1.3
简单的逻辑联结词
课时达标训练
1.命题“2017≥2016”使用逻辑联结词的情况是 ( )
A.使用了逻辑联结词“或”
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“非”
D.以上都不对
【解析】选A.符号“≥”读作大于或等于,使用了逻辑联结词“或”.
2.如果命题“p∨q”为假命题,则 ( )
A.p、q均为假命题
B.p、q中至少有一个真命题
C.p、q均为真命题
D.p、q中只有一个真命题
【解析】选A.由真值表可以直接判断,也可逆向思维,若p,q中至少有一个真命题,则“p∨q”为真命题,从而选A.
3.对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:
①p或 q是真命题;
②p且 q是真命题;
③ p且 q是假命题;
④ p或q是假命题.
其中真命题是 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p且q为真命题,所以p为真,q为真, p为假, q为假,所以p或 q为真, p且 q为假,故选C.
4.若p:不等式ax+b>0的解集为,q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a
【解析】因为命题“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,
于是a>0,且a答案:05.判断下列命题的真假:
(1)函数y=cosx是周期函数并且是单调函数.
(2)x=2或x=-2是方程x2-4=0的解.
【解析】(1)由p:“函数y=cosx是周期函数”,q:“函数y=cosx是单调函数”,用联结词“且”联结后构成命题p∧q.
因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题.
(2)由p:“x=2是方程x2-4=0的解”,q:“x=-2是方程x2-4=0的解”,用“或”联结后构成命题p∨q.因为p,q都是真命题,所以p∨q是真命题.1.1.3
四种命题间的相互关系
课时达标训练
1.命题“若 p,则q”为真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( )
A.若p,则 q
B.若q,则 p
C.若 q,则p
D.若 q,则 p
【解析】选C.若“ p,则q”的逆否命题是“若 q,则p”,又因为互为逆否命题的真假性相同,所以“若 q,则p”一定是真命题.
2.下列说法中正确的是 ( )
A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真
B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价
C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”
D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
【解析】选D.互为逆否关系的命题具有相同的真假性.
3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.命题“若a>-3,则a>-6”的逆命题为“若a>-6,则a>-3”,为假命题,则它的否命题“若a≤-3,则a≤-6”也必为假命题;它的逆否命题“若a≤-6,则a≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.
4.若ax2-2ax-3≤0恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,由
解得-3≤a<0.
综上可知,实数a的取值范围是-3≤a≤0.
答案:[-3,0]
5.设命题p:若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)
【解析】(1)p的逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,则m<0.
p的否命题:若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.
p的逆否命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.3.1.3
导数的几何意义
课时达标训练
1.下列说法正确的是 ( )
A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线
D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)不一定存在
【解析】选D.曲线的切线和曲线除有一个公共切点外,还可能有其他的公共点,故A,B错误;f′(x0)不存在,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率不存在,但切线可能存在,故C错误,D正确.
2.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为 ( )
A.(-2,-8)
B.(1,1),(-1,-1)
C.(2,8)
D.
【解析】选B.因为y=x3,
所以y′=
=
=[(Δx)2+3x·Δx+3x2]=3x2.
令3x2=3,得x=±1,
所以点P的坐标为(1,1),(-1,-1).
3.函数y=x2的导数为 ( )
A.x
B.2x
C.2
D.4
【解析】选B.=(2x+Δx)=2x.
4.(2017·河南模拟)若曲线y=x4的一条切线l与直线x+2y-8=0平行,则l的方程为 ( )
A.8x+16y+3=0
B.8x-16y+3=0
C.16x+8y+3=0
D.16x-8y+3=0
【解析】选A.由y=x4得y′=4x3,
设切点坐标为(x0,y0),则y′=4,
因为切线l与直线x+2y-8=0平行,
所以4=-,所以x0=-,
所以y0==,
所以l:y-=-,
即8x+16y+3=0.
5.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 ( )
【解析】选B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.
6.已知f(x)对任意实数x,y均满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f′(0)=0,则
f′(3)=________.
【解析】令x=y=0,则f(0)=0.
所以f′=
=
==+6
=6+=6+f′(0)=6.
答案:6
7.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】
y′|x=1===2,
所以,所求切线的斜率为2,
因此,所求的切线方程为y-2=2(x-1).
即2x-y=0.2.3.2.1
抛物线的简单几何性质
课时达标训练
1.抛物线x2=-16y的焦点坐标是 ( )
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(4,0)
D.(-4,0)
【解析】选A.由抛物线的定义可知2p=16,故p=8,且焦点在y轴负半轴上,故焦点坐标为(0,-4).
