11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
1．通过具体实例，认识三角形的概念及其基本要素．
2．学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类．
3．掌握三角形的三边关系．
阅读教材P2～4，完成预习内容．
知识探究
(一)三角形
1．定义：由不在____________的三条线段首尾________所组成的图形叫做三角形．
2．有关概念
如图，线段AB，BC，CA是三角形的________，点A，B，C是三角形的________，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的________，简称三角形的角．
3．表示方法：顶点是A，B，C的三角形，记作“________”，读作“____________”．
(1)三角形的表示方法中“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排，即△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA为同一个三角形．
(二)三角形的分类
1．等边三角形：三条边都________的三角形．
2．等腰三角形：有两边________的三角形，其中相等的两条边叫做________，另一边叫做________，两腰的夹角叫做________，腰和底边的夹角叫做________．
3．不等边三角形：三条边都________的三角形．
4．三角形按边的相等关系分类
三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．
(三)三角形的三边关系
1．三角形任意两边之和________第三边．
2．推论：由于a＋b>c，根据不等式的性质，得c－b
3．利用三角形________，可以确定在已知两边的三角形中，第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形．
自学反馈
1．小强用三根木棒组成的下列图形，其中符合三角形概念的是( )
2．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3，4，8 (________)；
(2)2，5，6 (________)；
(3)5，6，10 (________)；
(4)5，6，11 (________)．
问题：判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才的解题经验，你有没有更简便的判断方法？
用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能．
活动1 小组讨论
例1 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长．
解：设第三边的长为x，
根据两边之和大于第三边，得x＜2＋7，即x＜9.
根据两边之差小于第三边，得x>7－2，即x>5.
∴x的值大于5小于9.
又∵它是奇数，∴x只能取7.
例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米．则
x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.
∴三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米．
(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则
4＋2x＝18.解得x＝7.
∴等腰三角形的三边长为7厘米，7厘米，4厘米；
②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，
则4×2＋x＝18.解得x＝10.
∵4＋4<10，
∴此时不能构成三角形，
即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米，7厘米和4厘米．
活动2 跟踪训练
1．现有两根木棒，它们的长度分别为20
cm和30
cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取( )
A．10
cm的木棒 B．20
cm的木棒
C．50
cm的木棒
D．60
cm的木棒
2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为( )
A．9 B．12 C．15 D．12或15
3．若五条线段的长分别是1
cm，2
cm，3
cm，4
cm，5
cm，则以其中三条线段为边可构成________个三角形．
4．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为________；若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长为________．
5．找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来．
活动3 课堂小结
1．三角形的表示方法，三角形的基本要素．
2．三角形按边的分类．
3．三角形的三边关系，如何判断三条线段能否组成三角形．
【预习导学】
知识探究
(一)1.同一条直线上 顺次相接 2.边 顶点 内角
3．△ABC 三角形ABC (二)1.相等 2.相等 腰 底边 顶角 底角 3.不相等 4.不等边 等腰 底边和腰不相等的等腰 等边 (三)1.大于 2.小于 3.三边关系
自学反馈
1．C 2.(1)不能 (2)能 (3)能 (4)不能
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.C 3.3 4.17 10或11 5.图中有5个三角形．分别是△ABE、△DEC、△BEC、△ABC、△DBC.11．2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
1．会阐述三角形内角和定理．
2．会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)．
阅读教材第P11～13，完成预习内容．
问题1 揭示三角形的内角和
1．幻灯片出示：解释“什么是三角形的内角”，并通过“内角三兄弟之争”的数学故事引出本节内容．
数学故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了…….”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？
2．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．
30°＋60°＋90°＝180° 45°＋45°＋90°＝180°
想一想：任意三角形的三个内角之和也为180度吗？
问题2 探索并证明三角形的内角和定理
做一做
1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．
2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
图1
3．剪下∠A，按图2拼在一起，从而还可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
图2
图3
4．把∠B和∠C剪下按图3拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果．
想一想
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面结论的正确性呢？
已知△ABC，说明∠A＋∠B＋∠C＝180°，你有几种方法？结合图1、图2、图3说明这个结论成立．
知识探究
三角形三个内角的和等于________．
自学反馈
1．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝43°，则∠C＝________.
2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4则∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________.
3．①一个三角形中最多有______个直角？为什么？
②一个三角形中最多有______个钝角？为什么？
③一个三角形中至少有______个锐角？为什么？
④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为______．
活动1 小组讨论
例1 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
解答过程见教材P12～13.
例2 甲楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12点，太阳光线与水平面夹角为45°，如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应是多少？
解：由题意知
∠ABC＝90°，∠ACB＝45°.
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－90°－45°＝45°.
∴BC＝AB＝16.
