形的对角线相等，所以p q.
而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以qp.
所以p是q的充分不必要条件．
B级　素养提升
一、选择题
1．设{an}是等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　若a10，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则02．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析]　由条件知，甲 乙 丙 丁，
∴甲 丁且丁甲，故选B．
3．“φ＝π”是“曲线y＝sin
(2x＋φ)过坐标原点”的(　A　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　本题考查充要条件及三角函数的性质．
当φ＝π时，y＝sin
(2x＋π)＝－sin
2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A．
4．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A．
5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　A　)
A．a<0
B．0C．D．a≤0或a>1
[解析]　因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点 函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点 函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无交点．数形结合可得，a≤0或a>1，即函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a≤0或a>1，应排除D；当0二、填空题
6．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的__充分不必要__条件.
[解析]　圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有＝，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
7．已知全集S，若p：A?B，q： SB? SA，则p是q的__充要__条件.
[解析]　利用集合的图示法，如下图，
A?B SB? SA， SB? SA A?B S.
∴p是q的充分条件，也是必要条件，
即p是q的充要条件．
8．已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__m≤－8__.
[解析]　p：x>－，q：x<0或x>4，由条件知p q，
∴－≥4，∴m≤－8.
C级　能力提高
1．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[解析]　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，
∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，
则由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
2．(2016·浙江杭州高二检测)设p：，q：x2＋y2>r2(x、y∈R，r>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数r的取值范围.
[解析]　设A＝，
B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x、y∈R，r>0}．
如图，集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心、r为半径的圆的外部．
设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，
则d＝＝.
∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴0∴实数r的取值范围是(0，)．3.3
导数在研究函数中的应用（3）
A级　基础巩固
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是(　A　)
A．12；－8　　　　　　
B．1；－8
C．12；－15
D．5；－16
[解析]　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0 x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　D　)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
[解析]　f
′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f
′(x)<0，即函数在(－1,1)上是单调递减的，∴既无最大值，也无最小值．
3．函数f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)的最大值为(　B　)
A．18　　
B．2　　
C．0　　
D．－18
[解析]　f
′(x)＝3－3x2，令f
′(x)＝0，得x＝±1，－≤x<－1时，f
′(x)<0，－1′(x)>0,1′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．
∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，
又f(－)＝0，f(3)＝－18，
∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.
4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为(　D　)
A．2
B．4
C．18
D．20
[解析]　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
f(0)＝－a,
f(1)＝－2－a,
f(3)＝18－a，
∴f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a，
∴18－a－(－2－a)＝20.
5．下列说法正确的是(　D　)
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
[解析]　根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．
6．函数f(x)＝ln
x－x在区间[0，e]上的最大值为(　A　)
A．－1
B．1－e
C．－e
D．0
[解析]　f′(x)＝－1＝，
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得1∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.
二、填空题
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是__[0，e]__.
[解析]　f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
f(－1)＝e,
f(0)＝0,
f(1)＝，
∴f(x)max＝e,
f(x)min＝0，
故函数f(x)的值域为[0，e]．
8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－≤x≤3的最小值为8，则a的值是__26__.
[解析]　f
′(x)＝3－3x2，令f
′(x)＝0，得x＝±1.
f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.
又f(－)＝a，f(3)＝－18＋a.
∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.
三、解答题
9．(2016·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值.
(1)求a的值；
(2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a，
由题意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴a＝3.
经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值．
(2)由(1)知，
f(x)＝x3－6x2＋9x，
∵f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，
∴k≥f(x)max即可．
f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)
＝3(x－1)(x－3)，
令f′(x)>0，得3令f′(x)<0，得1∴f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，
∴当x＝1时，
f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时，
f(x)取极小值f(3)＝0.
又f(0)＝0，f(4)＝4，
∴f(x)max＝4，∴k≥4.
B级　素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　f
′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]，
∵f＝，f(0)＝f(1)＝0.
∴f(x)max＝.
2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上图象连续不断且f
′(x)A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
[解析]　令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f
′(x)－g′(x)<0，
∴u(x)在[a，b]上为单调减少的，
∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
3．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：
①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；
②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；
③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．
其中正确的命题个数是(　A　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[解析]　由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．
4．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为(　C　)
A．[f(0)，f(5)]
B．[f(0)，f()]
C．[f()，f(5)]
D．[c，f(5)]
[解析]　f
′(x)＝6x－4，令f
′(x)＝0，则x＝，0′(x)<0，x>时，f
′(x)>0，得f()为极小值，再比较f(0)和f(5)与f()的大小即可．
5．(2016·黑龙江哈三中期末)已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为(　D　)
A．15
B．16
C．17
D．18
[解析]　x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2，则由3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18.故选D．
二、填空题
6．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是__－10__.
[解析]　f
′(x)＝6x2－6x－12，令f
′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.
当x变化时，f
′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f
′(x)
－12
－
0
＋
24
f(x)
5
?
－15
?
－4
由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，
所以f(x)max＋f(x)min＝－10.
7．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝　　.
[解析]　f
′(x)＝4ax3－12ax2.
令f
′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.
1′(x)<0,3′(x)>0，故x＝3为极小值点．
∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，
∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b.
∴解得∴a＋b＝.
三、解答题
8．(2017·全国Ⅱ文，21)设函数f(x)＝(1－x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．
[解析]　(1)解：f′(x)＝(1－2x－x2)ex.
令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；
当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；
当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)
在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)单调递减，在(－1－，－1＋)单调递增．
(2)解：f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.