2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是 ( )
A.y=2x2或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),
所以设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
所以22=-2p(-1).所以p=2.所以抛物线的方程为y2=-4x.当抛物线的焦点在y轴上时,
因为抛物线过点(-1,2),所以设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
所以(-1)2=2p·2,所以p=.所以抛物线的方程为x2=y.
3.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .
【解析】设抛物线上点的坐标为(x,±),此点到准线的距离为:x+,到顶点的距离为,由题意有x+=,所以x=,所以此点坐标为.
答案:
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .
【解析】直线为y=x-,故
所以x2-3px+=0,
|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.
答案:2
5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
【解析】方法一:设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为
F.
因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5,
故
解得
所以抛物线方程为x2=-8y,m=±2,
准线方程为y=2.
方法二:如图所示:
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
有焦点F,准线l:y=.
又|MF|=5,由定义知3+=5,所以p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3),得m=±2.
【补偿训练】已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.
【解析】由抛物线的性质知A,B关于x轴对称.
设A(x,y),则B(x,-y),焦点为F.
由题意知AF⊥OB,则有·=-1.
所以y2=x,2px=x.
易知x≠0,所以x=.
所以直线AB的方程为x=.1.2.1
充分条件与必要条件
课时达标训练
1.下列命题中,p是q的充分条件的是 ( )
A.p:a=0,q:ab=0
B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:x2>1,q:x>1
D.p:a>b,q:
>
【解析】选A.根据充分条件的概念逐一判断.
2.若p是q的充分条件,则q是p的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
【解析】选B.因为p是q的充分条件,所以p q,所以q是p的必要条件.
3.若“x<-1”是“x【解析】因为x<-1 x答案:a≥-1
4.“x=-1”是“x2-x-2=0”的________条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的________条件.(用“充分”“必要”填空)
【解析】由x=-1 x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2-x-2=0”的充分条件,“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要条件.
答案:充分 必要
5.已知命题p:α=β;命题q:tanα=tanβ,问p是q的什么条件
【解析】当α=β=时,显然tanα与tanβ无意义,
即pq,故p不是q的充分条件;
又α=,β=时,tanα=tanβ,
所以qp,所以p不是q的必要条件,
综上,p既不是q的充分条件,也不是必要条件.2.1.2.1
椭圆的简单几何性质
课时达标训练
1.(2017·北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标是 ( )
A.
,
B.(-1,0),(1,0)
C.(2,0),(-2,0)
D.(0,2),(0,-2)
【解析】选A.椭圆x2+8y2=1可化为x2+=1,故a2=1,b2=,b=,短轴在y轴上,故短轴的端点坐标是,.
2.椭圆C1:
+=1与椭圆C2:
+=1(k<9) ( )
A.有相同的长轴
B.有相同的短轴
C.有相同的焦点
D.有相等的离心率
【解析】选C.25-9=(25-k)-(9-k),故两椭圆有相同的焦点.
3.椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10,两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5,则椭圆的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.依题意有2ab=10,2bc=5,所以e==.
4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为__________.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:
+=1.
答案:
+=1
5.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,
若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=,求椭圆的方程.
【解析】由题意,得
所以a=4,c=2.
所以b2=a2-c2=4,所求椭圆方程为+=1.2.3.1
抛物线及其标准方程
课时达标训练
1.抛物线y=-x2的准线方程是 ( )
A.x=
B.x=
C.y=2
D.y=4
【解析】选C.将抛物线y=-x2化为标准形式为x2=-8y,则p=4,
所以该抛物线的准线方程为y=2.
2.若抛物线y2=2px上横坐标为6的点的焦半径为10,则顶点到准线的距离为
( )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】选C.依抛物线的定义得6+=10,顶点到准线的距离为,即4.
3.以抛物线y2=-8x的焦点为圆心,且和抛物线准线相切的圆的方程为 ( )
A.(x-2)2+y2=8
B.x2+(y-2)2=4
C.(x+2)2+y2=16
D.x2+(y+2)2=16
【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),准线方程为x=2,则圆的半径r=4.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=16.
4.焦点在直线y=3x-6上的抛物线的标准方程是 .
【解析】y=3x-6与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,-6),
所以当(2,0)为焦点时,y2=8x,
当(0,-6)为焦点时,x2=-24y.
所以y2=8x或x2=-24y.
答案:y2=8x或x2=-24y
5.已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为 .
【解析】设圆心为C,则|CA|=d,其中d为点C到直线l的距离,所以C的轨迹是以A为焦点,
l为准线的抛物线.所以所求轨迹方程为x2=-8y.
答案:x2=-8y
6.求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过P(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标.