答：两楼的距离是16米．
活动2 跟踪训练
1．△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
2．一个三角形至少有( )
A．一个锐角
B．两个锐角
C．一个钝角
D．一个直角
3．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝________.
4．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为____________．
活动3 课堂小结
会运用三角形内角和定理求三角形中内角的度数．
【预习导学】
知识探究
180°
自学反馈
1．102° 2.40° 60° 80° 3.1 1 2 60°
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.B 3.50° 4.20°、60°、100°11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
1．认识三角形的高、中线与角平分线．
2．会画一个三角形的高、中线与角平分线．
阅读教材P4～5，完成预习内容．
知识探究
1．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做____________．
2．在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个________________．三角形三条中线的交点叫做三角形的________．
3．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫________________．
自学反馈
1．三角形的高：如图1，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的________．AD是△ABC的高，则AD⊥________.
2．三角形的中线：如图2，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的________．AD是△ABC的中线，则BD＝________.
3．三角形的角平分线：如图3，∠BAC的平分线AD，交∠BAC的对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的________．AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝________.
活动1 小组讨论
1．用工具准确画出三角形的高．
如图，线段AD是△ABC中BC边上的高．
注意：标明垂直的记号和垂足的字母．
回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”画法．
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条高线相交于1点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点．
2．画三角形的中线．
如图，线段AD是△ABC中BC边上的中线．
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条中线相交于1点；(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的内部．
3．画三角形的角平分线．
如图，线段AD是△ABC的一条角平分线，图中∠BAD＝∠CAD.
分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条角平分线相交于1点；(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部；(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的内部．
活动2 跟踪训练
1．一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
2．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，则图中相等的角是________________________________，相等的线段是________．
3．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？
4．一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？
活动3 课堂小结
1．三角形的高、中线、角平分线的概念及画法．
2．运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角．
【预习导学】
知识探究
1．三角形的高 2.三角形的中线 重心 3.三角形的角平分线
自学反馈
1．高 BC 2.中线 CD 3.角平分线 ∠CAD
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．B 2.∠BAE和∠CAE，∠ADB和∠ADC BF和CF 3.三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线；高是线段，垂线是直线． 4.一个三角形有3条高，3条中线，3条角平分线．11．3.2 多边形的内角和
通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．
阅读教材P21～23，完成预习内容．
问题1：你知道三角形的内角和是多少度吗？
解：三角形的内角和等于180°.
问题2：你知道任意一个四边形的内角和是多少度吗？
学生展示探究成果
方法1：
分成2个三角形 180°×2＝360°
方法2：
分割成4个三角形 180°×4－360°＝360°
方法3：
分割成3个三角形 180°×3－180°＝360°
从一个顶点出发和各顶点相连，把四边形的问题转化为三角形的问题．
问题3：你知道五边形的内角和是多少度吗？
问题4：你知道六边形、七边形的内角和分别是多少度吗？
知识探究
列表探索n边形的内角和公式：____________．
自学反馈
1．十二边形的内角和是________．
2．一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加________．
3．一个多边形的内角和是720°，则此多边形共有________个内角．
4．如果一个多边形的内角和是1
440°，那么这是________边形．
活动1 小组讨论
问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，他的身体旋转了多少度？
求六边形外角和等于多少度，用六个平角减去六边形的内角和即可得出．
问题2：n边形外角和等于多少度？
探索发现：n边形外角和等于360°.
活动2 跟踪训练
1．(1)八边形的内角和等于________度；
(2)九边形的内角和等于________度；
(3)十边形的内角和等于________度．
2．一个多边形的内角和等于1
800°，这个多边形是________边形．
3．七边形的外角和为________．
4．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是________．
5．内角和与外角和相等的多边形是________边形．
活动3 课堂小结
通过三角形向四边形、五边形…的转化，体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊到一般的认识问题的方法．
【预习导学】
知识探究
(n－2)×180°
自学反馈
1．1
800° 2.180° 3.六 4.十
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．(1)1
080 (2)1
260 (3)1
440 2.十二 3.360° 4.18 5.四11．1.3 三角形的稳定性
1．通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．
2．了解稳定性与不稳定性在生产、生活中的广泛应用．
阅读教材P6～7，完成预习内容．
知识探究
三角形________稳定性，四边形________稳定性．
自学反馈
1．下列图中具有稳定性的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了________________________．
3．下列设备，没有利用三角形的稳定性的是( )
A．活动的四边形衣架
B．起重机
C．屋顶三角形钢架
D．索道支架
活动1 小组讨论
1．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？(防止窗框变形)
2．动手操作探究三角形的稳定性．
(1)三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(不会)
(2)四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(会)
(3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？(不会)
从上面的实验过程中你能得出什么结论？与同学交流．
解：三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．
第一个三角形不变形，第二个四边形变形，当在四边形的木架上再钉一根木条，然后扭动它，不变形．通过对比得出三角形具有稳定性的结论．
还有什么发现？
解：还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．原因是斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．
现在你知道为什么窗框未安装好之前，要先在窗框上斜钉一根木条了吧．其实就是利用了三角形的稳定性．
3．四边形的不稳定性的应用
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？
活动2 跟踪训练
1．下列图形中哪些具有稳定性？
判断一个图形是否稳定，关键是看图形中是否都是三角形．
2．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )
A．节省材料，节约成本
B．保持对称
C．利用三角形的稳定性
D．美观漂亮
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
活动3 课堂小结
运用三角形的稳定性和四边形的不稳定性解释其在生活中的应用．
【预习导学】
知识探究
具有 没有
自学反馈
1．C 2.三角形的稳定性 3.A
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．图(1)，(4)，(6)具有稳定性． 2.C 3.D11．2.2 三角形的外角
1．探索并了解三角形的外角的两条性质．
2．利用学过的定理论证这些性质．
3．利用三角形的外角性质解决与其有关的实际问题．
阅读教材P14～15，完成预习内容．
1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做____________．
图1
如图2，一个三角形有________个外角．每个顶点处有________个外角．
图2
2．如图1，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝________.试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是____________．
3．试结合图形写出证明过程：
证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.