当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，
则h′(x)＝－xex<0(x>0)，
因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．
而h(0)＝1，故h(x)≤1
所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
当0则g′(x)＝ex－1>0(x>0)，
所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．
而g(0)＝0，故ex≥x＋1.
当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，
取x0＝，
则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，
故f(x0)>ax0＋1.
当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．
C级　能力提高
1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是__②③__.
[解析]　∵f(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
由f(x)<0，得10，
得x<1或x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又a∴y最大值＝f(1)＝4－abc>0，
y最小值＝f(3)＝－abc<0.
∴0∴a，b，c都大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.
∴正确结论的序号是②③.
2．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos
x－sin
x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
[解析]　(1)由题意f′(x)＝x2－ax，
所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，
所以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，
即3x－y－9＝0.
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos
x－sin
x，
所以g′(x)＝f′(x)＋cos
x－(x－a)sin
x－cos
x
＝x(x－a)－(x－a)sin
x
＝(x－a)(x－sin
x)．
令h(x)＝x－sin
x，则h′(x)＝1－cos
x≥0，
所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，
所以当x>0时，h(x)>0；
当x<0时，h(x)<0.
①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin
x)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以当x＝a时，g(x)取到极大值，
极大值是g(a)＝－a3－sin
a；
当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin
x)，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．
③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin
x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时，g(x)取到极小值，
极小值是g(a)＝－a3－sin
a.
综上所述：
当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin
a，极小值是g(0)＝－a；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin
a.3.1
变化率与导数（2）
A级　基础巩固
一、选择题
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f
′(x0)的几何意义是(　C　)
A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
[解析]　由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0的导数f
′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
2．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　B　)
A．(－2，－8)　　　　
B．(1,1)，(－1，－1)
C．(2,8)
D．(－，－)
[解析]　∵y＝x3，
∴y′＝
＝
＝
(Δx2＋3x·Δx＋3x2)＝3x2.
令3x2＝3，得x＝±1，
∴点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．
3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为(　B　)
A．3,3
B．3，－1
C．－1,3
D．－1，－1
[解析]　由已知得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故选B．
4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　A　)
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
[解析]　∵f
′(x)
＝
＝
＝
(Δx2＋3x·Δx＋3x2－2)
＝3x2－2，
∴f
′(1)＝3－2＝1，∴切线的方程为y＝x－1.
5．已知曲线f(x)＝x2＋2x的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为(　D　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
[解析]　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－x2－2x＝x·Δx＋(Δx)2＋2Δx，
∴＝x＋Δx＋2，∴f
′(x)＝
＝x＋2.
设切点坐标为(x0，y0)，则f
′(x0)＝x0＋2.
由已知x0＋2＝4，∴x0＝2，故选D．
6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　B　)
A．0B．0C．0D．0[解析]　从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f
′(2)＝__12__.
[解析]　f
′(2)＝
＝
＝[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]
＝[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.
8．设函数y＝f(x)，f
′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是　　.
[解析]　由于f
′(x0)>0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角．
三、解答题
9．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程.
[解析]　∵f
′(x)＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，
又点A(2,4)在曲线y＝x2上，
∴f
′(2)＝4，∴所求切线的斜率k＝4，
故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
B级　素养提升
一、选择题
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　A　)
A．1
B．
C．－
D．－1
[解析]　∵y′|x＝1＝
＝
＝
(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2与直线y＝2x＋b相切，若f′(x0)＝2，则x0＝(　D　)
A．－1
B．2
C．－
D．1
[解析]　由消去y，得x2－2x－b＝0，①∵抛物线y＝x2与直线y＝2x＋b相切，∴Δ＝4＋4b＝0，解得b＝－1.此时，方程①的根为x＝1，∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f′(1)＝2，∴x0＝1.
3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为(　D　)
A．
B．－
C．
D．－
[解析]　由导数的定义可得y′＝3x2，
∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，
由条件知，3×＝－1，∴＝－.
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　C　)
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(2,8)或(－1，－4)
[解析]　
f
′(x)＝
＝
＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，有f
′(x0)＝3x＋1＝4.解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为(　A　)
A．
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．
[解析]　设点P(x0，y0)，则
f′(x0)＝
＝
＝
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
结合导数的几何意义可知0≤2x0＋2≤1，
解得－1≤x0≤－，选A．
二、填空题
6．(2016·山东青岛期末)曲线f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线方程为__y＝2x__.
[解析]　设曲线f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝
＝
＝
＝2.
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
7．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、x＝2所围成的三角形的面积为　　.
[解析]　y′＝
＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为，与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝××4＝.
三、解答题
8．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．
(1)求切点的坐标；
(2)求a的值.
[解析]　(1)设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点．
f
′(x)＝
＝
＝3x2－2x.
由题意知，k＝1，即3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1.
当x0＝1时，y0＝1，此时a＝0(舍去)
于是切点的坐标为.
(2)当切点为时，＝－＋a，a＝.
∴a的值为.
C级　能力提高
1．若抛物线y＝x2与直线2x＋y＋m＝0相切，则m＝__1__.
[解析]　设切点为P(x0，y0)，易知，y′|x＝x0＝2x0.
由，得，即P(－1,1)，
又P(－1,1)在直线2x＋y＋m＝0上，
故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.
2．已知曲线C：y＝经过点P(2，－1)，求
(1)曲线在点P处的切线的斜率.
(2)曲线在点P处的切线的方程．
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
[解析]　(1)将P(2，－1)代入y＝中得t＝1，
∴y＝.
∴＝＝
＝，
∴
＝，
∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝＝1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，
即x－y－3＝0.
(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝＝，
由于y0＝，∴x0＝，∴切点M(，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－)，即y＝4x.