【解析】由已知设抛物线的标准方程是x2=-2py(p>0)或y2=-2px(p>0),把P(-2,-4)代入x2=-2py或y2=-2px得p=或p=4,
故所求的抛物线的标准方程是x2=-y或y2=-8x.
当抛物线方程是x2=-y时,焦点坐标是F,准线方程是y=.
当抛物线方程是y2=-8x时,焦点坐标是F(-2,0),准线方程是x=2.
【补偿训练】
一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值.
【解析】以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点B的坐标为,
由点B在抛物线上,得
=-2p,p=,
所以抛物线方程为x2=-ay.
将点E(0.8,y)代入抛物线方程,得y=-.
由点E到拱底AB的距离为-|y|=->3.
解得a>12.21,或a<-0.21(舍去).
因为a取整数,所以a的最小整数值为13.2.2.1
双曲线及其标准方程
课时达标训练
1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:M点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.根据双曲线的定义,乙 甲,但甲乙,
只有当2a<|F1F2|且a≠0时,其轨迹才是双曲线.
2.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为 ( )
A.x2-=1
B.
-y2=1
C.y2-=1
D.
-=1
【解析】选A.因为双曲线的焦点在x轴上,
所以设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题知c=2,所以a2+b2=4.①
又点(2,3)在双曲线上,所以-=1.②
由①②解得a2=1,b2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
3.双曲线-=1上点P到左焦点的距离为6,这样的点P的个数为 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.由题易知a=2,c=4,
所以右支顶点到左焦点的距离为6,
右支上只有一个点,左支上到左焦点的距离为6的点为2个,所以共3个.
4.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(2,3)和Q(-7,-6)的双曲线方程是________.
【解析】设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),把P,Q两点的坐标代入,得
解得
所以双曲线的标准方程是-=1.
答案:
-
=1
5.求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.
【解析】设点A,B分别为圆A,圆B的圆心,则|PA|-|PB|=7-1=6<10,
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.
设P点的坐标为(x,y).因为2a=6,c=5,所以b=4.
故点P的轨迹方程是-=1(x>0).
【补偿训练】设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.
【解析】方法一:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.
又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,
于是有
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
方法二:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),
又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3).
所以2a=|-
|
=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,
所以双曲线的标准方程为-=1.1.2.2
充要条件
课时达标训练
1.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当x=1时,x3=x成立.若x3=x,x(x2-1)=0,得x=-1,0,1;不一定得到x=1.
2.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,
所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,如y=f(x)=x2,而它不是奇函数.
3.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是m等于 ( )
A.4
B.0
C.-4
D.-4或0
【解析】选D.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切 圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于 = |m+2|=2 m=-4或0.
4.如果命题“若A,则B”的否定命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”).
【解析】因为逆否命题为假,所以原命题为假,即AB,
又因否命题为真,所以逆命题为真,即B A,
所以A是B的必要不充分条件.
答案:必要不充分
5.在平面直角坐标系xOy中,求直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件.
【解析】直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直可得:1·m+(m+1)·2=0 m=-.2.3.2.2
抛物线方程及性质的应用
课时达标训练
1.直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为 (
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
【解析】选B.直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点.
2.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为 (
)
A.1
B.1或3
C.0
D.1或0
【解析】选D.
当k=0时,y=2与y2=8x有且只有一个公共点,
当k≠0时,
k2x2+(4k-8)x+4=0.
Δ=(4k-8)2-16k2=-64k+64=0,
所以k=1.
3.抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是 (
)
A.(0,0)
B.(1,2)
C.(2,1)
D.以上都不是
【解析】选A.在抛物线中,过焦点的弦最短的为通径,y2=4x的焦点为(1,0).令x=1代入y2=4x中得y=±2,抛物线上的点(1,2)或(1,-2)到焦点的距离为2,而顶点(0,0)到焦点的距离为1,所以抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是(0,0).
4.已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是,则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解析】抛物线y2=2x的焦点为F,点A在抛物线外部,显然P,A,F三点共线时,|PA|+|PM|有最小值,此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-=|FA|-=.
答案:
5.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正方向的夹角为60°,则||=________.
【解析】设A点坐标为(x0,y0),
由题意可知F,抛物线的准线方程为x=-,
由抛物线的定义可知|AF|=x0+,
由于x0=+|AF|cos60°,
所以x0=+,即x0=p,=3p2,
所以||==p.
答案:p2.1.2.2
椭圆方程及性质的应用
课时达标训练
1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是 ( )
A.点(-2,3)在椭圆外
B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内
D.点(2,-3)在椭圆上
【解析】选D.根据椭圆的对称性知,点(2,-3)在椭圆上.