则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，
∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B，
即________＝∠A＋∠B.
知识探究
一般地，由三角形内角和定理可以推出：
三角形的外角等于与它不相邻的________________．
自学反馈
1．判断下列∠1是哪个三角形的外角：
2．求下列各图中∠1的度数．
活动1 小组讨论
1．如图∠1＋∠2＋∠3＝？
解：∠1＋∠BAC＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠ACB＝180°，
三个式子相加得到：
∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝540°.
而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.
2．结论：三角形的外角和是360°．
活动2 跟踪训练
1．求下列各图中∠1的度数．
2．求下列各图中∠1和∠2的度数．
3．已知三角形各外角的比为2∶3∶4，求它的每个外角的度数？
4．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠1和∠2.
活动3 课堂小结
三角形外角的性质：
1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的外角和是360°.
【预习导学】
1．三角形的外角 6 2 2.120° ∠A＋∠B＝∠ACD
3．∠ACD
知识探究
两个内角的和
自学反馈
1．略． 2.略．
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．∠1＝90° ∠1＝80° ∠1＝95°. 2.略． 3.设三个外角度数分别为2x、3x、4x，由三角形外角和为360°，得2x＋3x＋4x＝360°.解得x＝40°.所以三个外角度数分别为80°，120°，160°. 4.∠1＝40°，∠2＝85°.11．3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
1．了解多边形及有关概念．
2．理解正多边形及其有关概念．
阅读教材P19～20，完成预习内容．
知识探究
1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做________．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做________．(一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．)
2．相邻两边组成的角叫做____________，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做____________．
3．连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做________________．
4．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做________．
自学反馈
1．下列图形不是凸多边形的是( )
2．n边形有________条边，________个顶点，________个内角．
在多边形的概念中，要分清以下几个方面：
(1)在平面内；
(2)若干线段不在同一直线上；
(3)首尾顺次相接；
(4)所形成的封闭图形．
活动1 小组讨论
1．请列出生活中的一些多边形，并指出其特征．
解：房屋顶是三角形，因为三角形有稳定性；螺母底面为六边形，是为了方便安装和拆卸；黑板为四边形，是为了满足教学的使用；等等．
生活中存在很多的多边形，它们的形状都是为了与生活相适应．
2．多边形的内角、外角及对角线．
(1)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角．
(2)多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
(3)连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
(4)多边形用表示它的各顶点的大写字母来表示，表示多边形必须按顺序书写，可按顺时针或逆时针顺序．
(5)正多边形各个角都相等，各条边都相等．(如下图所示)
判断一个n边形是正n边形的条件：(1)各边相等，(2)各角相等．
3．合作探究，完成下表，将你的思路与同学交流、分享．
多边形边数(n)
四边形
五边形
六边形
…
n边形
从一个顶点作对角线的条数
1
2
3
…
n－3
从一个顶点作对角线得三角形的个数
2
3
4
…
n－2
对角线的总条数
2
5
9
…
活动2 跟踪训练
1．下列不是凸多边形的是( )
2．下列图形中∠1是外角的是( )
3．下列说法正确的是( )
A．一个多边形外角的个数与边数相同
B．一个多边形外角的个数是边数的二倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形
D．每条边都相等的多边形是正多边形
活动3 课堂小结
1．多边形及其内角、外角、对角线．
2．正多边形的概念．
【预习导学】
知识探究
1．多边形 n边形 2.多边形的内角 多边形的外角 3.多边形的对角线 4.正多边形
自学反馈
1．D 2.n n n
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．C 2.D 3.B