2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点为M(x0,y0),
由得3x2+4x-2=0.
x0==·
=-
,
y0=x0+1=,
所以中点坐标为.
3.直线y=x+1与椭圆x2+
=1的位置关系是 ( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
【解析】选C.联立消去y,得3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.
4.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为________.
【解析】因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4.即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内,故直线mx+ny=4与椭圆+
=1有两个交点.
答案:2
5.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,求椭圆的长轴长.
【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0联立方程组
消去x得:(3m+n)y2+8my+16m-1=0,
Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,
整理得:3m+n=16mn,
即+=16.①
又c=2,焦点在x轴上,故-=4,②
联立①②,解得故椭圆的长轴长为2.3.3.1
函数的单调性与导数
课时达标训练
1.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为 ( )
A.(0,+∞)
B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-1,0)
【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-2-=.
令f′(x)>0,得x>2,所以f′(x)>0的解集为{x|x>2}.
2.命题甲:对任意x∈(a,b),有f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f′(x)=3x2≥0(-13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若a2-3b<0,则f(x)是 ( )
A.减函数
B.增函数
C.常数函数
D.既不是减函数也不是增函数
【解析】选B.由题意知f′(x)=3x2+2ax+b,则方程3x2+2ax+b=0的根的判别式Δ=4a2-12b=4(a2-3b)<0,故f′(x)>0在实数集R上恒成立,即f(x)在R上为增函数.
4.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间是________.
【解析】因为f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).
由f′(x)<0,得-1所以f(x)的单调减区间为(-1,11).
答案:(-1,11)
5.已知导函数y=f′(x)的图象如图所示,请根据图象写出原函数y=f(x)的单调递增区间是________.
【解析】从图象可知f′(x)>0的解为-15,所以f(x)的单调递增区间为(-1,2),(5,+∞).
答案:(-1,2),(5,+∞)
6.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调函数,则b的取值范围是________.
【解析】若函数是单调递增函数,则y′≥0恒成立,即x2+2bx+b+2≥0恒成立,所以Δ=4b2-4(b+2)≤0,所以-1≤b≤2,由题意f(x)不单调,则b<-1或b>2.
答案:b<-1或b>2
7.函数y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数f′(x)图象的大致形状.
【解析】f′(x)图象的大致形状如图所示:
注:图象形状不唯一.3.4
生活中的优化问题举例
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1.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为 ( )
A.4
B.6
C.4.5
D.8
【解析】选A.设底面边长为x,高为h,则V(x)=x2·h=256,
所以h=,
所以S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+,
所以S′(x)=2x-.
令S′(x)=0,解得x=8,
所以h==4.
2.甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示.
( )
现有下列四种说法:
①前四年该产品产量增长速度越来越快;
②前四年该产品产量增长速度越来越慢;
③第四年后该产品停止生产;
④第四年后该产品年产量保持不变.
其中说法正确的有 ( )
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③
【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,②④是正确的.
3.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为________.
【解析】设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V=πR2L=27π,所以L=.要使用料最省,只需使圆柱表面积最小.S表=πR2+2πRL=πR2+2π·,令S′表=
2πR-=0,得R=3,可得当R=3时,S表最小.
答案:3
4.(2017·临沂模拟)一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元,每生产1万件需要再投入2万元,设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完,每万件的销售收入为4-x万元,且每万件国家给予补助2e--万元.(e为自然对数的底数,e是一个常数)
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式.
(2)当月产量在[1,2e]万件时,求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值y(万元)及此时的月生产量值x(万件).(注:月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本)
【解析】(1)由月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本,可得
f(x)=x-1
=-x2+2(e+1)x-2elnx-2(x>0).
(2)f(x)=-x2+2(e+1)x-2elnx-2的定义域为[1,2e],
且f′(x)=-2x+2(e+1)-=-(1≤x≤2e).
列表如下:
x
[1,e)
e
(e,2e]
f′(x)
+
0
-
f(x)
增
极大值f(e)
减
由上表得:f(x)=-x2+2(e+1)x-2elnx-2在定义域[1,2e]上的最大值为f(e),且f(e)=e2-2.
即:月生产量在[1,2e]万件时,该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f(e)=e2-2,此时的月生产量值为e(万件).1.4.1
全称量词
1.4.2
存在量词
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1.下列说法正确的是 ( )
A.对所有的正实数t,有B.存在实数x0,使-3x0-4=0
C.不存在实数x0,使x0<4且+5x0-24=0
D.存在实数x0,使得|x0+1|≤1且>4
【解析】选B.t=时,
=,此时>t,所以A选项错;
由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x0=-1或x0=4时,
-3x0-4=0,故B选项正确;
由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错;
由|x+1|≤1,得-2≤x≤0,由x2>4,得x<-2或x>2,所以D选项错.
2.下列命题不是“ x0∈R,
>3”的表述方法的是 ( )
A.有一个x0∈R,使>3
B.有些x0∈R,使>3
C.任选一个x∈R,使x2>3
D.至少有一个x0∈R,使>3
【解析】选C.“任选一个x∈R,使x2>3”是全称命题,不能用符号“ ”表示.
3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是 ( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C. x0∈R,
=x0
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选D.C是特称命题,A,B都是全称命题,但为假命题,只有D既为全称命题又是真命题.
4.下列全称命题为真命题的是 ( )
A.所有的素数是奇数
B. x∈R,x2+1≥1
C.对每一个无理数x,x2也是无理数
D.所有的能被5整除的整数,其末位数字都是5
【解析】选B.2是素数,但2不是奇数,所以A是假命题;
x2+1≥1 x2≥0,显然 x∈R,x2≥0,故B为真命题,C,D均是假命题.
5.命题“ x∈(-1,1),2x+a=0”是真命题,则a的取值范围是________.
【解析】设f(x)=2x+a,则f(x)=2x+a在(-1,1)内有零点,
所以(a+2)(a-2)<0,解得-2答案:-2椭圆及其标准方程
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1.设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|
等于 ( )
A.4
B.5
C.8
D.10
【解析】选D.由椭圆+=1,得a=5,
所以|PF1|+|PF2|=2×5=10.
2.已知椭圆中a=,c=,则该椭圆的标准方程为 ( )
A.
+=1
B.
+=1
C.
+=1或+=1
D.
+=1或+=1
【解析】选D.因为a=,c=,所以b2=()2-()2=4,而由于焦点不确定,所以D选项正确.
3.椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为 ( )
A.
+=1
B.
+=1
C.
+=1
D.
+=1
【解析】选C.焦点在y轴上,c=8,2a=20,a=10,所以b2=36.
所以椭圆方程为+=1.
4.椭圆9x2+16y2=144的焦点坐标为________.
【解析】椭圆的标准方程为+=1,
所以a2=16,b2=9,c2=7,且焦点在x轴上,
所以焦点坐标为(-,0),(
,0).
答案:(-
,0),(
,0)
5.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=4,b=3,焦点在x轴上.
(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.
【解析】(1)椭圆的标准方程为+=1.
(2)由b2=a2-c2,得b2=25-4=21.
故椭圆的标准方程为+=1.3.3.2
函数的极值与导数
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1.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,
不能推出f(x)在x=0处取极值,反之成立.
2.下列结论中,正确的是 ( )
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果f′(x0)=0且在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值
C.如果f′(x0)=0且在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极小值
D.如果f′(x0)=0且在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值
【解析】选B.根据极值的概念,在x0附近的左侧f′(x)>0,单调递增;右侧
f′(x)<0,单调递减,f(x0)为极大值.
3.下列函数存在极值的是 ( )
A.y=
B.y=x-ex
C.y=x3+x2+2x-3
D.y=x3
【解析】选B.对于A中f′(x)=-,
令f′(x)=0无解,所以A中函数无极值.
B中f′(x)=1-ex,
令f′(x)=0可得x=0.当x<0时,f′(x)>0,
当x>0时,f′(x)<0.
所以y=f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1.
C中f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0.
所以y=f(x)无极值.D也无极值.
4.(2017·邢台期末)函数f(x)=ax3+ax2+x+3有极值的充要条件是 ( )
A.a>1或a≤0
B.a>1
C.0D.a>1或a<0
【解析】选D.f(x)有极值的充要条件是f′(x)=ax2+2ax+1=0有两个不相等的实根,即4a2-4a>0,解得a<0或a>1.
5.函数f(x)=x3-3x的极小值为________.
【解析】f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0得x=±1,当x<-1或x>1时,f′(x)>0,当-1答案:-2
6.求函数y=x+的极值.
【解析】y′=1-=,令y′=0解得x=±1,而原函数的定义域为{x|x≠0},所以当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,0)
(0,1)
1
(1,+∞)
y′
+
0
-
-
0
+
y
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
所以当x=-1时,y极大值=-2,当x=1时,y极小值=2.3.3.3
函数的最大（小）值与导数
课时达标训练
1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值.
2.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.12,-8
B.1,-8
C.12,-15
D.5,-16
【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0 x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.
3.已知函数f(x)=,若函数在区间(其中a>0)上存在最大值,则实数a的取值范围为 ( )
A.0B.C.a>
D.a>1
【解析】选B.因为f(x)=,x>0,所以f′(x)=-.
当00;当x>1时,f′(x)<0.
所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在x=1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在最大值,
所以解得4.(2017·济南模拟)若函数f(x)=axsinx-(a∈R),且在区间上的最大值为,则实数a的值为________.
【解析】由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx)
对于任意的x∈,有sinx+xcosx>0,
当a=0时,f(x)=-,不符合题意,
当a<0时,x∈,f′(x)<0,从而f(x)在上单调递减,
所以f(x)在上的最大值为f(0)=-,不符合题意,
当a>0时,x∈,f′(x)>0,从而f(x)在上单调递增,
所以f(x)在上的最大值为f=a-=,解得a=1.
答案:1
5.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.
(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
当0<<2,即0f(x)在上单调递减,在上单调递增,
从而f(x)max=
综上所述,f(x)max=1.1.2
四种命题
课时达标训练
1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是 ( )
A.若a-1≤b-1,则a≤b
B.若aC.若a-1>b-1,则a>b
D.若a≤b,则a-1≤b-1
【解析】选A.命题“若p,则q”的逆否命题为“若 q,则 p”.
2.有下列三个命题:
①“全等三角形的面积相等”的否命题;
②“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
③“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
其中真命题为 ( )
A.①②
B.②③
C.②
D.①②③
【解析】选C.①“若两个三角形不全等,则它们的面积不相等”,
为假命题;③“三个内角相等的三角形为不等边三角形”,为假命题.而②为真命题.
3.命题“若m2+n2=0,则m,n全为0”的否命题是____________________.
【解析】原命题的否命题是“若m2+n2≠0,则m,n不全为0”.
答案:若m2+n2≠0,则m,n不全为0
4.写出命题“如果|x-2|+(y-1)2=0,则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
【解析】逆命题:如果x=2且y=1,则|x-2|+(y-1)2=0;真命题.
否命题:如果|x-2|+(y-1)2≠0,则x≠2或y≠1;真命题.
逆否命题:如果x≠2或y≠1,则|x-2|+(y-1)2≠0;真命题.2.2.2.1
双曲线的简单几何性质
课时达标训练
1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,故可知a=2.
2.双曲线-=1的一个焦点为(2,0),则此双曲线的实轴长为 ( )
A.1
B.
C.2
D.2
【解析】选C.由已知焦点在x轴上,所以m>0.所以m+3m=4,m=1.所以双曲线的实轴长为2.
3.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选A.由已知椭圆的离心率为,得=,所以a2=4b2.所以e2=
==.所以双曲线的离心率e=.
4.已知双曲线方程为8kx2-ky2=8,则其渐近线方程为 .
【解析】由已知令8kx2-ky2=0,得渐近线方程为y=±2x.
答案:y=±2x
5.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线的方程为 .
【解析】由椭圆方程得焦点为(0,±4),
得双曲线焦点在y轴上,且c=4.
由渐近线为y=x得a=b,
所以a=b=2,
方程为-=1.
答案:-=1
6.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,
所以双曲线方程为-=,
即-=1.
(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),所以-=1.
又因为a2+b2=(2)2,所以a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,试确定双曲线离心率的取值范围.
【解析】由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示,又因为
|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即
|AF2|≤2a,所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a,所以c≤3a.又因为c>a,所以a1<≤3,即1命题
课时达标训练
1.下列语句不是命题的有 ( )
①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选B.①③④可以判断真假,是命题;②不能判断真假,所以不是命题.
2.下列命题中,是真命题的是 ( )
A.{x∈R|x2+1=0}不是空集
B.若x2=1,则x=1
C.空集是任何集合的真子集
D.x2-5x=0的根是自然数
【解析】选D.A中方程在实数范围内无解,故是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题.
3.命题“菱形的对角线相互垂直平分”的结论是 ( )
A.这个四边形是菱形
B.这个四边形的对角线相互平分
C.这个四边形的对角线相互垂直
D.这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分
【解析】选D.把命题改为“若p,则q”的形式:“若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分”.
4.若命题“ax2-2ax+5<0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
【解析】因为ax2-2ax+5<0不成立,
所以ax2-2ax+5≥0恒成立.
当a=0时,5≥0恒成立;
当a≠0时,则有
解得0答案:[0,5]
5.判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1)李华长得很帅.
(2)2030年,人类能登上火星.
(3)1是素数.
(4)若x<0,则x>3.
【解析】(1)“帅”的标准没有明确的定义,何谓“帅”,是无法判断,模棱两可的,故不能判断真假.该语句不是命题.
(2)因为2030年还没有到来,所以该语句现在不能判断真假,但随着科技的进步,将来一定能判断真假,这类语句也能称之为命题.
(3)1既不是素数也不是合数,该语句判断为假,又是陈述句,故是命题.
(4)若x<0,则x>3,该语句是用式子表达的且能判断真假,故是命题.1.4.3
含有一个量词的命题的否定
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1.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ( )
A. x∈R,|x|+x2<0
B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x0∈R,|x0|+<0
D. x0∈R,|x0|+≥0
【解析】选C.条件 x∈R的否定是 x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x0|+<0”.
2.关于命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 ( )
A.p: x0∈R,x2+1≠0
B.p: x∈R,x2+1=0
C.p是真命题,p是假命题
D.p是假命题,p是真命题
【解析】选C.命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的否定是“ x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.
3.下列命题中,真命题是 ( )
A. m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数
B. m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数
C. m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D. m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.对于选项A, m∈R,即当m=0时,f(x)=x2+mx=x2是偶函数,其余均为假命题.
4.命题“有一个质数含三个正因数”的否定是________.
【解析】特称命题的否定是全称命题.
答案:每一个质数都不含三个正因数.
5.用“ ”“ ”写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)二次函数的图象是抛物线.
(2)在直角坐标系中,直线是一次函数的图象.
(3)有些四边形存在外接圆.
(4) a0,b0∈R,方程a0x+b0=0无解.
【解析】(1) f(x)∈{二次函数},f(x)的图象不是抛物线,它是假命题.
(2)在直角坐标系中, l0∈{直线},l0不是一次函数的图象,它是真命题.
(3) x∈{四边形},x不存在外接圆.它是假命题.
(4) a,b∈R,方程ax+b=0至少有一解,它是假命题.3.2.1
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
课时达标训练
1.常数函数在任何一点处的切线是 ( )
A.上升的
B.下降的
C.垂直于y轴的
D.以上都有可能
【解析】选C.因为常数函数在任何一点处的导数都为零,所以其切线的斜率等于零,即任何一点处的切线垂直于y轴.
2.给出下列结论:
①(cosx)′=sinx;②(lnx)′=-;③若y=,则y′=-;④′=.
其中正确的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.(cosx)′=-sinx,所以①错误;
(lnx)′=,所以②错误;
′=-2x-3,所以③错误;
′==,所以④正确.
3.曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为 ( )
A.1
B.-
C.
D.
【解析】选C.因为y=x3,所以y′|x=1=1,所以切线的倾斜角α满足tanα=1,因为0≤α<π,所以α=.
4.函数y=x+在x=1处的切线方程为________.
【解析】因为y=x+,所以y′=1-,
所以y′|x=1=1-1=0,
又当x=1时,y=1+=2,
所以切点坐标为(1,2),
所以切线方程为y-2=0·(x-1),即y=2.
答案:y=2
5.判断下列计算是否正确.
求y=cosx在x=处的导数,过程如下:
y′=′=-sin=-.
【解析】错误.应为y′=-sinx,
所以y′=-sin=-.
6.求下列函数的导数:
(1)y=x20.(2)y=.(3)y=sin.(4)y=log6x.
(5)y=.
【解析】(1)y′=(x20)′=20x20-1=20x19.
(2)y′=(x-4)′=-4x-4-1=-4x-5.
(3)y′=′=′=0.
(4)y′=(log6x)′=.
(5)y′=′=()′=-=-.3.1.1
变化率问题
3.1.2
导数的概念
课时达标训练
1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足 (
)
A.Δx>0
B.Δx<0
C.Δx=0
D.Δx≠0
【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.
2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=(
)
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
3.函数在某一点的导数是 (
)
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.
4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为 (
)
A.2
B.4
C.8
D.12
【解析】选C.=2
=2=2f′(x0)=8.
5.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.
【解析】由函数f(x)的图象知,
f(x)=所以,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==.
答案:
6.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f′(x0)=4,求x0的值.
【解析】因为f′(x0)=
=
=
=(-8+2x0+Δx)
=-8+2x0,
所以-8+2x0=4.所以x0=3.
7.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-
==,
所以=,
所以=
==-,
所以y′|x=1=f′(1)=-.2.2.2.2
双曲线方程及性质的应用
课时达标训练
1.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点,则a的值可以是 ( )
A.4
B.2
C.1
D.-2
【解析】选A.因为双曲线-y2=1中,x≥2或x≤-2,
所以若x=a与双曲线有两个交点,
则a>2或a<-2,故只有A选项符合题意.
2.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±x
【解析】选B.由题意知:2b=2,2c=2,则可求得a=,则双曲线方程为-y2=1,故其渐近线方程为y=±x.
3.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .
【解析】不妨设双曲线方程为-=1,则一顶点坐标为(a,0),一焦点坐标为(c,0),一渐近线方程为bx-ay=0,则(a,0)到bx-ay=0的距离为d1==2,(c,0)到bx-ay=0的距离为d2==6.所以==,所以=,所以=3,所以e=3.
答案:3
4.已知双曲线的中心是坐标原点,实轴在y轴上,离心率为2,且双曲线两支上的
点的最近距离为4,则该双曲线的标准方程为 .
【解析】因为双曲线的实轴在y轴上,所以焦点在y轴上.
因为双曲线两支上的点的最近距离为4,
即两顶点之间的距离为4,所以a=2.
又因为离心率为2,所以c=4,
所以b2=c2-a2=12,所以双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
5.求经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线方程.
【解析】当直线斜率存在时,设所求直线方程为y-2=k,代入双曲线方程4x2-y2=1,
得(4-k2)x2-2kx-=0.
(1)当k=2时,直线方程为y=2x+1,与双曲线只有一个公共点.
(2)当k=-2时,直线方程为y=-2x+3,与双曲线只有一个公共点.
(3)当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时由得k=,可得直线方程为y=x+.
当直线斜率不存在时,直线x=也满足题意.
故经过点且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线有四条,它们的方程分别为y=2x+1,y=-2x+3,y=x+,x=.
【补偿训练】1.设双曲线x2-=1上有两点A,B,AB的中点为M(1,2),求直线AB的方程.
【解析】方法一(用根与系数的关系解决):
显然直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y-2=k(x-1),
即y=kx+2-k,由
得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,
当Δ>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则1==,
所以k=1,满足Δ>0,所以直线AB的方程为y=x+1.
方法二(用点差法解决):
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).
因为x1≠x2,所以=,
所以kAB==1,所以直线AB的方程为y=x+1,
代入x2-=1满足Δ>0.所以直线AB的方程为y=x+1.
2.(2017·莱芜高二检测)求以过原点且与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线,且过椭圆y2+4x2=4两焦点的双曲线方程.
【解析】圆x2+y2-4x+3=0的圆心为(2,0),半径r=1.
设过原点的圆的切线方程为y=kx.
由圆的切线的性质,可得=r=1,解得k=±.
所以双曲线的渐近线方程为y=±x,
从而所求的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). ①
将椭圆y2+4x2=4化为标准形式为+x2=1,
所以焦点坐标为(0,±),
将点(0,)代入①,得-=λ,所以λ=-1.
故所求双曲线的方程为-=1.3.2.2
导数的运算法则
课时达标训练
1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为 ( )
A.3x2+3x
B.3x2+3x·ln3+
C.3x2+3x·ln3
D.x3+3x·ln3
【解析】选C.f′(x)=3x2+3xln3.
2.函数y=的导数是 ( )
A.y′=-
B.y′=-sinx
C.y′=-
D.y′=-
【解析】选C.y′=′=
==-.
3.已知函数f(x)=x-4lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______.
【解析】函数f(x)=x-4lnx,所以函数f′(x)=1-,切线的斜率为-3,切点为(1,1),
所以切线方程为:3x+y-4=0,
答案:3x+y-4=0
4.已知函数f(x)=,则f′=________.
【解析】f′(x)=
=,
则f′==1.
答案:1
5.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s(t)=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是________.
【解析】s′(t)=t2-3t+2,令s′(t)=0,
得t=1或t=2.
答案:t=1s或t=2s
6.曲线f(x)=-(x<0)与曲线g(x)=lnx公切线(切线相同)的条数为________.
【解析】f(x)=-的导数为f′(x)=,g(x)=lnx的导数为g′(x)=,
设公切线的切点为(x1<0),(x2,lnx2),则切线为y+=(x-x1),y-lnx2=(x-x2),两切线相同,
则有消去x2,
整理得+2ln(-x1)-1=0,
记h(x)=+2ln(-x)-1,
则h′(x)=-+=,
当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(-e)=2--1>0,
h=-2e-3<0,
因此h(x)=0在(-∞,0)上只有一解,
即方程+2ln(-x1)-1=0只有一解,
因此所求公切线只有一条.
答案:1
7.求下列各函数的导数.
(1)y=xsinx+cosx.
(2)y=3x2-x+5.
【解题指南】本题求解时主要应用基本求导公式:(xn)′=nxn-1,(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,及求导法则:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【解析】(1)y=xsinx+cosx,
所以y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
(2)y=3x2-x+5,所以y′=6x-1.